第七章時變電磁場學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第七章時變第七章時變(sh bin)電磁場電磁場第一頁，共66頁。 講解位函數(shù)時，應(yīng)強(qiáng)調(diào)羅倫茲條件的重要性。詳細(xì)講解位函數(shù)解的物理意義，強(qiáng)調(diào)沒有滯后效應(yīng)就不可能有輻射。指出位函數(shù)的積分解僅適用于均勻線性各向同性( xin tn xn)的介質(zhì)。 能量(nngling)密度容易理解，著重講解能流密度矢量。時變電磁場的惟一性定理證明可以略去，但是其物理意義及其重要性必須介紹。第1頁/共65頁第二頁，共66頁。 對于(duy)復(fù)能流密度矢量，應(yīng)著重介紹其實部和虛部的物理意義，以及電場和磁場之間的相位差對于(duy)復(fù)能流密度矢量的影響jet 講解正弦電磁場的復(fù)矢量表示方法時，應(yīng)強(qiáng)調(diào)僅適用于頻率

2、相同的場量之間的運(yùn)算。此外，還應(yīng)指出該教材使用的時間因子是 ，而不是 。同時指出使用不同的時間因子，將導(dǎo)致麥克斯韋方程的形式不同。jetiet第2頁/共65頁第三頁，共66頁。1. 位移電流 位移電流不是電荷的運(yùn)動，而是一種人為(rnwi)定義的概念。d0SJS0 J 對于靜態(tài)場，因 ，由此導(dǎo)出電流連續(xù)性原理0ttqdSqt JSt J電荷守恒定律： 第3頁/共65頁第四頁，共66頁。上式中的 具有電流密度量綱。t D將 代入 ，得 dSqDSdSqt JS 對于時變電磁場，因 ，不可能根據(jù)電荷守恒定律推出電流連續(xù)性原理。0 ; 0ttq位移電流 d0SStDJ 電流連續(xù)是客觀存在的物理現(xiàn)象，

3、例如(lr)真空電容器中的電流。0tDJ第4頁/共65頁第五頁，共66頁。麥克斯韋將 稱為位移電流密度，以 Jd 表示，即t Dt DJdd () d0SJJS0)(dJJ求得上式稱為全電流連續(xù)性原理。它包括(boku)了傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流及位移電流。 位移電流密度是電通密度的時間(shjin)變化率，或者說是電場的時間(shjin)變化率。第5頁/共65頁第六頁，共66頁。對于靜電場，由于 ，自然不存在位移電流。0tD 對于(duy)時變電場，電場變化越快，產(chǎn)生的位移電流密度也越大。cdJJ 在良導(dǎo)體中已知傳導(dǎo)電流密度 ，因此EJ ccdJJ 在電導(dǎo)率較低的介質(zhì)中 麥克斯韋認(rèn)為位移電流也可產(chǎn)

4、生磁場，因此前述安培環(huán)路定律變?yōu)?d d() dlS HlJJS動畫第6頁/共65頁第七頁，共66頁。 d() dlStD HlJSt DJH即 上兩式稱為全電流定律。它表明時變磁場是由傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流以及位移電流共同(gngtng)產(chǎn)生的。 位移電流是由時變電場(din chng)形成的，由此可見，時變電場(din chng)可以產(chǎn)生時變磁場。 電磁感應(yīng)定律表明，時變磁場可以產(chǎn)生時變電場。因此，麥克斯韋引入位移電流以后，預(yù)見時變電場與時變磁場相互轉(zhuǎn)化的特性可能(knng)會在空間形成電磁波。第7頁/共65頁第八頁，共66頁。2. 麥克斯韋(mi k s wi)方程 靜態(tài)場中的高斯定律及磁通

5、連續(xù)性原理對于時變(sh bin)電磁場仍然成立。那么，對于時變(sh bin)電磁場，麥克斯韋歸納為如下4 個方程： d() dlStD HlJS ddlSt B ElSd0S BS dSqDS積分(jfn)形式t DJHt BE 0 B D微分形式全電流定律電磁感應(yīng)定律磁通連續(xù)性原理高斯定律第8頁/共65頁第九頁，共66頁。 時變電場(din chng)是有旋有散的，時變磁場是有旋無散的。但是，時變電磁場中的電場(din chng)與磁場是不可分割的，因此，時變電磁場是有旋有散場。在無源區(qū)中，時變(sh bin)電磁場是有旋無散的。 d() dlStD HlJS ddlSt B ElSd0

6、S BS dSqDS積分形式t DJHt BE 0 B D微分形式第9頁/共65頁第十頁，共66頁。 電場線與磁場線相互交鏈，自行(zxng)閉合，從而在空間形成電磁波。時變(sh bin)電場與時變(sh bin)磁場處處相互垂直。 為了完整地描述時變電磁場的特性(txng)，麥克斯韋方程還應(yīng)包括電荷守恒方程以及說明場與介質(zhì)關(guān)系的方程，即t JED HB JEJ 式中 代表電流源或非電的外源。J第10頁/共65頁第十一頁，共66頁。 麥克斯韋方程組中各個(gg)方程不是完全獨立的?？梢杂傻?、 方程導(dǎo)出第 、 方程，或反之。 對于靜態(tài)場，則 0ttttBHDE那么，上述麥克斯韋方程(fngc

7、hng)變?yōu)殪o電場方程(fngchng)和恒定磁場方程(fngchng)，電場與磁場不再相關(guān)，彼此獨立。 t DJH D0 Bt BE 第11頁/共65頁第十二頁，共66頁。 “在簡單的形式下隱藏著深奧的內(nèi)容，這些內(nèi)容只有仔細(xì)的研究才能顯示出來，方程是表示場的結(jié)構(gòu)的定律。它不像牛頓定律那樣，把此處發(fā)生的事件與彼處的條件聯(lián)系(linx)起來，而是把此處的現(xiàn)在的場只與最鄰近的剛過去的場發(fā)生聯(lián)系(linx)?！?愛因斯坦（18791955）對于麥克斯韋方程的評述：“ 這個方程的提出是牛頓(ni dn)時代以來物理學(xué)上的一個重要事件，它是關(guān)于場的定量數(shù)學(xué)描述，方程所包含的意義比我們指出的要豐富得多?！?/p>

8、 “假使我們(w men)已知此處的現(xiàn)在所發(fā)生的事件，藉助這些方程便可預(yù)測在空間稍微遠(yuǎn)一些，在時間上稍微遲一些所發(fā)生的事件?！钡?2頁/共65頁第十三頁，共66頁。 麥克斯韋方程除了對于(duy)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展具有重大意義外，對于(duy)人類歷史的進(jìn)程也起了重要作用。 正如美國著名的物理學(xué)家弗曼所述：“ 從人類歷史的漫長遠(yuǎn)景來看即使過一萬年之后(zhhu)回頭來看毫無疑問，在19世紀(jì)中發(fā)生的最有意義的事件將判定是麥克斯韋對于電磁定律的發(fā)現(xiàn)，與這一重大科學(xué)事件相比之下， 同一個十年中發(fā)生的美國內(nèi)戰(zhàn)（18611865）將會降低為一個地區(qū)性瑣事而黯然失色”。第13頁/共65頁第十四頁，共66頁。

9、處于信息時代的今天，從嬰兒監(jiān)控器到各種遙控設(shè)備、從雷達(dá)到微波爐、從地面廣播電視到太空衛(wèi)星廣播電視、從地面移動通信到宇宙星際通信、從室外無線廣域網(wǎng)到室內(nèi)藍(lán)牙技術(shù)、以及全球衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)等，無不利用(lyng)電磁波作為信息載體。 無線信息高速公路使人們(rn men)能在任何地點、任何時間同任何人取得聯(lián)系。 如此廣泛的應(yīng)用說明了麥克斯韋和赫茲對于人類文明和進(jìn)步(jnb)的偉大貢獻(xiàn)。 目前中國已有5億多移動通信用戶，一億多因特網(wǎng)用戶。 第14頁/共65頁第十五頁，共66頁。3. 時變(sh bin)電磁場的邊界條件 在任何邊界上電場強(qiáng)度(qingd)的切向分量是連續(xù)的，即 2t1tEE 或?qū)懗墒?/p>

10、量形式 0)(12nEEe 因為只要磁通密度的時間變化率是有限的，那么由電磁感應(yīng)定律的積分形式 ddlSt B ElS即可獲得上面結(jié)果。對于各向同性的線性介質(zhì)，得2 t21 t 1DDen第15頁/共65頁第十六頁，共66頁。 在任何(rnh)邊界上，磁通密度的法向分量是連續(xù)的，或?qū)懗墒噶啃问?0)(12nBBe 電通密度的法向分量(fn ling)邊界條件與介質(zhì)特性有關(guān)。 在一般情況下，由高斯定律求得 2n1nSDD或?qū)懗墒噶啃问?n21()SeDD式中, S 為邊界(binji)表面上自由電荷的面密度。對于各向同性的線性介質(zhì)，得n22 n11 HH上式由磁通連續(xù)性原理 求得。 d0SBS2

11、nn1BB即第16頁/共65頁第十七頁，共66頁。 兩種理想介質(zhì)的邊界上不可能存在表面自由電荷，因此2n1nDD 磁場強(qiáng)度(cchng qingd)的切向分量邊界條件也與介質(zhì)特性有關(guān)。 在一般情況下，由于邊界上不可能存在表面電流，根據(jù)全電流定律，只要電通密度的時間變化率是有限的，可得t21tHH0)(12nHHe或?qū)懗墒噶啃问?對于各向同性的線性介質(zhì)，得2n2 n11 EE第17頁/共65頁第十八頁，共66頁。 在理想導(dǎo)電體表面(biomin)上可以形成表面(biomin)電流，此時磁場強(qiáng)度的切向分量不再連續(xù)。 在理想導(dǎo)電體內(nèi)部不可能存在時變(sh bin)電磁場及時變(sh bin)的傳導(dǎo)電

12、流，它們只可能分布在理想導(dǎo)電體的表面。 E(t), B (t), J (t) = 0E 0J = E H 0E 0J 0H 0第18頁/共65頁第十九頁，共66頁。 已知在任何邊界上，電場強(qiáng)度的切向分量及磁通密度的法向分量是連續(xù)的，因此理想(lxing)導(dǎo)體表面上不可能存在電場切向分量及磁場法向分量，即時變電場必須垂直于理想(lxing)導(dǎo)電體的表面，而時變磁場必須與其表面相切。 E H , enet第19頁/共65頁第二十頁，共66頁。因 ，由前式得 01nD2nSD或nSeD 由于理想導(dǎo)電體表面存在表面電流 JS ，令表面電流密度的方向與積分回路構(gòu)成右旋關(guān)系，因 ，求得01tH2tSH J

13、nSeHJ或 E H , enet H1t H2t JS第20頁/共65頁第二十一頁，共66頁。 例 已知內(nèi)截面為a b 的矩形(jxng)金屬波導(dǎo)中的時變電磁場的各分量為 ) sin(cos0zktxaHHzzz) cos(sin0zktxaHHzxx) cos(sin0zktxaEEzyy其坐標(biāo)如圖所示。試求波導(dǎo)中的位移電流分布和波導(dǎo)內(nèi)壁上的電荷及電流分布。波導(dǎo)內(nèi)部(nib)為真空。 azyxb第21頁/共65頁第二十二頁，共66頁。解 由前式求得位移電流為 t DJd) sin(sin 00zktxaEezyy 在 y = 0 的內(nèi)壁上 00( ) SyyyEeE()SyxzzxxzHH

14、 JeHHee在 y = b 的內(nèi)壁上 00( ) SyyyE eE()SyxzzxxzHH JeHHeeazyxb第22頁/共65頁第二十三頁，共66頁。在 x = 0 的側(cè)壁上， 0 xH00sin( )sin( )SxzzzyzzHtk zHtk z Jeee00(sin( )sin( )SxzzzyzzHtk zHtk z Jeee0 xH在 x = a 的側(cè)壁上， 在 x = 0 及 x = a 的側(cè)壁上，因 ，所以 。 0yE0Szyx內(nèi)壁電流第23頁/共65頁第二十四頁，共66頁。4. 標(biāo)量(bioling)位與矢量位 設(shè)介質(zhì)是線性均勻且各向同性的，那么由麥克斯韋方程可得JHH2

15、2 tttJEE22 利用矢量恒等式 ，同時考慮到 及 ，那么上述兩式變?yōu)?AAA20 B DJHH222t1222ttJEE場與源的關(guān)系(gun x)比較復(fù)雜。第24頁/共65頁第二十五頁，共66頁。式中， A 稱為(chn wi)矢量位。將上式代入式 中，得t BE )(AEt 已知 ，因此 B 可以表示為矢量場 A 的旋度。0 B 引入標(biāo)量位與矢量位作為兩個(lin )輔助函數(shù),可以簡化時變電磁場的求解。 AB即第25頁/共65頁第二十六頁，共66頁。上式又可改寫為0tAE可見，矢量場 為無旋場。因此可以表示為一個標(biāo)量場 的梯度，tAE式中 稱為(chn wi)標(biāo)量位。當(dāng) A 與時間無關(guān)

16、時ABE因此，標(biāo)量位 標(biāo)量電位(din wi)；矢量位 A 矢量磁位。tAE即tAE求得第26頁/共65頁第二十七頁，共66頁。將位函數(shù)代入麥克斯韋方程，求得 tttAAJA22 JAAAtt222)()(2At 再利用矢量恒等式 ，上兩式又可表示為AAA2第27頁/共65頁第二十八頁，共66頁。 已定義了矢量場 A 的旋度， ，必須再規(guī)定其散度。BA 則前兩式可以簡化為 JAA 222t222t洛倫茲條件(tiojin)tA為了簡化計算，令 僅與電荷(dinh) 有關(guān)僅與電流(dinli) J 有關(guān)原來兩個相互關(guān)聯(lián)的方程變?yōu)閮蓚€獨立方程。第28頁/共65頁第二十九頁，共66頁。原來電磁場的矢

17、量方程為JHH222t1222ttJEE在三維空間(snwikngjin)中僅需求解 4 個坐標(biāo)分量。位函數(shù)方程為一個矢量方程和一個標(biāo)量方程JAA 222t222t在直角坐標(biāo)系中，實際上等于求解(qi ji) 1 個標(biāo)量方程。在三維空間中需要求解 6 個坐標(biāo)(zubio)分量。第29頁/共65頁第三十頁，共66頁。根據(jù)(gnj)靜態(tài)場結(jié)果，采用類比方法推出其解。5. 位函數(shù)(hnsh)方程的求解 當(dāng)時變點電荷位于坐標(biāo)原點時，其場分布與 及 無關(guān)。那么(n me)，在除坐標(biāo)原點以外整個無源空間，位函數(shù) 滿足的方程式為 先求解時變點電荷的矢量位，再利用疊加原理導(dǎo)出分布的時變體電荷的矢量位。rtrv

18、rr0 0) (1) (222221v式中rzyx (r, t)O第30頁/共65頁第三十一頁，共66頁。上式為函數(shù)( r)的齊次波動方程，其通解為 vrtfvrtfr21 式中的第二項不符合實際的物理條件，應(yīng)該舍去。因此，求得位于原點的時變點電荷產(chǎn)生的標(biāo)量電位為rvrtft1),(r已知位于原點的靜止點電荷 產(chǎn)生的電位為 Vqd rV 4d )( r可見函數(shù) f1 為Vvrtvrtfd 4 1第31頁/共65頁第三十二頁，共66頁。因此位于原點的時變點電荷的標(biāo)量位為Vrvrttd 4 ),( dr式中r 為體元(t yun) dV 至場點的距離。 位于V 中的體電荷在 r 處產(chǎn)生(chnsh

19、ng)的電位為1( , )d4VtvtV rrr ,rrrrrzyx (r, t)V dVvtrrr ,r - rO第32頁/共65頁第三十三頁，共66頁。 將矢量位方程在直角坐標(biāo)系中展開，則矢量位 A 各個分量均滿足結(jié)構(gòu)相同(xin tn)的非齊次標(biāo)量波動方程式， 每個分量的解結(jié)構(gòu)同前。三個分量合成后，矢量位 A 的解為VvttVd,4),(rrrrrJrA式中， V 為電流(dinli) J 的分布區(qū)域。xxxJtAA 222yyyJtAA 222zzzJtAA 222即第33頁/共65頁第三十四頁，共66頁。VvttVd41),(rrrr,rrVvttVd,4),(rrrrrJrA 空間

20、某點在時刻 t 產(chǎn)生的位必須根據(jù)時刻的源分布進(jìn)行求積。vtrr 這就表明，位于 r 處的源產(chǎn)生的場傳到 r 處需要一段時間，這段時差就是 。vrr 為源點至場點的距離，因此 v 代表電磁波的傳播速度。rr第34頁/共65頁第三十五頁，共66頁。 由 可見，電磁波的傳播速度與介質(zhì)特性有關(guān)。1v這就是光速(un s)，通常以 c 表示。 若某一時刻源已消失(xiosh)，只要前一時刻源還存在，它們原來產(chǎn)生的空間場仍然存在，這就表明源已將電磁能量釋放到空間，這種現(xiàn)象稱為電磁輻射。8001299 792 458m/s3 10 m/sv 在真空中 靜止電荷或恒定電流一旦消失，它們產(chǎn)生(chnshng)的

21、場也隨之失去，因而靜態(tài)場稱為束縛場，沒有輻射作用。第35頁/共65頁第三十六頁，共66頁。 源變化越快，空間滯后越大，即使(jsh)在源附近也有顯著的電磁輻射。所以似穩(wěn)場和輻射場的區(qū)域劃分不僅取決于空間距離，也和源的變化快慢有關(guān)。 時變源的附近，時差很小，場強(qiáng)的變化基本上與源同步，所以近處(jn ch)的時變場稱為似穩(wěn)場。 離開時變源的遠(yuǎn)處，由于時差很大，輻射效應(yīng)(xioyng)顯著，所以遠(yuǎn)處的時變場稱為輻射場。 為了向空間輻射電磁能量，必須使用高頻電流激勵發(fā)射天線，而通常50Hz的交流電不可能有效地輻射電磁能量。第36頁/共65頁第三十七頁，共66頁。 由于 和A 隨時間的變化總是比源落后，

22、因此，位函數(shù) 及 A 通常(tngchng)稱為滯后位。 前式第二項 中的因子 意味著場比源導(dǎo)前，這就不符合先有源后有場的因果關(guān)系。vrtf2vrt那么，它又可理解為向負(fù) r 方向傳播的波，也就是(jish)來自無限遠(yuǎn)處的反射波。因子 又可寫為vrtvrtvrt)( 對于(duy)點電荷所在的無限大自由空間，這種反射波不可能存在。第37頁/共65頁第三十八頁，共66頁。 面分布及線分布的電荷(dinh)及電流產(chǎn)生的標(biāo)量位和矢量位分別如下：,1 ( , )d4SStvtS rrrrrr, ( , )d4SStvtS rrJrA rrrlllvttd,41),( rrrrrrlvtItlrrrrr

23、rAd,4),( 注意(zh y)，上述公式僅可用于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)。 第38頁/共65頁第三十九頁，共66頁。6. 能量密度(md)與能流密度(md)矢量 靜態(tài)場的能量密度公式及損耗功率密度公式可以推廣(tugung)到時變電磁場。),( 21),(2etEtwrr電場能量密度),( 21),(2mtHtwrr磁場能量密度),( ),(2tEtplrr損耗功率密度因此，時變電磁場的能量密度為 ),( ),( 21),(22tHtEtwrrr對于各向同性( xin tn xn)的線性介質(zhì)第39頁/共65頁第四十頁，共66頁。 時變場的能量密度是空間(kngjin)及時間的函數(shù)，而且時

24、變電磁場的能量還會流動。 能流密度矢量的方向表示能量流動方向，其大小表示單位時間內(nèi)垂直穿過單位面積(min j)的能量，或者說垂直穿過單位面積(min j)的功率，所以該矢量又稱為功率流密度矢量。 能量流動密度矢量(shling)在英美書刊中稱為坡印廷矢量(shling)，在俄羅斯書刊中稱為烏莫夫矢量(shling)。 為了衡量時變場的能量流動的方向及強(qiáng)度，引入能量流動密度矢量，或簡稱為能流密度矢量。第40頁/共65頁第四十一頁，共66頁。 利用矢量恒等式 ，將上式代入，整理后求得HEEHHE)(222 2 2 )(EEtHtHE, , E, HV 在無外源 ( ) 的區(qū)域 V 中，若介質(zhì)是線

25、性且各向同性的，則此區(qū)域中麥克斯韋方程為t EEH t HE0) (H0) (E0,0J第41頁/共65頁第四十二頁，共66頁。將上式兩邊對區(qū)域 V 求積，得 VVVVEVHEtV 222d d) (21d)(HE考慮到 ，那么VSV d)(d)(SHEHE222 1() d d( )d2SVVEVEHVt EHS根據(jù)能量密度的定義，上式又可表示為 VSHE dd )(d VpVwtlSV該式稱為(chn wi)時變電磁場的能量定理。第42頁/共65頁第四十三頁，共66頁。 矢量( )代表垂直穿過單位面積的功率，因此，就是前述的能流密度矢量 S ，單位為W/m2，HE , , E, HSHES

26、即 d() ddlVSw Vp VtVEHSSEH 可見， ， 。又知 ，因此，S，E 及 H 三者相互垂直，且由 E 至 H 與 S 構(gòu)成右旋關(guān)系。HESESH第43頁/共65頁第四十四頁，共66頁。能流密度矢量的瞬時值為),(),(),(tHtEtSrrr可見，能流密度矢量的瞬時值等于電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度(cchng qingd)瞬時值的乘積。 只有(zhyu)當(dāng)兩者同時達(dá)到最大值時，能流密度才達(dá)到最大。 若某一時刻電場(din chng)強(qiáng)度或磁場強(qiáng)度為零，則在該時刻能流密度矢量為零。第44頁/共65頁第四十五頁，共66頁。7. 時變(sh bin)電磁場惟一性定理 在閉合面 S 包圍的區(qū)

27、域 V 中，當(dāng)t = 0時刻的電場強(qiáng)度及磁場強(qiáng)度的初始值給定時，又在 t 0 的時間內(nèi)，只要邊界 S 上的電場強(qiáng)度切向分量或磁場強(qiáng)度的切向分量給定后，那么在 t 0 的任一時刻，體積 V 中任一點的電磁場由麥克斯韋(mi k s wi)方程惟一地確定。采用反證法即可證明這個(zh ge)定理。VSE t (r, t) 或 H t (r, t)E(r, 0)及H(r, 0 )E( r, t), H(r, t )第45頁/共65頁第四十六頁，共66頁。8. 正弦(zhngxin)電磁場 正弦電磁場的場強(qiáng)方向(fngxing)與時間無關(guān)，但其大小隨時間的變化規(guī)律為正弦函數(shù)，式中，Em(r) 為正弦時

28、間函數(shù)的振幅(zhnf)； 為角頻率；e(r) 為正弦函數(shù)的初始相位。 任一周期性或非周期性的時間函數(shù)在一定條件下均可分解為很多正弦函數(shù)之和。因此，著重討論正弦電磁場是具有實際意義的。 正弦電磁場又稱為時諧電磁場。me( , )( )cos( ( )ttE rErr即第46頁/共65頁第四十七頁，共66頁。 已知場的變化(binhu)落后于源，但是場與源的時間變化(binhu)規(guī)律相同，所以正弦電磁場的場和源的頻率相同。 對于頻率相同的正弦量之間的運(yùn)算可以采用復(fù)矢量方法，即僅考慮正弦量的振幅和空間相位 ，而略去時間相位 t 。)(er瞬時矢量和復(fù)矢量的關(guān)系為 j m( , )Re( ) ett

29、E rEr正弦(zhngxin)電磁場是由正弦(zhngxin)的時變電荷與電流產(chǎn)生的。)(jmmee )()(rrErE)(mrE 電場強(qiáng)度可用一個與時間無關(guān)的復(fù)矢量表示為第47頁/共65頁第四十八頁，共66頁。)(rE實際中使用有效值，以 表示有效值，則)(jee )()(rrErE2)()(mrErE式中)(2)(mrErE最大值復(fù)矢量和有效值復(fù)矢量的之間的關(guān)系為復(fù)矢量僅為空間函數(shù)，與時間(shjin)無關(guān)。 只有頻率相同的正弦量之間才能使用復(fù)矢量的方法進(jìn)行(jnxng)運(yùn)算。第48頁/共65頁第四十九頁，共66頁。9. 麥克斯韋方程(fngchng)的復(fù)矢量形式 已知正弦電磁場的場與源

30、的頻率相同，因此可用復(fù)矢量形式(xngsh)表示麥克斯韋方程。j m( , )Rej ( )etttE rErj Rej2( )etE r考慮到正弦時間函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)為 jjRe( 2e)Re2j 2ettHJD或jjjRe2eRe2 eRe j 2 etttHJD因此，麥克斯韋第一方程 可表示為 t EEH 第49頁/共65頁第五十頁，共66頁。 上式對于任何時刻均成立，虛部符號可以消去，即DJH2 j22DJH j同理可得 BE j0 B D j JED HB JEJ 上述(shngsh)方程稱為麥克斯韋方程的復(fù)矢量形式，式中各量均為有效值。第50頁/共65頁第五十一頁，共66頁。t DJ

31、Ht BE 0 B DDJH jBE j0 B D瞬時(shn sh)形式(r, t)復(fù)數(shù)(fsh)形式(r) 例 已知某真空區(qū)域中的時變電磁場的電場瞬時值為( , )2sin 10 sin( )yztxtk zE re試求磁場強(qiáng)度的復(fù)矢量(shling)形式。第51頁/共65頁第五十二頁，共66頁。解 根據(jù)時變電場瞬時值，求得其有效值的復(fù)矢量形式為j( )sin 10 ezk zyxE re由于電場僅有 y 分量，且 。那么0yEyxEzEyzyxeeEjjjsin 10 e10 cos 10 ezzk zk zxzzkxxeej 0 010( )sin 10 jcos 10 e zk zz

32、xzkxx H ree又知HBE0jj0jHE( , )2sin 10 sin( )yztxtk zE re第52頁/共65頁第五十三頁，共66頁。10. 位函數(shù)(hnsh)的復(fù)矢量形式 對于正弦函數(shù)，時間滯后因子 表現(xiàn)的相位滯后為 。vrrvrr令vk rrrrkv則JAA 222t222tJAA 22 22第53頁/共65頁第五十四頁，共66頁。洛倫茲條件的復(fù)矢量(shling)形式正弦電磁場與位函數(shù)(hnsh)的關(guān)系VvttVd41),(rrrr,rrVvttVd,4),(rrrrrJrAVVkde )(4)( jrrrJrAr -rVVkde )( 41)( jrrrrr -rtAtA

33、EABAB j j jAAAE)( j)(rrA第54頁/共65頁第五十五頁，共66頁。11. 復(fù)能流密度矢量(shling) 時變電磁場的電場及磁場能量密度的瞬時形式為),( 21),(2etEtwrr),( 21),(2mtHtwrr其最大值復(fù)矢量形式為 )( 21)(2memrrEw)( 21)(2mmmrrHw*EErmmem 21)(w*HHrmmmm 21)(w或者表示為式中， 及 分別為復(fù)矢量 及 的共軛值。 *Em*HmmEmH第55頁/共65頁第五十六頁，共66頁。 正弦量的有效值為瞬時值的均方根值，所以正弦電磁場的能量密度的周期平均值為 ttwTwTd ),(1 0 avr

34、ttHTttETTTd ),(12d ),(12 0 2 0 2rr)( 21)( 2122avrrHEw即式中 E(r) 及 H(r) 均為有效值?；蛞宰畲笾当硎緸?*HHEEmmmmav 41 41w)(21mmemavwww或者表示為*HHEE 21 21*avw上式又可寫為第56頁/共65頁第五十七頁，共66頁。損耗(snho)功率密度也可用復(fù)矢量表示。*mm2av 21 )( )(EEEErr*Epl平均值為),(),(),(tttrHrErS) sin() sin()()(hemmttrHrE已知能流密度矢量(shling) S 的瞬時值為 其周期平均值為 ttTd ),(1)(

35、0 avTrSrS)cos()()(21h emmrHrE*EErrmm2mm)()(Epl其最大值為 第57頁/共65頁第五十八頁，共66頁。復(fù)能流密度矢量 Sc 為)()()(*crHrErS式中, 及 均為有效值。)(rE)(rH*)()(21)(mmcrHrErS*又可用最大值表示為那么，復(fù)能流密度矢量 Sc 的實部及虛部分別為cmmeh1Re( )( ) cos()2SErHrcmmeh1Im( )( ) sin()2SErHr可見，復(fù)能流密度矢量的實部及虛部與電場(din chng)及磁場的相位密切相關(guān)。平均值第58頁/共65頁第五十九頁，共66頁。tttt電 場 強(qiáng)度磁 場 強(qiáng)度 當(dāng) 時，則實部為最大正值，虛部為零。eh2 n 當(dāng) 時，則實部為最大負(fù)值，虛部仍然為零。eh(21)n 當(dāng) 時，則實部為零，虛部為最大正值或負(fù)值。eh(21)2ncmmeh1Re( )( ) cos()2SErHrcmmeh1Im( )( ) sin()2