相似形與相似三角形專題復(fù)習(xí)(精編題目)剖析

1、第一節(jié)：相似形與相似三角形基本概念：1.相似形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形，我們稱它們互為相似形。>2.相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形。1幾個重要概念與性質(zhì)(平行線分線段成比例定理)(1) 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.已知abc,ABDE或AB二公或竺二竺或BC二竺或可得等.BCEFACDFABDFACDFDEEF(2)推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.由DEBC可得:竺=蘭或BDDBECAD竺或AD=竺EAABAC.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.(3

2、) 推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.(4) 定理:平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例.(5) 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。ac 比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即丁=虧，那么這四條bd線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段。2. 比例的有關(guān)性質(zhì)acac 比例的基本性質(zhì)：如果丁=，那么ad=bc。如果ad=bc(a，b，c，

3、d都不等于0),那么=。bdbdaca土bc土d 合比性質(zhì)：如果丁二虧，那么=bdbdacma+c+ma 等比性質(zhì)：如果=(b+d+nM0)，那么=7bdnb+d+nb b是線段a、d的比例中項，則b2=ad.典例剖析例1：在比例尺是1：38000的南京交通游覽圖上，玄武湖隧道長約7cm,則它的實際長度約為Km._一a2a+b 若則一=.b3b卄a+2b9, 右=三貝ya：b=.2a-b53. 相似三角形的判定(1) 如果兩個三角形的兩角分別于另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。(2) 兩邊對應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個三角形相似。(3) 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。補

4、充：相似三角形的識別方法(1) 定義法：三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。(2) 平行線法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。注意：適用此方法的基本圖形，(簡記為A型，X型)(3) 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。(4) 兩邊對應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個三角形相似。(5) 兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。(6) 一條直角邊和斜邊長對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似。(7) 被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似?！净A(chǔ)練習(xí)】(1)如圖1,當(dāng)時，AABCsADE小結(jié)：以上三類歸為基本圖形：母子型或A型(3)如圖4,如圖

5、1,當(dāng)ABED時，則。小結(jié)：此類圖開為基本圖開：兄弟型或X型典例剖析例1:判斷 所有的等腰三角形都相似. 所有的直角三角形都相似. 所有的等邊三角形都相似. 所有的等腰直角三角形都相似.如圖，AABC中，AD是ZBAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于FABFscaf.例2：求證：例3：如圖：在RtABC中，ZABC=90°,BD丄AC于D,若AB=6；AD=2；則AC=；BD=；BC=；例3：如圖：在RtABC中，ZABC=90°,BD丄AC于D，若E是BC中點，ED的延長線交BA的延長線于F，求證：AB:AC=DF:BF第二節(jié)：相似三角形的判定（一）

6、相似三角形：定義1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形.溫馨提示： 當(dāng)且僅當(dāng)一個三角形的三個角與另一個（或幾個）三角形的三個角對應(yīng)相等，且三條對應(yīng)邊的比相等時，這兩個（或幾個）三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個條件，缺一不可； 相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等； 對應(yīng)中線之比、對應(yīng)高之比、對應(yīng)角平線之比等于相似比。 兩個鈍角三角形是否相似，首先要滿足兩個鈍角相等的條件。2、相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.溫馨提示： 全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其區(qū)別在于初二升初三銜接余美霓講義全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊

7、成比例. 相似比具有順序性.例如ABCsABC的對應(yīng)邊的比，即相似比為瓦則厶ABCsABC的相似比忑，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r，才有k=kl. 相似比是一個重要概念，后繼學(xué)習(xí)時出現(xiàn)的頻率較高，其實質(zhì)它是將一個圖形放大或縮小的倍數(shù),這一點借助相似三角形可觀察得出.3、如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.4、相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形的兩條邊(或其延長線)分別相交，那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.溫馨提示：定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言：.DEBC,MABCsAADE； 這個定理是用相似三角形定

8、義推導(dǎo)出來的三角形相似的判定定理.它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時也是證明下節(jié)相似三角形三個判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為“預(yù)備定理”； 有了預(yù)備定理后，在解題時不但要想到上一節(jié)“見平行，想比例”，還要想到“見平行，想相似”.(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似.判定定理(2)：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.判定定理(3)：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似.溫馨提示： 有平行線時，用上節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理； 已有一對對應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時，可考慮利用判定定理1或判定定理2； 已有兩邊對應(yīng)成比例時，可考慮利用判定定理2或判定定理3.

9、但是，在選擇利用判定定理2時，一對對應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等.例1.如圖三角形ABC中，點E為BC的中點，過點E作一條直線交AB于D點，與AC的延長線將于F點，且FD=3ED，求證：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.溫馨提示： 由于直角三角形有一個角為直角，因此，在判定兩個直角三角形相似時，只需再找一對對應(yīng)角相等，用判定定理1,或兩條直角邊對應(yīng)成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個直角三角形相似； 如圖是一個十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”，其應(yīng)用較為廣泛.初二升初三銜接余美霓講義如

10、圖，可簡單記為：在RtAABC中，CD丄AB,則ABCCBDACD.直角三角形的身射影定理：AC2=AD*ABCD2=AD*BDBC2=BD*AB總結(jié)：尋找相似三角形對應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項基本功.通常有以下幾種方法:(1) 相似三角形有公共角或?qū)斀菚r，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應(yīng)角；相似三角形中最大的魚或最小的角)一定是對應(yīng)角；相似三角形中，一對相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)角的夾邊是對應(yīng)邊；(2) 相似三角形中，一對最長的邊(或最短的邊)一定是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.2、常見的相似三角

11、形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法.如：“平行線型”相似三角形，基本圖形見上節(jié)圖.“見平行，想相似”是解這類題的基本思路；(2) “相交線型”相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個公共角或?qū)斀恰耙娨粚Φ冉?，找另一對等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3) “旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖.若圖中Z1=Z2，ZB=ZD(或ZC=ZE)，則ADEABC，該圖可看成把第一個圖中的厶ADE繞點A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的.

12、第三節(jié)相似三角形中的輔助線一、作平行線例1.如圖，AABC的AB邊和AC邊上各取一點D和E,且使AD=AE，DE延長線與BC延長線相交于F,求證:BF_BD初二升初三銜接余美霓講義例2.如圖，ABC中，ABvAC,在AB、AC上分別截取BD=CE,DE,BC的延長線相交于點F,證明:ABDF=ACEFo(J二、作垂線例3.如圖從二ABCD頂點C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF,垂足分別為E、F,求證:AB-AE+AD-AF=AC2。F三、作延長線例4.如圖，在梯形ABCD中，ADBC,若ZBCD的平分線CH丄AB于點H,BH=3AH,且四邊形AHCD的面積為21,求厶HBC的面積。例5.如

13、圖，RtAABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點，AE的延長線交BC于F,FG丄AB于G,求證：FG2=CFBF四、作中線例6如圖，AABC中，AB丄AC，AE丄BC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC=1，求AC。五、過渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運用“過渡”，其主要類型有三種，下面分情況說明.1、等量過渡法（等線段代換法）遇到三點定形法無法解決欲證的問題時，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個三角形，但這兩個三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來

14、代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡單的輔助線。然后再應(yīng)用三點定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例1：如圖3，ABC中，AD平分ZBAC，AD的垂直平分線FE交BC的延長線于E.求證：DE2=BECE.2、等比過渡法（等比代換法）當(dāng)用三點定形法不能確定三角形，同時也無等線段代換時，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個比相等的比，并進行代換，然后再用三點定形法來確定三角形。例2：如圖4,在厶ABC中，ZBAC=90。，AD丄BC,E是AC的中點，E

15、D交ABABDF的延長線于點F求證：疋喬3、等積過渡法（等積代換法）思考問題的基本途徑是：用三點定形法確定兩個三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點定形法不能確定兩個相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時，則考慮用等積代換法。例3：如圖5，在ABC中，ZACB=90°，CD是斜邊AB上的高，G是DC延長線上一點，過B作BE丄AG,垂足為E,交CD于點F.求證：CD2=DFDG.六、證比例式和等積式的方法：對線段比例式或等積式的證明：常用“三點定形法”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等若比例式或等積式所

16、涉及的線段在同一直線上時，應(yīng)將線段比'轉(zhuǎn)移”（必要時需添輔助線），使其分別構(gòu)成兩個相似三角形來證明.例1如圖5在AABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DF丄AB于F,交AC的延長線于H，交BE于G,求證：（1）FG/FA=FB/FH（2）FD是FG與FH的比例中項.E例2如圖在ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點，CM的延長或交GAB于N求：AN：AB的值；cB圖5DHEAN初二升初三銜接余美霓講義例3如圖過ABC的頂點C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點F和E.過點D作DM/FC交AB于點M.(1)若Sef：S四邊形ef=2：3,求AE：ED；(2)求證：AE

17、xFB=2AFxED線段BC上,=D,BC=第四節(jié)相似三角形難題集一、分類討論：例1如圖在正方形ABCD的邊長為1,P是CD邊的中點，Q在當(dāng)BQ為何值時，ADP與AQCP相似？例2如圖在梯形ABCD中,AD/BC,ZA=90o,AB=7,AD3.試在邊AB上確定點P的位置，使得以P、A、D為頂點的三角形與以P、似.二：相似三角形中的動點問題：1.如圖，在RtAABC中，ZACB=90。，AC=3,BC=4,過點B作射線BB1/AC.動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動.過點D作DH丄AB于H,過點E作EF丄AC交射線BB

18、1于F,G是EF中點，連接DG.設(shè)點D運動的時間為t秒.(1) 當(dāng)t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；(2) 當(dāng)厶DEG與厶ACB相似時，求t的值.初二升初三銜接余美霓講義2.如圖，在ABC中，/ABC=90°,AB=6m,BC=8m,動點P以2m/s的速度從A點出發(fā)，沿AC向點C移動同時，動點Q以lm/s的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動當(dāng)其中有一點到達終點時，它們都停止移動.設(shè)移動的時間為t秒.(1) 當(dāng)t=2.5s時，求CPQ的面積；求CPQ的面積S(平方米)關(guān)于時間t(秒)的函數(shù)解析式；(2) 在P，Q移動的過程中，當(dāng)CPQ為等腰三角形時，求出t的值.3.如圖1,在

19、RtAABC中，三ACB=90°，AC=6，BC=8，點D在邊AB上運動，DE平分三CDB交邊BC于點E，EMIBD，垂足為M,EN丄CD,垂足為N.(1) 當(dāng)AD=CD時，求證：DEAC；(2) 探究：AD為何值時，BME與厶CNE相似？4.如圖所示，在ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，當(dāng)P點到達B點時，Q點隨之停止運動.設(shè)運動的時間為x.(1) 當(dāng)x為何值時，PQBC?向點B移(2) APQ與厶CQB能否相似？若能，求出AP的長；若不能說明理由.5.如圖，在

20、矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm，點P沿AB邊從A開始以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度動.如果P、Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間(0<t<6)o(1)當(dāng)t為何值時，QAP為等腰直角三角形？(2)當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似?DMB區(qū)！初二升初三銜接余美霓講義初二升初三銜接三、構(gòu)造相似輔助線一一雙垂直模型6在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（2,1）,正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°,求這個正比例函數(shù)的表達式.7在ABC中，AB=2運,AC=4,BC=2，以AB為邊在C點的

21、異側(cè)作ABD,使ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長.在y軸上，點B且AD交y軸于8在ABC中，AC=BC,ZACB=90。，點M是AC上的一點，點N是上的一點，沿著直線MN折疊，使得點C恰好落在邊AB上的P點.求MC：NC=AP：PB.9如圖，在直角坐標系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC的坐標為（1，3）,將矩形沿對角線AC翻折B點落在D點的位置,點E.那么D點的坐標為（）A.1»C.113>D.v10.已知，如圖，直線y=-2x+2與坐標軸交于A、B兩點.以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD,使得矩形的兩邊之比為1：2。求C、D兩點的坐標。四、構(gòu)造相似輔助線一

22、一A、X字型11如圖：ABC中，D是AB上一點，AD=AC,BC邊上的中線AE交CD于F。AB_CF求證：皿DF12四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項，且AC平分ZDAB。BE_BC213在梯形ABCD中，ABCD,AB=b,CD=a，E為AD邊上的任意一點,EFAB,且EF交BC于點F,某同學(xué)在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實：DEa+Z?dea+二=2z(1)當(dāng)川總時，EF=；當(dāng)時，EF=M；DEa+3hDE,尢當(dāng)時，EF=4.當(dāng)時，參照上述研究b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明.結(jié)論，請你猜想用a、14已知：如圖，在ABC中，M是AC的中點，E、F是BC上的兩點，且BE=EF=F

23、C。求BN：NQ：QM.求證：DECD?15證明：（1）重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線j.（注：重心是三角形三條中線的交點）（2）角平分線定理：三角形一3平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比例.C個角的五、相似類定值問題16.如圖，在等邊厶ABC中，M、N分別是邊AB,AC的中點，D為MN上任意一點，BD、CD的延長線分別交AC、AB于點E、F.11_3求證:CEEF恥.17已知：如圖，梯形ABCD中，AB/DC，對角線AC、BD交于O,過O作EF/AB分別交AD、BC于E、F。1_1求證:AECDE0.18如圖，在ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形E

24、FGH的四個頂點分別在ABC上。111+=求證：山月11_119已知，在ABC中作內(nèi)接菱形CDEF,設(shè)菱形的邊長為a.求證：甌*一a.點P分別交延長線上六：相似之共線線段的比例問題20.(1)如圖1,點戸在平行四邊形ABCD的對角線BD上，一直線過BA,BC的延長線于點Q,S,交心于點氏.求證:PQP2P&PT(2)如圖2,圖3,當(dāng)點尸在平行四邊形ABCD的對角線也或的時，陀FRT.PT是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由(要求僅以圖2為例進行證明或說明);圖1圖221已知：如圖，ABC中，AB=AC,AD是中線，P是AD上一點，過C作CFAB，延長BP交AC于E,交CF于F.求證：BP2-PEPF.22.如圖，已知&Delta;ABC中，AD，BF分別為BC，AC邊上的高，過D作AB的垂