中考數(shù)學(xué)壓軸題費馬點

1、費馬點解題思路費馬點是指平面內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，這個最小的距離叫做費馬距離.若三角形的內(nèi)角均小于120,那么三角形的費馬點與各頂點的連線三等分費馬點所在的周角；若三角形內(nèi)有一個內(nèi)角大于等于120,則此鈍角的頂點就是到三個頂點距離之和最小的點.一、若三角形有一個內(nèi)角大于等于120°,則此鈍角的頂點即為該三角形的費馬點如圖在ABC/BA0120°,求證：點A為4ABC的費馬點證明：如圖，在ABC3有一點P延長BA至C,使得AC=AC作/CAP=/CAP并且使得AP=AP連結(jié)PP則AAPC2AAPCPC=PC因為/BA0120所以/PAP=/CA俁60所以在等腰P

2、A沖，AP>PP所以PAP打POPP+PB+PC>BC=A打AC所以點A為ABC勺費馬點二、若三角形白內(nèi)角均小于120,則以三角形的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形外接圓在三角形內(nèi)的交點即為該三角形的費馬點.如圖，在ABB三個內(nèi)角均小于120°,分別以ABAC為邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形的外接圓在ABCW的交點為O,求證:點O為ABC勺費馬點證明：在ABC1部任意取一點Q;連接OAOBOC將AO磷著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到AOD連接OO則OD=OC所以AOO為等邊三角形，OO=AO所以O(shè)4OOOB=OO+O拼OD則當(dāng)點BOO'、D四點共

3、線時，O4O打OCM小此時ABAC；邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形的外接圓在ABC1的交點即為點O如圖，在ABC若/BAC/ABC/ACB勻小于120,O為費馬點，則有/AOB=ZBOC=ZCOA=120°,所以三角形的費馬點也叫三角形的等角中心例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（一6,0）,點B的坐標(biāo)為（6,0）,點C的坐標(biāo)為（6,4m），延長AC至點D使得CD=AC過點DE作DE/AR交BC的延長線于點E,設(shè)G為y軸上的一點，點P從直線y=而x+6與y軸的交點M出發(fā)，先沿y軸到達點G再沿GAIU達點A,若點P在y軸上運動的速度是它在直線GA±運動速度的2倍，

4、試確定點G的位置，使點P按照上述要求到達A所用的時間最短2vv2v當(dāng)2G4GM最小時，時間最短如圖，假設(shè)在OMt存在一點G,則BG=AG .MG-2AG=MG-AGBG把MG的點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到MGB,連結(jié)GG,MIM .GGRMMB都為等邊三角形則GG=GB=GB又.MG=MG .MGAUBG=MG+GG+AG 點AM為定點 AM與OM勺交點為G此時MG-AUBGM小 點G的坐標(biāo)為（0,2百）例2AB、CD四個城市恰好為一個正方形的四個頂點，要建立一個公路系統(tǒng)使得每兩個城市之間都有公路相通，并是整個公路系統(tǒng)的總長度為最小，則應(yīng)當(dāng)如何修建？解：如圖，將AB限點N逆時針旋轉(zhuǎn)60

5、°,得到EBM同樣，將DC嗾點C順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到FCN連結(jié)AEDF則4ABEDCF勻為等邊三角形，連結(jié)PMQN則BPMzCQ時為等邊三角形所以當(dāng)點E,M,P,QN,F共線時，整個公路系統(tǒng)的總長取到最小值，為線段EF的長，如圖，此時點P,Q在EF上，1=2=3=4=30.進階訓(xùn)練1 .如圖，在ABO,ABC=60,AB=5,BC=3,P是ABC內(nèi)一點，求PHP打PC的最小值，并確定當(dāng)PA+PB+PC取得最小值時，APC勺度數(shù).答案：PMPB+PC的最小值為7,止匕時APC=120.【提示】如圖，將AP璐點B逆時針旋轉(zhuǎn)60,得到ABP,連結(jié)PP,AC.過點A作AEBC交CB的延長線于點E.解RtAEC求AC的長，所得即為P/PB+PC的最小值.2 .如圖，四邊形ABC用正方形，ABEM等邊三角形，M為對角線BD上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BN連結(jié)AMCMEN(1)當(dāng)M在何處時，A吐CM勺值最?。?2)當(dāng)M在何處時，A吐BMhCM勺值最??？請說明理由；(3)當(dāng)A吐B吐CM勺最小值為匾1時，求正方形的邊長.答案：(1)當(dāng)點M落在BD的中點時，AMHCM的值最小，最小值為AC的長