2019-2020學(xué)年北京市順義區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

1、2019-2020學(xué)年北京市順義區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）1. 已知向量d=（1,V3）,L=（-1,0），d=（V3,Q，若-d-2b與d共線，則實數(shù)k=（）A.0B.1C.V3D.32. 設(shè)i是虛數(shù)單位，i72=（）iA.B.3iC.iD.3i3.我們把底面是正三角形，頂點在底面的射影是正三角形中心的三棱錐稱為正三棱錐?，F(xiàn)有一正三棱錐U放置在平面工上，已知它的底面邊長為2,高為1,三匚在平面上上，現(xiàn)讓它繞三匚轉(zhuǎn)動，并使它在某一時刻在平面上上的射影是等腰直角三角形，則1的取值范圍是（）.D.:-：5.4.已知cos3=-，且8G（0,兀）,x.，x2

2、是函數(shù)f（%）=cos（亦+0）>0）的兩個相鄰的零點,512且閏©=企，貝府）的值為（）24A.3B.4C.3D.46.A.1B.iC.iD.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P，Q分別是邊BC，CD的中點，若sd=+yBQ，貝y%=()5555已知復(fù)數(shù)z滿足z（i1）=1+i,則z的共軛復(fù)數(shù)Z的虛部是（）A.2B. 83C. 65D.12257.如圖，在菱形ABCD中，ABAD=60°，線段AD，BD的中點分別為E，F(xiàn).現(xiàn)將ABD沿對角線BD翻折，使二面角ABDC的大小為120°,則異面直線圖BE與CF所成角的余弦值為（）A.12B.13C.14D.15

3、8.若a、b表示兩條不同直線,a、0表示兩個不同平面，則下列命題正確的是（）9.A.一:H-二=一：_C.一：II二?二丄=一：H:-B.D.向量a=(4,5)，b=(A,1)，若(ab)/b，則久的值是（）B.43C.D.210.AV<V<V正方體圓柱球B.卩圓柱<卩正方體<卩球Cv<V<VDV<V<V球圓柱正方體球正方體圓柱二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）11. 已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=12匚的虛部是.n12. 在MBC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c,若“ABC不是直角三角形，則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）

4、tanA-tanB-tanC=tanAtanBtanCtanAtanBtanC的最小值為33 tanA，tanB，tanC中存在兩個數(shù)互為倒數(shù) 若tanA：tanB：tanC=1：2：3,則4=45°當(dāng)V3tanB1=taBtanc_時，貝in2C>sinA-sinB.tanA13. 已知點M(3,4)和向量d=(1,2)，若WN=2a，則點N的坐標(biāo)為.14. 點M與點F(3,0)的距離比它到直線5=0的距離小2,則點M的軌跡方程為三、多空題(本大題共1小題，共5.0分).'-A-z-1Z1-1/-.!-/'-/1/吟J15.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D

5、1中，異面直線州D與所成的角為度；直線州D與平面AB1C1D所成的角為度.四、解答題(本大題共6小題，共85.0分)16.已知0a巴兀B冗，且cos(a)=1函數(shù)的圖象上有如圖所示的A，B，C三點，且滿足丄BC. 求e的值； 求函數(shù)在G0,2)上的最大值，并求此時x的值.，cos嚴(yán)一巧=蚯，2 243V423(1) 求COS0的值；(2) 求cos(2a0)的值.17.已知HABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若4s加2込一cos2乙=7,22(1)求A的大?。?2)若a=43,bc=3，求b、c的值.18.如圖，菱形ABCD與等邊DEF所在平面互相垂直，乙BCD=60°,

6、E，G分別是線段AB，CF的中點.(I)求證：BG/平面DEF；(U)求點D到平面CEF的距離.19. 已知函數(shù)y=V3sin(亦n:)(0).420. 在三棱柱ABCA'B'C'中，AB=BC=CA=AAf=29面44'C'C丄底面ABC,D是棱BBr的中點八、(1) 求證：平面DA'C丄平面ACC'A'；(2) 若ZA'AC=60°，求四棱錐4'B'C'CD的體積.21.如圖，在棱長為a的正方體A1B1C1D1ABCD中,(1) 證明B1D丄面A1BC1；(2) 求點耳到面A1BC1的

7、距離.答案與解析】1答案：B解析：本題考查了平面向量共線的坐標(biāo)表示，屬基礎(chǔ)題先求出"a-2b，再根據(jù)向量共線的結(jié)論即可求解.解：因為向量a=(1,V3)，L=(-1,0)，d=(V3,k)，a-2b=(3,73)，a一2乙與d共線；33k=0nk=1.故選：B.2.答案：C解析：解：i72=i4i3(書=°+2°=7，I 12故選：C.直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡i7-2得答案.i本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題.3答案：C解析：試題分析：p圖2C圖3首先在趙中設(shè)其中心為HBC中點為D，則0H=DA=£，當(dāng)HEEC為2等腰直角三角形時，DE

8、=1；其次考慮極限位置：(1)若底面三匚在丄上的射影為等腰直角三匚時，如圖1,只需no*易知號忑又二：羋所以卑，此時"卑(2)若側(cè)面匕三匚在丄上的射影為等腰直角三角形時，易知只需在圖2和圖3中,可求得羋綜上可知，選C.考點：新定義信息題，正三棱錐的概念，三角形邊角關(guān)系，射影概念的理解，分類思想4答案:C解析：解：,X2是函數(shù)/(%)=cos(g+0)(e>0)的兩個相鄰的零點，且旳©二：，則f=皿=忑x2,e=2,函數(shù)f(%)=cos(2%+0),f(互)=cos(互+0)=s加e3 242cos。=4,且0g(0,兀)，-sinO=Vicos20=355兀兀3f(4

9、=cos(2+0)=sin。=5故選：C由條件%1x2是函數(shù)/(%)=cos(亦+0)>0)的兩個相鄰的零點,知道周期，從而求出e,得到函數(shù)/(%)=cos(2x+&),/'(?=cos(:+0)=sine由誠=-4,且牡(°加,利用平方關(guān)系求出諷即可得到答案.本題考查了余弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，函數(shù)零點等知識，屬于基礎(chǔ)題5答案：A解析：解：由z(i1)=1+i,得z=1+乙=(1+0(-1-0=2L=_z.、_1+i(_1+i)(_1_t)2則z的共軛復(fù)數(shù)Z=I，虛部是：1.故選：A把已知等式變形，然后復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù)z,求出N則

10、答案可求.本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.6答案：C解析：解：在正方形ABCD中，P,Q分別是邊BC,CD的中點，AAt=AB+AD,Ip=AB+丄刀D,BQ=_1AB+AD,22AC=xAP+yBQ,1xy=121x+y=12 丿解得：%=65故選：C.由已知可得：AC=Tb+AD,AP=AB+1麗，BQ=_LAB+Ab，結(jié)合=xAP+yBQ，可得22(x_1y=112，解得答案.1x+y=1本題考查的知識點是平面向量的基本定理，難度中檔.7答案：C解析：取ED中點M連接FM,AF,MC,可證得AMFC(或補角)為BE與CF所成角，設(shè)菱形ABCD的邊長為4,

11、求出5MFC各邊，在'MFC中，由余弦定理cosMFC=MF2+FG2_MG2即可得解.2MF-FC本題考查了空間線線角的求法，考查了計算能力，屬于中檔題.解：如圖，取ED中點M,連接FM,AF,MC,菱形ABCD中ABAD=60。，ABD、BCD均為等邊三角形，又F為BD中點，4F丄BD,CF丄BD,AAFC即為二面角4BDC的平面角，即乙AFC=120°, E、F、M分別為AD、BD、ED中點， BE/FM，貝AMFC（或補角）為BE與CF所成角.設(shè)菱形ABCD的邊長為4，則4F=BE=CF=2V3,貝9FM=皿=73，2在等腰AFC中,AFC=120°，可得A

12、C=2x273xcos30°=6,在ACD中，AD=CD=4,AC=6,則cosADC=ED2"=!.2AD-CD8在DMC中，MD=1,DC=4,CM=7CD2DM22CD-DMcosADC=372.在MFC中，MF=73,CF=273,MC=372,則cosMFC=MF2FC2*=1,2MF-FC4所以異面直線圖BE與CF所成角的余弦值為1.4故選：C.8答案：A解析：試題分析：對于B,一:卄忑二二-1/'或a與b相交、異面，故B不正確；對于C,一訶二、二丄二M或a與b異面，故C不正確；對于D,a可以與面0斜交，故D不正確.故選A考點：本題考查了空間中的線面關(guān)系

13、點評：正確理解線面關(guān)系的平行、垂直定理是解決此類問題的關(guān)鍵9答案：C解析：解：向量I=(-4,5),L=(久,1)，則&b=(-4A,4)，又b)/b，所以一4A4A=0,解得2=4.故選：C由平面向量的坐標(biāo)運算與共線定理，列方程求出久的值.本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算與共線定理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題10答案：A解析：本題考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，關(guān)鍵是對公式的記憶與運用，是中檔題設(shè)球的半徑為r,等邊圓柱的高為2h,正方體的棱長為a,利用表面積相等把r、h、a分別用表面積表示，代入體積公式比較得答案解：設(shè)球的半徑為r,等邊圓柱的高為2h,正方體的棱長為a,則由已知可得4耐2=2兀加+4

14、兀加=6a2=S,V=2兀h3圓柱V正方體<U圓柱<匕球故選：A.1+i(1+i)(1i)22解析：解：由于復(fù)數(shù)Z=1+21=(1+2/)(1/)=3+1，故它的虛部為丄,故答案為1.利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則求得z的值，即可求得它的虛部.本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的幕運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題12答案：解析：解：由題意知：Ah,B豐比,CH”，且A+B+C=n222tan(4+B)=tan(兀一C)=tanC，又tan(4+B)=加必十伽B，1tanAtanBtanA+tanB=tan(4+B)(1tanAtanB)=tanC(1tanAta

15、nB)=tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故正確；當(dāng)4=2k，B=C=兀時，tanA+tanB+tanC=贏<3丁3，故錯誤；3 63若tanA，tanB，tanC中存在兩個數(shù)互為倒數(shù)，則對應(yīng)的兩個內(nèi)角互余，則第三個內(nèi)角為直角，這與已知矛盾，故錯誤；由，若tanA：tanB：tanC=1：23,則6tan3A=6tanA，則tanA=1,故A=45°,故正確；當(dāng)3tanB1=tanB+tanC時，3tanA-tanB=tanA+tanB+tanC,即憶mC=V3,C=60°,tanA此時sin2C=3,4si

16、nA-sinB=sinA-sin(120°A)=sinA-(3cosA+1sinA)=sinAcosA+1sin2A=3sin2A+2222411cos2A=1sin(230°)+1<3,4 4244則sin2C>sinA-sinB.故正確；故答案為：利用和角的正切公式，結(jié)合三角形的內(nèi)角和，可判斷；舉出反例：A=2f,B=C=6,可判斷；根據(jù)正切互為倒數(shù)的兩個三角形內(nèi)角互余，可判斷；由中結(jié)論，可得tanA=1,進(jìn)而判斷;由中結(jié)論，可得C=60°，進(jìn)而利用和差角公式及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可判斷.本題以命題的真假判斷為載體，考查了和角的正切公式，反證法，誘導(dǎo)

17、公式等知識點，難度中檔13答案:(10)解析：解：設(shè)N(x,y)，貝9MN=(x3,y+4),由MN=2a，得(%3,y+4)=(2,4),32所以y+4=4，解得x=1,y=0,所以點N的坐標(biāo)為(1,0).故答案為：(1,0)設(shè)N(x,y)，則w=(x-3,y+4),由顧=2/，可得方程組，解出可得答案.本題考查平面向量的坐標(biāo)運算及向量共線問題，屬基礎(chǔ)題.14.答案：y2=12x解析：解：點P到點F(3,0)的距離比它到直線+5=0的距離少2，點P到直線=3的距離和它到點(3,0)的距離相等.根據(jù)拋物線的定義可得點P的軌跡是以點(3,0)為焦點，以直線=-3為準(zhǔn)線的拋物線,p=6,P的軌跡方

18、程為護(hù)=12%.故答案為：y2=12%.由題意得，點P到直線=4的距離和它到點(3,0)的距離相等，故點P的軌跡是以點(3,0)為焦點,以直線%=3為準(zhǔn)線的拋物線，卩=6，從而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用.判斷點P到直線%=4的距離和它到點(4,0)的距離相等，是解題的關(guān)鍵15.答案：6030解析：解：連接BD.有正方體得£B/DC， 是與qC所成的角.正方體4BCD州耳坷，AB=BD=AD，1 1 如嚴(yán)=60。,即異面直線仲與qc所成的角為：60°.正方體4BCD中有:丄Ay，4D丄4104丄平面4BCiD；所以：直線與平面4B

19、CiD所成的角為Z0D4；叫=60°故Z0D兒=ZBD出=30°.丄2丄故答案為；60，30連接A1B,BD，根據(jù)A1B/D1C把異面直線AD與所成的角轉(zhuǎn)化為求A.BAD即可；再通過證明AB丄平面AB1C1D可得直線AD與平面佃所成的角為AODA±；求出其值即可.本題主要考察直線與平面所成的角以及異面直線所成的角解決異面直線所成角的關(guān)鍵在于把異面直線所成角問題轉(zhuǎn)化為相交直線角的求法問題.16答案：解:(1)2<8<兀，2一匹<互一£<0,兀nB1212(2)0<a<互,sin(a+44)=J1一(3)2=今，sin(a

20、+憶)=sin(a+匹)一(互一2)=卒X卒1X(x)=1,2 4423333cos(2a+)=cos2(a+£)=12s汛2(a+艮)=1一2X12=-1.22解析：本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式，兩角差的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.(1)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin嚴(yán)-勺的值，利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式即可解得得解.(2)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin(a+勺的值，利用a+艮=(a+位)-嚴(yán)一與兩角差4 2442的正弦函數(shù)公式可求sin(a+2)的值，進(jìn)而利用二倍角的余弦函數(shù)公式

21、可求cos(2a+0)的值.217答案：解：(1)4s加2皿一COS24=74cos244cos4+1=0，cosA=1(2)A=60°，cosA=呼+以一以=9一2阮一3=1be=2,聯(lián)立=3解析：(1)利用三角形內(nèi)角和和誘導(dǎo)公式以及二倍角公式把題設(shè)等式整理成關(guān)于cosA的一元二次方程求得cosA，進(jìn)而求得A.(2)先利用余弦定理和b+c,a的值求得be,進(jìn)而與b+c聯(lián)立求得b和c.本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，二倍角公式和誘導(dǎo)公式的化簡求值考查了靈活運用知識解決實際問題的能力.18.答案：(I)證明：如圖，取線段DF的中點H連接HG,：G是線段CF的中點，貝貝HG/CD且HG=5

22、.2在菱形ABCD中，E為線段AB中點，則BE/CD且BE=；CD.則HG/BE且HG=BE，故四邊形BEHG為平行四邊形,BG/EH.又:BG©平面DEF,EHu平面DEF,BG/平面DEF；(H)解：如圖，在等邊NDEF中取DE邊中點O,連接FO,:平面DEF丄平面ABCD，且平面DEF門平面ABCD=DE,F0丄平面ABCD,在菱形ABCD中，乙ECD=60°=BAD,E是線段AB的中點,DE丄連接OC,在RtCD0中，OC=7CD2+DO2=血,2在RtCDE中,CE=CD2+DE2=V7,在RtCOF中,CF=4FO2+0C2=護(hù).在骯COF中,CF=4FO2+0

23、C2=V7,設(shè)點D到平面CEF的距離為h,則三棱DCEF=三棱FCDE'即3SCEFh=CDEFO,1-(1EF)2-h=1X1CDDEFO,.點D到平面CEF的距離為6.解析：(I)取線段DF的中點H連接HG,可得HG/CD且HG=；CD.在菱形ABCD中，有BE/CD且BE=1CD.可得四邊形BEHG為平行四邊形，得到BG/EH.再由直線與平面平行的判定可得BG/平面DEF；()在等邊HDEF中取DE邊中點O連接FO,貝廬0丄DE,由平面與平面垂直的性質(zhì)可得F0丄平面ABCD,設(shè)點D到平面CEF的距離為h,然后利用冬棱錐=冬棱4遊求解點D到平面CEF的距離.本題考查直線與平面平行的

24、判定,考查空間想象能力與思維能力訓(xùn)練了利用等體積法求點到平面的距離,是中檔題.19.答案：解：(1)=2時，函數(shù)y=f3sin儼x+©),444令K+2kn<Kx+K<K+2kn,kEZ,2442解得：3+8k.<x<1+8k.,k.EZ,函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間為3+8k,1+8k,(kEZ)；令莊+隹=k兀,kEZ,解得=1+4k.,kEZ,函數(shù)y的對稱中心為(1+4k,0),(kEZ)；(2)由圖知：點B是函數(shù)圖象的最高點，設(shè)B(Xb，3)設(shè)函數(shù)最小正周期為T則A(xB4,0)，C(xb+3：,0).ab=e,I3),由雨丄BC,得ABBC=T23=0,解得：

25、T=4,A=2K=2；42由g0,2得x+e嚴(yán),血,2444：sin（莊+莊）e迓,1,242函數(shù)y在0,2上的最大值為V3，此時-%+-=-+2kez,242則=1+4k,kez；2又%e0,2,%=1.2解析：（1）e=江時求出函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間和對稱中心；4（2）由圖知B是函數(shù)圖象的最高點，設(shè)出點B的坐標(biāo)和最小正周期，表示出點A、C的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示向量麗、萬乙根據(jù)數(shù)量積求出T、e的值；由x的取值范圍求出函數(shù)y的最大值，計算對應(yīng)的x值.本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合以及平面向量的應(yīng)用問題，是綜合性題目.20.答案：（1）證明：取0C的中點E，AC的中點O,連接OB，OE,DE,0,E分別是AC,AC的中點，0E/4A,OE=丄4燈，2 D是BB'的中點，=2BD/OE,BD=OE,四邊形BDEO是平行四邊形，OB/DE, AB=BC,:.OB丄4C,又9面44'C'C丄底面ABC,側(cè)面44'C'C門底面ABC=AC,OBu平面ABC,OB丄平面4CCV,DE丄平面ACC'A'，又DEu平面A'CD,平面DA'C丄平面4CCV；（2）連接40,ZC=AA',小VC=60°,A4C為等邊