積分的運算技巧學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1積分積分(jfn)的運算技巧的運算技巧第一頁，共52頁。 一、不定積分(b dn j fn)的概念 二、基本積分(jfn)公式 三、不定積分(b dn j fn)的性質(zhì)第1頁/共52頁第二頁，共52頁。 1原函數(shù)的概念(ginin)例例 因為因為1(ln )xx ，故，故lnx是是 1x的一個原函數(shù)；的一個原函數(shù)； 因因為為2()2xx，所所以以 2x是是2x的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，但但 222(1)(2)(3)xxx2x，所所以以 2x的的原原函函 數(shù)數(shù)不不是是惟惟一一的的 原 函 數(shù) 說 明(shumng)：第一， 原函數(shù)的存在問題： 如果第一， 原函數(shù)的存在問題： 如果( )f

2、 x在某區(qū)間連續(xù)，在某區(qū)間連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在那么它的原函數(shù)一定存在( (將在下章加以說明將在下章加以說明) ) 定義定義 1 1 設(shè)設(shè)( )f x是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)， 若存是定義在某區(qū)間的已知函數(shù)， 若存在函數(shù)在函數(shù)( )F x，使得，使得 ( )( )F xf x或或d ( )( )dF xf xx, 則稱則稱( )F x為為( )f x的一個原函數(shù)的一個原函數(shù) 第2頁/共52頁第三頁，共52頁。第第二二，原原函函數(shù)數(shù)的的一一般般表表達達式式：前前面面已已指指出出，若若( )f x 存存在在原原函函數(shù)數(shù)，就就不不是是惟惟一一的的，那那么么，這這些些原原函函數(shù)數(shù)之之間間有有 什

3、什么么差差異異？能能否否寫寫成成統(tǒng)統(tǒng)一一的的表表達達式式呢呢？對對此此，有有如如下下結(jié)結(jié) 論論： 定理定理 若若( )F x是是( )f x的一個原函數(shù)，則的一個原函數(shù)，則( )F xC是是 ( )f x的全部原函數(shù)，其中的全部原函數(shù)，其中 C為任意常數(shù)為任意常數(shù) 證證 由于由于( )( )F xf x， 又， 又 ( )( )( )F xCF xf x，所以函數(shù)族所以函數(shù)族( )F xC中的每一個都是中的每一個都是( )f x的原函數(shù)的原函數(shù) 另一方面另一方面, ,設(shè)設(shè)( )G x是是( )f x的任一個原函數(shù)，的任一個原函數(shù)， 即即( )( )G xf x，則可證，則可證( )F x與與(

4、 )G x之間只相差一個常數(shù)之間只相差一個常數(shù). . 第3頁/共52頁第四頁，共52頁。這這樣樣就就證證明明了了( )f x的的全全體體原原函函數(shù)數(shù)剛剛好好組組成成函函數(shù)數(shù)族族 ( )F xC 所以所以( )( )F xG xC，或者，或者( )( )G xF xC，這就是說，這就是說 ( )f x的任一個原函數(shù)的任一個原函數(shù)( )G x均可表示成均可表示成( )F xC的形式的形式 事實上事實上, ,因為因為 ( )( )( )( )( )( )0F xG xF xG xf xf x， 第4頁/共52頁第五頁，共52頁。 2. 不定積分(b dn j fn)的概念定義定義 2 2 函數(shù)函數(shù)(

5、 )f x的全體原函數(shù)的全體原函數(shù)( )F xC叫做叫做( )f x的不的不定積分，定積分，記為定積分，定積分，記為 ( )d( )f xxF xC，其其中中( )( )F xf x, , 上式中的上式中的x叫做積分變量，叫做積分變量，( )f x叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)，( )df xx叫叫做被積表達式，做被積表達式，C叫做積分常數(shù)， “叫做積分常數(shù)， “”叫做積分號”叫做積分號 例 1 求下列(xili)不定積分：（1 1）2dxx； （2 2）sin dx x；（3 3）1dxx 解解 （1 1）因為）因為2331xx，所以，所以Cxxx3231d. . （2 2）因為）因為xxsin

6、)cos(，所以，所以Cxxxcosdsin. . （3 3）因為）因為0 x時，時，xx1)(ln，又，又0 x時，時， xxx11 )ln(，所以，所以Cxxx|lnd1. . 第5頁/共52頁第六頁，共52頁。例例 2 2 設(shè)曲線過點（設(shè)曲線過點（1 1，2 2）且斜率為）且斜率為x2，求曲線方程，求曲線方程 解解 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為)(xyy 按按xxy2dd，故，故Cxxxy2d2 又因為曲線過點 （又因為曲線過點 （1 1， 2 2） ， 故代入上式） ， 故代入上式C12， 得， 得 1C，于是所求方程為于是所求方程為12 xy. . 例例 3 3 設(shè)某物體運動速度

7、為設(shè)某物體運動速度為23tv， 且當(dāng)， 且當(dāng) 0t時，時，2s，求運動規(guī)律求運動規(guī)律)(tss 解解 按題意有按題意有23)(tts，即，即Ctttts32d3)(，再將，再將 條件條件0t時時2s代入得代入得 2C，故所求運動規(guī)律為，故所求運動規(guī)律為23 ts 積分(jfn)運算與微分運算之間的互逆關(guān)系：（1 1）)(d)(xfxxf或或；xxfxxfd)(d)(d (2)(2)CxFxxF)(d)(或或CxFxF)()(d 第6頁/共52頁第七頁，共52頁。 由于求不定積分(b dn j fn)是求導(dǎo)數(shù)的逆運算，所以由導(dǎo)數(shù)公 式可以(ky)相應(yīng)地得出下列積分公式： (1)(1)Ckxxkd

8、( (k為常數(shù)為常數(shù)) )， (2)(2)Cxxx111d（1） ， (3)(3)Cxxxlnd1， (4)(4)e dexxxC， (5)(5)Caaxaxxlnd ， (6)(6)Cxxxsindcos， (7)(7)Cxxxcosdsin， 第7頁/共52頁第八頁，共52頁。(8)(8)Cxxxxxtandsecdcos122， (9)(9)Cxxxxxcotdcscdsin122， (10)(10)Cxxxxsecdtansec， (11)(11)Cxxxxcscdcotcsc， (12)(12)Cxxxarctand112， （1313）Cxxxarcsind112. . 第8頁/共

9、52頁第九頁，共52頁。 性質(zhì)1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到(t do)積分 號外，即 xxfkxxkfd)(d)( （0k）. . 性質(zhì)2 兩個(lin )函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各函數(shù)積分 的代數(shù)和，即 xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. . 例 4 求下列(xili)不定積分：（1 1）；xxd12 (2)(2)xxxd； (3)(3)gxx2d 解解 （）（）CxCxxxxx112dd11222. . （）（）Cxxxxxx252352dd. . 第9頁/共52頁第十頁，共52頁。 （）（） xxggxxd212d ggxCxg2121121121 C 例 5 求下列(

10、xili)不定積分:（）（）xxxxd11； （）（）xxxd1122 解解（1 1）xxxxxxxxxd11d11 xxxxxxxxd1d1dd.2215221225Cxxxx第10頁/共52頁第十一頁，共52頁。（）（）xxxxxxxxd121d121d1122222 .arctan21d2d2Cxxxxx 例 6 求下列(xili)不定積分：(1)(1)xxdtan2； (2) (2)xxd2sin2 解解 (1) (1) xxdtan2xxd) 1(sec2 = =.tanddsec2Cxxxxx 21 cossindd2211sin.22xxxxxxC (2)第11頁/共52頁第十二

11、頁，共52頁。例例 7 7 設(shè)設(shè),cossin22xxf求求 xf 解解 由于由于xxxf222sin1cossin， 所以所以 xxf1, ,故知故知)(xf是是x1的原函數(shù)的原函數(shù) ， Cxxxxxf2d)1 ()(2. 得第12頁/共52頁第十三頁，共52頁。 思考題1 1在不定積分的性質(zhì)在不定積分的性質(zhì) xxfkxxkfd)(d中中，為為何何要求要求0k？ 2思考下列(xili)問題：(1) (1) 若若 ,sin2dCxxxfx則則xf為何？為何？ (2) (2) 若若)( xf的一個原函數(shù)為的一個原函數(shù)為,cos x則則 xxfd 為何？為何？ 第13頁/共52頁第十四頁，共52頁

12、。 一、換元積分法 二、分部(fn b)積分法 三、簡單(jindn)有理數(shù)的積分 第14頁/共52頁第十五頁，共52頁。 1第一(dy)換元積分法(湊微分法) 直接(zhji)驗證得知,計算方法正確 例例 1 1 求求xxde3. . 解解 被積函數(shù)被積函數(shù)x3e是復(fù)合函數(shù)，不能直接套用公式是復(fù)合函數(shù)，不能直接套用公式 ，我們可以把原積分(jfn)作下列變形后計算：Cxxxedexuxxxx3)d(3e31de33令Cuuue31de31回代31Cx3e. . 例例 2 2 求求xxxde22 解解 注意到被積式中含有注意到被積式中含有 2ex項項, ,而余下的部分恰有而余下的部分恰有 微微

13、分分關(guān)關(guān)系系：22 dd()x xx于于是是類類似似于于例例 1,可可作作如如下下變變 換和計算： 第15頁/共52頁第十六頁，共52頁。.eede)(dede222222CCuxuxxxxuuxx回代令上述解法的特點是引入新變量上述解法的特點是引入新變量)(xu, ,從而把原從而把原積分化為關(guān)于積分化為關(guān)于u的一個簡單的積分，的一個簡單的積分，再套用基本積分公再套用基本積分公式求解式求解, ,現(xiàn)在的問題是，在公式現(xiàn)在的問題是，在公式 Cxxxede中，將中，將 x換成了換成了)(xu, ,對應(yīng)得到的公式對應(yīng)得到的公式Cuuuede是否是否 還成立?回答是肯定的,我們(w men)有下述定理：

14、 定理定理 如果如果CxFxxf)(d)(，則，則 .)(d)(CuFuuf其中其中)(xu是是x的任一個可微函數(shù)的任一個可微函數(shù) 證證 由 于由 于CxFxxf)(d)(, , 所 以所 以xxfxFd)()(d根據(jù)微分根據(jù)微分形式不變性形式不變性, ,則有：則有： uufuFd)()(d其中其中)(xu是是x的可微函數(shù)，由此得的可微函數(shù)，由此得 第16頁/共52頁第十七頁，共52頁。 .)()(dd)(CuFuFuuf 這個定理非常重要， 它表明： 在基本積分公式中，這個定理非常重要， 它表明： 在基本積分公式中， 自變量自變量x換成任一可微函數(shù)換成任一可微函數(shù))(xu后公式仍成立后公式仍

15、成立 這就大大擴充了基本積分公式的使用范圍應(yīng)用這一這就大大擴充了基本積分公式的使用范圍應(yīng)用這一結(jié)論，結(jié)論，上述例題引用的方法上述例題引用的方法, , 可一般(ybn)化為下列計算程 序： )()(d)(d)()(xuxxfxxxf令湊微分 .)()(d)(CxFCuFuuf回代 這種先“湊”微分式，再作變量置換的方法，叫這種先“湊”微分式，再作變量置換的方法，叫第換一元積分法，也稱湊微分法第換一元積分法，也稱湊微分法 第17頁/共52頁第十八頁，共52頁。例例 3 3 求求xxxdsincos2. . 解解 設(shè)設(shè),cos xu 得得xxudsind, , .cos3131ddsincos332

16、2CxCuuuxxx方法較熟悉后方法較熟悉后, ,可略去中間的換元步驟可略去中間的換元步驟, ,直接湊微直接湊微分成積分公式的形式分成積分公式的形式 例例 4 4 求求xxx2ln1d 解解 222d1d1d ln1ln1ln1lnarcsin ln.xxxxxxxxxC 例例 5 5 求求xxxdsin 解解 Cxxxxxxcos2dsin2dsin 第18頁/共52頁第十九頁，共52頁。湊微分法運用時的難點在于原題并未指明應(yīng)該把湊微分法運用時的難點在于原題并未指明應(yīng)該把哪一部分湊成哪一部分湊成)(dx, ,這需要解題經(jīng)驗這需要解題經(jīng)驗, ,如果記熟下列一如果記熟下列一些微分式些微分式, ,

17、解題中則會給我們以啟示解題中則會給我們以啟示 ，)(d1dbaxax ，)(d21d2xxx ，)(d2dxxx ，)e (ddexxx ，|)|(lndd1xxx ，)(cosddsinxxx ，)(sinddcosxxx ，)(tanddsec2xxx ，)(cotddcsc2xxx ，)(arcsind1d2xxx )(arctand1d2xxx 下面的例子,將繼續(xù)展示(zhnsh)湊微分法的解題技巧第19頁/共52頁第二十頁，共52頁。 例 6 求下列(xili)積分： (1)(1)；)0(d22axax (2) (2)；22dxax (3) (3)；xxdtan (4)(4)；xxd

18、cot (5) (5)；xxdsec (6) (6).dcscxx axaxxaxaxaxd11d11d2222 解 （1）= =.arcsinCax 類似得類似得(2)(2) .arctan1d22Caxaxax 第20頁/共52頁第二十一頁，共52頁。(3)(3).|cos|lncos)(cosddcossindtanCxxxxxxxx 類似得類似得(4) (4) .|sin|lndcotCxxx (5) (5) xxxxxxxxxxxxxxdsectantansecsecdsectan)tan(secsecdsec2 .|tansec|ln)sec(tand)sec(tan1Cxxxxx

19、x類似得類似得(6)(6)Cxxxx|cotcsc|lndcsc 本題(bnt)六個積分今后經(jīng)常用到，可以作為公式使用 第21頁/共52頁第二十二頁，共52頁。 例 7 求下列(xili)積分：(1)(1)；xaxd122 (2) (2)；xxxd432(3)(3)1d1exx； (4)(4)；xxdsin2 (5)(5)；xxdcos11(6)(6)xxxd3cos5sin 解 本題積分(jfn)前，需先用代數(shù)運算或三角變換對被 積函數(shù)做適當(dāng)變形 xaxaxaxaxd1121d1122dd21axaxaxaxaCaxaxalnln21.ln21Caxaxa第22頁/共52頁第二十三頁，共52

20、頁。（）xxxxxxxxd44d3d43222 224d4212arcsin3xxx.42arcsin32Cxx（）（）xxxxxxxxxde1e1de1ee1de11 xxxe1de11d.e1lnCxx第23頁/共52頁第二十四頁，共52頁。（）（）xxxxxxxd2cos21d21d22cos1dsin2 xxx2d2cos4121.2sin4121Cxx（）（）2d2cos12cos2ddcos1122xxxxxx .2tanCx第24頁/共52頁第二十五頁，共52頁。（）（）xxxxxxd2sin8sin21d3cos5sin （積化和差）（積化和差） xxxx2d2sin218d8

21、sin8121.2cos418cos161Cxx第25頁/共52頁第二十六頁，共52頁。例例 8 8 計算積分計算積分2dxxx 解一解一 222121d22141ddxxxxxxx .12arcsin12112d2Cxxx解二解二 因為因為,d2dxxx所以所以 .arcsin2)(1d21dd22Cxxxxxxxxx 本題(bnt)說明，選用不同的積分方法，可能得出不同形式 的積分結(jié)果第26頁/共52頁第二十七頁，共52頁。 第二(d r)換元積分法第一換元積分方法是選擇新的積分變量第一換元積分方法是選擇新的積分變量 ,xu但但對有些被積函數(shù)則需要作相反方式的換元，即令對有些被積函數(shù)則需要

22、作相反方式的換元，即令 ,tx把把 t作為新積分變量，才能積出結(jié)果，即作為新積分變量，才能積出結(jié)果，即 dxtfxx換元 11d.txftttF tCFxC積分回代這種方法叫第二換元法這種方法叫第二換元法 使用第二換元法關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪x擇變換函數(shù)使用第二換元法關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪x擇變換函數(shù) ,tx 對于對于 ,tx要求其單調(diào)可導(dǎo)，要求其單調(diào)可導(dǎo)， , 0 t且其反函數(shù)且其反函數(shù) xt1存在存在下面通過一些例子來說明下面通過一些例子來說明 第27頁/共52頁第二十八頁，共52頁。 例例 求求xxxd1. . 解解 為了消去根式，可令為了消去根式，可令,02ttx則則.d2dttx 于是于是 tttttt

23、txxxd12d21d12ttttttd1112d11122222ln 1tttC22ln 1.txxxxC回 代第28頁/共52頁第二十九頁，共52頁。例例 求xxxd1313 解解 令令,133tx即即, 1313tx則則ttxdd2代入后，得代入后，得 34521111d2d315331xxtttttCx .2135132Cxx由以上二例可以看出由以上二例可以看出：被積函數(shù)中含有被開方因式被積函數(shù)中含有被開方因式 為一次式的根式為一次式的根式nbax時時, ,令令tbaxn可以消去根號，可以消去根號， 從而求得積分從而求得積分下面重點討論被積函數(shù)含有被開方因式下面重點討論被積函數(shù)含有被開

24、方因式 為二次式的根式的情況為二次式的根式的情況 第29頁/共52頁第三十頁，共52頁。例例 求求.d22xxa 解解 作三角變換，令作三角變換，令sin,22xatt 那么那么 ,dcosdcos22ttaxtaxa且于是于是 ttattaxxad22cos1dcosd22222 22sin2.24aattC為把為把t t回代成回代成 x 的函數(shù)，可根據(jù)的函數(shù)，可根據(jù)axt sin, , 作輔助直角三角形（如右圖） ，作輔助直角三角形（如右圖） ， 得得 axat22cos 所以所以 Cxaxaxaxxa2222221arcsin2d. . x a a 2 x 2 - 第30頁/共52頁第三

25、十一頁，共52頁。 例例 求求0d2322axax. . 解解 令令2tandsec d22xattxat t ，則 所以所以 Ctattattataxaxsin1dcos1dsecsecd233322322 由由右圖所示的直角三角形，得右圖所示的直角三角形，得 ,sin22xaxt故故 .d2222322Cxaaxxax x a a 2 x 2 + t 第31頁/共52頁第三十二頁，共52頁。 一般地說，當(dāng)被積函數(shù)(hnsh)含有(1)(1)22xa ，可作代換，可作代換taxsin； (2)(2)22xa ，可作代換，可作代換taxtan； (3)(3)22ax ，可作代換，可作代換tax

26、sec 通常稱以上代換為三角代換，它是第二換元法的重通常稱以上代換為三角代換，它是第二換元法的重 要組成部分，但在具體解題時要組成部分，但在具體解題時, ,還要具體分析還要具體分析, ,例如，例如， xaxxd22 就不必用三角代換，而用湊微分法更為方就不必用三角代換，而用湊微分法更為方 便便 第32頁/共52頁第三十三頁，共52頁。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xuu , ,)(xvv 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)乘積微分具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)乘積微分 公式有公式有 ,ddduvvuuv移項得移項得 ,d)(dduvuvvu 兩邊積分得兩邊積分得 ,dduvuvvu 該公式稱為分部積分公式，它可以將求該公式稱為分部積分

27、公式，它可以將求vud的積分問題轉(zhuǎn)化的積分問題轉(zhuǎn)化為求為求uvd 的積分，當(dāng)后面這個積分較容易求時，分的積分，當(dāng)后面這個積分較容易求時，分部部積分積分公式就起到了化難為易的作用公式就起到了化難為易的作用 第33頁/共52頁第三十四頁，共52頁。例例 1313 求求.dcosxxx 解解 設(shè)設(shè)),(sinddcosd,xxxvxu 于是于是,sin,ddxvxu代入公式有代入公式有 xxxdcos= =xxsind= = xxxxdsinsin .cossinCxxx注注：本題若設(shè)：本題若設(shè),dd,cosxxvxu則有則有xxudsind及及 221xv ，代入公式后，得到，代入公式后，得到 x

28、xxdcos= =221xxcos 21xxxdsin2, , 新得到積分新得到積分xxxdsin2反而比原積分更難，說明這樣設(shè)反而比原積分更難，說明這樣設(shè)vu d,是不合適的，由此可見，運用好分是不合適的，由此可見，運用好分部部積分關(guān)鍵是恰積分關(guān)鍵是恰vu d,當(dāng)?shù)剡x擇好當(dāng)?shù)剡x擇好u和和vd，一般要考慮如下兩點：，一般要考慮如下兩點： （1 1） v要容易求得（可用湊微分法求出） ；要容易求得（可用湊微分法求出） ； （2 2） uvd要比要比vud容易積出容易積出 第34頁/共52頁第三十五頁，共52頁。例例 1414 求求xxxdln. . 解解 xxxdln= =2dln2xx= =x

29、xxxlnd2ln2122 .41ln2d21ln2222Cxxxxxxx當(dāng)熟悉分部積分法后，當(dāng)熟悉分部積分法后，vu d,及及uv d,可心算完成，不可心算完成，不 必具體寫出必具體寫出 例例 1515 求求xxxde2. . 解解 xxxde2= = 222deeedxxxxxx 22e2e de2d exxxxxxxxxCxxxxxxxxxxxe2e2edee2e22.e222Cxxx第35頁/共52頁第三十六頁，共52頁。例例 1616 求求xxxdsine. . 解解 xxxxxxxxxxdcosesineedsindsine 將再次出現(xiàn)的將再次出現(xiàn)的xxxdsine移至左端，合并后

30、除以移至左端，合并后除以 2 2 得得 所求積分為所求積分為 .cossine21dsineCxxxxxx .dsinecosesineedcossinexxxxxxxxxxx第36頁/共52頁第三十七頁，共52頁。小結(jié)小結(jié)：下述幾種類型積分，均可用分：下述幾種類型積分，均可用分部部積分公式求解，積分公式求解， 且且vu d,的設(shè)法有規(guī)律可循的設(shè)法有規(guī)律可循 (1) (1) xxaxnde，xaxxndsin，xaxxndcos，可設(shè)，可設(shè)nxu ； ( (2) 2) xxxndln，xxxndarcsin，xxxndarctan， 可設(shè)可設(shè)xuln，xarcsin，xarctan； (3)

31、(3) xbxaxdsine，xbxaxdcose，可設(shè)，可設(shè)bxusin，bxcos. . 說明說明： （： （1 1）常數(shù)也視為冪函數(shù)）常數(shù)也視為冪函數(shù) （2 2）上述情況）上述情況 nx換成多項式時仍成立換成多項式時仍成立 第37頁/共52頁第三十八頁，共52頁。例例 1717 求求xxdarctan. . 解解 先換元，令先換元，令2tx 0t, ,則則ttxd2d 原式原式 = = 2darctand2arctanttttt = =tt arctan2- -ttarctand2 tt arctan2- -tttd122 = =tt arctan2- -ttd1112 = =tt ar

32、ctan2Cttarctan C xxx-arctan) 1(. . 第38頁/共52頁第三十九頁，共52頁。例例 1818 求求xxxd1arcsin32. . 解解 換元，令換元，令txsin，則，則ttxdcosd 及及xtarcsin 原式原式32dcos dd tancoscosttt tttttt Ctttttttcoslntandtantan Cxxxx221ln1arcsin. . 第39頁/共52頁第四十頁，共52頁。例例 1919 用多種方法求用多種方法求xxxd1. . 解一 分項，湊微分(wi fn)xxxd1= =xxxxxxx1dd1d111. . 解二解二 令令u

33、x 1，則，則,ddux xxxd1= =uuuuuuuddd1. . 解三解三 令令x1= =2u, ,則則,d2duux xxxd1= =.d12d2122uuuuuu 第40頁/共52頁第四十一頁，共52頁。解四解四 令令tx2tan,dsectan2d2tttx ，則 xxxd1= =tttttdsectan2sectan22 ttsecd1sec22. . 解五 分部(fn b)積分xxxd1= =xx12d = =xxxxd1212. . 第41頁/共52頁第四十二頁，共52頁。有理分式是指兩個多項式之比，即有理分式是指兩個多項式之比，即 xQxPxR， 這里這里)(xP與與)(x

34、Q不可約當(dāng)不可約當(dāng))(xQ的次數(shù)高于的次數(shù)高于)(xP的次的次 數(shù)時，數(shù)時，)(xR是真分式，否則是真分式，否則)(xR為假分式為假分式 利用多項式除法，總可把假分式(fnsh)化為一多項式與真 分式(fnsh)之和，例如 ,12212521232224xxxxxxxx 多項式部分可以逐項積分，因此(ync)以下只討論真分式的積 分法 一般真分式的積分方法： （一般真分式的積分方法： （1 1）將分母）將分母)(xQ分解為分解為 一次因式（可能有重因式）和二次質(zhì)因式的乘積一次因式（可能有重因式）和二次質(zhì)因式的乘積 （2 2）把該真）把該真分分式按分母的因式，分解成若干簡單分式式按分母的因式，分

35、解成若干簡單分式 （稱為部分分式）之和 （稱為部分分式）之和 （3 3）簡單分式的積分）簡單分式的積分. . 第42頁/共52頁第四十三頁，共52頁。 化真分式為部分(b fen)分式之和舉例說明： （1 1） 分母分母)(xQ含有單因式含有單因式ax 時，這時分解式中時，這時分解式中 對應(yīng)有一項對應(yīng)有一項axA，其中，其中A A為待定系數(shù)為待定系數(shù) 例如例如 )(xR= =21213223223xCxBxAxxxxxxxx 為確定系數(shù)為確定系數(shù)CBA, ,我們用我們用)2)(1(xxx乘等式兩邊，乘等式兩邊， 得得 ) 1()2()2)(1(32xCxxBxxxAx, 因為這是一個恒等式，將

36、任何因為這是一個恒等式，將任何 x值帶入都相等值帶入都相等. .故可令故可令 0 x , ,得得A23, ,即即32A 類似地，令類似地，令 1x, ,得得B35 ， 即即 B B= = 35；令令2x, ,得得C61，即即 16C . . 第43頁/共52頁第四十四頁，共52頁。于是得到于是得到)(xR= =2132xxxx= =26113523xxx. . (2)(2)當(dāng)分母當(dāng)分母)(xQ含有重因式含有重因式nax)( 時，這時部分分式時，這時部分分式 中相應(yīng)有中相應(yīng)有 n 個項：個項： axAaxAaxAnnnn111. . 例如例如 111121222232xCxBxAxxxxxxx.

37、 . 為確定系數(shù)為確定系數(shù) A，B，C，將上式兩邊同乘以，將上式兩邊同乘以21xx得得 11122xCxBxxAx, , 令令0 x, ,得得1A；再令；再令1x, ,得得2B；令；令2x, ,得得 CBA225 代入已求得的代入已求得的 A，B 值值，得得 0C . . 所以所以 223212121xxxxxx. . 第44頁/共52頁第四十五頁，共52頁。（3 3）當(dāng)分母）當(dāng)分母)(xQ中含有質(zhì)因式中含有質(zhì)因式qpxx2，這時部，這時部 分分式中相應(yīng)有一項分分式中相應(yīng)有一項qpxxBAx2. . 例如例如 32244231313xxABxCxxxxxxxx. . 為確定待定系數(shù)，等式兩邊同乘以為確定待定系數(shù)，等式兩邊同乘以312xxx， 得得 Ax 432 xx) 1)(xCBx, , 令令1x得，得，A55 , ,即即1A；再令；再令0 x, ,得得CA 34, ,即即1C；令；令2x, ,得得CBA296, ,即即1B 所以所以 311132423xxxxxxx. . 第45頁/共52頁第四十六頁，共52頁。（4 4）當(dāng)分母）當(dāng)分母)(xQ含有含有nqpxx)(2因式時，這種情因式時，這種情 況積分過于繁復(fù)，我們略去不討論了況積分過于繁復(fù)，我們略去不討論了 有理真分式的積分：有理真分式的積分大體(dt)有下面 三種形式: 221d2d3d40