2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)新人教A版必修4教案：2.2.2向量減法及其幾何意義

1、2.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義一、教學(xué)分析 向量減法運(yùn)算是加法的逆運(yùn)算 . 學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運(yùn)算掌握向量 的減法運(yùn)算 .因此,類比數(shù)的減法 （減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù) ）, 首先引進(jìn)相反向量 的概念 , 然后引入向量的減法 （ 減去一個(gè)向量 , 等于加上這個(gè)向量的相反向量 ）, 通過(guò)向量減法 的三角形法則和平行四邊形法則 , 結(jié)合一定數(shù)量的例題 , 深刻理解向量的減法運(yùn)算 . 通過(guò)闡述 向量的減法運(yùn)算 , 可以轉(zhuǎn)化為向量加法運(yùn)算 , 滲透化歸的數(shù)學(xué)思想 , 使學(xué)生理解事物之間的相 互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辨證思想 ,同時(shí)由于向量的運(yùn)算能反映出一些物理規(guī)律, 從而加

2、強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系 , 提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí) .二、教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能： 了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量，并理解其幾何意義。2、過(guò)程與方法：通過(guò)將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比， 使學(xué)生掌握向量減法運(yùn)算及其幾何意義， 并 會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀： 通過(guò)闡述向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運(yùn)算， 使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化 的辯證思想。三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)： 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義 .教學(xué)難點(diǎn)： 對(duì)向量減法定義的理解 .四、 學(xué)法指導(dǎo) 減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算， 學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的

3、加法運(yùn)算掌握向 量的減法運(yùn)算；并利用三角形做出減向量。五、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課思路 1. （問題導(dǎo)入 ）上節(jié)課 ,我們定義了向量的加法概念 ,并給出了求作和向量的兩種方法 .由 向量的加法運(yùn)算自然聯(lián)想到向量的減法運(yùn)算：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù) . 向量的減 法是否也有類似的法則呢 ?引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究 , 由此展開新課 .思路 2.（ 直接導(dǎo)入 ）數(shù)的減法運(yùn)算是加法運(yùn)算的逆運(yùn)算 .本節(jié)課 ,我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運(yùn) 算減法 . 引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn) .（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題1向量是否有減法？2向量進(jìn)行減法運(yùn)算 , 必須先引進(jìn)一個(gè)什么樣的新概念？3如何理解向量的減法？4向

4、量的加法運(yùn)算有平行四邊形法則和三角形法則,那么 ,向量的減法是否也有類似的法則？活動(dòng)：數(shù)的減法運(yùn)算是數(shù)的加法運(yùn)算的逆運(yùn)算 , 數(shù)的減法定義即減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的 相反數(shù) , 因此定義數(shù)的減法運(yùn)算 , 必須先引進(jìn)一個(gè)相反數(shù)的概念 . 類似地 , 向量的減法運(yùn)算也可 定義為向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算 . 可類比數(shù)的減法運(yùn)算 , 我們定義向量的減法運(yùn)算 ,也應(yīng)引進(jìn)一 個(gè)新的概念，這個(gè)概念又該如何定義？引導(dǎo)學(xué)生思考，相反向量有哪些性質(zhì)？由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來(lái)的方向，因此 a 和-a 互為相反向量于是-(-a)= a.我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即 a+(

5、-a)=(- a)+a=O.所以，如果 a、b 是互為相反的向量,那么 a=-b, b=- a, a+b=0.(1)平行四邊形法則圖如圖 1,設(shè)向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義，知AE=a+(- b)= a- b.又 b+BC=a,所以BC=a- b.由此，我們得到 a-b 的作圖方法.圖 2(2)三角形法則如圖 2,已知 a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作0A=a,OB=b,則BA=a- b,即 a- b 可以表示為從 b 的終點(diǎn)指向 a 的終點(diǎn)的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結(jié)果：向量也有減法運(yùn)算.2定義向量減法運(yùn)算之前，應(yīng)先引進(jìn)相反向量.與數(shù) x 的相反數(shù)是-x 類

6、似，我們規(guī)定，與 a 長(zhǎng)度相等，方向相反的量，叫做 a 的相反向量 記作-a.3向量減法的定義.我們定義a- b=a+(- b),即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量規(guī)定：零向量的相反向量是零向量4向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在,是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).提出問題1上圖中，如果從 a 的終點(diǎn)到 b 的終點(diǎn)作向量，那么所得向量是什么？2改變上圖中向量 a、b 的方向使 a/ b,怎樣作出 a-b 呢？討論結(jié)果：AB=b- a.2略.（三）應(yīng)用示例如圖 3（1）,已知向量 a、b、c、d,求作向量 a-b,c-d.活動(dòng)：教師讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，

7、引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作，為以后解題打下良好基礎(chǔ)；點(diǎn)撥學(xué)生 根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點(diǎn)平移作出兩個(gè)同起點(diǎn)的向量.作法：如圖 3（2）,在平面內(nèi)任取一點(diǎn) 0,作0A=a,OB=b,0C=c,OD=d.則BA=a- b,DC=c- d.變式訓(xùn)練（2006 上海高考）在-ABCD 中 ,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+BC=0分析：A 顯然正確，由平行四邊形法則可知B 正確,C 中，AB-AD=BD錯(cuò)誤，D中，AD+BC=AD+DA=0 正確.答案：C例 2 如圖 4, ABCD 中,AB=a,AD=b,你能用 a、b 表示向量AC、DB嗎？

8、活動(dòng)：本例是用兩個(gè)向量表示幾何圖形中的其他向量，這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ).要多注意這方面的訓(xùn)練，特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對(duì)角線的關(guān)系解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道AC=a+b,同樣，由向量的減法，知DB=AB-AD=a-b.變式訓(xùn)練1.（2005 高考模擬）已知一點(diǎn) O 到 ABCD 的 3 個(gè)頂點(diǎn) A、B C 的向量分別是 a、b、c,則向量O圖 4OD等于（）A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c圖 5解析：如圖 5,點(diǎn) 0 到平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C 的向量分別是 a、b、c,結(jié)合圖形有OD=0A+AD=0A+BC=OA+OC-

9、OB=a- b+c.答案：B2.右AC=a+b,DB=a- b.1當(dāng) a、b 滿足什么條件時(shí)，a+b 與 a-b 垂直？2當(dāng) a、b 滿足什么條件時(shí),| a+b|=| a-b| ?3當(dāng) a、b 滿足什么條件時(shí)，a+b 平分 a 與 b 所夾的角？4a+b 與 a- b 可能是相等向量嗎？解析：如圖 6,用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對(duì)角線 由平行四邊形法則，得AC=a+b,DB=AB-AD=a- b.由此問題就可轉(zhuǎn)換為：1當(dāng)邊 AB AD 滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線互相垂直？ (| a|=| b|)2當(dāng)邊 AB AD 滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線相等？(a、b 互相垂直)3當(dāng)邊

10、 AB AD 滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線平分內(nèi)角？(a、b 相等)4a+b 與 a-b 可能是相等向量嗎？(不可能，因?yàn)閷?duì)角線方向不同點(diǎn)評(píng)：靈活的構(gòu)想，獨(dú)特巧妙，數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn).由此我們可以想到在解決向量問題 時(shí),可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，這就是數(shù)形結(jié)合解題的威 力與魅力，教師引導(dǎo)學(xué)生注意領(lǐng)悟.例 3 判斷題：(1) 若非零向量 a 與 b 的方向相同或相反，則 a+b 的方向必與 a、b 之一的方向相同.(2) ABC 中，必有AB+BC+CA=0.(3) 若AB+BC+CA=0,則AB、C 三點(diǎn)是一個(gè)三角形的三頂點(diǎn)(4) | a+b| | a-b|.活動(dòng)

11、：根據(jù)向量的加、減法及其幾何意義解：(1) a 與 b 方向相同，則 a+b 的方向與 a 和 b 方向都相同；若 a 與 b 方向相反，則有可能 a 與b 互為相反向量，此時(shí) a+b=0 的方向不確定，說(shuō)與 a、b 之一方向相同不妥.由向量加法法則AB+BC=AC,AC與 CA 是互為相反向量，所以有上述結(jié)論(3)因?yàn)楫?dāng)AB、C 三點(diǎn)共線時(shí)也有AB+BC+AC=0,而此時(shí)構(gòu)不成三角形(4)當(dāng) a 與 b 不共線時(shí),| a+b|與| a- b|分別表示以 a 和 b 為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角 線的長(zhǎng)，其大小不定當(dāng) a、b 為非零向量共線時(shí),同向則有| a+b| a- b|,異向則有| a+

12、b| a-b|;當(dāng) a、b 中有零向量時(shí),| a+b|=| a- b|.綜上所述,只有(2)正確.例 4 若|AB|=8,|AC1=5,則|BC|的取值范圍是()A.3,8B.(3,8)C.3,13D.(3,13)解析：BC=AC-AB.(1) 當(dāng)AB、AC同向時(shí),|BC|=8-5=3;(2) 當(dāng)AB、AC反向時(shí),|BC1=8+5=13;(3) 當(dāng)AB、AC不共線時(shí),3|BC|13.綜上，可知 3|BC| 13.答案：C點(diǎn)評(píng)：此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)| a|-| b| a+b| | a|+| b|求解.變式訓(xùn)練已知 a、b、c 是三個(gè)非零向量，且兩兩不共線，順次將它們的終點(diǎn)和始點(diǎn)相連接而成一三角形 的充要條件為 a+b+c=0.證明：已知 a豐0, b豐0,CM0,且 a b, b c, c a,(1)必要性：作AB=a,BC=b,則由假設(shè)CA=C,另一方面 a+b=AB+BC=AC.由于CA與AC是一對(duì)相反向量，有AC+CA=0,故有 a+b+c=0.充分性：作AB=a