2019屆人教A版解析幾何單元測試

1、第九章解析幾何21 .（2019 廣西玉林、貴港 4 月模擬，文 10,直線的傾斜角與斜率，選擇題）設(shè) F 為拋物線 y =5x 的 焦點,P 是拋物線上 x 軸上方的一點,若|PF|=3，則直線 PF 的斜率為（）A.3 薦B.C.，：康D.2 血解析：F 為拋物線 y2=5x 的焦點，設(shè) P 點坐標(biāo)為（x,y）,y0.7=根據(jù)拋物線定義可知x+=3，解得 x=,代入拋物線方程求得y=.答案：C相交于 A,B 兩點,0 為坐標(biāo)原點，當(dāng)ABO 的面積取得最大值時，直線 I 的斜率等于（）解析：由 y=Jl：汽得 x2+y2=1（y 0）.所以曲線 y=Jl爐表示單位圓在 x 軸上方的部分（含與

2、 x 軸的交點）, 設(shè)直線 I 的斜率為 k,要保證直線 l 與曲線有兩個交點，且直線不與 x 軸重合, 則-1 k0,b0)右焦點的直線 m,其方向向量 u =(b,a),若原點到直線 m 的距離等于右焦點到該雙曲線的一條漸近線 距離的 2 倍則直線 m 的斜率為_ .解析：雙曲線一- 一=1 的右焦點 F(c,0),一條漸近線方程為 y=x,則 F 到漸近線的距離為 d= _=b,直線 m : y=(x-,原點到直線 m 的距離為 -=a,由題意可得 a=2b,則直線 m 的斜率為=2.答案：29.(2019 甘肅嘉峪關(guān)一中三模，文 9,直線的傾斜角與斜率選擇題)過點 P(-,-1)的直線

3、 l 與圓x2+y2=1 有公共點，則直線 l 的傾斜角的取值范圍是()即亡 V 時 5。有最大值為代B.C.掬D.解析：由題意可得點 P（-屈,-1）在圓 X1 2+y2=1 的外部,故要求的直線的斜率一定存有，設(shè)為 k,則直線方程為 y+1=k（x+矗）,即 kx-y+ k-1 =0.根據(jù)直線和圓有交點、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得即 3k2-2 廖 k+1 0,y0),由題意知，Ai（-2,0）,A2（2,0）,直線 PAi,PO,PA2的斜率分別為1 .（2019 廣西柳州一模，文 21,直線的方程，解答題）已知橢圓=1 的一個焦點為 F（2,0）,且離心率為.（1）求橢圓方程；

4、斜率為 k 的直線 l 過點 F,且與橢圓交于 A,B 兩點,P 為直線 x=3 上的一點若ABP 為等邊三 角形,求直線 l 的方程.解：橢圓一“ 一=1 的一個焦點為 F（2,0）,且離心率為整.殲 臚3ki,k2,k3,答案：B5.（20i9 吉林長春實驗中學(xué)三模，文 5,直線的傾斜角與斜率，選擇題）直線 xsin a+y+2=0 的傾斜角 的取值范圍是（）A.0, nB.g| HIM解析：直線 xsina+y+2=0 的斜率為 k=-sinaT| sina w1,|k|w1.傾斜角的取值范圍是.-.二-.答案：B123直線的方程 c=2,a2=b2+c2，解得 a2=6,b2=2.橢圓

5、方程為-=1. H直線 l 的方程為 y=k(x-2).聯(lián)立方程組 3 止 消去 y 并整理,+- = 1b0)的左、右焦點分別為 F1(-1,0),F(1,0),過 F1的直線 l 與橢圓 C 相交于 A,B 兩點，且 MBF?的周長為 4.(1) 求橢圓 C 的方程；2(2) 過點(4,0)作與直線 l 平行的直線 m,且直線 m 與拋物線 y =4x 交于 P,Q 兩點，若 A,P 在 x 軸上 方,直線 PA 與直線 QB 相交于 x 軸上一點 M,求直線 I 的方程.解:(1)依題意,4a=4 電,a2-b2=1.所以 a=t.:2,b=1.故橢圓 C 的方程為亍+y =1.X.(2

6、)設(shè) A(X1,y1),B(X2,y2),P(X3,y3),Q(X4,y4),PQ 與 x 軸的交點記為點 N,直線 l 的方程為 x=ty-1,直線 m 的方程為 x=ty+4.依題意得-，則-二-,可得，令=X肚 0),I+ VT=七貝小把 yi= ?y2代入整理，得=-A t*+2：由 I”總一乙：消去 x,得 y2-4ty-16=0,貝 U把 y3= $4 代入,整理得 一=-t2.lyEy4= -16r由消去入得- =t2，解得 t=0 或 t=我.故直線 I 的方程為 x=-1 或 x- y+1=0 或 x+也 y+1=0.15.(2019 江西上饒重點中學(xué)二模,文 15,直線的方

7、程，填空題)過點 P(3,-1)引直線,使點A(2,-3),B(4,5)到它的距離相等，則這條直線的方程為 _ .解析：由題意，所求直線有兩條，其中一條是經(jīng)過點 P 且與 AB 平行的直線；另一條是經(jīng)過 P 與 AB 中點 C的直線.TA(2,-3),B(4,5), AB 的斜率 k= =4.可得經(jīng)過點 P 且與 AB 平行的直線方程為 y+1=4(x-3),化簡得 4x-y-13=0.TAB 中點為 C(3,1),經(jīng)過 P,C 的直線方程為 x=3.綜上，所求直線的方程為 4x-y-13=0 或 x=3.答案：4x-y-13=0 或 x=37.(2019 甘肅嘉峪關(guān)一中三模，文 7,直線的方

8、程 選擇題)若 P(2,1)為圓(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中 點,則直線 AB的方程為()A.x+y-1 =0B.2x-y-5=0C.2x+y=0Dx+y-3=02 2-1解析：圓(x-1) +y =25 的圓心為(1,0),直線 AB 的斜率等于=-1,由點斜式得到直線 AB 的方程為 y-1=-(x-2),即 x+y-3=0. 答案：D1.消去 x,得(t2+2)y2-2ty-1=0,9 9.2 2 點與直線、兩條直線的位置關(guān)系124兩條直線的平行與垂直6.（2019 甘肅嘉峪關(guān)一中三模,文 6,兩條直線的平行與垂直,選擇題）已知 a 電直線 ax+（b+2）y+4=0 與直

9、線 ax+（b-2）y-3=0 互相垂直，則 ab 的最大值等于（）A.0B.2C.4D.解析：若 b=2,兩直線方程分別為y=-x-1 和 x=,此時兩直線相交但不垂直若 b=-2，兩直線方程分別為 x=-和 y=x-,此時兩直線相交但不垂直所以當(dāng) b 廿 2 時，兩直線方程分別為 y=-x-丄和 y=-2_x+魚，此時兩直線的斜率分別為-,-,因為 a2+b2=4 2ab,所以 ab0)關(guān)于直線 x+y+2=0 對稱.(1)求oC 的方程過點 P 作兩條相異直線分別與oc 相交于 A,B,且直線 PA 和直線 PB 的傾斜角互補(bǔ)，0 為坐標(biāo)原點，試判斷直線 0P 和 AB 是否平行？請說明

10、理由解得1=1則圓 C 的方程為 x2+y2=r2,將點 P 的坐標(biāo)代入得 r2=2, 故圓 C 的方程為 x2+y2=2.解：由題意知，直線 PA 和直線 PB 的斜率存有，且互為相反數(shù)，故可設(shè) PA y-1=k(x-1),PB：y-1 =-k(x-1),且 kMD,由存;緩譽(yù)得(1 +k2)x2-2k(k-1)x+k2-2k-1=0,點P的橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，故可得XA=同理,xB=,淮啦郵tH 舉 a kAB=1 =kOP,直線 AB 和 OP 定平行.20.(2019 黑龍江哈爾濱六中四模，文 20,求圓的方程，解答題)過拋物線 C： x2=4y 對稱軸上任一 點P(0,m)

11、(m0)作直線 I 與拋物線交于 A,B 兩點，點 Q 是點 P 關(guān)于原點的對稱點.(1)當(dāng)直線 l 方程為 x-2y+12=0 時，過 A,B 兩點的圓 M 與拋物線在點 A 處有共同的切線，求圓 M 的方程.設(shè)黍=入，證明：繚丄(-入滋).(1)解:由 F 歲得點 A,B 的坐標(biāo)分別是(6,9),(-4,4),I獷=畔牡),斜率為 k 亡弓故 AB 的垂直平分線方程為 4x+2y-17=0.由 x2=4y 得 y=x2,y=x,所以拋物線在點 A 處的切線斜率為 3.設(shè)圓 M 的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則+ 25-17=解得 a=-,b=，心.所以圓 M 的方程為一二一二二

12、二.V2 J 2.證明：設(shè) AB 方程為 y=kx+m,A,B 兩點的坐標(biāo)分別是(xi,yi),(X2,y2), 代入拋物線方程 X=4y,得x2-4kx-4m=0,xi+X2=-4k,xiX2=-4m.由麗=入朋，得 A，又點 Q(0,-m),從而笹 3=(0,2m),解：設(shè)圓心 qa,b),則則 AB 的中點為Q丄入悄=(xi-瓜2,yi- “2+(1- /)m),所以;廉(関-入慮)=2myi- “2+(1- “m=2m(xi+x2) -=0,JCJ所以點丄(-入).129與圓相關(guān)的軌跡問題6.(2019 山西朔州懷仁一中一模，文 6,與圓相關(guān)的軌跡問題，選擇題)若APAB 是圓 C:2

13、 2(x-2) +(y-2) =4 的內(nèi)接三角形，且 PA=PB/ APB=120 ,則線段 AB 的中點的軌跡方程為()2 2 2 2A.(x-2) +(y-2) =1B.(x-2) +(y-2) =22 2 2 2C.(x-2) +(y-2) =3 Dx +y =1解析：設(shè)線段 AB 的中點為 D,則由題意，PA=PB/ APB=120 ,/ ACB=I2O ./CB=2,ACD=1,線段 AB 的中點的軌跡是以 C 為圓心,1 為半徑的圓，故線段 AB 的中點的軌跡方程是(x-2)2+(y-2)2=1.答案：A130與圓相關(guān)的最值問題14.(2019 江西上饒三模，文 14,與圓相關(guān)的最

14、值問題，填空題)設(shè) m,n R,若直線 l: mx+ ny-1=0 與 x軸相交于點 A,與 y 軸相交于點 B,且 I 與圓 x2+y2=4 相交所得弦的長為 2,O 為坐標(biāo)原點，則 mn 的最大值為解析：由圓 x2+y2=4 的方程，得到圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑 r=2,直線 l 與圓 x2+y2=4 相交所得弦 CD=2,圓心到直線 l 的距離 d=.圓心到直線 l： mx+ ny-1=0 的距離 d=，二平 3,整理得 m2+ n2=.令直線 I 解析式中 y=0，解得 x=,、s AG)，即OA=.令 x=0，解得 y= ,占(吒),即 OB=.Tm2+n22|mn|，當(dāng)且僅當(dāng)|m

15、|=|n|時取等號，又AOB 為直角三角形,SAABC=OAOB3F=3,當(dāng)且僅當(dāng)|m|3=|n|2=時取等號，故 mn 的最大值為.答案：2 215.(2019 山西太原山大附中高三月考，文 15,與圓相關(guān)的最值問題，填空題)圓 x +y +2x-4y+1 =0關(guān)于直線 2ax-by+2=0(a,b R)對稱，則 ab 的取值范圍是 _.解析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x+1)2+(y-2)2=4,圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑 r=2,根據(jù)題意，可知圓心在已知直線2ax-by+2=0 上,把圓心坐標(biāo)代入直線方程，得-2a-2b+2=0,n器即 b=1-a,則設(shè) m=ab=a(1-a)=-a

16、2+a=-，當(dāng) a=時,m 有最大值，最大值為，即 ab 的最大值為.故 ab 的取值范圍是(耳訃答案:詁10.(2019 江西三縣部分高中一模，文 10,與圓相關(guān)的最值問題，選擇題)已知 A(-3,0),B(0,4),M 是 圓 C:x2+y2-4x=0 上一個動點，貝MAB 的面積的最小值為()A.4B.5C.10D.15解析：由 x2-4x+y2=0,得 (x-2)2+y2=4,圓的圓心(2,0),半徑為 2,過圓心作 AB 所在直線的垂線，交圓于 M,此時AABM 的面積最小直線 AB 的方程為 4x-3y+12=0,|AB|= 5,圓心到直線 AB 的距離為一一二=4.AMAB 的面

17、積的最小值為 拓(4-2)=5. 答案：B3 211.(2019 黑龍江大慶一模，文 11,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題)直線 y=kx+3 與圓(x-3) +(y-2) =4/. |mn| 2，則 k 的取值范圍是（）當(dāng)|MN|= 2 時,弦心距最大為 由點到直線距離公式得w1,血答案：A5.（2019貴州貴陽一模，文 5,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題）對任意實數(shù)k,直線 y=kx+1 與圓x2+y2=4 的位置關(guān)系一定是（）A.相離B.相切C 相交且不過圓心D 相交且過圓心解析：對任意的實數(shù) k,直線 y=kx+1 恒過點（0,1），且斜率存有. （0,1）在圓 x2+y2=4 內(nèi),對任意的實

18、數(shù) k,直線 y=kx+1 與圓 x2+y2=4 的位置關(guān)系一定是相交但直線不過圓心.答案：C6.（2019 江西南昌零模，文 6,直線與圓的位置關(guān)系 選擇題）已知 M（xo,yo）是圓 x2+y2=a2外任意一 點,則直線 x0 x+yy=a2與該圓的位置關(guān)系是（）A.相切B.相交C 相離D.由點（xo,yo）的位置決定解析：T點 M（x0,y）是圓 x2+y2=a2（a0）外一點,嗚-“ Qa2圓心 0 到直線 x0 x+yy=a2的距離為 d=a（半徑），故直線和圓相交.遼-飛答案：B7.（2019 江西宜春高安四校一模 所得劣弧所對圓心角為（）解析：設(shè)劣弧所對圓心角的一半為因為圓到直線

19、的距離為d 務(wù) 1,半徑是 2,w所以 COSa=0.5,a=，故劣弧所對圓心角為nlb 0,+8)CI3 常 ID.制解析：圓心的坐標(biāo)為（3,2）,且圓與,文 7,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題）直線 x+y+ =0 截圓 x2+y2=4血A.C.D.答案：C3.(2019 甘肅蘭州一中模擬，文 3,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題)如果直線 ax+by=4 與圓 C： x2+y2=4有兩個不同的交點,那么點(a,b)和圓 C 的位置關(guān)系是()A.在圓外B.在圓上C.在圓內(nèi)D.不能確定解析：直線 ax+by=4 與圓 C: x2+y2=4 有兩個不同的交點，圓心(0,0)到直線 ax+by-4=0 的

20、距離 d= 4.故點(a,b)在圓 C 的外部.答案：A16.(2019 甘肅嘉峪關(guān)一中三模，文 16,直線與圓的位置關(guān)系，填空題)已知直線 x+y+m=0 與圓2 2x+y =2 交于不同的兩點A,B,0 是坐標(biāo)原點,| 皿麗：|,那么實數(shù) m 的取值范圍是_ .解析：直線 x+y+m=0 與圓 x2+y2=2 交于相異兩點 A,B, O 點到直線 x+y+m=0 的距離 d丨羅 I，由平行四邊形可知，夾角為鈍角的鄰邊所對的對角線比夾角為銳角的鄰邊所對的對角線短，；寸珀的夾角為銳角.直線 x+y+m=0 的斜率為-1,即直線與 x 的負(fù)半軸的夾角為 45 度，.當(dāng)惑爲(wèi)鬲的夾角為 直角時，直線

21、與圓交于(-或;,0),(0，-或；),此時原點與直線的距離為 1,故 d1.綜合可知 1wd-.據(jù)綜上,-2mw-wm2.答案：(-2,-)U,2)6.(2019 甘肅蘭 州一中 三模，文 6,直線與圓 的位置 關(guān)系，選擇題)直線 ax+by-a=0 與圓 x2+y2+2x-4=0的位置關(guān)系是()A.相離C 相交B 相切D 與 a,b 的取值相關(guān)解析：直線即 a(x-1)+by=0,過定點 P(1,0),而點 P 在圓(x+1)2+y2=5 內(nèi)，故直線與圓的位置關(guān)系是 相交.答案：C11.(2019 黑龍江哈爾濱九中三模，文 11,直線與圓的位置關(guān)系，選擇題)直線 11： y=x2: y=x

22、+2 與2 2C： x +y -2mx-2ny=0 的四個交點把C 分成的四條弧長相等，則 m=()A.0 或 1B.0 或-1C.-1D.1解析：I直線 11/ 12,且 11,12把C 分成的四條弧長相等，畫出圖形，如圖所示.腫儀廠r011X-又 C 可化為(x-m)2+(y-n)2=m2+n2,過原點作一直線與x+y+m=0 垂直，即 y=x,兩直線交點為(7：-汀則d=冋.當(dāng) m=0,n=1 時，圓心為(0,1),半徑 r=1,此時 h,l2與C 的四個交點(0,0),(1,1),(0,2),(-1,1)，把C 分成的四條弧長相等當(dāng) m=-1,n=0 時,圓心為(-1,0),半徑 r=

23、1,此時 Ii,l2與oC 的四個交點(0,0),(-1,1),(-2,0),(-1,-1)，把oC 分成的四條弧長也相等答案：BI I 2 2解析：圓 O: x +y -2x+a=0, 即(x-1)2+y2+a=1-a,- 一=2=1-a,求得 a=0.答案：B16.(2019 吉林實驗中學(xué)六模，文 16,直線與圓的位置關(guān)系，填空題)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,設(shè) 直線y=-x+2 與圓 x2+y2=r2交于 A,B 兩點,0 為坐標(biāo)原點，若圓上一點 C 滿足二二,貝 y r=_.解析：由題意可得，|爾|=|脣廁=|概|=r,設(shè) =9,0,訃貝 y =i麗闕 ,44兩邊同時平方可得，=-=

24、7 一 = =7,1IS3即 r2= r2+ rfos9X, cos9=-.cos9=2COS2-1,cos 0,cos二2設(shè)圓心 O 到直線 x+y-2=0 的距離為 d,則 d=rcos 二-二，即一 r= ,r=j【Ji：.22芻答案：畫17.(2019 黑龍江綏化一模，文 17,直線與圓的位置關(guān)系，解答題)已知圓 C 的圓心 C 在第一象限，且在直線 3x-y=0 上,該圓與 x 軸相切，且被直線 x-y=0 截得的弦長為 2麝,直線 l： kx-y-2k+5=0 與圓 C 相交.(1)求圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；求出直線 I 所過的定點；當(dāng)直線 l 被圓所截得的弦長最短時，求直線 l 的方

25、程及最短的弦長. 解：(1)設(shè)圓心為(a,b)(a0,b0),半徑為 r,6.(2019 黑龍江哈爾濱三中四模x2+y2-2x+a=0 所截得弦的長度為，文 6,直線與圓的位置關(guān)系,則實數(shù) a 的值是()選擇題)直線 I： 8x-6y-3=0 被圓 O:A.-1B.0C.1D.1-又弦心距 d= aDB|則 b=3a,則 r=3a，圓心到直線 x-y=0 的距離 d=a,圓被直線 x-y=O 截得的弦長為 2 ,(a)2+()2=(3a)2,即 a2=l,解得 a=1,則圓心為(1,3),半徑為 3, 則圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1)2+(y-3)2=9.由 kx-y-2k+5=0 得 y=k(

26、x-2)+5, 則直線 I 過定點 M(2,5).要使弦長最短，則滿足 CM 丄 I,即 k=-則直線 I 方程為 x+2y-12=0,|CM|=廡,則最短的弦長為 2=2 應(yīng)=4.圓與圓的位置132關(guān)系8.(2019 山西太原二模,文 8,圓與圓的位置關(guān)系，選擇題)已知點 A(-1,0),B(1,0),若圓(x-2)2+y2=r2上存有點 P,使得/ APB=90 ,則實數(shù) r 的取值范圍為()A.(1,3)B.1,3C.(1,2解析：根據(jù)直徑對的圓周角為90。，結(jié)合題意可得以檢驗兩圓相切時不滿足條件，故兩圓相交.而以 AB 為直徑的圓的方程為x2+y2=1,圓心距為所以 |r- 1|2|r

27、+ 1|，解得 1r3.答案：A2._(2019 廣西玉林、 貴港 4 月模擬，文 16,圓的切線與弦長問題，填空題)已知 A 為射線 x+y=0(x0) 上的動點,B為 x 軸正半軸上的動點，若直線 AB 與圓 x2+y2=1 相切 則|AB|的最小值為 _ .解析：設(shè)切點為(m,n),則切線方程為 mx+ ny=1,TA 為射線 x+y=0(x=2+2,即|AB|的最小值為2盤+2.答案:2 威+23 .(2019 甘肅張掖 4 月模擬，文 9,圓的切線與弦 長問題，選擇題)直線 y-仁 k(x-3)被圓 (x-2)2+(y-2)2=4所截得的最短弦長等于()A晟B.2 用C.2 嵌D.解

28、析：圓的方程為圓(x-2)2+(y-2)2=4,圓心 C(2,2),半徑為 2.直線 y-1 =k(x-3)，所以此直線恒過定點(3,1),當(dāng)圓被直線截得的弦最短時，圓心 C(2,2)與定點 P(3,1)的連線垂直于弦，弦心距為故所截得的最短弦長2=2.答案：C14.(2019 吉林三模，文 14,圓的切線與弦長問題，填空題)圓心在原點且與直線 x+y-4=0 相切的圓 的方程為_ .解析：設(shè)圓的方程為 x2+y2=r2，圓心為(0,0),半徑為 r,由直線和圓相切的條件d=r,可得 d= =2=r,即有圓的方程為 x2+y2=8.答案:x2+y2=811.(2019 江西紅色六校二模，文 1

29、1,圓的切線與弦長問題，選擇題)在 x 軸,y 軸上截距相等且與圓 (x+2)2+(y-3)2=1 相切的直線 I 共有()條.A.2B.3C.4D.6解析：圓的圓心(-2,3 詁!;.),半徑是 1,原點在圓外，與圓(x+2 )2+(y-3)2=1 相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線中過原點的直線有兩條；斜率為-1 的直線也有兩條.故所求直線共有 4 條.答案：C11.(2019 廣西防城港、桂林一模，文 11,圓的切線與弦長問題選擇題)若直線 kx+y+4=0 上存有點 P,過點 P 作圓 x2+y2-2y=0 的切線，切點為 Q,若|PQ|= 2,則實數(shù) k 的取值范圍是()A.-2,2

30、B.2,+s)C.(-s,-2U2,+s)D.(-s,-1U1,+s)解析:圓 C： 知2溝=0 的圓心(0,1),半徑是 r=1,由題意,PQ 是圓 C： x2+y2-2y=0 的一條切線,Q 是切點,PQ 長度最小值為 2,圓心到直線的距離PC 最小，最小值為.由點到直線的距離公式可得:.撐+1L k 2.答案：C9 9.5 5 橢圓.橢圓的定義及標(biāo) 準(zhǔn)方程1 .(2019 廣西玉林、貴港 4 月模擬，文 20,橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，解答題)已知一橢圓中心在坐 標(biāo)原點，左右焦點在 x 軸上，若其左焦點 F!(-c,0)(c0)到圓C:(x-2)2+(y-4)2=1 上任意一點距離的 最小值

31、為 4,且過橢圓右焦點 F2(c,0)與上頂點的直線與圓 O: x2+y2=相切.(1)求橢圓 E 的方程；若直線 I: y=-x+m 與橢圓 E 交于 A,B 兩點，當(dāng)以 AB 為直徑的圓與 y 軸相切時，求IAB的面 積解：設(shè)橢圓 E 為=1(ab0),a-虻焦點分別為R(-C,0),F2(C,0),則橢圓的右焦點到圓上任意一點的距離的最小值為-仁 4,又 c0, /-c=1.過橢圓右焦點和上頂點的方程為=1,即 bx+y-b=0.由直線和圓 O 相切可得- 一，解得 b=1,a2=b2+c2=2.橢圓 E 的方程為+y2=1.32 2(2)由可得 3x -4mx+2m -2=0.0 =乜

32、#佩貝 V Y(-4m) -12(2m -2)0,即 m 3.設(shè) A(X1,y1),B(x2,y2),貝 Ux什 X2=,X1x2=,則 AB 的中點橫坐標(biāo)為則以 AB 為直徑的圓的半徑為 r=|AB|=|X1-x2|=.由條件可得孑 J 笆+蓋廣我晟=r 廠|.4整理可得(X1+X2)2=8X1x2,即一 =8 .2m=4X=8 感.答案：83.（2019 黑龍江大慶二模，文 11,橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 選擇題）已知橢圓 C:=1 （ab0）的左、右焦點分別為 F1,F2,其中 F1（-2乗,0）,P 為 C 上一點，滿足|OP|=|OF1| ,且|PF1|=4,則橢圓 C 的方程為（）解析

33、：設(shè)橢圓的焦距為 2c,連接 PF2,如圖所示.由 F(-2 ,0),得 c=2,又由 |OP|OF 1FQF2I 知,PF1丄 PF2,在 APF1F2中,由勾股定理，得|PF2|= .二一. -?- =8,由橢圓定義,得|PF1|+|PF2|= 2a=4+8=12,從而 a=6，得 a2=36, 于是 b2=a2-c2=36-(2)2=16,答案：C3/4.（2019 江西贛州一模，文 20,橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，解答題）已知橢圓 E：r =1（ab0）的焦距為 2,A 是 E 的右頂點,P,Q 是 E 上關(guān)于原點對稱的兩點，且直線 PA 的斜率與直線 QA 的斜 率之積為-.（1）求 E

34、 的方程；過 E 的右焦點作直線 I 與 E 交于 M,N 兩點，直線 MA,NA 與直線 x=3 分別交于 C,D 兩點，記ACD與AAMN 的面積分別為 S,S2,且 S1S2=，求直線 l 的方程.解：根據(jù)題意,設(shè) P(X0,yo),Q(-X0,-yo),則畸書曲辰kQA=依題意有-=-,fl?又 c=1,所以 a2=4,b2=3,故橢圓 E 的方程為匕+二=1.432 2設(shè)直線 MN 的方程為 x=my+1,代入 E 的方程得(3m +4)y +6my-9=0, 設(shè)M(x1,y1),N(X2,y2),由韋達(dá)定理知 y+y2=-,y1y2=-,2M- +4+4又直線 MA 的方程為 y=

35、(x-2)，將 x=3 代入,xi-2所以 S1=|CD|=,.c IH B* 1 1施所以 |CD|=|yc-yD|=.一一 一=3,，填空題)已知橢圓 C:-=1,點“ 16M 與 C 的焦點不重合，若 M 關(guān)于 C 的焦點的對稱點分別為|AN|+|BN|= _ .解析：如圖,設(shè)線段連接 DR,DF2,則 DF1,DF2分別是MN,ABMN 的中位線，則 |AN|+|BN|= 2|DF1|+ 2|DF2|=2(|DF1|+|DF2|)=2 2a=4 5=20.所以 0tb0),A,B 分別是橢圓的長軸和短軸的端點，且原點到直線 AB 的距離為 b.曠 獷3(1)求橢圓 C 的離心率；直線

36、I 與圓 O：x2+y2=b2相切，并且被橢圓 C 截得的弦長的最大值為2,求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：(1)不妨設(shè)橢圓 C 的右頂點為 A,上頂點為 B,則直線 AB 的方程為-=1,即 bx+ay-ab=0,依題意，原點 O 到直線 AB 的距離 d=b,化簡，得 a2=4b2,結(jié)合 b2=a2-c2,得-:-,陽52即離心率 e=.3設(shè)直線 I 與橢圓 C 交于 P(X1,y1),Q(X2,y2).(i)當(dāng)直線 I 的斜率存有時，設(shè) I: y=kx+m, 聯(lián)立 x2+y2=b2,消去 y,整理，得(1 +k2)x2+2kmx+m2-b2=0.因為直線 l 與圓 O 相切，所以Ai=(2k

37、m)24(1+k2)(m2-b2)=0,得 m-bW2由空丄亡_消去 y，整理，&+?= 11得(1 +4 k2)x2+8kmx+ 4m2-4b2=0,Ir跖”A Tn A 2 2B由韋達(dá)定理,得/且 &=(8km)24(1+4k2)(4m2-4b2)0,從而 |PQ|=書= Jlh 斗=.：二“結(jié)合 m2-b2=k2b2,整理,得|PQ|=*3；冷林乎又設(shè)=t，易知，k電當(dāng) t=即=時，得 |PQ|max=l；：工 f=2b,(ii)當(dāng)直線 I 的斜率不存有時，不妨設(shè) I 的方程為 x=b 易知此時|PQ|=bb0)的左、右焦點分別為FI,F2,點 D 在橢圓上.DFi丄 F

38、,=2, ADF1F2的面積4設(shè)圓心在 y 軸上的圓 C 與橢圓一 +y =1 相交,P1(X1,y1),P2(X2,y2)是兩個交點(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)圓心在 y 軸上的圓與橢圓在 x 軸的上方有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相 互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑.（1）設(shè)F1（-G0）,F2（C,0），其中 c =a -b ,從而滄帕：戈DF1|F舊=C2=，故C=1.從而 |DF1|=,由 DF1丄 F1F2,0 0 0得 |DF2| =|DF1| +|F1F2| =,所以 |DF2| ,所以 2a=|DF1|+|DF2|=2、疲，故 a,b2=a2-c2=1,J C故橢

39、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.y10,y20,F1P1,F2P2是圓 C 的切線，且 F1P1丄 F2P2,由圓和橢圓的對稱性，易知解:=2，得 |DF1|=亠$X2=-xi,yi=y2,|P1P2F2|xi| ,由知FI(-1,0),F2(1,0),所以.唸焉=(xi+1,yi),號咯=(-xi-1,yi), 再由 FiPi丄 F2P2,得-(xi+ 1)2+謚=0,由橢圓方程得 1- =(xi+l)2,即 3 盛+4XI=0,解得 xi=-或 0.當(dāng) xi=0 時,PI,P2重合，此時題設(shè)要求的圓不存有當(dāng) Xi=-時，過 Pi,P2分別與 F1P1F2P2垂直的直線的交點即為圓心C.由 F1P

40、1F2P2是圓 C 的切線，且 FiPi丄 F2P2,知 CPi 丄 CR,又|CPi|=|CP2|, 故圓 C 的半徑 |CPi|=IP1P2F農(nóng)|xi|=.Z1136橢圓的幾何性質(zhì)|PF2|=|F2FI|.TP 為直線 x=上一點，答案：CJIJi20.(2019 山西太原二模，文 20,橢圓的幾何性質(zhì)，解答題)已知動點 A 在橢圓 C:=1(ab0)上,動點 B 在直線 x=-2 上,且滿足 應(yīng)丄習(xí)進(jìn)(O 為坐標(biāo)原點)，橢圓 C 上點 M 到兩焦點距離之和為 4.(1)求橢圓 C 方程；求|AB|取最小值時點 A 的坐標(biāo).2a =解：根據(jù)題意可得3, 3 _ -1.(2019 廣西柳州一

41、中一FI,F2是橢圓 E:=1(ab0)的左、右焦點,P 為直線 x= 上一點2PFI是底角為 30 獷2的離心率為()A.B.解析：/AF2PF1是底角為 30的等腰三角形，則 ED.C.O解得 a2=i2,b2=3,故橢圓 C 方程為=1.IS 3由題意可設(shè) A(xo,yo),B(-2,t)(t R),也丄 蕊,就爺=-2xo+tyo=O,即 t=,T動點 A 在橢圓 C 上，一 亠=1,123銘=3-,|AB|=阪:甘、盼曠=喙b0)與圓 C2：x2+y2=b2，若在橢圓 C1上存有點巳過 P 作圓的切線 PA,PB 切點為 A,B 使得/ BPA=,則橢圓 G 的 離心率的取值范圍是(

42、)解析：連接 0A,0B,0P,依題意,O,P,A,B 四點共圓，A.血血/BPA=，/AP0=ZBP0=,在 RtAOAP 中,/ AOP=,二cos/AOP=，二|OP|= =2b.D?|2|/b|OP|wa,2ba.4b2wa2,即 4(a2-c2) w a2, 3a2w4c2，即.e.又 0e1,. we0,b0）的一個焦點ST與拋物線 y2=4 的焦點重合，且橢圓的離心率等于，則該橢圓的方程為ir-o6.（2019 江西上饒二模，文 6,橢圓的幾何性質(zhì) 選擇題）已知焦點在 x 軸的橢圓方程+y=1,過焦點作垂直于x軸的直線交橢圓于 A,B兩點，且|AB|= 1,則該橢圓的離心率為（）

43、A.B.C.D.11JHI解析：焦點在 x 軸的橢圓方程務(wù)y2=1,焦點坐標(biāo)（土加遷0），不妨設(shè) A,可得=1,解得 a=2,a* 4故橢圓的離心率為 e=答案：A5.（2019 江西六校聯(lián)考二模，文 5,橢圓的幾何性質(zhì)，選擇題）橢圓 r-=1（ab0）的兩頂點為A卅 L2*A.B.g 進(jìn)=14”Jr：C.=1Et3解析： 拋物2 2Dx +3y =1又橢圓的離心率等于2y =4x 的焦點為(1,0),. c=1. 3Bnl 価,即二，.a=，二b2=a2-c2=.故所求橢圓的方程為答案：D2 2x +3y =1.T=C.B.故橢圓 C 的離心率的取值范圍是.A（a,0）,B（0,b）且左焦點

44、為 FAFAB 是以角 B 為直角的直角三角形，則橢圓的離心率 e 為（）A一B.C.D.解析：依題意可知點 F(-c,0),直線 AB 斜率為一=-,直線 BF 的斜率為 =-/ / FBA=90整理得 c2+ac-a2=0,即-1 =0,即 e2+e-1=0,解得 e=vE-1e=答案：C20.(2019 江西上饒三模，文 20,直線與橢圓的位置關(guān)系，解答題 股 F 為橢圓 E：=1(ab0)丁 臚的右焦點，點 P(lg)在橢圓 E 上，直線 Io： 3x-4y-10=0 與以原點為圓心、以橢圓 E 的長半軸長 為半徑的圓相切(1) 求橢圓 E 的方程(2) 過點 F 的直線 I 與橢圓相

45、交于 A,B 兩點，過點 P 且平行于 AB 的直線與橢圓交于另一點 Q. 問是否存有直線 I,使得四邊形 PABQ 的對角線互相平分？若存有,求出 I 的方程;若不存有，說明 理由.結(jié)論:理由如下設(shè)直線 I 的方程為 y=k(x-1)，直線 PQ 的方程為 y=k(x-1)+.由消去 y 得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0.切=闔妒則 |AB|= 一一- .3嗣獷佇+H1消去 y 得(3+4k2)x2-(8k2-12k)x+(4k2-12k-3)=0,則 |PQ|=.十 -若四邊形PABQ的對角線互相平分,則四邊形PABQ為平行四邊形,|AB|=|PQ| ,.1+k2=+k

46、+k2? k=.直線 I 的方程為 3x4y-3=0 時,四邊形 PABQ 的對角線互相平分=-1.存有直線 I,使得四邊形 PABQ 的對角線互相平分. :由題可知直線 I,PQ 的斜率存有解：(1)由題意知所以橢圓 E 的方程為=1.7.(2019江西上饒一模，文 7,橢圓的幾何性質(zhì) 選擇題)已知橢圓 C：=1(ab0)的左右焦點為FI,F2,過 F2的直線與圓 x2+y2=b2相切于點 A,并與橢圓 C 交于不同的兩點 P,Q,如圖,PFi丄 PQ因為 A 為線段 PQ 的靠近 P 的三等分點，所以 A 為線段 PF2的中點 汙是 PF1=2b.結(jié)合橢圓的定義有 PF2=2a-2b,在

47、RtAPFiFs中，利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,將 c?=a2-b2代入,整理可得 b=a,答案：C15.(2019 廣西防城港、桂林一模，文 15,橢圓的幾何性質(zhì)，填空題)設(shè)橢圓-=1(ab0)的左 右焦點分別為FI,F2,焦距為2C.直線 y=n 冒(x+c)與橢圓的一個交點為 M,0 為坐標(biāo)原點，若|OM|=c , 則橢圓的離心率是_.解析：直線 y=(x+c)與坐標(biāo)軸的交點分別為A(-C,0),B(0,c).|AB|= 2c.直線 y=(x+c)與橢圓的一個交點為M,0 為坐標(biāo)原點 若|OM|=c ,可得 M 是 AB 的中點，M - 一.化簡得：二亠 =1

48、,解得 e= -1.答案：揖-110.(2019 江西贛州興國一模，文 10,直線與橢圓的位置關(guān)系，選擇題)橢圓 ax2+by2=1 與直線 y=1-x交于 A,B 兩點,過原點與線段 AB 中點的直線的斜率為 一,則的值為()2&二0 _ _缸A.C.D.得 ax2+b(1-x)2=1,(a+b)x2-2bx+b-1=0,設(shè) A(X1,y1),B(X2,y2),則解析：連接 0A,PF1,則 0A 丄 PQ 又 PF1丄 PQ,可得 OA/ PR.iff-環(huán)血3解析：為FI,F2,過 F2的直線與圓 x2+y2=b2相切于點 A,并與橢圓 C 交于不同的兩點 P,Q,如圖,PFi丄

49、PQ*+血=略倍,y什y2=1-x1+1-x2=2-=.所以 AB 中點坐標(biāo)為（一一,AB 中點與原點連線的斜率k=故二:答案：A.22xf514.（2019 山西太原五中二模，文 14,橢圓的幾何性質(zhì)，填空題）已知橢圓 mx+4y=1 的離心率為,則實數(shù) m 等于_.rr解析：由 mx2+4y2=1,得 =1,若，得 0m4,此時 a=,c2=-wt 44則，解得 m=8.i那3綜上,m=2 或 8.答案：2 或 812.（2019 山西太原山大附中高三月考，文 12,橢圓的幾何性質(zhì)選擇題）橢圓 C：=1（ab0）的左右焦點分別為 片丘，若橢圓 C 上恰好有 6 個不同的點 P 使得 AF1

50、F2P 為等腰三角形，則橢圓 C 的離心率的取值范圍是（）A.gOB.C.D.一解析：當(dāng)點 P 與短軸的頂點重合時hF2P 構(gòu)成以 F1F2為底邊的等腰三角形，此種情況有 2 個滿足條件的等腰AF1F2P當(dāng)AF1F2P 構(gòu)成以 F1F2為一腰的等腰三角形時，以 F2P 作為等腰三角形的底邊為例，TF1F2=F1P,點 P 在以 R 為圓心，半徑為焦距 2c 的圓上.所以，當(dāng)以 F1為圓心，半徑為 2c 的圓與橢圓 C 有 2 交點時，存有 2 個滿足條件的等腰RF2P,在AF1F2P1中,F1F2+PFiPF2,即 2c+2c2a-2c,由此得知 3ca.所以離心率 e.當(dāng) 6=時,濟(jì)1卩2卩

51、是等邊三角形，與中的三角形重復(fù)，故 e 齊同理，當(dāng) F1P 為等腰三角形的底邊時，在 e且 e 旳寸也存有 2 個滿足條件的等腰RRP 這樣,，C=11；PC=總共有 6 個不同的點 P 使得AF1F2P 為等腰三角形.綜上所述，離心率的取值范圍是 豊 3 唱則答案：D11.(2019 黑龍江哈爾濱六中四模，文 11 橢圓的幾何性質(zhì) 選擇題)設(shè) F1丘是橢圓 x2+ =1(0bb0)的右焦點 F 和上頂點 B,則橢圓r的離心率-為_ .解析：由題意得，橢圓的右焦點 F 為(c,0)、上頂點 B 為(0,b), 因為圓(x-1)2+(y-1)2=2 經(jīng)過右焦點 F 和上頂點 B,所以解得 b=c

52、=2,則 a2=b2+c2=8，解得 a=2 ,所以橢圓 C 的離心率 e=.a礙2答案：11.(2019 甘肅蘭州二診，文 11,橢圓的幾何性質(zhì) 選擇題)已知橢圓 C 的中心為 O,兩焦點為,1qF1,F2,M 是橢圓 C 上一點，且滿足|=2|瑚g|=2|,則橢圓的離心率 e=()ArB.C.D.解析：由橢圓定義可得 2a=|MFj|+|MF2|=3|MF2|,|MF1|=|MO|=|MF2|, 所以 |MF2|=a ,|MF1|=a.在AF1OM 中,|F1O|=c,|F1M|=a ,|OM|=a ,在 A0F2M 中,|F20|=C,|M0|=|F2M|=a ,貝 y cos/ MOF

53、2=討二評=竺,甜拿i4fl，由 /MOFI=180 -/ MOF2得 cos/ MOF 計 cos/ MOF2=0,即為亠二=O,整理得：3c2-2a2=0,4sc 4s即一二，即 e2=,即有 e=.33答案：D11.(2019 甘肅蘭州一模，文 11,橢圓的幾何性質(zhì) 選擇題)已知橢圓 C:=1(ab0)的左、右焦點分別是FI,F2,右頂點為 A,上頂點為 B,若橢圓 C 的中心到直線 AB 的距離為|FIF2|,則橢圓&C 的離心率 e=()解析:設(shè)橢圓 C 的焦距為 2c(cb0),由題意可得 橢圓 C 兩焦點坐標(biāo)分別為FI(-1,0),F2(1,0).-2a=. ： - ：

54、：一 ：；： 一：-： : 一:：7t=4-a=2.又 c=1,b2=4-1=3,故橢圓的方程為- =1.(2)當(dāng)直線 I 丄 x 軸，計算得到：A(1 掃,B，- : |AB| |FiF2|= 3X2=3,不符合題意.當(dāng)直線 I 與 x 軸不垂直時，設(shè)直線 I 的方程為 y=k(x+1).(y = &(x+ l)t由消去 y 得2 2 2 2(3+4k )x +8kx+4k-12=0.顯然A0 成立，設(shè) A(x!,y!),B(x2,y2),mtIai4fc -12貝UX 什 x2=-,xix2=,14-ft* J(3+化簡，得 17k4+k2-18=0，即(k2-1)(17k2+18

55、)=o,解得 k= 1. 所以 r=20.(2019 黑龍江綏化一模，文 20,直線與橢圓的位置關(guān)系，解答題)坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢圓G： “ 一=1(ab0)的其中一個頂點坐標(biāo)為B(0,1),且點 P -在 G 上.(1)求橢圓 C1的方程；若直線 l: y=kx+m 與橢圓 C1交于 M,N 且 koM+kON=4k,求證：m2為定值(1)解：由題意，橢圓 C1的右頂點坐標(biāo)為 B(0,1),所以 b=1,點P -代入橢圓 r 一 =1 得二二-,即 a=嶺.所以橢圓 G 的方程為彳+y2=1.證明：直線 I 的斜率顯然存有，設(shè)直線 I 的方程為 y=kx+m,得 T+T3 = 1消去

56、y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,(*) 5T= Ax + -mr設(shè) M(X1,y1),N(X2,y2),又 |AB|=- ，故圓 F2的方程為(x-1)2+y2=2.137直線與橢圓的位置關(guān)系._ 1 j j Q+H即 |AB|=.譏-又圓 F2的半徑 r=-由(*)式得x1+x2=-,x1A.D.B. C.ZE解析：由題意可知雙曲線的焦點坐標(biāo)就是BC-AB=2a=10,c=6,.sinJ-sinCX 5A,B,由雙曲線的定義可知答案：D2.（2019 甘肅張掖 4 月模擬，文 11,雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程,選擇題）已知雙曲線 x2- =1 的焦點為 R,F2,點 M

57、 在雙曲線上且=0,則點 M 到 x 軸的距離為D.A.B.解析：已知雙曲線 x2- =1 的焦點為 F1（-,0）,F2（,0） . MFMF?,.點 M 在以 F1F2為直徑的圓 x2+y2=3 上,得|護(hù)苓得|y|=T，故由點M到x軸的距離為.答案：D11.（2019 江西景德鎮(zhèn)二模，文 11,雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，選擇題）已知雙曲線一- T=1 兩個焦點分別為 F1,F2,過點 F2的直線 I 與該雙曲線的右支交于M,N 兩點,且厶 F1MN 是以 N 為直角頂點的等腰直角三角形，貝 U為（）A.18 或.B.12C.18解析：設(shè)|NF1|=|MN|=m ,則|MF1|=窗 m,由雙

58、曲線的定義，可得|NF2|=m- 2a,|MF2|=點 m-2a,|NM|=|NF2|+|MF2|=m ,肓 m-2a+m-2a=m, 4a= m.2 2Ta =3,. m =24.D.12k0M+k0N=- -=2k+=2k-=4k.可得 m2=.il理ac：陀吧2-2經(jīng)驗證滿足 A0,故 m2=為定值.9696 雙曲線138雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1 .（2019廣西柳州一中一模，文 12,雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程知ABC的頂點A（-6,o）和q6,0）,頂點 B在雙曲線 手1，選擇題）在平面直角坐標(biāo)系中，已的左支上,則-等于（）= =2,當(dāng)且僅當(dāng)b樺時取等號. 故AABC 面積的最大值為 2

59、.答案：B11.（2019 山西太原五中二模,文 11,雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程,選擇題）已知雙曲線“ - T=1（a0,b0,且 b N ）的兩個焦點為FI,F2,其中一條漸近線方程為y=x,P 為雙曲線上一點，且滿足|OP|5（其中 O 為坐標(biāo)原點）,若|PF!| ,|F1F2|,|PF2|成等比數(shù)列，則雙曲線 C 的方程為（）存2A-y =12解析：/ |F1F2| =|PF1| |PF2| ,二4C2=|PF1|PF2|.22T|PF1|-|PF2|=4,.|PF1| +|PF2| -2|PF1| |PF2|= 16,即 |PF1|2+|PF2|2-8c2=16設(shè)/ POF=Q,則 /

60、POE=n 0,由余弦定理得,|PF2|2=C2+|OP|2-2|OF2| |OP| cos(n-B),2 2 2|PF1|=C+|OP|-2|OF1|OP| cos0.整理得，|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2由化簡得，|OP|2=8+3c?=20+3b2.OP5,. 20+3b20,b0）的右頂點作 x 軸的垂線與 C 的一條漸近線相交于 A.若以 C 的右焦點為圓心、故%沖：丁2=怎4=12.答案：D11.（2019 江西上饒重點中學(xué)二模,文 11,雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，選擇題）已知雙曲線丄-二=1（0b2）與 x 軸交于 A,B 兩點,點 C（0,b）,則ABC 面積的最大值為（）亠甘 rA.1C.4B.