2022年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃講義 專題6：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【解析版】

1、2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強(qiáng)基計(jì)劃專題6：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、真題特點(diǎn)分析:2021年清華4】恰有一個(gè)實(shí)數(shù)x使得丁-辦一1=0成立，則實(shí)數(shù)”的取 值范圍為().答案：B2.【2020年清華17.)已知函數(shù)6 =告0+4g(尤4-2,2),則的最大值與最小值的和是().A. 2B. eC. 3D. 4解析：考慮g(x) = /(x)T =三一J + §inx為奇函數(shù)，因而g(x)的最大值與最小值的 c + e和為0,可得/(X)的最大值與最小值的和為2.二、知識(shí)要點(diǎn)拓展一.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y = /(x)在點(diǎn)七的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若極限 lim八幻二八飛)(*)存在，則稱函數(shù)/在點(diǎn)/可導(dǎo)，并

2、稱其極限值為函數(shù)，在 fb X-XQ天的導(dǎo)數(shù)，記作尸(七)。若令 x = x0 + Ax, Ay = f(x0 + Ax) - f(x0),貝(* )式可改寫(xiě)為lim/(xo+Ax)-/(xo) = 1.mAy 加Ar't° Nf (Xq ) O2 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)/在點(diǎn)X。的導(dǎo)數(shù)尸(毛)是曲線y = /(x)在點(diǎn)(面J(x。)處切線的斜率。若a表示這個(gè)切線與x軸正向的夾角，則/'(x0) = tana。3 .基本求導(dǎo)法則：0(w± v)f = w'± V* ； 為常數(shù))；復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù) 型=空出。 dx du dx()'=&#

3、39;V + MV* ,(CU)' = CU' ( C反函數(shù)導(dǎo)數(shù)半=4； dx dx四.基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式(c)=0 (c為常數(shù))；(3)(sinx), = cosx , (cos x)* = sinx ,(f)' =以"T (。為任何實(shí)數(shù))；(tan x)* = sec2 x , (cot x)* = -csc2 x ,dy/(X)的不定積分。記為J/(x)公, 七.不定積分的性質(zhì)：(J/(x)公)'=/(幻； J 爐(x)dx = kJ f(x)dx, 八.常見(jiàn)積分公式dx = x+C ,r 1tir = ln|x|+C,J x卜& =

4、" + C,jcos xdx = sin x + C ,f-dx = -cotx + C oJ sin" x(sec x) * = sec x tan x, (esc x)1 = - esc x cot x ；1(4)(arcsin x) * = -(arccos x)' = /(| x < 1)y/l-X2(arctan x), = (arc cot x)' = ;1 +廠(a) =,(/)' = "； a°gR=+'0nx）'j五.原函數(shù)：設(shè)/（x）是定義在區(qū)間0上的函數(shù)，若存在函數(shù)尸（X）,對(duì)任意xe。

5、都有尸（x） = /（x）,則稱尸（X）是/（X）的一個(gè)原函數(shù)。一個(gè)函數(shù)若存在原函數(shù)，它必定有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)，若尸（X）是/（X）的一個(gè) 原函數(shù)，則/（x） + C表示/（x）的全體原函數(shù).六.不定積分：設(shè)P（X）是/（X）的一個(gè)原函數(shù)，則稱/（X）的全體原函數(shù)/（x） + C為即 J /(x)公=F(x) + C o J/'(x)公= /(x) + C , J /(x)±g(x)dr = j f(x)dx±jg(x)dx。公=Lx"、。，J4 + 1r 1I a'dx qx + C ,JInaJ sin xdx = -cosx+ C ,f dx

6、- tan x + C,J cos-x九.函數(shù)的單調(diào)性：若函數(shù)/在涉）內(nèi)可導(dǎo)，則/在色力）內(nèi)遞增（遞減）的充 要條件是尸(x)之0 (/Xx)<0) , x(a.h) o三、典例精講例1.已知/(X)在工=。處可導(dǎo)，且/(。) = 6,求下列極限：(1) 1"(2)limZ(£1£)zZ)"to2hgo h»分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量小的形式是多種多樣，但不論選擇哪種形式, y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)/(外在為=。處可導(dǎo)的條件，可以將已給 定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。) 解答：(1)11m f(a + 3 /011m

7、 于(a + 3/Q -、 + /-/(a - h) 力 t°2。力一*02_1；m /(« + 3A) - /(a) . fa) - f(a -h)ho 2h2。 2h=3 /(a + 3/7) -/(a)+,所 于(a h) 于(a)-21。 3h 2 X -h31= -fa) + -f'(a) = 2b(2) lim A" + ")7(嘰lim卜”+ ？-/；/»->o h力-0h2r f(a+ /廠)一/()., q/、八 八=lim -lim/z = / (a) 0 = 020士人to練習(xí)1 :若函數(shù)y = fM 在區(qū)間

8、(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且Xoe(a,b)則 lim/(/+ )一“超一九) ioh的值為()A. /(x0) B. 2/(x0) C. -27,(x0) D. 0答案：B解答：lim /(甩+ )二/(&-)= lim2/(&+人)一/一九)10 hio2h=2.四必&也= 2fg)2°2h練習(xí)2 ：( 2000上海交大)已知f(x)在與處可導(dǎo)， 1； f2(x0 + 3h)-f2(x0-h)11 m 1-oa->oh» 答案：8/,U0)/U0)-解答：由導(dǎo)數(shù)定義知鵬產(chǎn)So + 3)-廣(/ -力)h0hA(/Uo + 3/z) - /(x0-W

9、/U0+ 3/z) + f(x0-h) -nm -hfO4A(f(x0 + 3h) + f(x0-h)lim1/(xo + 3A)-/(xo-/7)i。 (x0 + 3/z) -(x0 - h)=4/ U)x 2/(x0) = 8/ U0)/(x0) o例2,求函數(shù)y = (x-«)(x-b)x-c)的導(dǎo)數(shù)。 解答：y = (x a) (x-b)(x- c) + (x-a)(x-/?) (x-c) + (x- a)(x-b)(x- c) 二(x b)(x c)4-(xa)(x c) + (x a)(xb)練習(xí)3. /(幻=辦3+3/+2,若f(T)= 4,則4的值等于()A.更 B.

10、3 C.身 D. 123333»答案：D 解答：/'(x) = 3ax sinx> xg (0,)(相除) 7C2 +6x,/ (-I) = 3a-6 = 4,a = -y例3.函數(shù)y 二電竺的導(dǎo)數(shù)為;X 解答 y _ (sinx) x-sinx(x) _ xcosx-sinxx2X2例4.求函數(shù)y = (l +cos2x)3的導(dǎo)數(shù)。 解答：y = (1 + cos2x) x-sinx< tanx-x xe (0,) 工？1_v 1 = (2cos2 x)3 = 8cos21+xx+1 xy =48cos» 證明：(l)/(x) = ln(l + x)_

11、(;c_L) /(0) = 0 fx) = l + x = ->0 x-(cosx) =48cos5 x-(-sinx)= -48sinxcos5 x o例 5.觀察(x")'=, (sinx)r = cosx, (cosx)' = -sinx,是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。» 解答：若/(X)為偶函數(shù) /(-X)= /(X) 令 lim "£ + )一 幻=/，(x) 心一° Ax,/(-x + Ar)-/(-x)/(x-Ar)-/(x)f (-x) = lim= lim心-+

12、Axm。+ Ax“_位也二3可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 另證：f' = /(-x)l，= f'(+x)- (-x)' = -f'(x)例6.求證下列不等式X2r2(1) x< ln(l + x) < xx g (0 , + ao)(相減)22(1 + x)y = f(x)為(0 , + oo)上 Tx2ln(l + x) > x- g(x) = x-X GX2(0 , + oo) f(x) > 0 恒成立g'(x) = >4x2 +4x-2x212(1+ x)2x2-ln(l + x) g(0) = 04(1+ x)1 +

13、 x 4(1 + x2)>0g(x)在(0,+8)上 T X G (0 , + oo)r2一x:ln(l + x) > 0 怛成立2(1+ x)(2)原式=、詢”> 2 令 y(x)= sinx/x xx n(0,馬 cosx > 0 x - tan x < 0 2f'M =cosx(x tanx)x2. 2x sinx> n/(0)= 0»、2-(1 cosxXcosx + sin2 x)f (x) = secx-2 + cosx =-(3)令/(x) = tanx 2x + sinxCOSXxe(o,g r(x)>()(o,|)t

14、tan x-x > x -sinx例 7.已知函數(shù)/(x) = x, g(x) = ln(l +x), h(x) = 14-X(i)證明：當(dāng)x>o時(shí),恒有y(x)>g(x)；(2)L- y當(dāng)元 >()時(shí)，不等式g(x)>工(攵NO)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;女+ X解答:(1)設(shè) Q(x) =/(x)-g(x),貝!| 尸(x) = l-當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn) (x)>0,所以函數(shù)尸(x)在(0, +oo)單調(diào)遞增，又F(x)在x = 0處連續(xù),所以尸(x)>尸(0)=0,即/(x)-g(x)>0,所以 /(x) > g(x) okx設(shè)G(

15、x) = g-百則 G(x)在(0, +oo)恒大于 0, G(x) = ln(l + x)-& +G(x)=k+ (2 左一k )x1 + x (k+ x)(l+x)(Z + x)-V +(2%一22卜=0的根為0和/ -2£即在區(qū)間(0, +8)上，G<x) = O的根為0和22 一2%，若1一2、>0,則G(無(wú))在(0,6一 2%)單調(diào)遞減，且G(0) = 0,與G(x)在(0, +8)恒大于0矛盾；若二一 2左40, G(x)在(0, +00)單調(diào)遞增，且G(0) = 0,滿足題設(shè)條件，所以k2-2AV0,所以0WZW2.。例8.利用導(dǎo)數(shù)求和：(1) S“

16、 = 1 + 2x + 3x? 41- nx"' (x 0, ne N )；(2) S. =C： + 2C：+3C； + . + C：(”eN*)。-分析：這兩個(gè)問(wèn)題可分別通過(guò)錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來(lái)解決。轉(zhuǎn)換思維 角度，由求導(dǎo)公式(尤")'=m2,可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù) 運(yùn)算可使問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)捷。解答：(1)當(dāng) x = l 時(shí)，5“ =1 + 2 + 3+ + = g( + l)；當(dāng)XH1時(shí)，X + /+X”=七二一 - X丫_ Yn+, 兩邊都是關(guān)于X的函數(shù)，求導(dǎo)得：(尤+ /+/+爐)'=(3)'1-X即 Sn

17、 = 1 + 2x + 3x + + nxn 1l-( + l)x" 4- njc,+l(1 一(2)(1 + x)n = 1 + C> + Cx2 + C;>3 +. + C>n,兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得(l + x)'i = C + 2C；x + 3C>2 +. + nC；xn-x o令x = 1得："2"T = C： + 2C； + 3C； + + y,即 S" = C： + 2C： + 3C； + + nC：= 2二。例9.已知函數(shù)/3)=爐+五一1,是方程/'(x) = 0的兩個(gè)根(a>0 ,尸

18、(x)是/'(%)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)4=1, a-符 (n=l,2,)(1)求a的值；(2)證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有a“>a;(3)記b.=ln?W (n = l,2,.),求數(shù)列也的前項(xiàng)和S,。解答：(1) v f(x) = x2 +X-1 ,二,小是方程F(x)=0的兩個(gè)根(a >6),2, . a (2tz+l) + i(2a +1)-/'(x) = 2x4-1一%+q-l _ 2 " "4 "44+1 = an _- = an2a“ + l2a,+l；(2a“ +D +54_12a +1 2一有基本不等式可知吟絲。（當(dāng)且僅當(dāng)行與時(shí)取等

19、號(hào)）,怨。同，樣*與痔J " = 12),/o a n(a-a)S - A)an-P t(3)一夕= 4/：= -(a + l + a),2q+12a“+l而 </ + , = _,即 a + l = () , a“+夕=22%+1同理- a) , _7 a "03+ 非 3 + 石'J 理 勺+i = -1 -，2+1 = 2b，乂。= In- = In-7=r = 21n-2an +1-a3-V52S,=2(2"_l)ln之6四、真題訓(xùn)練1 .若/。)= 一3,則 1加"吃+用一/(/"3份=()1。 hA. -3 B. -6

20、 C. -9 D. -122 .(上海交大)設(shè)廠(x0) = 2,則()->oh(A) -2(B) 2(C) -4(D) 43 . f(x)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若f(x), g(x)滿足f(x) = g'(x), 則/(x)與g(x)滿足(b. y（x）-g（x）為常數(shù)函數(shù)D. f（x）+ g（x）為常數(shù)函數(shù)A. /(x) = g(x)C. f(x) = g(x) = 04.若/（x） = sina-cosx ,則 / （a）等于（）A. sin aB. cos aC. sina+cosa D. 2 sin a5.若函數(shù)/（幻=/+版+。的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，

21、則函數(shù)f（x）的圖象是（）6.于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)/（x）,若滿足"一1）/'（無(wú)）20,則必有（）A. /(0) + /(2)<2/(1) B. /(0) + /(2)<2/(1)C. /(0) + /(2)>2/(1) D. /(0) + /(2)>2/(1)7 .函數(shù)y = J=在點(diǎn)x = 4處的導(dǎo)數(shù)是（）yjxB. - C. D.-816168 .設(shè)f(x) = (x - a)(x - b)(x - c) ( a,b,c是 兩兩不 等的常 數(shù))，則的值是9.證明下面不等式:(1)已知：xe(O+oo),求證一<lna【.<!； x+

22、1 x x(2)已知：gN且 N2,求證：- + - + - + -< Inn2 3 n2n-10 .已知函數(shù)/(x) = lnx(I )求函數(shù)g(x) = /'(X+D-X的最大值；(II )當(dāng) 0<a<)時(shí)，求證：f(b) f (a) > 2g a +b11 .設(shè)/(x)的定義域?yàn)?0,+8), 一(X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(X),且對(duì)任意正數(shù)尤均有 尸>3,X(I)判斷函數(shù)F(x) = 皿在(0,+8)上的單調(diào)性;X(II)設(shè)國(guó)，x2 e(0,+00),比較/(百)+ /()與/(XI+w)的大小，并證明你的 結(jié)論；(III)設(shè) X, x2, xn e(0,

23、+oo),若之2,比較/(玉)+ /(/)+)(工,)與 /(% +%+天)的大小，并證明你的結(jié)論.12.設(shè)函數(shù)/。)= 1 +，)( c N,且 > 1,尤£ N).(1)當(dāng)產(chǎn)6時(shí)，求(1 + ：)的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(II)對(duì)任意的實(shí)數(shù)X、證明2制；"2) > /，(xx/(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))；(III)是否存在。£ N ,使得an< fl +Y < (a + l)n恒成立？若存在，試證明*=i V k )你的結(jié)論并求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.真題訓(xùn)練答案1.Dlim /(/+力)-/(/-3/7) hfOh二肥加

24、+紇六。一珈川加一22D由導(dǎo)數(shù)定義知lim'Qm一/史 hfOh=lim /(/+)-)+ lim /»->ohft>oh3. B /(x), g(x)的常數(shù)項(xiàng)可以任意4. A f (x) = sin x, f (a) = sin a5. A對(duì)稱軸一t>0/<0,/'(x) = 2x+，直線過(guò)第一、三、四象限6. C 當(dāng) 時(shí)，/(x)>0,函數(shù)/(x)在(1,+oo)上是增函數(shù)；當(dāng) x<l時(shí)，/(x)<0, /(X)在(-8,1)上是減函數(shù)，故/(X)當(dāng)X = 1時(shí)取得最小值，即有 /(0) > /(1),/(2) &g

25、t; /(I),得 f(0) + f(2)> 2/(1)，1 N 1.117. Dy = x =-x 2 =-,y(4)=-_- = _8. 0f (x) = (x )(x c) + (x a)(x c) + (x a)(x),/ (a) = (a b)(a c),f (b) = (b-a)(b-c),f '(c) = (c-a)(c-b), 1；1： =11f (a) f (b) f (c) (a-b)(a-c) (b-a)(b-c) (c-a)(c-b)a(b 一 c) 一 b(a - c) + c(a -b) 八=(J(ab)(a - c)(b - c)(A)證明：(1)令

26、 l +1= f,由 xX), .,">1, x = xt-l原不等式等價(jià)于1一！<山，<，一1,令/(，) =，-1一In, t./) = 1一1當(dāng)r(1,+00)時(shí)，有尸>(),.函數(shù)/在r 6(1,+8)遞增 t/(0>/(1) 即 Klnf另令g(r) = lnr-l + l，則有g(shù)'0) = Lj>0二 g(f)在(1,+8)上遞增，g(t)>g(i)= o A nt>-綜上得一<ln 巴 <， x + lX X(2)由(1)令x = L2，,(- 1)并相加得1 11,2,3, n , 11I F H &

27、lt; In f in F + ln< 1H F -I2 3 n 12n-2n-即得+)+ + ,<In+ +2 3 n2n-10. ( I )解：,/ f(x) = In x, (x) = f(x -F1) - xg(x) = ln(x+l)-x (x> -1) g'(x) =1,令 g'(x) = 0,得x = 0x + 1當(dāng)一 lvxv()時(shí)，gf(x)>0 當(dāng)尤 >0 時(shí) g'(x)vO,又 g(0) = 0當(dāng)且僅當(dāng)x = 0時(shí)，g(x)取得最大值0(II )證明：= ln/?-ln« = ln - = -In = -ln

28、(l +-) a bb由(1)知 ln(l + x)Wx f(b) - f(a) >-=b bX vO<«</?,/.6/2+/?2 >2ab2as )a2 +力21 2a b-a 2b(b-a) b > a2+/?2 b > a2+h2IL 解:(I)由于 r(x) >也得，至3二2>0,而x>0,則#'(x)一/(x) >0,則產(chǎn)'(x) =X2>0,因此尸（x） = 3在（0,+8）上是增函數(shù).X(II)由于石,x2 e (0, + co),則 0 < X < 尤1 + w，而 F(x

29、)=在(°，+ °0)上是增函數(shù),則尸(X) < 尸(王 + M),即,二(% + x,)/(X|) < xJ(e + 七)“x1+x2(1),同理(jc1 +a)/(x2)<x2f(xt +x2) (2)(1) + (2)得：(蒼+9)/(%)+ /(尤2)<($+Z)/(%+)，而蒼+尤2>0，因此 f(xi) + f(x2)< f(xl +x2).(III)證法 1 ：由于 X, x, w (0, + oo),則 0 < % < % + 電 + +x“，而 F(尤) X在(0,+8)上是增 函數(shù)， 則 F(X1)<

30、 F(Xj +X2 +-+XJ, 即/(X)/(無(wú)I + 工2 + + X)<,- 9X+W +/（可 + 巧+/）/（玉）可/（玉+“2+一,+%）同理（內(nèi)+/+ X"）/（W）>%丁（9+工2 +七）(F + + +%)/(%) > /(A, + / + + x”)以上“個(gè)不等式相加得：(X +x2 4卜4)"(演)+ /()4 f(xn) >(X +%2 4卜%)/(七 +電 H bx“)而 X + £ + + % >0/u,) + /(x2) + -/(x) > /($ +w +.+x.)證法2：數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng) =2

31、時(shí)，由(H)知，不等式成立；(2)當(dāng)=左522)時(shí),不等式/區(qū))+人工)+/(茗)>/(內(nèi)+% +茗)成 立，即ra)+/(尤2)+)> /(%+七+川)成立，則當(dāng)=無(wú) + 1 時(shí),f(x1) + /(x2) + - f(xk) + f(xM) > f(xl + x2 + -+xk) + f(xk+l) 再由(II)的結(jié)論，/(“ +/ + +4)+/(%)+/ +4)+ %/(% + + , + 4)+ f(xk+l) > /(%! + W + + X* + x*+J因此不等式/(Xj) + f(x2) + - f(xn) > f(xt +9+%)對(duì)任意”22的

32、自然數(shù) 均成立.12. （I）解：展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是屐15卜_1=當(dāng)n） rr（H）證法一：因 F（2x） + "2）= l + 1 +1 + 證法二:故只需對(duì)(1 + /)和ln(l+£進(jìn)行比較。令g(x) = x-lnx(xNl),有 g'(x) = _*- = -由-=0 ,得 x = 1X因?yàn)楫?dāng)()<x<l 時(shí)，g'(x)<0, g(x)單調(diào)遞減；當(dāng) l<x<yo 時(shí)，g'(x)>0, g(x)單調(diào)遞增，所以在X = 1處g(x)有極小值1故當(dāng) X>1 時(shí)，g(x)>g(

33、l) = l,從而有x-lnx>l,亦即尤>lnx+l >lnx故有+恒成立。所以/(2x)+2)N2/(x),原不等式成立。(III)對(duì)? E N ,且m > 1<2+l + l + .+l + .+±k!ml2! 3!又因>0(& = 2,3,4,，加)，故2<(l+ <3V 2< 1+ m<3 ,從而有2(1 + ：kI <3成立,即存在a = 2,使得2<卦+ ：<3恒成立。五、強(qiáng)化訓(xùn)練A組1 .函數(shù)y = V-3x + 2的極小值、極大值分別為()A.極小值0,極大值4B.極小值-16,極

34、大值4C.極小值-1,極大值4D.極小值0,極大值1分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，y' = 3x2-3 ,令y' = 0=>x = -l,x = l是兩個(gè)駐點(diǎn)。因?yàn)閤e(-oo,-l)時(shí)，y'>0 ； xe(1,1)時(shí)，y'<0； xe(1, +oo)B-f, y'>0 ,所以x = -l對(duì)應(yīng)極大值，x = l對(duì)應(yīng)極小值。尤=-1時(shí)，y = 4； x = l時(shí)，y = 0 答案：A2 .設(shè)/'(/)=2 ,則 lim /(*¥)二%二)=()hohA. -2B. 2C.-4d.4分析：由導(dǎo)數(shù)定義可得hmf(Xo + h)-f

35、(xo-h) = lim/(xo + A)-/(xo)+ hmf(x0)-f(xQ-h) = 2 r(x() = 4 力一>ohhfOkAtoh答案：D3 .函數(shù)/(x) = " ln(l + x) + 2的單調(diào)遞減區(qū)間為分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，fx) = ex一 = (1+-)-1 ,則x>0時(shí)，/,(x)>0； x<0 l+X 1+X時(shí)，/,(x)<0； x = 0時(shí)，f'(x) = O,又函數(shù)的定義域?yàn)?一1,+8),所以/(X) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0答案：(-1,014 .若四次函數(shù)R(x)=0有四個(gè)根，則它的導(dǎo)函數(shù)有多少個(gè)根？分析：令/

36、(回=0的四個(gè)根為6<%<生<%，且不妨設(shè)尸。)=0的最高次項(xiàng)系數(shù) 大于0,則Xf4O0時(shí)尸(x)>0。所以在(一8,4)上F(x)>0,在(4，生)上 F(x) <0,在(。2，4)上尸(x)>0，在(，/)上/(x)<0，在上 F(x)>0o所以/(x)的導(dǎo)函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，即有3個(gè)根答案：至多3個(gè)根5 .若方程丁27x +根=0有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍分析：記/(幻=/-27+機(jī)，/(x) = 0有3個(gè)不同實(shí)根，則/(x) = 0應(yīng)該有2個(gè) 不同實(shí)根X,%。設(shè)X<%,令/'(x) = 3x?-27 = 0 =&

37、gt;X =-3,*2 = 3，貝U x = 3時(shí)，/(x)有極大值，所以/(3)>0=>m >-54； x = 3時(shí)，/(x)有極小值，所以/(3)<0=>加<54。 所以一54 <6v 54答案：-54</n<546 .已知三次方程/一3。%-6。2+3。= 0(。>0)只有一個(gè)實(shí)根是正的，求n的取值范 圍分析：4/(X)= x3-3a2x-6r/2 + 3a ,則/") = 3/一3/(1) fx) >0恒成立=>a = 0與題設(shè)矛盾(2) /'(x)W0恒成立顯然不可能(3) /'(X)=

38、 0 = x = ,x = -a ,因?yàn)椤?gt;0,所以/(x)在(-8,-a)上單調(diào)遞 增，在(一,)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，則|/(一。)<°=>匕巨<。<過(guò)史/(a)<0227 .已知函數(shù)x(1)判斷函數(shù)/(X)的奇偶性(2)若/(x)在區(qū)間2,4W)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析：(1)對(duì)。進(jìn)行討論，a = 0=> /(幻=/為偶函數(shù)a0=> f(x) = x2+-,f(-x) = x2-,則 |/(x)國(guó))(一刈，為非奇非偶函(2)由題意，在x»2時(shí)，fx) = 2x- = ->0=a<(2

39、x3)min=6 X X所以aW16答案：(1) a = 0時(shí)為偶函數(shù)，a/O時(shí)為非奇非偶函數(shù)；(2) aW168 .已知三次曲線。：'=工3+放2 + 6 + 1的圖象關(guān)于點(diǎn)4(1,0)中心對(duì)稱(1)求常數(shù)b(2)若曲線C與直線/:y = 4x+12相切，求曲線C的方程分析：(1)由題意，若Q,s)在曲線上，則(2八一s)也在曲線上，即s = /+br+cf + d,-,=>(6 + 2 獷一(i2 + 4b» + 8 + 4"2c +2d = 0s = (2 /)3 +Zj(2_/)- +c(2 /) + d由于恒成立，所以6+» = 0=>

40、;方=-3(2)由(1)知8 + 4/7 + 2c +2d = 0=>c+d = 2 = d = 2-c 令(機(jī),4m+ 12)是C的切點(diǎn)=>C在該點(diǎn)的切線斜率為4 由y' = 3x2 +2fex+cn 4 = 3m？ + 2bm + c = 3w2 -6m + c => c = 4-3m2 +6加,又 4m +12 = /t?5 - 3m2 + cm + 2 c n c(m-1) = 一/ + 32 + 10,所以/ = 一1,答案:c = -5,d = 7,從而 y = x3-3/-5x+7(1)力=-3； (2) y = x3-3x2-5x +，?1 . 一元三

41、次函數(shù)/(x)的三次項(xiàng)系數(shù)為三，/'(x) + 9x>0的解集為(1,2)(1)若尸(x) + 7a = 0有兩個(gè)相等實(shí)根，求/'(x)的解析式(2)若/(x)在/?上單調(diào)遞減，求。的取值范圍分析：設(shè)f(x) =+6尤2+cr + d ,則/>'(*) = or?+ 2x+c ,f'(x) + 9x>Q=>ajc2+(2b + 9)x + c>0.又因?yàn)?'(x) + 9x>0的解集為 (1,2),所以(x-l)(x-2) < 0,a < 0,對(duì)比系數(shù)可得 2 =-3a-9,c = 2(1)/(x) + 7

42、。= 0nax2 + 2bx + c + 7o = 0ncue2 -(3a + 9)x + 9a = 0, 因?yàn)橛袃蓚€(gè)相等實(shí)根，所以A = (3a + 9)2-36a2 = 0n = -in/，(x)= x26x 2 (2)/")=2 -(3a + 9)x + 2a,要使得/(x)在H上單調(diào)遞減，只需 尸(x)40在R上恒成立即可。所以a v 0/I.,=> -27 -18V2 < < -27 +18V2(3a+9)2-8/ <0答案：(1) fx) = -x2-6x-2； (2) -27-18a/2 <a<-27 + 18>/22 .設(shè)三次

43、函數(shù)在x = l處取得極值，其圖象在 x = 相處的切線的斜率為3ab(1)求證：0«上<1a(2)若函數(shù)y = /(x)在區(qū)間上川上單調(diào)遞增，求|st|的取值范圍 /'=3a + 2。+ c = 0分析：(1) fx) = 3ax2 + 2bx + c,由題意可得、 =>f m) = 3anr + 2bm + c = - 3a3a = 2b c=>2b = 21n , <0=>6Z<Z?<0=>0< <1 m -m +1a(2)由(1)可知/'(幻=3以2 + 2版+。= 0的A = 462-12ac>

44、;0,所以方程 /'(x) = 0 有兩個(gè)不同實(shí)根芭,。又2bf *(1) = 3a + 2b + c = 0=>xl = 1 =>x2 =1 =>Xj <0<x, o3a所以，當(dāng) XV/或 時(shí)，/'(x)vO；當(dāng)天2無(wú)% 時(shí)，/Xx) 0所以，y = /(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是內(nèi),看=歸72| = 2 + | 2,|)即k f|e 2,|)答案：(1)略；(2)卜一3 .已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)/(幻=；%2 + 2必送()=3/111%+力，其中a0, 設(shè)兩曲線y = /(x), y = g(x)有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同(1)若a =

45、l,求b的值(2)用a表示，并求力的最大值3分析：(1) f'(x) = x+2,g'(x) = -,設(shè) y = /(x)與 y = g(x)(x>0)在公共點(diǎn)(八,%) X處的切線相同，由題意可知12，, 、，、-x0 +2x0 =31nx0 + Z?f/U0) = g(x0)2 000 八 5/(xo)= 8 (-0)2 = _2(2) f '(x) = x + 2a,g '(x) =,設(shè) y = /(x)與 y = g(x)(x>0)在公共x點(diǎn)(天,治)處的切線相同，由題意可知12，"(x0) = g(x。)/+2 科=3優(yōu)g。+&q

46、uot;S/)= g'(x。)x0 + 2”生、 X。5所以/? =a? -3a2 na25 .令 h(a) = 一 3a2 1n a(a > 0),則a) = 2a(l-31na)I當(dāng)2a(l-31na)>0,即0<a<般時(shí)，hd)>Q當(dāng)2a(131na)<0,即a>e§時(shí)，ha)<0,1 3 -所以(。)在(0,+8)的最大值為/?(e3) = e3答案：(1) b = ±； (2) b = -a2-3a2na,最大值為ee3 222,b4.已知函數(shù)f(x) = ac21nx,/(l) = 0.x(1)若函數(shù)/(x

47、)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)/(x)的圖像在尤=1處的切線的斜率為0,且。用=/'(一?一)一二 + 1, 。一 +1已知4 =4,求證：> 2/14-2 ；分析：(1) /(l) = 0=>a = /?=>/(x) =-21nx=>ff(x) = a+xx要使函數(shù)/(x)在定義域(0, +oo)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則在(0,+oo)內(nèi)fx)恒大 于0或恒小于02當(dāng)。=0時(shí)，fx) = 一一<0在(0,+8)內(nèi)恒成立X當(dāng)a>0時(shí)，要使/'(%) = 4(一工)2+。22 0恒成立，則 x a aa->0=>a&

48、gt;la當(dāng)4 < 0時(shí)，fx) = 4 +二<0恒成立 X X所以綜上所述，a e (-oo,0 kJl,4-oo)1 9(2)根據(jù)題意得了'(1) = 0=>。= 1 =>/'(%) = (一I)2 x所 以 0什i = /'() 一2 +1 =- n)2 -2 +1 =-+1。一 +1用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng) =1時(shí)，4=422x1 + 2,不等式成立假設(shè)當(dāng)二女時(shí)，不等式4224+ 2成立，即%-2222則當(dāng)=4+ 1時(shí)，。女+1 = a： - 2Azza +1 = 4(% 2Z) +1 之(2Z + 2) x 2 +1 = 2(&

49、 + 1) + 2 所以不等式也成立。綜上所述，可得證。答案：(1) «e(-oo,OJul,+oo)； (2)略六、參考答案A組1 .分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，y' = 3x2 -3 ,令y' = 0=>x = -l,x = l是兩個(gè)駐點(diǎn)。因?yàn)?不£(-8,-1)時(shí)，y*>0 ；時(shí)，y*<0； X£(l,+oo)時(shí)，y*>0 ,所以x = -1對(duì)應(yīng)極大值，x = l對(duì)應(yīng)極小值。x = 1時(shí)，y = 4 ； x = l時(shí)，y = 0答案：A2 .分析:由導(dǎo)數(shù)定義可得hmf(Xo + h)-f-h) = lim/(Ao + A)-/(

50、xo)+ lim/(x0)-/(x0-A) = 2/u)= 46Tohj。hhfOh答案：D1+ 無(wú))一13.分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，f '(x) = ex=:，則x>0時(shí)，/'(X)>0 ； x<01 + x 1 + x時(shí)，/,(x)<0； x = 0時(shí)，/'(x)=0,又函數(shù)的定義域?yàn)?一 1,+oo),所以/(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0答案：(一 1,04 .分析：令F(x) = 0的四個(gè)根為4 </ </ <。4，且不妨設(shè)尸(x)=0的最高次項(xiàng)系 數(shù)大于0,則Xf+X時(shí)b(x)>0。所以在(-00,4)上尸(x)&

51、gt;0,在(q，4)上 F(x) < 0 ,在(。2，%)上尸(X)>0，在(生，&)上/(X)<0，在(%，4*00)上 F(x)>0o所以/(x)的導(dǎo)函數(shù)有3個(gè)極值點(diǎn)，即有3個(gè)根答案：至多3個(gè)根5 .分析：記/(尤)=/-27x + m, /(x) = 0有3個(gè)不同實(shí)根，則/'(*) = 0應(yīng)該有2 個(gè)不同實(shí)根設(shè)X<工2，令/'(X)= 3/-27 = 0=> % =-3,/=3 ,則 x = -3時(shí)，/(x)有極大值，所以/(- 3)>0 =機(jī) >一54； x = 3 時(shí)，/(x)有極小值，所以/(3)<0

52、=6<54。 所以一54<加<54答案：-54<根<546 .分析：令/(3)=工33/尤一6/+3。，則/") = 3/-3“2(1) /'(x)20恒成立=。=0與題設(shè)矛盾(2)恒成立顯然不可能(3) f '(x) = 0 =>x = a,x = -a ,因?yàn)閍>0,所以/(x)在(-8,-a)上單調(diào)遞 增，在(一a,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，則“)<° = 土<a之芭 /(a)<022 3-63 + 6答案：<a<227 .分析：(1)對(duì)a進(jìn)行討論，a = 0=&g

53、t; /(幻=%2為偶函數(shù)«0=> f(x) = x2+-,f(-x) = x2-,則|/(x)國(guó)/(x)|,為非奇非偶函 數(shù)(2)由題意，在xN2時(shí)，f'(x) = 2x一一7 = ->0=>6Z<(2x3)min =16 X X所以aW16答案：(1) ” = 0時(shí)為偶函數(shù)，二()時(shí)為非奇非偶函數(shù)；(2) a<168 .分析：(1)由題意，若Q,s)在曲線上，則(2-f,-s)也在曲線上，即,3,21s = t + ht + cf + d)<=>(6 + 2b)/-(12 + 4/?» + 8 + 4b + 2c + 2

54、d = 0-s = (2-t)3 + b(2 -t)2 +c(2-t) + d由于恒成立，所以6+%=0= = 一3(2)由(1)知 8+Ab+2c + 2d = 0 => c+d = 2 d = 2c 令(機(jī),46+ 12)是C的切點(diǎn)=。在該點(diǎn)的切線斜率為4 由y' = 3x2 + 2bx + cn 4 = 3m2 + 2bm + c = 3m2 -6m + c=> c = 4-3m + 6m ,又 4m +12 = /n' - 3m + chj + 2 - c => c(m -1) = -in' + 3m2 + 4m +10 , 所以/ = 一1,c = -5,d = 7,從而 y = x，-3/-5x+7答案：(i)。= 一3； (2) y = d-3x2-5x+7B組1 .分析：設(shè)+ d ,則/'(x) = ax2 + 2/?x + c,f '(x) + 9x > 0 => ax' +(2b + 9)x + c > 0 o 又因?yàn)?'(x) + 9x>()的解集為 (1,2),所以(x-l)(x-2)<0,a<0,對(duì)比系數(shù)可得e = -3“-9,c = 2a(1) fx)