(完整版)初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競(jìng)賽講座第30講__創(chuàng)新命題

1、1第三十講創(chuàng)新命題第三十講創(chuàng)新命題計(jì)算機(jī)技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅猛發(fā)展， 深刻改變了我們的學(xué)習(xí)方式、生活方式與思維方式IT技術(shù)、Cyber空間、bemgdigital(數(shù)字化生存)等新概念層出不窮.與時(shí)俱進(jìn)，科學(xué)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的需求，不斷提出了新問題，在解決新問題的過程中又產(chǎn)生了許多新方法.近年各地中考、各級(jí)競(jìng)賽出現(xiàn)了豐富的以考查創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)造精神為目的的創(chuàng)新命題，歸納起來有以下類型：1.定義一種新運(yùn)算；2.定義一類新數(shù)；3.給定一定規(guī)則或要求，然后按上述規(guī)則要求解題；4.注重跨學(xué)科命題.解創(chuàng)新命題時(shí)，需要在新的問題情境下，盡快適應(yīng)新情況，充分運(yùn)用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)方法去創(chuàng)造性地思考解決問題，對(duì)培養(yǎng)閱讀

2、理解能力、創(chuàng)新能力、提高學(xué)習(xí)興趣有重要的促進(jìn)作用.例題【例1】一個(gè)非零自然數(shù)若能表示為兩個(gè)非零自然數(shù)的平方差，則稱這個(gè)自然數(shù)為“智慧數(shù)”比如16=5232，故16是一個(gè)“智慧數(shù)”，在自然數(shù)列中，從1開始起，第1990個(gè)“智慧數(shù)”.(北京市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥自然數(shù)可分為奇數(shù)與偶數(shù)， 從分析奇數(shù)與偶數(shù)中“智慧數(shù)”的特征入手.注：定義新數(shù)，即給出一種特殊的概念或滿足某種特殊的關(guān)系，解這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確全面理解“新數(shù)”的意義，通過推理解決問題【例2】在甲組圖形的4個(gè)圖中，每個(gè)圖是由4種簡(jiǎn)單圖形A、B、C、D(不同的線段或圓)中的某兩個(gè)圖形組成的，例如由A、B組成的圖形記為A-B，在乙組圖形的(

3、a)、(b)、(c)、(d)4個(gè)圖中，表示“A-D”和“A-C”的是().A.(a)，(b)B.(b)，(c)C.(c)，(d)D.(b)，(d)(江蘇省競(jìng)賽題)甲組甲組QoOABBCCDBD思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥從甲組圖形中，兩兩比較A、B、C、D分別代表的哪種線段，哪種圓.【例3】有依次排列的3個(gè)數(shù)：3，9，8.對(duì)任相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3，6，9，1，8，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3，3，6，3，9，10，1，9，8，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串3，9，8開始操作第100次以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有

4、數(shù)之和是多少?(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥用字母表示數(shù)，通過對(duì)一般性的考查，探求新增數(shù)之和的規(guī)律，以此作為解題的突破口.【例4】設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù)(如3.7=3,3.7=4)解下列了程：(1) l.77x=1.77x；(x為非零自然數(shù))(四川省選拔賽試題)1(2) 3x+1=2x-(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥解與x相關(guān)的問題，關(guān)鍵是去掉符號(hào)“”，需靈活運(yùn)用x的性質(zhì)，并善于把估算、等式與不等式知識(shí)綜合起來.注：解決實(shí)際問題及計(jì)算機(jī)的運(yùn)算時(shí)，常常需要對(duì)一些數(shù)據(jù)進(jìn)行取整運(yùn)算，即用不超過它的最大整數(shù)取而代之X有以下基本性質(zhì)：(1)x=x+r,OWrvl；(2)xWxVx+

5、1；(3)x1VxWx；(4)n+x=n+x；(5)x+y三x+y其中當(dāng)n為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x為整數(shù)時(shí)等號(hào)成立.2【例5】如圖，沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的4個(gè)數(shù)a,b,c,d滿足不等式（ad）（bc）0,那么就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作.（1）若圓周上依次放著數(shù)1，2，3，4，5，6，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對(duì)圓周上任意依次相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d都有（ad）（b一c）WO?請(qǐng)說明理由.（2）若圓周上從小到大按順時(shí)針方向依次放著2003個(gè)正整數(shù)1，2，2003,問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對(duì)圓周上任意依次相連的4個(gè)數(shù)a，b，c，d都有（ad）（b一c）W0?請(qǐng)說明理由.

6、（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥（1）從16中選取滿足（ad）（b一c）0的四個(gè)數(shù)，按題設(shè)條件操作,直至符合結(jié)論的要求；（2）略.注：解按規(guī)則要求操作類的問題或?qū)懗鼍唧w操作步驟，或指出按規(guī)則要求不能實(shí)現(xiàn)的理由解題的關(guān)鍵是善于在變化中把握不變量，利用不變量解題，此外，還要能靈活運(yùn)用整數(shù)的整除性、奇偶性、通過賦值數(shù)學(xué)化等知識(shí)與方法.【例6】假設(shè)a#a+b表示經(jīng)過計(jì)算后a的值變?yōu)閍的原值和b的原值的和，又b#b.c表示經(jīng)過計(jì)算后b的值變?yōu)閎的原值和c的原值和乘飄假設(shè)計(jì)算開始時(shí)a=0,b=1,c=1,對(duì)a、b、c同時(shí)進(jìn)行以下計(jì)算：（1）a#a+b；b#b.c；（3）c#a+b+c（即c的值變?yōu)樗?/p>

7、得到的a、b的值與c的原值的和）.連續(xù)進(jìn)行上述運(yùn)算共三次，試判斷a、b、c三個(gè)數(shù)值之和是幾位數(shù)？思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥對(duì)a、b、c同時(shí)進(jìn)行連續(xù)三次運(yùn)算后的結(jié)果如下:運(yùn)算次數(shù)123a125b1324c3837經(jīng)過三次運(yùn)算后，a+b+c=5+24+37=66，它是一個(gè)兩位數(shù).學(xué)力訓(xùn)練學(xué)力訓(xùn)練3.餐廳里有兩種餐桌，方桌可坐4人，圓桌可坐9人，若就餐人數(shù)剛好坐滿若干張方桌和圓桌，餐廳經(jīng)理就稱此數(shù)為“發(fā)財(cái)數(shù)”在1100這100個(gè)數(shù)中，“發(fā)財(cái)數(shù)”有個(gè).（“五羊杯”競(jìng)賽題）4.讀一讀：式子“1+2+3+4+5+100”表示從 1 開始的 100 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和由于上述式子比較長(zhǎng)，書寫也不方便,為了簡(jiǎn)便起見，我們

8、可將“1+2+3+4+5+100”表示為100n，這里“丫”n=1是求和符號(hào).例如：“1+3+5+7+9+99”（即從 1 開始的 100 以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為02n-1；又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示為0n3.同學(xué)們，通過對(duì)以上材料的n=1n=1閱讀，請(qǐng)解答下列問題：12+4+6+8+10+100（即從 2 開始的 100 以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號(hào)可表示為；a2.對(duì)于任意有理數(shù)a,b,c,d,我們規(guī)定c2x二ad-bc,如果218，那么x的取值范圍是1.現(xiàn)定義兩種運(yùn)算：沃，對(duì)于任意兩個(gè)整數(shù)a,b,盤圧磁=a+b-1,32計(jì)算：0 0（

9、n2-1）=（填寫最后的計(jì)算結(jié)果）。（2003牟無(wú)錫市中考題）n=145.現(xiàn)規(guī)定一種運(yùn)算：b=ab+ab，其中a、b為有理數(shù)，則+(ba)匕等于().A.a26B.b2一bC.b2D.b2一a(大原市中考題)6.“”表示一種運(yùn)算符號(hào)，其意義是:ab=2a-b,如果x(13)=2，那么x等于().13A.1B.C.D.2227.設(shè)a表示不超過a的最大整數(shù)，如4.3=4,4.3=5，貝V下列各式中正確的是().A.a=|a|B.a=aa- -1C.a=aD.aa一1(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)a a+b8.設(shè)記號(hào)“”表示b=，試寫出兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“”和“+”且對(duì)任意3個(gè)數(shù)a，b，c都成立的等式(不

10、少于兩個(gè)).(上海市春季高考題)9設(shè)x表示為不超過x的最大整數(shù)，解下列方程：(1)|x|+2x+4x+8x+16x+58=0；2x+1=x-3(重慶市競(jìng)賽題)10.一個(gè)自然數(shù)a， 若將其數(shù)字重新排列可得到一個(gè)新的自然數(shù)b， 如果a恰是b的3倍， 我們稱a是一個(gè)“希望數(shù)”.(1)請(qǐng)你舉例說明“希望數(shù)”一定存在；(2)請(qǐng)你證明：如果a，c都是“希望數(shù)”，則ac一定是729的倍數(shù).(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)么20012002=.a a+2b|12.若規(guī)定ab=2，那么方程x x|=4的解x=.13._對(duì)一切正整數(shù)n,有f(n+1)=f(n)+n，且f(1)=1，則f(n)=.14.將自然數(shù)N接寫在每一

11、個(gè)自然數(shù)的右面(例如，將2接寫在35的右面得352)，如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為“魔術(shù)數(shù)”.在小于130的自然數(shù)中，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為.(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)15.若x=5,y=3，z=1，則xy一z可以取值的個(gè)數(shù)是().A3B4C5D6(2002年重慶市競(jìng)賽題)16.用min(a，b)表示a、b兩數(shù)中的較小者，用max(a、b)表示a、b兩數(shù)中的較大者，例如min(3，5)=3,max(3,5)=5,min(3,3)=3,max(5,5)=5.設(shè)a、b、c、d是互不相等的自然數(shù)，min(a,b)=p,min(c,d)=q,max(p,q)=x,max(a,b)=m,max(c,d)=n

12、,min(m,n)=y,則().AxyBxy和xy都有可能(江蘇省競(jìng)賽題)17.設(shè)x表示不超過x最大整數(shù)，又設(shè)x、y滿足方程組 2|j5，如果x不是整數(shù)，那么x+y是11. 表示種運(yùn)算，1它的含義是x0=x0=+xy1(x+1)(y+A)，已知21=11+2x1(2+1)(1+A)5()(第33屆美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)A.個(gè)整數(shù)B.在4與5之間C.在一4與4之間D.在15與6之間E.16.5618.對(duì)任意有理數(shù)x、y定義運(yùn)算如下：xAy=ax+by+cxy，這里a、b、c是給定的數(shù)，等式右邊是通常數(shù)的加法及乘法運(yùn)算，如當(dāng)a=1,b=2,c=3時(shí)，3=1X1+2X3+3X1X3=16，現(xiàn)已知所定義的新

13、運(yùn)算滿足條件，142=3,243=4,并且有一個(gè)不為零的數(shù)d使得對(duì)任意有理數(shù)xd=x，求a、b、c、d的值.19.有三堆石子的個(gè)數(shù)分別是19，8，9，現(xiàn)在進(jìn)行如下的操作：每次從這三堆石子中的任意兩堆中各取出1個(gè)石子，然后把這2個(gè)石子都加到另一堆中去，試問能否經(jīng)過若干次這樣的操作后，使得：（1）三堆石子的數(shù)分別是2，12，22；（2）三堆都是12.如能，請(qǐng)用最快的操作完成；不能，則說明理由.注：若從第一、二堆各取1個(gè)到第三堆，可表示為（19，8，9）-（18,7，11）等（五城市聯(lián)賽題）20.n為自然數(shù)，若n+6|n+1996，則稱n為1996的吉祥數(shù).比如:4+6|43+1996,4就是199

14、6的一個(gè)吉祥數(shù)，試求1996年的所有吉祥數(shù)的和.21.下面給出表甲和表乙，若將表甲中相鄰的兩個(gè)小方格（指有公共邊的兩個(gè)小方格）中的數(shù)都加上或減去同一個(gè)數(shù)，稱作一次操作，問經(jīng)過若干次操作之后，能否將表甲變成表乙?若能，請(qǐng)寫出一種操作過程；1122.規(guī)定：正整數(shù)n的“H運(yùn)算是：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，H=3n+13；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，H=nxxx,厶厶（其中H為奇數(shù)）.如數(shù)3經(jīng)過1次“H運(yùn)算”的結(jié)果是22,經(jīng)過2次“H運(yùn)算”的結(jié)果是11,經(jīng)過3次“H運(yùn)算”的結(jié)果是46.請(qǐng)解答：（1）數(shù)257經(jīng)過257次“H運(yùn)算”得到的結(jié)果；若“H運(yùn)算”的結(jié)果總是常數(shù)a,求a的值.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）第三十講創(chuàng)新命題參考答案

15、第三十講創(chuàng)新命題參考答案w1響按屆十1紅nipmj氛每令大于1的奇救習(xí)毎“干4口楚q的儕數(shù)的啓殊刪慧數(shù)， 而按-i險(xiǎn)余數(shù)為2的慚枚顯和見押簽數(shù)、 處小智慧數(shù)為3從5TFtfh神塾毀晁5.7,8+9,.12,13,15,1637,19+20-HP2個(gè)缶敦，1牛4的信數(shù)胡亍一組依木排列下去.例2選D崔?。阂粋€(gè)傕次播列的N個(gè)甦組戍一個(gè)敷皚；01心“6皿，依囲設(shè)段作力-陡可得新増的散肖沓一-血,flj-a2,!-：!*.LT.,rt,-iW新謂致龍利為i0l54326784552046100100000000l00l（北京市競(jìng)賽題）若不能，請(qǐng)說明理由.表甲表乙7(叫ill)+(J)fl；)+*-+(；

16、!.t-l)=4T*1總數(shù)串為3個(gè)數(shù)皿*9胡第1次揍作后所得掘巾為；盼氣9一1氣提搦(姦】可知浙堆2廁之和為出+(15=8乳第2股操柞后所得數(shù)串為;釘3+旅3,410一1,!?.鮎很據(jù) 塞、 可如， 新増4頊之和為3+3+-W)+9-5-8-3.按這牛現(xiàn)裙下去第1俑次檢作 G 所得新數(shù)申所脅數(shù)的和為(+lOOX(8-3)-520別4CD匝方程即】一1.種用工一2從而一恥篡一1,77jr血丄血/,交換兒的位置民i2003個(gè)址的ftl鄰兩S集積之和為P有P+TPi=(u+c-33.闘I4,8tej2j3dU7,L8.2n,?l,2!?.24.25,26t27.2B-由此訓(xùn)樹超過2以后的任何一個(gè)數(shù)槪

17、町由24-27+的菜數(shù)再加上4的片 怙組成*所旦24以話的數(shù)都融-翁黠數(shù)”+刊閃02罰+11=酣4.+fiiSc)十 2 嵌血=曲C3)aSt(i+f)=a5S64*-1(4)si嵌c4右十rJfef=a+&+淋3+&十.9.(|JT|回為養(yǎng)戳.從術(shù)工為整數(shù).塢方程化為1旳十2工十!=十8T+lfiT=0JC-2I(2)i8f2j+叮之工一+=”5為藝數(shù))r*-ji十則OCEr+1)1|02X(卄寺)T】irl.(iS*號(hào)止一|*1從面附彳=春10.(1)3105=3X103/0#j存曲(2)用7圭示a的數(shù)宇重新帶列后的戳伸皿)春示q的數(shù)導(dǎo)柜G)我顧7的數(shù)字和.由訂鬧3W=-：

18、 l|$W、r3山31M*91a=91a)=*91f(a)91(a)=27|.Fl釦“故7291ar,1RU1&9SOOD，2-土豆.由/(n+1+/5+1)/X)-1*,于是有/()/(1)=1.1)8=-lt|fii”一】牛等式相加得A)-/a)=l+2+3+-+n-l=n-/7iVn+A】丄9提示設(shè)室術(shù)散為占代數(shù).戸是任一自然Jft.PN-PXiU*+N,由NI麗.得Nil化當(dāng)H時(shí)，N-lf2R$t當(dāng)時(shí)，N=1Q 20.25*50*當(dāng)A-3時(shí)*N=100*12乩15.15.A提示I5J6,3y2.1IE0則7CJC.從而岳一y1機(jī)D提樂：翌Q 4上=氛t=2顯=1.得=3*$=2

19、.取a,b-2,c=3,c/=l.得l=2,y*3.17.17.D熬方桂即劃(、一牛，兩式権減趙=4祇人心=皿機(jī)血 3 卡殲憶得 Xh 十穴詢1*=3工一1-$口+顯一1=018.18.應(yīng)5仏=0疋=1胡=提示1由工注=jn11J+W+C25f5p6)=(24T4,8*(23.3*(22,2+12)1(2)不可能.因?yàn)闅按五涀鲉ⅲ瑲岸咽訑?shù)憂么加氛蜜虜少1*而H冷川裱3除:余數(shù)分制為1芒乩經(jīng)過任何一氏操作后余數(shù)分別是0,1+2不可臘同時(shí)戰(zhàn)3整除-20*由占禪數(shù)従文知；“+$|*+1996而*+1$96R”4_6n+1780(卜6(6w+36)+180(所以6n+36十嚶.設(shè)彈一去“悔整數(shù))則l

20、?SO-A(n+&=1X1780-2Xg&D=4X445=5XS&6=10X17=20X89,所成，JT十&JIT&當(dāng)&=1時(shí).77*6=1了加*即n=1774.=2時(shí)，”+&-*&此*即n-8A4f同理町幷別求得S*=4+5aoa7Bt2OtB9時(shí)山的值甘別為439.350,172.4,83*1故1996平所有吉樣數(shù)的41774+884+439+3501l?2+4+834-14=372Or2L提示：無(wú)論經(jīng)過密少衣操作，都不第將表甲蠻為表乙，理由如F：4X4方簾表血團(tuán)黑白架茁，按題設(shè)的操柞規(guī)則禪氏操柞都便一牛盟議與相鄰的白播中的敷同吋?jí)埣踊蚪干僖粋€(gè)數(shù).它們的菱不變.因此每猷拱作牛黒格所填散之和與&個(gè)口輅所堆數(shù)之和的葢值