2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第11章 比例與相似試題1 新人教版

1、2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí)第二篇平面幾何第11章比例與相似試題1新人教版li.i.i*在中，角平分線與交于,，求、之長(zhǎng)度（用、表示）.解析如圖，易知有，故，11.1.2已知：等腰梯形中,、分別是腰、的中點(diǎn)，且交于,解析如圖，不妨設(shè)，貝y,故，MN=-（AD+BC）=1=CE.2求證：.C11.1.3在中，的平分線交于，過(guò)分別作、的平行線交、于、，和的延長(zhǎng)線交于，求證：.GEBEBEBDAB1解析如圖，由，及平分，知=-GFDFAECDAC2故，因此.11.1.4設(shè)為的邊的中點(diǎn)，過(guò)作一直線，交、或其延長(zhǎng)線于、，又過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于,貝.解析由平行知于是由第一式與最后一式，轉(zhuǎn)化為乘法

2、，即可得結(jié)論11.1.5已知是平行四邊形內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于、，又過(guò)作，分別交、于、;連結(jié)，交于；連結(jié)，交于如果，求證：平行四邊形是菱形解析如圖，易知，.由于，故OP-AB=GA-BF=AE-DH=OQ-AD，于是，四邊形是菱形.11.1.6中，是的角平分線.是的中點(diǎn)，過(guò)作直線平行于交、或延長(zhǎng)線于和.求證:.解析如圖，易知比靠近，在上，而在延長(zhǎng)線上易知，而，故，同理，也是此值評(píng)注不用比例線段的方法是:延長(zhǎng)一倍至，則，再證和均為等腰三角形11.1.7凸四邊形中，平行于交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，平行于交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)、，證明：.解析如圖，設(shè)、交于，則由平行線性質(zhì)，知，同理，故，故.F11.1.8

3、如圖，在中.，、為的三等分角線，交的平分線于、，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，求證:.解析易知關(guān)于對(duì)稱又設(shè)，貝y,故，于是由角平分線之性質(zhì)，知蘭=空=AC=也=AP，于是.BRRQCQBQPQ11.1.9梯形中，（），和交于，過(guò)作，交、于、，和交于，過(guò)作，交、于、.求證：.解析空=如=DM=1-BM=1-EM，故，同理，故，同理，兩式相加并整理即得結(jié)BCACDBDBAD論.11.1.10設(shè)、分別是的三邊的長(zhǎng)，且，求它的內(nèi)角、.解析由條件，得，即，所以.如圖，延長(zhǎng)至，使，于是.因此在與,，且為公共角，所以S，而，故ZABC=/D+上BAD=2ZD=2ZBAC.11.1.11*設(shè)凸四邊形，對(duì)角線交于，過(guò)作直線與

4、平行，交、及延長(zhǎng)線于、.若，求.解析延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于，則有設(shè)，則，代人上式，便得.故.11.1.12為等腰三角形底邊上的高，為的平分線，作于，又作與直線交于，求證:.解析如圖，設(shè)，則由角平分線性質(zhì)知，故.又取中點(diǎn)，連結(jié)，故，故，從而，故.于是.11.1.13*足球場(chǎng)四周有四盞很高的燈，在長(zhǎng)方形的四角，且一樣高，求某一運(yùn)動(dòng)員任何時(shí)刻的四個(gè)影子長(zhǎng)之間的關(guān)系.跳起來(lái)呢?解析設(shè)運(yùn)動(dòng)員在矩形球場(chǎng)內(nèi)，如圖(a),過(guò)作，在上，在上，則AP2-BP2=AM2BM2=DN2-CN2=PD2PC2，或.DNC又設(shè)燈高為，運(yùn)動(dòng)員身高為，點(diǎn)處的燈造成的影子長(zhǎng)為'，如圖），貝y,得，同理，故四個(gè)影子的關(guān)系是HA

5、'PA圖(b)H跳起來(lái)時(shí)，不妨設(shè)腳底離地，此時(shí)點(diǎn)處的燈造成的影子長(zhǎng)度為'，如圖（C）,則于是同理，所以'+=仍舊成立.11.1.14*求日高公式.解析如圖所示，設(shè)太陽(yáng)高度為，桿'=直立在地上，影子的長(zhǎng)度分別為，'，兩桿距離為.所謂日高公式就是用、表示，這里假定大地為平面，且、'與在同一平面上.易知，代入得，故；同理，'.由代入得，由此解得.11.1.15*設(shè)梯形ABCD,E、F分別在AB、CD上,且，若，梯形和梯形的周長(zhǎng)相等，求.解析如圖，作平行四邊形，在上，貝，.設(shè)與交于.易知梯形的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)加上6，梯形的周長(zhǎng)為梯形的周長(zhǎng)加6，故的周

6、長(zhǎng)=梯形的周長(zhǎng)，也即周長(zhǎng)的一半即又，故.GF=CH-DF=45x4=30,CD661111.1.16*如圖，已知中，、交于,、交于，過(guò)作，交于，交于，求證:.C解析設(shè)與交于，與直線交于，則.(PK、pGcdGM于是MN=KN-KM=KM-1=KM=PGPG=GM.(GK丿GKBDPG11.1.17四邊形為正方形,、在延長(zhǎng)線上，、分別是、與的交點(diǎn).求證：為等腰三角形.解析如圖，不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則，.作，交于則c=DG_AD_丄DEAD+EFv2于是，即為直角三角形斜邊之中點(diǎn)，于是.11.1.18*在中，是內(nèi)一點(diǎn)，、分別在、上，且，.若，求.解析如圖，延長(zhǎng)交于'(同理定義，圖中未畫出

7、)，設(shè)，貝y,同理,，由于，故，11.1.19內(nèi)有一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)'，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)'，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)'.若,求的值(用表示)解析如圖，設(shè)，則，而，即，展開(kāi)得+yz+zx+xyz3+2(x+y+z)+xy+yz+zx=1+(x+y+z)+xy故.11.1.20已知的三邊長(zhǎng)分別為、三角形中有一點(diǎn)，過(guò)作三邊的平行線，長(zhǎng)度均為，試用、來(lái)表示.解析設(shè)延長(zhǎng)后與交于'(同理定義'與')，貝y,同理，一仔士口亦知(111)°(PAPBPC')c(abc丿|AA'BB'CC'丿所以.評(píng)注存在的條件是，代人得：、

8、可組成三角形三邊之長(zhǎng).11.1.21已知、分別是銳角三角形的三邊、上的點(diǎn)，且、相交于點(diǎn)，設(shè)，求的大小.解析由熟知結(jié)論，得，因此x(x+6)(z+6)+y(x+6)(z+6)+z(x+6)(y+6)=，即卩=24.11.1.22如圖，正方形邊長(zhǎng)為1,為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與、分別交于點(diǎn)、，(點(diǎn)是與交點(diǎn))與交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng).解析連結(jié)，則由，得，于是，為中點(diǎn)，所以11.1.23*如圖，已知,、分別在、上，則下面任兩條可推出第三條:(1)、共點(diǎn)；(2)；(3)解析(1)，(2)(3)：，則，故(2)，(3)(1)：，故可設(shè)、延長(zhǎng)后交于，、延長(zhǎng)后交于，與重合(1)，(3)(2)：若與不平行，作，在上，在上，

9、則有，得，即，矛盾11.1.24中，為的平分線，在、上取,、分別為、的中點(diǎn)，貝y.解析如圖，連結(jié)，設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)、，則，所以，且ZGMF=ZGME+ZEMF=上ABE+180。ZBEC=180。ZBAC.取上的點(diǎn)，使，則等腰S等腰，且對(duì)應(yīng)邊,，故第三邊也平行，即.11.1.25*已知：中，為上一點(diǎn)，且非中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求證:，平分.解析如圖，作，與延長(zhǎng)線交于，延長(zhǎng)交于，則由，有.又，故.由條件，知，于是，四邊形乃等腰梯形(若四邊形是菱形，則，為中點(diǎn)，與題設(shè)矛盾)，又為中點(diǎn)，顯然(比如由全等)有.C11.1.26*已知、分別為矩形的邊、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)，延長(zhǎng)后與交于.求證.平分解析如圖，設(shè)與

10、交于，則，過(guò)作，交于，則.又，故，于是，由于將垂直平分，于是.11.1.27*在中，求證:，、為的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng).解析如圖，延長(zhǎng)至，使，于是，故，.中，則.又由角平分線性質(zhì)，得，代人前式，得即得結(jié)論.D評(píng)注中，ZA=2ZBoBC2=AC(AC+AB)，證明如下：延長(zhǎng)至，使，于是ZD=ZABCoBC2=AC(AC+AD)或.11.1.28已知，、分別是、上任兩點(diǎn),、延長(zhǎng)后交于,、延長(zhǎng)后交于，求證：若，則、共點(diǎn)；若，則.解析如圖，設(shè)，延長(zhǎng)、分別與交于、，設(shè).由知，同理，即，于是，或.若，則，又做；，由，得、共點(diǎn)(見(jiàn)題11.1.23).11.1.29*正三角形，、是、的中點(diǎn)，、分別在、上，、共線，、共線，

11、、共線，求.解析如圖，不妨設(shè)邊長(zhǎng)為2，則，由，得，同理，1,于是，1x=-1=-1=_-,1z12x12x所以，F(xiàn)P=亠=3-后45-1PE1一x<5一1211.1.30任給銳角，問(wèn)在、上是否各存在一點(diǎn)、，使,，?解析這樣的是存在的.作法如下：在上任取一點(diǎn)'，作'于'，分別過(guò)作、的垂直線交于點(diǎn)BD'DC若'恰在上，貝y，即為滿足條件的三點(diǎn)、；若，'不在上，設(shè)、，所在直線與交點(diǎn)為（因?yàn)槭卿J角三角形，所以交點(diǎn)必在上），過(guò)分別作、的垂線交、于、，則，連結(jié)，易知，得由作法所以，、滿足條件.11.1.31*已知凸四邊形內(nèi)有一點(diǎn),、的平分線分別交、于、

12、，求證：四邊形為平行四邊形的充要條件是為、的中垂線的交點(diǎn).解析若為、的中垂線之交點(diǎn)，貝，于是，于是，同理，又同理，故四邊形為平行四邊形反之，若四邊形為平行四邊形，由于，故由梅氏定理，若、不與平行，它們將與交于同一點(diǎn)這與矛盾，因此，同理，故在、的中垂線上ii.i.32*已知梯形中，分別在、上，求證：若，貝y.又此時(shí)若、交于，交于，問(wèn)三直線、共點(diǎn)的條件解析如圖(a),不妨議、延長(zhǎng)后交于，于是有，圖(a)于是PA-PC=PB-PD=PE-PF，由此可得，故.因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危^(guò)的中點(diǎn)，若、共線，貝由塞瓦定理，有下面刻畫或的位置如圖(b),設(shè)與交于，則由，而，故，此即.11.1.33*如圖，已知

13、中,、交于，延長(zhǎng)后與的延長(zhǎng)線交于，求證:.FHFMFGHDHK解析作，與父于，與父于，則由平仃，知，故=，于是.EJENGNDJEJ11.1.34*已知，、是角平分線,、在上，且，求證：平分.解析1設(shè)內(nèi)心為，與父于，與父于，連結(jié)，父于由角平分線及平仃性質(zhì)，有，故有FMFSSIFPAFENETIEPEAE又，故S,于是，于是平分.解析2由角平分線性質(zhì)，知，于是.又易見(jiàn)，故，于是，以下同解析1.評(píng)注注意解析1更好些，因?yàn)橹灰笃椒?不要求是內(nèi)心，本題結(jié)論也成立.于是本題的逆命題是，由平分得出平分，而不能證明是內(nèi)心.這個(gè)逆命題也是正確的，讀詩(shī)者不妨一試.11.1.35*為內(nèi)一點(diǎn)，、在上,、在上，線段

14、、交于.若，則平分，反之亦然.解析如圖，作平仃四邊形，、分別在、上.設(shè)，.此時(shí)易得，因此喘(11ab(111=+b1(ODOAJOC1OCOB丿于是.但，故.所以平仃四邊形是菱形，為之平分線.Y反之，可設(shè)所作平仃四邊形為菱形.設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，則，即得.同理，于是命題得證.11.1.36*已知，三邊分別為、，是角平分線.求之長(zhǎng)（用、，表示）解析如圖，延長(zhǎng)至，使，于是、共圓，又"，故=AD2+AD-DE=AD+BD-CD.設(shè)，則，故ADjbc_上正+心"2(b+c)2(b+c)2=bc(b+c+a)(b+c-a).b+c11.1.37*在中，、三等分，且2,3,6,求的長(zhǎng).解析如圖，設(shè)，則由角平分線性質(zhì)知，.由于,即,同理,消去,得.11.1.38*已知平行四邊形，點(diǎn)是點(diǎn)在上的垂足，點(diǎn)在上”，點(diǎn)在上，點(diǎn)是與的交點(diǎn),又延長(zhǎng)后與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，求證：.解析如圖，作.對(duì)與來(lái)說(shuō)，而，如果能證明兩三角形(順向)相似，那么第三組對(duì)應(yīng)邊與就垂直了，于是只需證明或.事實(shí)上設(shè)、延長(zhǎng)后交于點(diǎn)，且設(shè)，則易知，于是=cot0=cot0=cot0，又，故，于是，代人上式，即得.IKIJADFB§11.2相似三角形11.2.1已知，是中點(diǎn),、在的同側(cè)，且，證明：.