DSP習題和解答(精)

1、非標準答案，僅供參考！簡答題非綠色部分的自己組織答案！y(n)為輸出。1、設系統(tǒng)差分方程為y(n)=ay(n-l)+x(n)，其中x(n)是輸入，當y(0)=0時，試判斷系統(tǒng)是否是線性時不變的。解：按照線性是不變系統(tǒng)定義判斷。由題意可歸納出y(n)=n_1_ix(i)i=0n對于線性時不變系統(tǒng)應有線性性：Talxl(n)+a2x2(n)=alyl(n)+a2y2(n)時不變性：Tx(n-k)=y(n-k)對于y(n)=n-1-ix(i)，分別驗證是否滿足線性性和時不變性。i=0nTalxl(n)+a2x2(n)=an-1-ialxl(i)+a2x2(i)i=0n=Yan-1-ialxl(i)+

2、an-1-ia2x2(i)=alyl(n)+a2y2(n)i=0i=0nn故知滿足線性性。Tx(n-k)=a(n-k)-1-ix(i)=y(n-k)i=0n-k故知滿足時不變性。所以該系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)。y(n)為輸出。2、設系統(tǒng)差分方程為y(n)=ay(n-1)+x(n)，其中x(n)是輸入，當y(0)=0時，試判斷系統(tǒng)是否是線性時不變的。3、用FFT來分析信號的頻譜，若已知信號的最高頻率為fh=1.25kHz，要求頻率分辨率為厶FS5Hz，試確定：(1) 采樣間隔T；(2) 采用基-2FFT的最小樣點數(shù)N，以及與此相對應的最小記錄長度；(3) 按您確定的參數(shù)所獲得的實際分辨率。解：(1)

3、由那奎斯特采樣定理知fC2fH=2x1.25kHz=2.5kHz，且fC=T，所以T4x10-5s。(2)歸一化角頻率與物理角頻率的關系=QT，其中T為采樣周期，自然有1Aro=AQT，且AQ=2nxAF，由頻域采樣理論知Aro=2nN，最終得到：Aro=2nN=2nxAFT=2nx5xTnN=(5T)顯然，當T越大N越小，故而此處取T=4xl0-5s,上式后得到N=5xlO3。而FFT要求N是2K,大于5000且是2K的最小正整數(shù)為8192。知最小樣點數(shù)為8192，而記錄的最小長度為5000。(3)Aro=2nN=2nxAFT,確定的T=4x10-5s,N=8192，算出實際分辨率AF=3.

4、05Hz，滿足要求。4、證明當FIR系統(tǒng)的單位抽樣響應滿足h(n)=h(N-1-n),且N為奇數(shù)時，該系統(tǒng)具有線性相位。N-1是偶對稱的。為了證明欲證將h(n)向左平移2N-1N-1)，知h(n)是關于原點偶對稱的。h(n)的DTFT個單位得到h(n)=h(n+22為證明：h(n)=h(N-1-n)是關于H()=Yh(n)en=-N-12N-12-jn=Yh(n)cosen-jsin(n)=Yh(n)cosnn=-N-12n=-N-12N-12N-12顯然，H)是實數(shù)。h(n)=h(n+N-1N-1N-1)的)uh(n-)=h(n),那么h(n-222傅里葉變換就是h(n)傅里葉變換，且N-1

5、Fjh(n-)fe2N-12H()=H(e)其中H(w)是h(n)的傅里葉變換。由于H()是實數(shù)，所以H()的相位函數(shù)就是-N-1,顯然是線性相位。故而得證欲證。5、簡述濾波器的功能；IIR與FIR數(shù)字濾波器的各有什么優(yōu)缺點。答：濾波器功能它允許信號中位于通頻帶內的頻率分量通過而位于阻頻帶內的頻率分量被濾除或衰減，實現(xiàn)人為的對信號的濾波，對相位也產生影響。IIR是因果無限長沖擊響濾波器，他的優(yōu)點是在阻帶中的旁瓣更低幅頻特性精度高，缺點是沒有線性相位。FIR是有限長沖擊響濾波器，他的優(yōu)點是具有線性相位，缺點是旁瓣高幅頻特性精度低6、試用頻率抽樣法設計一個FIR線性相位數(shù)字低通濾波器。已知解：c=

6、0.5n,N=51，在通頻帶內頻率樣本取1,在阻頻帶內樣本取0,過渡帶取Hrkl=2,11丿II0k=0,1,.12k=13k=14,15,.252n)kG(k)=(-1)Hrklk=0,1,.120.511312nkl1)1h(n)=1G(0)+2G(k)cosn+II51L51k=1且h(n)=h(N-1-n)，代入有關數(shù)據(jù)即可得結果。7、畫出4點2DIT-FFT運算流圖，并計算其復數(shù)乘次數(shù)。解：x(0x(2x(lx(3X(0)X(l)X(2)X(3)復數(shù)乘法計算：N41og2N=log24=4。228、設x(n)為實數(shù)序列，DFT點數(shù)為N,分別寫出DFT和基2FFT計算的表達式，并分別計

7、算出DFT與基2算法中的乘法次數(shù)和加法次數(shù)。(減法看成加負數(shù))2kn解:DFT計算公式X(k)=x(n)WN,其中加法次數(shù)為N(N-l),乘法次數(shù)NoN-1n=0k(IF1(k)+WNF2(k)FFT計算公式X(k)=l，kIlF1(k)-WNF2(k)其中加法次數(shù)為Nlog2N，乘法次數(shù)Nlog2No29、某隨機相位余弦波g(t)=Acos(ct+e)，其中A和roc均為常數(shù)，0是在(0,2n)內均勻分布的隨機變量。(1) 求g(t)的自相關函數(shù)與功率譜密度；(2) 討論g(t)是否具有各態(tài)歷經性。解：(1)g(t)的自相關函數(shù)疋(T)=EA2cos(Qctl+0)cosQc(tl+T)+0

8、A2=2n功率譜密度P(Q)=Jrg(T)e02n-jQtJ2n0A2cos(Qctl+e)cosQc(tl+T)+ede=cos(QcT)2A2cosQcTe-jQTdT=nA22dT=J2n(2)集合平均誕(t)=EAcos(Qct+G)=JAcos(Qct+G)02nie=02n時間平均pZ(t)=limltlA()AcosT+edT=limcosctcose=0c2-ttf2tJtfw2t2tc圧二誕，故而是各態(tài)歷經的。10、求隨機相位余弦波X(t)=acos(wct+申)的功率譜密度(已知其相關函數(shù)為A2R(t)=cosct)。2解：由于自相關函數(shù)是單頻的，故可以直接得到功率譜密度P

9、(Q)=nA2P(Q)=JR(T)e02n-jQtdT=J2nOA2cosQcTe-jQTdT=nA2211、簡述經典功率譜估計與參數(shù)模型功率譜估計的各自特點。答：經典功率譜估計是將數(shù)據(jù)工作區(qū)外的未知數(shù)據(jù)假設為零，相當于數(shù)據(jù)加窗，其分辨率反比于有效信號長度方差性能不好。參數(shù)模型功率譜估計是通過觀測數(shù)據(jù)估計參數(shù)模型再按照求參數(shù)模型輸出功率的方法估計信號功率譜，其分辨率可以不受限制方差性能好。Pq12、若用差分方程y(n)=Ya(k)y(n-k)+b(k)x(n-k)實現(xiàn)一個具有單位采樣k=1k=1響應h(n)的濾波器，為了實現(xiàn)一個具有單位采樣g(n)=(-1)h(n)采樣的系統(tǒng)，這n個差分方程應

10、作如何修改？解：方法一、H(z)=-n()hnz，則有：工Pn=ay(n)=Yaky(n-k)+bkx(n-k)nH(z)=k=1k=1qpZbzkk=1qk=l-k1-akz-kn=ah(n)z(l),-n令z=eejpj，則(1)式可以寫成為：-jpk-jekbekepH(z)=1-ake-jpke-jrokk=1k=1qn=a-jpn-jen()(2),hneeg(n)=(-l)h(n)=ejnnh(n)，則:G(z)=n=aZg(n)z-nn=aeh(n)ejnn+.-jpn-jrone=n=a-jpn-j(e兀)n()(3),hnee比較(2)、(3)兩式可得：G(z)=n=aEh(

11、n)e-jpn-j(ro-兀)ne=Zbekk=1qk=1-jpk-j(-兀)k1_Yake-jpke-j(s_n)k，對(4)式進一步整理得：G(z)=(-1)bkek=1qk=1-jpk-jrok=-k(T1-E(-1)ake-jpke-jrok1-(-1)akz-kk=1k=1q(5)，由(5)式可得：y(n)=Y(-l)aky(n-k)+Y(-l)bkx(n-k)kkk=1k=1qp上式就是最終結果。方法二、在方法一中直接應用z不進行z=ejpej替換處理也可證明欲證。13、簡述頻譜泄露的原因以及目前國內外對幅值譜進行校正的方法。答：頻譜泄露是由于采樣頻率和信號頻率的不同步，造成周期采

12、樣信號的相位在始端和終端不連續(xù)。（1）利用插值FFT方法減少頻譜泄露；（2）利用頻率同步裝置減少頻譜泄露；（3）利用采樣頻率自適應軟件算法減少頻譜泄露。14、數(shù)字信號處理中的量化誤差主要有哪些方法？IIR濾波器的三種網絡結構在量化誤差中有何特點？15、采用FIR窗口法設計DF時，常用的幾個窗函數(shù)及其特性如下表所示。窗函數(shù)旁瓣峰矩形窗-13三角窗-25漢寧窗-31-41阻惜址小iUE/dB過渡帶-21詞N-25昭N-44唧沖-538/jV現(xiàn)需要設計滿足下列特性的LPF濾波器，通帶截止頻率fc=1kHz，阻帶邊界頻率fs2kHz，抽樣頻率Fs=16kHz，通帶最大波動Ap20dB。請回答下列問題：

13、（1）你選擇什么窗函數(shù)？為什么？（2）窗函數(shù)長度N如何選擇？（3）如果需要確保實際得到的濾波器的fc值準確，則你選擇開窗前的理想濾波器的（數(shù)字域截止頻率）等于多少？解：（1）阻帶衰耗絕對值As20dB，可知四種窗函數(shù)均可選擇。選擇矩形窗，因為在所有滿足阻帶衰耗的窗口中矩形窗過渡帶最窄，自然N最小。最后驗證選擇矩形窗是可行的（自己驗證，我沒有去驗證）。（2）rop=2nxfpFs=2nxf2n1n=，s=2nxs=2nx=，貝UFs164168Aro=ros-rop=n8,查表知矩形窗的過渡帶為4nN,所以可以求出N為：A=4nn=nN=32N8經過驗證，可知N=32滿足各項指標。（3）c=ep+s2=3n1616、數(shù)字信號處理中的量化誤差主要有哪些方法？IIR濾波器的三種網絡結構在量化誤差中有何特點？17、正交變換主要分為哪幾類，各類都有什么特點及應用范圍？答：1、非正弦類正交變換：主要指WHT,Haar,SLT等，這類正交變換在運算時不需要乘法，所以廣泛應用于圖像編碼與數(shù)據(jù)壓縮。2、正弦類正交變換：主要包括：DFT,DCT等，這類正交變換在應用是需要乘法，同時由于具有硬件乘法器的高速DSP芯片的問世使得正弦類正交變換在正交變換中起著主導地位。3、K-L變換：該變換去除信號中的相關性最為徹底，且有著最佳統(tǒng)計特性，因而被稱為“最佳變換”。它被廣泛應用于圖像壓縮去噪。1