§4.1多元線性回歸分析§4.2決策模型

1、課題第四章概率統(tǒng)計(jì)模型多元線性回歸分析決策模型教學(xué)內(nèi)容1.多元線性回歸分析2隨機(jī)決策模型的基本原理與解法，及應(yīng)用舉例。教學(xué)目標(biāo)1.掌握多元線性回歸分析的基本原理和建模的基本過程。2.能夠運(yùn)用多元回歸分析模型解決實(shí)際問題并進(jìn)行模型分析。3.掌握決策模型的計(jì)算方法，能夠運(yùn)用決策模型解決實(shí)際問題并進(jìn)行模型分析教學(xué)重點(diǎn)1.多元線性回歸分析的基本原理，基本過程及其計(jì)算方法。2.掌握隨機(jī)決策模型的基本原理和建模的基本過程。3掌握決策模型的計(jì)算方法。4實(shí)際建模訓(xùn)練教學(xué)難點(diǎn)1.多元線性回歸分析的基本原理及其數(shù)值計(jì)算、 運(yùn)用模型解決實(shí)際問題2隨機(jī)決策模型的基本原理及其決策準(zhǔn)則的確定雙語教學(xué)內(nèi)容、安排Linear

2、regressionanalysis線性回歸分析Multivariateregressionanalysis多元回歸分析decisionanalysis決策分析Decisionrule決策規(guī)則Decisiontree決策樹教學(xué)手段、措施采用多媒體教學(xué)的形式。以電子課件為主，粉筆黑板相結(jié)合為輔，使學(xué)生能夠充分利用課堂有效的時(shí)間了解盡可能多的相關(guān)知識(shí),并結(jié)合啟發(fā)式教學(xué).作業(yè)、后記教學(xué)過程及教學(xué)設(shè)計(jì)備注 多元線性回歸分析多元線性回歸分析一一問題提出問題提出水泥凝固時(shí)放出熱量問題：某種水泥在凝固時(shí)放出的熱是y（J/g）與水泥中下列4種化學(xué)成分有關(guān)。x:3CaO-AlO的成分（）123x:3CaO-Si

3、O的成分（）22x:4CaO-AlO-FeO的成分（）32333x:2CaO-SiO的成分（）42現(xiàn)記錄了13組數(shù)據(jù)，列在表41中，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試研究y與x,x,x,x四種成份的關(guān)系。1234表41編號(hào)x(%)1x2(%)x(%)3x(%)4y(J/g)172666021291552311568204113184757526336115592273711768131224492541822102147426111402334121166912131068812在現(xiàn)實(shí)生活中，變量與變量之間經(jīng)常存在一定的關(guān)系，一般來說，變量之間的關(guān)系可以分為兩大類，一類是確定性的關(guān)系，這種關(guān)系通常用函數(shù)來表示

4、。例如，已知圓的半徑r，那么圓的面積S與半徑r的關(guān)系就可用函數(shù)關(guān)系：S二兀r2來表示，這時(shí)如果取定了r的值，S的值就會(huì)完全確定了。另一類是非確定性關(guān)系，例如，人的體重與身高之間的關(guān)系就是非確定性關(guān)系，一般來說，身高越高，體重越大，但是身高相同的人體重往往是不相同的。再如，鋼材的強(qiáng)度與鋼材中含某種元素的含量，纖維的拉伸倍數(shù)與強(qiáng)度，降雨量、氣溫、施肥量與農(nóng)作物的產(chǎn)量等均屬于這種關(guān)系。變量之間的這種非確定性關(guān)系通常稱為相關(guān)關(guān)系。二二多元線性回歸分析模型多元線性回歸分析模型為了研究方便， 我們考慮一個(gè)變量受其他變量影響時(shí)， 把這變量稱為因變量， 記為Y，其他變量稱為自變量，記為X，這時(shí)相關(guān)關(guān)系可記作Y

5、=f(x)+當(dāng)X=x時(shí)，因變量Y的均值，即I X=x)為Y對(duì)X的回歸函數(shù)，為Y與f(X)的偏差，它是隨機(jī)變量，并假定EC)=0?；貧w函數(shù)可以是一元函數(shù)，也可以是多元函數(shù)，即Y二f(x,x,x)+e(42)12m其中f(x,x,x)=E(YIX=x,X=x,X=x)為m元回歸函 12m1122mm回 歸 分 析就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法，它就是通過大量的試驗(yàn)或觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)變量之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。(41)其中數(shù)，統(tǒng)稱為多元回歸函數(shù)。若回歸函數(shù)f(X,x,x)中，m=1且f(x,x,x)是線性函數(shù)，則稱12m12mf(x)為是一元線性回歸函數(shù)；m1且f(x,x,x)是多元線性函數(shù)，則稱其

6、為12m多元線性回歸函數(shù)；若回歸函數(shù)f(x,x,x)是非線性函數(shù)，則稱其為非線性回12m歸函數(shù)。對(duì)非線性回歸，經(jīng)常采用線性化的方法來處理。所以，目前研究最多的是線性回歸問題，且假定X,X，,X和Y均服從正態(tài)分布?；貧w分析的任務(wù)就是要求12m出滿足式(42)的回歸函數(shù)f(x,x,x)，從而對(duì)所研究的相關(guān)關(guān)系做出所需的12m預(yù)測(cè)和控制。多元回歸模型的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的，例如，某種商品的銷售量可能受收入水平、風(fēng)俗習(xí)慣、產(chǎn)品質(zhì)量、價(jià)格、宣傳廣告等多種因素的影響；某種產(chǎn)品的質(zhì)量可能受生產(chǎn)該產(chǎn)品時(shí)的溫度、濕度、壓力、原材料的質(zhì)量和有害成分的含量等影響；工人的勞動(dòng)生產(chǎn)率可能受學(xué)歷、智力水平、情緒的穩(wěn)定性和才能

7、等因素的影響；某城市的用水量可能與該城市的人口數(shù)及工業(yè)總產(chǎn)值有關(guān)。諸如此類的關(guān)系，可以通過多元回歸分析模型進(jìn)行研究。例如，在水泥凝固時(shí)放出熱量問題中，可建立線性回歸模型Y=b+bx+bx+bx+bx+s011223344其中E(&)二0,D(&)二2。而b,b,b,b,b和b2是未知參數(shù)，為了估計(jì)這些參數(shù)，將表41的值代入模01234型(43),得線性模型fy=b+bx+bx+bx+bx+Ji01i12i23i34i4i|E()=0,Cov(s,8)=3b2,(i,j=1,13)Viijj一般地，多元線性回歸模型可表示為：Y=b+bx+bx+bx+bx+s(45)0112233

8、44其中，x,x，x是自變量，b為常數(shù)，b,b，,b為回歸系數(shù)，12m012b,b,b，,b皆為未知，統(tǒng)稱b,b,b，,b為回歸參數(shù)，一旦回歸參數(shù)確定，則012m012m多元線性回歸模型就完全確定，一般假定隨機(jī)誤差8N(0,a2)。為了得到回歸參數(shù)的估計(jì)值，就要對(duì)變量進(jìn)行觀測(cè)，假設(shè)對(duì)變量的n(nm)次獨(dú)立觀測(cè)數(shù)據(jù)為：(y,x,x，,x),i=1,n，則這些觀測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)滿足式(4ii1i2im5)，即有y=b+bx+bx+bx+bx+s101112123134141y=b+bx+bx+bx+bx+8(Y-X0)T(Y-X0)上述證明過程中應(yīng)用了如下結(jié)果：(0-0)TXTX(0-0)=X(0-0)T

9、X(0-0)0(Y-X0)TX(0-0)=(YTX-0XTX)(0-0)=(YTX-YTX)(0-0)=0至此，在IL豐0時(shí)，證明了式(410)中的0是0的最小二乘法估計(jì)量。在實(shí)際工作中，常稱y=巧+bx+bx為經(jīng)驗(yàn)線性回歸方程。011mm2.2. 最小二乘法估計(jì)量的性質(zhì)最小二乘法估計(jì)量的性質(zhì)首先我們?cè)诩俣‥(s)=0,Var(s)=a21”的條件下，探討一下由式(4-10)確定0的最小二乘法估計(jì)最0的性質(zhì)(1)0是0的線性無偏估計(jì)量。證：由于0=L-1XTY，每一個(gè)巧都是y,y的線性組合，因而巧是b的線i1nii性估計(jì)量，此時(shí)稱0是0的線性估計(jì)量。E(p)=E(L-iXTY)=L-iXTE(

10、Y)=L-iXTE(Xp+)=L-iXTXp+E()=L-iXTXP=p即E(bj=b,(i=1,m)。(2)P的協(xié)方差矩陣為b2L-i，即D(b.)=b2cJ1iiCov(b,b)=b2c,(i,j=0,1,2,m+1)1丿ijL-i=C=(c)Cov(p,p)=E鯉1打BY-BE(Y)T證：記B=L-iXT，則p=BY=B-EY-E(Y)Y-E(Y)TBT=Bb21-BT=L-iXTb21-(L-iXT)T=b2L-inn(3)p是p的最小方差線性元偏估計(jì)，即在所有線性元偏估計(jì)類中，有且只有p使其方差達(dá)到最小。3.3.多元線性回歸方程的顯性檢驗(yàn)多元線性回歸方程的顯性檢驗(yàn)從上面的參數(shù)估計(jì)過程

11、可以看出，對(duì)于一批觀察數(shù)據(jù)(y,x,x,x)i=h，niiii2im不論它們是否具有線性關(guān)系，總可以利用最小二乘法建立起多元線性回歸方程y=b+bx+bxHFbx0ii22mm但是Y與x,x,x是否確實(shí)存在相關(guān)關(guān)系呢回歸方程的效果如何呢這就要i2m進(jìn)行“整個(gè)回歸效果是否顯著”的檢驗(yàn)。當(dāng)b=b=b=0 時(shí)，y與i2mx,x,x沒有關(guān)系，回歸模型沒有意義，于是我們要檢驗(yàn)H:i2m0b=b=b=0 是否成立。i2m若H成立，則x,x,x對(duì)y沒有影響；反之，若H不成立，則x,x,x0i2m0i2m對(duì)y有影響，此時(shí)y與x,x,x的線性關(guān)系顯著，也稱為整個(gè)回歸效果顯著。但i2m要注意，即使整個(gè)回歸效果是顯

12、著的，y也可能只與某幾個(gè)x關(guān)系密切(相應(yīng)的b顯ii著不為零)，而與另幾個(gè)x關(guān)系不密切(相應(yīng)的b為零)。這就是說，多元線性回歸除ii了首先要檢驗(yàn)“整個(gè)回歸是否顯著”外，還要逐個(gè)檢驗(yàn)每一個(gè)b是否為零，以便分辨i出哪些x對(duì)y并無顯著影響，最后，還要對(duì)各個(gè)b作出區(qū)間估計(jì)。ii為了進(jìn)行檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)，可以證明以下結(jié)論成立：(1)Q咒2(n一m-1)，則Q與bi,b2,bm獨(dú)立。記y=丄工y,l=工(y-y)2，則稱1為總變差或稱為y的離差平方n1yyyyi=ii=i和。1可進(jìn)行如下分解：yy1=工(y-9)2+工(y-y)2=Q+Uyyiii這時(shí)Q=E(y.-刃)稱為殘差平方和。u=Y(y-y)2稱為回

13、歸平方和。iiiii1Q記s=，稱其為剩余標(biāo)準(zhǔn)差或估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差。n-m-i性質(zhì)2告訴我們，用最小二乘法求出的諸回歸系數(shù)b,b,b,b0i2m之間存在相關(guān)性，進(jìn)一步可以證明。其中2由于 5 不變當(dāng)然希望Q越小越好即U越大越好因此定義復(fù)相關(guān)系數(shù)。當(dāng)觀察值y全都與回歸值y吻合時(shí)，Q=0,R=1；當(dāng)y.=y時(shí)，iiiQ二l,R=0 在一般情況下，R的數(shù)值在o和i之間。yy復(fù)相關(guān)系數(shù)R的定義，類似于兩個(gè)變量時(shí)的相關(guān)系數(shù)的定義，但要注意，復(fù)相關(guān)系數(shù)R只取下值。在兩個(gè)變量時(shí)，有正相關(guān)與負(fù)相關(guān)之分，在多個(gè)變量時(shí)，就沒有這一說了，所以復(fù)相關(guān)系數(shù)R只取值。（2）在b二b二二b二0 的條件下，U12X2（m）C2且

14、U與Q獨(dú)立，因此UmcI-II(bb)2LiF(1,nm1)C2S2Li這里c為CL-1中第L個(gè)對(duì)角線元素。LL利用上述幾條結(jié)論，可進(jìn)行下列檢驗(yàn)、估計(jì)和預(yù)測(cè)。（1）回歸顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）該檢驗(yàn)是考察整個(gè)回歸效果是否顯著的。若整個(gè)回歸效果不顯著，即全部回歸系數(shù)為零。因此，設(shè)原假設(shè)H:bbb0。若H為真，則012m0廠 nm1Unm1R2”八F-F（m,nm1）mQm1一R2而且在H不成立時(shí)，F(xiàn)值有變大的趨勢(shì)，因此應(yīng)取右側(cè)否定域，故檢驗(yàn)法是當(dāng)0FFa（m,n一m一D時(shí)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為回歸效果顯著;否則認(rèn)為回歸效果不顯著。（2）單個(gè)回歸系數(shù)為零的檢驗(yàn)（t檢驗(yàn)）該檢驗(yàn)即某個(gè)自變量是否對(duì)因變量有顯著性

15、影響的檢驗(yàn)。在多元回歸分析中可能出現(xiàn)y與所有自變量的總體是有相關(guān)關(guān)系的， 但y與某個(gè)特定的x則可能無關(guān)，即X對(duì)y并不起作用或者已被其他的X的作用所代替，為此LLL設(shè)m個(gè)原假設(shè)H:b0,L1,2,m0LL若H為真，統(tǒng)計(jì)量R11F二Q(nm1)F(m,nm1)m1R2bb-:-L-t(nm1)(3)F_(bLb)2C.LQ(nm1)L1,2,，m0Lbtt（nm1）,L1,2,，mL.-sLL而當(dāng)H不成立時(shí)，|t.|有變大的趨勢(shì)，因而應(yīng)取雙側(cè)拒絕域，故當(dāng)0LLt.t（nm1）時(shí)，否定H.，即認(rèn)為x對(duì)y是有作用的，若某幾個(gè)x是有作用的，而另幾個(gè)x是不起作用的，則應(yīng)從回歸方程中刪除那些不起作用的自變量

16、。i單個(gè)回歸系數(shù)是否為零，也可以用F檢驗(yàn)，即若H為真，統(tǒng)計(jì)量0ib2F=iF(1,nm1),i=1,2,，miC2S2ii故當(dāng)FF(1,nm1)時(shí)，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為x對(duì)y的影響是顯著的;否則iai認(rèn)為x對(duì)y的影響是不顯著的。i(3)對(duì)b的區(qū)間估計(jì)ibb/.由于it(nm1)，因而b的1a置信區(qū)間為Jc.s1II(b.d,b.+d)1i1i其中_d=t(nm1)Jc-siaiiAA(4)2y的95%預(yù)測(cè)區(qū)間近似為(y2s,y+2s)，其中000AAAAAy=b+bx+bxHFbx00101202m0m4.4.多元線性回歸分析模型的推廣多元線性回歸分析模型的推廣1)多項(xiàng)式回歸分析模型類似于模型(

17、45),由自變量多項(xiàng)式的隨機(jī)項(xiàng)組成的回歸模型稱為多項(xiàng)式回歸模型，它的一般形式為：Y=b+bx+bx2HFbxm+e012m初看模型(413)不是線性回歸，因自變量中含有幕函數(shù)，但由于未知參數(shù)X.,i=1,m都是線性出現(xiàn)的，因此，令x=x,x=x2,x=xm12m則模型(413)就變成為多元線性歸模型：Y=b+bx+bxFFbx+s01122mm從而多項(xiàng)式回歸模型可以用多元線性回歸模型的計(jì)算公式和檢驗(yàn)方法。多項(xiàng)式回歸還有許多推廣的形式，例如：c1y=b+bx+bx2FFbxm+012mx2y=b+bx+bx2FFbxm+cInx012m3y=Exp(b+bx+bx2FFbxm)012mc4y=E

18、xp(b+bx+bx2FFbxm+)012mx5y=Exp(b+bx+bx2FFbxm)xc012m2)廣義線性回歸模型廣義線性回歸模型的一般形式為：y=f(b+bF(x,x,x)FFbF(x,x,x)01112mpp12m模型的共同特點(diǎn)是未知參數(shù)都是以 線 性 形 式 出現(xiàn)，所以都可以采用恒等變換，像 模 型(413)化為模型(414)一樣化為多元線性回歸模型。其中：y=f(y)是一個(gè)不含未和參數(shù)的一元函數(shù)，有反函數(shù)：0y=g(y)0F=(x,x,x)(j=1,2,p)是x,x,x的不含未知參數(shù)的多元函數(shù)。j12m12m廣義線性回歸模型的回歸系數(shù)的確定主要是從自變量x,x,x和回變量y12m

19、以及n組觀察值(x,x,，x,y),i=1,2,ni1i2imi出發(fā)，用最小二乘法求出b,b,b的估計(jì)b,b,bp，使得01p01p:,x,x)HbbF(x,x,x)2011i1i2imppi1i2imi=1達(dá)到最小。fY=g(y)ot=F(x,x，,x)1112mt=F(x,x，,x)lpp12m則Y=b+bt+bt，這樣就把廣義線性回歸模型化為多元線性回歸模型。011pp和和 MathematicaMathematica 求解求解1)MATLAB命令命令格式b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)，其中輸入向量X,Y的排列方式分別為alpha為顯著性水平

20、(缺省時(shí)設(shè)定為)。輸出向幕b為回歸系數(shù)的估計(jì)值，即01n輸出向量bint為回歸系數(shù)估計(jì)值的置信區(qū)間；輸出向量r為殘差向量；輸出向量rint為殘差向量的置信區(qū)間；輸出向量stats=(R2,F,P)T，它是一個(gè)3維向量，用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量,其中第一個(gè)分量R2中的R是相關(guān)系數(shù)，第二個(gè)分量是F統(tǒng)計(jì)量，第三個(gè)分量是與統(tǒng)計(jì)量F對(duì)應(yīng)的概率P，當(dāng)PF(4.8)=3.8380.05進(jìn)一步可得Ft(4.8)=7.006，所以回歸效果是高度顯著的。0.05 決策模型決策模型一一問題提出問題提出決策決策是人們?cè)谏詈凸ぷ髦衅毡榇嬖诘囊环N活動(dòng)，是為解決當(dāng)前或未來可能發(fā)生的問題，選擇最佳方案的一種過程。比如，某人

21、決定要到某地出差，而天氣預(yù)報(bào)可能有寒流，考慮出差是否要帶棉大衣，帶上棉大衣無寒流是個(gè)累贅，若不帶又可能遇上寒流而挨凍，到底帶不帶這就要他作出決策；又如生產(chǎn)某種產(chǎn)品的工廠，若對(duì)此種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求不是很了解，生產(chǎn)的數(shù)量太小，影響企業(yè)收入，生產(chǎn)的數(shù)量達(dá)大，又勢(shì)必造成產(chǎn)品積壓，影響資金周轉(zhuǎn)，給企業(yè)造成損失，到底生產(chǎn)多少為宜這就需要有關(guān)人員通過市場(chǎng)調(diào)查后作出決策。所以，小到個(gè)人生活，大至企業(yè)經(jīng)營(yíng)以及國(guó)家的政治經(jīng)濟(jì)問題，都需要決策。本節(jié)介紹決策的一些基本術(shù)語中和常見的兩種決策方法。例例 1 1 某公司為了擴(kuò)大市場(chǎng)，要舉辦一個(gè)產(chǎn)品展銷會(huì)，會(huì)址打算選擇甲、乙、丙三地;獲利情況除了與會(huì)址有關(guān)系外，還與天氣有關(guān)，

22、天氣分為晴、陰、多雨三種,據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，估計(jì)三種天氣情況可能出現(xiàn)的概率分別為,，其收益情況如表42,現(xiàn)要通過分析，確定會(huì)址，使收益最大。選址方案XP=1P=2P=3A（甲地）461A（乙地）542A（丙地）621.決策的概念和類型在決策問題中，把面臨的幾種自然情況叫自然狀態(tài)或客觀條件，簡(jiǎn)稱狀態(tài)或條件,如例1中的NN2,N3就是各種不同的自然狀態(tài)，這些是不可控因素，但只能有一種叫做決策的益損矩陣或風(fēng)險(xiǎn)矩陣。P,P,P是各狀態(tài)出現(xiàn)的概率。123一般地，如決策問題的可控因素（即行動(dòng)方案）用A（i二12,m）表示，狀態(tài)i用N（j二1,2,n）表示，在N狀態(tài)下采用 A.行動(dòng)方案的風(fēng)險(xiǎn)值用a表示，N狀JJ

23、IijJ態(tài)出現(xiàn)的概率用P,表示，則可根據(jù) n 的大小和p的信息情況，將決策問題分為三類:確定型決策、風(fēng)險(xiǎn)型決策和不確定型決策。7當(dāng) n=l時(shí)，決策問題就是確定型的，我們主要計(jì)論風(fēng)險(xiǎn)型和不確定型的決策問題。風(fēng)險(xiǎn)決策問題當(dāng)n1，且各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率p（i=1,2,n）可通過某種途徑獲得時(shí)的i決策問題就是風(fēng)階決策問題。如例1就是風(fēng)險(xiǎn)決策問題，對(duì)于這類問題，我們介紹兩種決策準(zhǔn)則和相應(yīng)的解決方法。1 1）最大可能準(zhǔn)則）最大可能準(zhǔn)則由概率論知識(shí)，一個(gè)事件的概率就是該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，概率越大，事件發(fā)生的可能性就越大?；谶@種思想，在風(fēng)險(xiǎn)決策中我們選擇一種發(fā)生概率最大的自然狀態(tài)來進(jìn)行決策

24、，而不顧及其他自然狀態(tài)的決策方法，這就是最大可能準(zhǔn)則。這個(gè)準(zhǔn)則的實(shí)質(zhì)是將風(fēng)險(xiǎn)型決策問題轉(zhuǎn)化為確定型決策問題的一種決策方法。若對(duì)例例 1 1 按最大可能準(zhǔn)則進(jìn)行決策，則因?yàn)樽匀粻顟B(tài)N出現(xiàn)的概率p=0.50最22大，因此就在這種自然狀態(tài)下進(jìn)行決策，通過比較可知，采取A行動(dòng)方案獲利最大。因此，米用A方案是最優(yōu)決策。1應(yīng)該指出，如果各自然狀態(tài)的概率較接近時(shí)，一般不使用這種決策準(zhǔn)則。2）期望值準(zhǔn)則（決策樹法）期望值準(zhǔn)則（決策樹法）如果把每個(gè)行動(dòng)方案看作隨機(jī)變量，在每個(gè)自然狀態(tài)下的效益值看作隨機(jī)變量的取值，其概率為自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率，則期望值準(zhǔn)則就是將每個(gè)行動(dòng)方案的數(shù)學(xué)期望出現(xiàn)。把A,A2,A3稱為行動(dòng)方

25、案或策略，這些是可控因素，由決策者決定。表42中后三行數(shù)字稱為益損值，根據(jù)它們構(gòu)成的矩陣同，有時(shí)也叫效益值或損失值,計(jì)算出來，視其決策目標(biāo)的情況選擇最優(yōu)行動(dòng)方案。若對(duì)例例 1 1 按期望值準(zhǔn)則進(jìn)行決策，則需要計(jì)算各行動(dòng)方案的期望收益，事實(shí)上E(A)=4x0.2+6x0.5+1x0.3=4.11E(A?)=5x0.2+4x0.5+1.5x0.3=3.45E(A3)=6x0.2+2x0.5+1.2x0.3=2.56顯然，E(A)最大，所以采取行動(dòng)方案A最佳，即選擇甲地舉辦展銷會(huì)效益最大。11值得注意的是，為了形象直觀地反映決策問題未來發(fā)展的可能性和可能結(jié)果所作的預(yù)測(cè)而采用的決策樹法就是按期望值準(zhǔn)則

26、進(jìn)行決策的一種方案。以例例 1 1 來說明其決策步驟。例例 1 1 的決策樹如圖41所示，其中：表示決策點(diǎn)，從它引出的分枝叫方案分枝，其數(shù)目就是方案數(shù)O表示機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)， 從它引出的分支叫概率分支， 每條概率分支代表一種自然狀態(tài)，并標(biāo)有相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率。稱為末稍節(jié)點(diǎn)，右邊數(shù)字表示各方案在不同自然狀態(tài)下的益損值。P(NP(N)=)=1陰陰 p(Np(N2 2) )= =多多雨雨P(guān)(NP(N)=)=3晴晴 P P( ( 叫叫 )=)= 陰陰P P(N2)= =多雨多雨 P P(%)=(%)=晴晴 P P( (叫叫)=)=陰陰 P(NP(N)=)=2多雨多雨 P(NP(N3 3) )= =圖圖 4-1

27、4-1 決策樹決策樹計(jì)算各機(jī)會(huì)節(jié)的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點(diǎn)止方，再比較各機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)上標(biāo)值的大小，進(jìn)行決策，在淘汰方案分枝上標(biāo)“+”號(hào)，余下方案即為最優(yōu)方案，最優(yōu)方案的期望值標(biāo)在決策點(diǎn)的上方。本便A上方標(biāo)值為最大，因此選定方案A,其收益數(shù)值的期望為。11此例只包括一個(gè)決策點(diǎn)，稱為單級(jí)決策問題。在有些實(shí)際問題中將包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的決策點(diǎn)，稱為多級(jí)決策問題，可利用同樣的思路進(jìn)行決策。例例 2 2 某工程采用正常速度施工，若無壞天氣的影響，可確保在30天內(nèi)按期完成工程，但據(jù)天氣預(yù)報(bào)，15天后天氣肯定變壞，有40%的可能出現(xiàn)陰雨天氣，但這不會(huì)影響工程進(jìn)度，有50%的可能遇到小風(fēng)暴，而使工期推遲15天；另

28、有10%的可能遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20天。對(duì)于以上可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：（1）提前加班，確保工程在15天內(nèi)完成，實(shí)施此方案需增加額外支付18000元。+4+4+6+6. .+1+1+5+5+4+4. .+ +6+6+2+2+ +決決 策策（2）先維持原定的施工進(jìn)度，等到15天后根據(jù)實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作對(duì)策：a）若遇陰雨天，則維持正常進(jìn)度，不必支付額外費(fèi)用。b）若遇小風(fēng)暴，則有下述兩個(gè)供選方案：一是抽空（風(fēng)暴過后）施工，支付工程延期損失費(fèi)20000元，二是采用應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果：有50%的可能減少誤工期1天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用24000元；30%的可能減少誤工期

29、2天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用18000元;有20%的可能減少誤工期3天，支付延期損失費(fèi)和應(yīng)急費(fèi)用12000元。c）若遇大風(fēng)暴，則仍然有兩個(gè)方案可供選擇：一是抽空進(jìn)行施工，支付工程的延期損失費(fèi)50000元;二是采取應(yīng)急措施，實(shí)施此措施可能有三種結(jié)果：有70%的可能減少誤工期2天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用54000元;有20%可能減小誤工期3天， 支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用46000元;有10%的可能減少誤工期4天，支付延期損失費(fèi)及應(yīng)急費(fèi)用38000元。試進(jìn)行決策，選擇最佳行動(dòng)方案。解解（1）據(jù)題意畫出決策樹，如圖42。（2）計(jì)算第一級(jí)機(jī)會(huì)點(diǎn)E,F的損失費(fèi)用期望值E（E）二0.5x24000+0.

30、3x18000+0.2x12000二19800E（F）二0.7x54000+0.2x46000+0.1x38000二50800將19800和50800標(biāo)在相應(yīng)的機(jī)會(huì)點(diǎn)上，然后在第一級(jí)決策點(diǎn)C,D外分別進(jìn)行方案比較：首先考察C點(diǎn)，其應(yīng)急措施支付額外費(fèi)用的期望值較少，故它為最佳方案，同時(shí)劃去抽空施工的方案分枝，再在C上方標(biāo)明最佳方案期望損失費(fèi)用19800元;再考慮處的情況，應(yīng)急措施比抽空施工支付的額外費(fèi)用的期望值少，故劃去應(yīng)急措施分枝，在D上方標(biāo)上50000元。(3)計(jì)算第二級(jí)機(jī)會(huì)點(diǎn)B的損失費(fèi)用期望值E(B)二0.4x0+0.5x19800+0.1x50000二14900將其標(biāo)在B的上方，在第二級(jí)

31、決策點(diǎn)A處進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)正常進(jìn)度方案為最佳方案，故劃去提前加班的方案分枝，并將14900標(biāo)在A點(diǎn)上方。因此，合理的決策應(yīng)是開始以正常施工進(jìn)度進(jìn)行施工，15天后再根據(jù)具體情況作進(jìn)一步?jīng)Q策，若出現(xiàn)陰雨天，則維持正常速度;若出現(xiàn)小風(fēng)暴可采用應(yīng)急措施；若出現(xiàn)大風(fēng)暴，則進(jìn)行抽空施工。不確定型決策不確定型決策當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)決策問題的自然狀態(tài)發(fā)生的概率既不知道、也無法預(yù)先估計(jì)或利用歷史資料得到時(shí)的決策問題就稱為不確定型決策問題。仍用N,N,N，表示決策問題12n中的自然狀態(tài)，A,A，,A表示行動(dòng)方案，a表示在自然狀態(tài)N下采i種行動(dòng)方12mijj的益損值。若a為效益值時(shí)取正值;若a為損失值時(shí)取負(fù)值。jj下面介紹幾不確定型的決策準(zhǔn)則。1.樂觀準(zhǔn)則樂觀準(zhǔn)則的思想