基于MATLAB的蒙特卡洛方法對(duì)可靠度的計(jì)算

1、蒿孝AuRASouthwestJiaotongUniversity基于MATLA由勺蒙特卡洛方法對(duì)可靠度的計(jì)算可靠性工程大作業(yè)目錄目錄2摘要3緒論4一、編寫(xiě)MONTECARLO莫擬程序5二、關(guān)于兩個(gè)服從正態(tài)分布的可靠性驗(yàn)證8三、非正態(tài)分布的驗(yàn)證10四、總結(jié)11參考文獻(xiàn)12摘要對(duì)于簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，我們可以用離散或者連續(xù)的概率分布模型進(jìn)行求解；但是對(duì)于復(fù)雜的模型的近似解的求解，蒙特卡洛方法是一種非常方便的方法。蒙特卡洛方法將最復(fù)雜的計(jì)算部分交給了電機(jī)計(jì)算機(jī)來(lái)完成，極大的方便了我們的求解過(guò)程。本文主要是用MATLA踹寫(xiě)蒙特卡洛的模擬程序，然后分別驗(yàn)證兩個(gè)正態(tài)分布的模型和兩個(gè)非正態(tài)分布的模型。非正態(tài)分

2、布的模型中的隨機(jī)變量序列都是獨(dú)立同分布的，這樣我們可以方便的用列維-林德伯格中心極限定理進(jìn)行處理。【關(guān)鍵字】：復(fù)雜模型、蒙特卡洛、MATLAB正太分布、獨(dú)立同分布的非正態(tài)模型、列維-林德伯格中心極限定理緒論計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，促進(jìn)了蒙特卡洛方法的推廣、普及以及完善等。蒙特卡洛方法誕生之初是不被重視的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的計(jì)算機(jī)技術(shù)沒(méi)有達(dá)到與之匹配的程度。蒙特卡洛模擬也稱為隨機(jī)模擬方法，或隨機(jī)抽樣技術(shù)。它是一種以概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)、隨機(jī)模擬來(lái)求解問(wèn)題近似解的數(shù)值方法。它的主要思想是：為了求解數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)及工程問(wèn)題，建立一個(gè)概率模型或隨機(jī)過(guò)程，使它的參數(shù)等于問(wèn)解；然后通過(guò)對(duì)模

3、型或過(guò)程的觀察或抽樣來(lái)計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征(如均值、概率等)，作為待解問(wèn)題的數(shù)值解，最后給出所求解的近似值，而解的精度可用估計(jì)值的方差來(lái)表示。蒙卡洛模擬的步驟是：首先建立簡(jiǎn)單而又便于實(shí)現(xiàn)的概率分布模型，使分布模型的某些特征(如模型的概率分布或數(shù)學(xué)期望)恰好是所求問(wèn)題的解；然后根據(jù)概率分布模型的特點(diǎn)和計(jì)算的需要改進(jìn)模型，以便減少方差，降低費(fèi)用，提高計(jì)算效率；再對(duì)分布模型進(jìn)行隨機(jī)模擬，其中包括建立產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的方法和建立對(duì)所遇到的分布產(chǎn)生隨機(jī)變量樣本的隨機(jī)抽樣方法；最后建立各種統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)，獲得所求解的統(tǒng)計(jì)估計(jì)值及其方差。蒙特卡洛模擬方法可分為直接蒙特卡洛模擬、間接蒙特卡洛模擬和蒙特卡洛積分。(

4、1)直接蒙特卡洛模擬采用隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬本身具有復(fù)雜隨機(jī)過(guò)程的效應(yīng)。該方法是按照實(shí)際問(wèn)題所遵循的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行直接的抽樣，然后計(jì)算其統(tǒng)計(jì)參數(shù)。直接蒙卡洛模擬法能充分體現(xiàn)蒙特卡洛方法的特殊性和優(yōu)越性，因而在物理中得到了廣泛的應(yīng)用，該方法也就是通常所說(shuō)的“計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)”。(2)間接蒙特卡洛模擬是人為地構(gòu)造出一個(gè)合適的概率模型，依照該模型進(jìn)行大量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，使它的某些統(tǒng)計(jì)參數(shù)恰好是待求問(wèn)題的解。Buffon投針實(shí)驗(yàn)就是運(yùn)用間接蒙特卡洛模擬來(lái)求解冗o(3)蒙特卡洛積分是利用隨機(jī)數(shù)系列計(jì)算積分的方法，積分維數(shù)越高，效率越高。定積分的計(jì)算是蒙特卡洛方法被引入計(jì)算數(shù)學(xué)的開(kāi)端，這里以定積分的計(jì)算說(shuō)明其處

5、理確定性問(wèn)題的方法。如計(jì)算定積分：is=k0f(x)dx0_f(x)-1此時(shí)，求定積分亦即求邊長(zhǎng)為1的正方形中一個(gè)曲邊梯形的面積問(wèn)題，如圖2所示?？梢噪S機(jī)地向正方形內(nèi)投點(diǎn)，然后統(tǒng)計(jì)落在曲線下的點(diǎn)數(shù)M,當(dāng)總的投點(diǎn)N充分大時(shí)，kM/N就近似等于積分值so一、編寫(xiě)MonteCarlo模擬程序1 .模型的建立本章節(jié)根據(jù)拋擲骰子編制MonteCarlo模擬程序，驗(yàn)證各點(diǎn)出現(xiàn)的概率均為1/6。2 .模擬流程圖繪制圖1.1流程圖3 .MonteCarlo程序編寫(xiě)MonteCarlo模擬程序(Matlab)clearN=1000000;K_1=0;K_2=0;K_3=0;K_4=0;K_5=0;K_6=0;K

6、=randi(6,N,1);fori=1:NifK(i,1)=1K_1=K_1+1;endifK(i,1)=2K_2=K_2+1;endifK(i,1)=3K_3=K_3+1;endifK(i,1)=4K_4=K_4+1;endifK(i,1)=5K_5=K_5+1;endifK(i,1)=6K_6=K_6+1;endendP_1=K_1/NP_2=K_2/NP_3=K_3/NP_4=K_4/NP_5=K_5/NP_6=K_6/Nhist(K,6)4 .模擬結(jié)果及結(jié)論MonteCarlo模擬得到，P_1=16.639%;P_2=16.605%;P_3=16.712%;P_4=16.710%;P

7、_5=16.625%;P_6=16.710%各項(xiàng)約為總數(shù)的1/6,符合理論情況。通過(guò)模擬可以得到分布直方圖(圖1.2)。14圖1.2分布直方圖二、關(guān)于兩個(gè)服從正態(tài)分布的可靠性驗(yàn)證機(jī)械結(jié)構(gòu)的可靠性設(shè)計(jì)中的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論的理論計(jì)算和采用蒙的卡羅方法對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。MATLAB自帶有產(chǎn)生正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，所以我們用MATLAB對(duì)N=100000實(shí)驗(yàn)次數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。計(jì)算次數(shù)為3次。NN理論計(jì)算：首先根據(jù)可靠度R=0.999,可得可靠度系數(shù)Z=卷L2=3.191,，二S二L2然后我們確定應(yīng)力Xl（正態(tài)分布）的參數(shù)，均值Nl=200,方差仃L=5776,;然后.、一、2再確定強(qiáng)度Xs（正太分布）的參數(shù)，均

8、值s=500，方差S=3062.71。流程圖的繪制圖2.1流程圖Matlab模擬：由理論計(jì)算的正態(tài)分布的參數(shù)進(jìn)行matlab的模擬，得出的可靠度如下圖:R二0.9992300000000000.9993000000000000.999250000000000程序如下：N=100000;P=0,0,0；R=0.0,0.0,0.0;forj=1:3%N(500,55.34)%N(200,76)S=normrnd(500,55.34,N,1);L=normrnd(200,76,N,1);fori=1:Nz=S(i,1)-L(i,1);ifz>0P(j)=P(j)+1;endendR(j)=P(

9、j)/Nend三、非正態(tài)分布的驗(yàn)證對(duì)于非正態(tài)分布的強(qiáng)度-應(yīng)力隨機(jī)變量的可靠度計(jì)算，我們?cè)費(fèi)ATLAB上用蒙的卡羅方法來(lái)驗(yàn)證。驗(yàn)證時(shí)我們?nèi)颖局祅=100000,分別驗(yàn)證強(qiáng)度服從期望為10一11（及爛記）指數(shù)分布（x<0時(shí)，概率密度為0）和應(yīng)力服從期望為5（及后石）指數(shù)分布（x<0時(shí)，概率密度為0）。所得的可靠度如下圖:H-iR<1x3doubles12310,66600-66580.6667程序如下：n=100000;p=0,0,0;R=0.0,0.0,0.0;forj=1:3%E(0.1)%E(0.2)r1=exprnd(10,n,1);r=exprnd(5,n,1);fori=1:nz=r1(i,1)-r(i,1);ifz>0p(j)=p(j)+1;endendR(j)=p(j)/n;end四、總結(jié)根據(jù)強(qiáng)度-應(yīng)力干涉模型求解系統(tǒng)的可靠度，對(duì)于強(qiáng)度和應(yīng)力都服從正態(tài)分