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文檔簡介
1、第一節(jié)統(tǒng)計數據的位置特征統(tǒng)計數據的位置特征是對一組統(tǒng)計數據集中趨勢和平均水平的度量,通常將位置特征的度量稱為平均指標。常用來表述統(tǒng)計數據位置特征的平均指標有兩類:數值平均數和位置平均數。數值平均數主要有算數平均數、調和平均數和幾何平均數。位置平均數主要有中位數和眾數。分析、研究一組統(tǒng)計數據的集中趨勢,就是尋找該組數據一般水平的代表值。一、數值平均數數值平均數是全部數據的平均值。主要有三種形式:算術平均數、調和平均數和幾何平均數。(一)算術平均數算術平均數是對一組數據中心位置的度量??煞譃楹唵嗡阈g平均數和加權算術平均數兩種。1 .簡單算術平均數適用未分組數據,計算公式為:_1尤尤= =君君皿皿(
2、3.(1)式中,幻(或;L)一簡單算數平均數;月一第j項的數據值;忸一數據的項數。例3.1假設某商場200名職工月銷售額的統(tǒng)計資料如表3.1所示,試求該商場200名職工月平均銷售額。表3.1200名職工月錯酶單位:萬元單位:萬元21015417527380.516S23S2731127017515755616125213AJ518270245122.5206.5210175132189241133210147701757736384175241101519253414725913875224105157523830S18916828017523193175206.587_587_5182171
3、.5182112224105245203133175224四。四。122.51191855140164.5175315206570105171.51541821366651961262071331652101961365154217140245觀1681751365175210加加203163210鴕136.5224171556157.52101S2912101541051261401435168224161182171.51542031689S1541682241751631?511212611216114)189245175133192.52071第
4、第16314)16Z182241.519617510519617514712136.5126203210136516g140245119175175206.513311214C兜14711401261619S140210154210140123.517521?13391解根據表中資料,200名職工月平均銷售額為:_1sX=_X=x33218=166,09線線g2002.加權算數平均數適用未分組數據,計算公式為:_1*X=F-工X*/工廠2-1(3.(2)式中,了(或A)加權算術平均數;4-第上組的數據值或組中值;fi-第j組的數據值或組中值均出現的次數;k一分組的組數。例3.2將表3.1的某商
5、場200名職工月銷售額的統(tǒng)計資料編制成表3.2的分組資料形式。表 3.2200 名職工月銷售額的分組資料單位:萬元月哂S52.5-87J匕65S7.5-122J25125122.5-157.54422.0157.5-192.56030.0192_5-227J537185227J-262J136.5262.5.297563.0297.5.332.521.0含計含計200100.0解根據表3.2中資料,按分組資料估計200名職工月平均銷售額應采用加權算術平均數方法,計算過程列表如下:單位:萬元月禧霞月銷隹制幽中值丫fi職工A A舞/認)各組月銷朝8 8 / /52.5-87.57013910875
6、-12251052526251225-157.5140446160157,5.192.5175同10500192.5-227.52103777702275-262.52451331352625-297.523061630297.5-332.53152630合計合計20033打打 0于是,200200 名職工月平均銷售額為:_1*1八八LEE工二訴工二訴X33460=167.30( (萬元八萬元八(二)調和平均數調和平均數又稱“倒數平均數”,它是數據倒數的算術平均數的倒數。當在實際工作中所采集的數據不能直接應用算術平均數的計算公式時,可利用調和平均數來度量一組數據的中心位置。1 .簡單調和平均數
7、適用未分組數據,計算公式為:(3.3)式中,式中,H調和平妁數:調和平妁數:片一片一第第1 1項的數據值項的數據值, ,式一式一數據的項數數據的項數. .例3.3假謾4個輾、牌河每萬元工業(yè)產俏杵能源的統(tǒng)計資料如下:34 4鼻萬元工業(yè)產值耗能通(噸標準煤)口.556.556口比第07071.0001.000試求:4個企業(yè)的平均能耗解每萬元工業(yè)產值耗能源是逆指標,在計算平均水平時應采用調和平均數方法。=0727(噸標準煤海萬元工業(yè)產值)(噸標準煤海萬元工業(yè)產值). .15560.8330.61571.0002.加權調和平均數適用分組數據,計算公式為:工+為十十九1/.AAENW 廣工廣工(3.4)
8、1式中,式中,H加權調和平均數:加權調和平均數:看看- -第第j j組的數據值或組中值,組的數據值或組中值,工一第工一第1 1組的數據值或蛆中值組的數據值或蛆中值房房出現的次數出現的次數, ,k-分組的組數分組的組數. .例3.4假設某企業(yè)某月按工人勞動生產率分組的統(tǒng)計資料如表3.3所示,試求該企業(yè)工人平均勞動生產率。表 3.3 按工人勞動生產率分組按工人勞動生產率分組(件/人)生產班組各組產量(件)50-60108250060-7086500070-8055250080-9022550090-100115200解首先求出各組的組中值,然后求出各組工人數,采用加權調和平均數方法計算平均水平。計
9、算過程列表如下:技工技工A摯牲摯牲 E E 硼時隊)硼時隊)盥中值驊從比例塊飄人例塊飄人50-605332500150050-706565。00100070*075525007008090852530030050-100152001 的的合合計計24)7003660一一口,陋四,陋四= =收收 77嗎嗎中中 113660注意,生產班組數雖然是不同的勞動生產率各個組的次數,但它和分組的組中值相乘無任何實際意義,因此它不能做權數。(三)幾何平均數主要用于計算比率或者速度的平均,用G表示。1.簡單幾何平均數適用未分組數據,計算公式為:G=否否式式(3.5)式中,式中,G幾何平均數;幾何平均數;用一第
10、用一第i項的數據值;項的數據值;H- -數據的項數數據的項數. .例3.5假設某工廠生產的產品要經過3道連續(xù)作業(yè)的工序,每道工序的合格率依次為95%、90%和98%,試求3道工序的平均合格率。解因為產品的總合格率是各道工序合格率的連乘積,所以計算3道工序的平均合格率應采用幾何平均數方法。G=y?5%x90%x98%=94.28%2 .加權幾何平均數適用分組數據,計算公式為:G=/i飛優(yōu)飛優(yōu) v產產了了/ /= =可可0狎狎(3.6)式中,式中,G加權幾何平均數;加權幾何平均數;% %第第i組的數據值或組中值;組的數據值或組中值;I第第j組的數據值或組中值區(qū)出現的次數;組的數據值或組中值區(qū)出現的
11、次數;立一立一分組的組數分組的組數. .例4.6假設某投資銀行10年期的投資年利率是按復利計算的,年利率的分配情況為:第1、2年為3%,第3至第5年為5%,第6至第10年為8%。求平均年利率。解首先采用加權幾何平均數方法計算平均年本利率。G=1以面以面= =10608=10608%于是,得平均年利率為1佰佰08%-111%=618%。二、位置平均數位置平均數是根據其在全部數據中所處的位置確定的平均值。主要有二種形式:中位數和眾數。(一)中位數中位數是將全部數據項按從小到大順序排列后,處于中間位置的數據值,用表示。1 1 .未分組數據計算步驟為:第一步,將一組數據, ,X?,X?,,1 13s3
12、s按從小到大的順序排列后,不妨表示為%i),Ip),%i),Ip), ,第二步,確定中位數的位次。中位數的位次中位數的位次= =竺竺12式中,力為數據的項數;第三步,確定中位數的數值,計算公式為例 3.73.7 根據表 3.13.1 的未分組數據,計算 200200 名職工月銷售額的中位數。解首先將全部數據項按從小到大順序排列后,得表 3.43.4。表 3.4200 名職工月銷售額按從小到大順序排列單位:萬元5698126140154168175189210238569812614015416817518921023863101.5126140157.5171.5175192.52102416
13、6.5101.5126140157.5171.5175192.521024170105126140157.5171.5175196210241.570105129.5140161171.517519621024570105133140161175182196210245701051331401611751821962102457710513314016117518219621024580.5105133140164.517518219621724581105133143.51681751822032172528411213314716817518220321725984112136.51471
14、6817518220321727387.5112136.514716817518220322427387.5112136.5147168175182206.522427391112136.5154168175182206.522428091119136.5154168175182206.522428098119136.5154168175185.5206.5224280當制為奇數時當制為奇數時, ,當當 為偶數時為偶數時. .(3.7)(3.7)98122.514015416817518921022430898122.5140154168175189210231315中位數的位被中位數的位被_
15、J_2200+12=100.5因為 n=200n=200 為偶數,根據公式(3.7)(3.7), 中位數為第100100 項和第101101 項數據的算數平均數,,r% %則則+ +1叫叫168+168 力力fT-V此=2=-2=68( (萬萬兀兀) )。2 2 .分組數據計算步驟為:第一步,確定中位數的位次。中位數的位次中位數的位次2式中,工/各組次數總和;第二步,確定中位數所在組。江江從第一組開始計算累計次數,當累計次數大于 2 2 時,該組即為中位數所在組;第三步,確定中位數的數值,計算公式為口.工工- -一般一般- -1此此-L+-x;(3.8)式中,L-中位數所在組的下限值;h一中位
16、數所在組的次數;一各組次數總和;中位數所在組以前各組的次數之和;i i中位數所在組的組距。例3.8根據表 3.23.2 的分組數據,計算 200200 名職工月銷售額的中位數。解中位數的位次中位數的位次里里=1=1加加27從第一組開始累計到第 4 4 組時,累計職工人數為 142142 人,所以第 4 4 組為中位數所在組。于是中位數為嘰嘰82_=1.57.5+2x35=168(萬元(萬元點點607(二)眾數眾數是一組數據中出現次數最多的數據值,用場表示。1 .未分組數據對于未分組數據,直接找出出現次數最多的數據值即可。例3.9根據表3.1的未分組數據,計算200名職工月銷售額的眾數。解首先將
17、全部數據項按從小到大順序排列后,得表3.4o從表3.4可以看出,在200名職工中,有20名職工的月銷售額為168萬元,次數最多,因此這組數據的眾數為:%(萬元)。2 .分組數據計算步驟為:第一步,確定眾數所在的組,即在分組數據中出現次數最多的一組為眾數組;第二步,確定眾數必的數值,計算公式為:Mg=L+xjd+dw式事,工一眾數組的下限值;4一眾數組的次數與下一組的次數之差;d?一眾數組的次數與上一組的次數之差;i一眾數組的組距。例3.10根據表3.2的分組數據,計算200名職工月銷售額的眾數。解因為第4組的職工人數最多,為60人,所以第4組為眾數組。將有關數據代入公式(3.(9)得到眾數為6
18、0-44%=157.5+x35=171.86(60-44)+(6037)第二節(jié)統(tǒng)計數據的散布特征統(tǒng)計數據的散布特征是對一組數據變異程度和離散趨勢的度量,它反映了各數據值遠離其中心位置的程度,通常稱散布特征的度量為標志變異指標。常用來表述一組統(tǒng)計數據散布特征的變異指標有:全距、平均差、方差、標準差和變異系數等。分析、研究一組統(tǒng)計數據的離散趨勢,是衡量一組數據平均指標代表性的重要方法。一、全距全距,也稱極差,是一坦數據變動范圍大小的度量,計算公式為全距,也稱極差,是一坦數據變動范圍大小的度量,計算公式為: :I尺尺= =最大數據值最大數據值最小數據值最小數據值- -無曲無曲(3.10)式中,式中,
19、R R_ _全距工全距工鼻,鼻,一一組數據的最大值一一組數據的最大值心心- -一組數據的最一組數據的最d嘴。對于分組數據,全距為嘴。對于分組數據,全距為. .R= =最高組上最高組上限值一限值一最低組最低組下限值下限值例3.11根據表3.4,計算200名職工月銷售額的全距。解因為表3.4是職工月銷售額按從小到大順序排列的數據,所以直接得全距為尺=叱-56=2免(萬元)。(3.9)(3.9)( (萬元萬元) )。二、平均差平均差,也稱平均離差,是各個數據值與其平均值的離差絕對值的平均數,用A.D.表小0(一)未分組數據計算公式為:計算公式為:上上區(qū)區(qū)- -同同A.D,=-.(3.11)式中,兒。
20、I簡單平均差;耳一第/項的數據值;1全部數據的算數平均數;u一數據的項數。例3.12根據表3.1的未分組數據,計算200名職工月銷售額的平均差。解由例3.1得知,7=166于是200名職工月銷售額的平均差為:乩乩D_Ly1/_166_091=809020-40.4510(萬元)。(萬元)。200J1200(二)分組數據計算公式為:4D=Z/i-l(3.12)式中,兒Di一加權平均差;X一第,組的數據值或組中值;X一全部數據的算數平均數;力一第i組的數據值或組中值&出現的次數;k一分組的組數。例3.13根據表3.2的分組數據,計算200名職工月銷售額的平均差。解按分組數據估計200名職工
21、月銷售額的平均差,應采用加權平均差方法,計算過程列表如下:單位:萬元月觸提月銷債簿中值JT/(A)離爰,-產7-166JO9離型兩值區(qū)3各組月銷售琮區(qū)-/752.5-87.57013-9C.099609P1249.17875-122.510525-610961JO?1527251225157.514044-26,0926B9114796157519251756C8.918.91534E0192.5.22752103743.914391162467227.5-珀珀 524513789178911025.83262.5-297J280611391113.91683.46297.5-33253152
22、1489114891297,82合計合計2003090.76于是,200200 名職工月銷售額的平均差為:、方差和標準差ADAD工工-T|7809。, ,7620040.45( (萬元萬元)0方差是各個數據值與其平均值離差的平方的平均數;標準差是方差的平方根,用了表示。(一)未分組數據對未分組數據,方差、標準差的計算公式分別為:ii-1iff=依(3.13)和(3.14)式中,/和仃一分別為方差和標準差;工一第j項的數據值;Z-全部數據的算數平均數;乂一數據的項數。方差的性質ff2=-i伉伉)2= =爐爐一僅產一僅產n(3.15)即,方差等于數據平方的平均值減去數據平均值的平方,這一性質常用于
23、簡化方差的計算。例3.14根據表3.1的未分組數據,計算200名職工月銷售額的方差和標準差_ _一,一,- -= =二二兄兄J30247_”,解由例3.1得知,工工= =166.09,一,于是200名職工月銷售額的方差為:M=尹的尹的= =30216475-(166.09)2=26305869林淮差為:叮叮= =72630.5869=512892( (萬元萬元. .(二)分組數據對于分組數據,方差、標準差的計算公式分別為:,= =上一上一j-(3.16)2-1和 區(qū)區(qū)- -5尸尸 61-(3.17)式中,/和仃一分別為方差和標準差;左一第j項的數據值或組中值;X-全部數據的算數平均數;力一第j
24、組的數據值或組中值不出現的次數;k一分組的組數。例3.15根據表3.2的分組數據,估算200名職工月銷售額的方差和標準差。解按分組數據估計200名職工月銷售額的方差和標準差,應采用加權的計算方法,計算過程列表如下:單位單位: :萬元萬元月銷售能月銷售需圖中值X/(A)盅差JT-7JT-7= =JT-JT-167.3167.30 0再差的平方3方523-87.5?013-97.39467.2912307477875-122.510525-62.3388129野野 03125.5-157.514044-27.3745.2932792761575-1925175607.75929355740152.
25、5-227.5210374251E23.2967461.7322T5-2625245131336037.297S434772625.297.52806112712701.2976207.74257.5-332.53152147.721815.2943630.5S臺臺itit20056530.32522242.00丁是,200名職工月銷售額的方差為:標準差為標準差為: :cr=7261121=5110( (萬元萬元) )。四、標準差系數全距、平均差、方差和標準差都是反映一組數據變異程度的絕對指標,其數值的大小不僅與這組數據本身水平高低有關,而且還取決于數據的計量單位。為了對比分析不同平均水平和不
26、同計量單位的數據組之間的變異程度,不宜直接通過上述變異指標來比較其變異程度。為消除平均水平高低和計量單位不同的影響,需要計算變異系數。變異系數是一組數據的變異指標與其平均指標之比,它是一個相對變異指標。變異系數有全距系數、平均差系數和標準差系數等。常用的是標準差系數,用乙表示,計算公式為:(3.18)522242.00-200=2611.21例如,根據表3.1的未分組數據,計算的標準差系數為根據表3.2的分組數據,計算的標準差系數為例3.16某縣2個鄉(xiāng)的小麥產量的有關數據如下表所示:單僮二公斤單僮二公斤甲鄉(xiāng)乙多每畝平均產量了標準差仃35040鈉兄試比較2個鄉(xiāng)小麥產量的變異程度解甲鄉(xiāng)的標準差系數
27、為:er40=1143%X350乙鄉(xiāng)的標準差系數為:從表中數后右一,叫電,似乎甲鄉(xiāng)的變異程度較小,其平均指標的代表性高于乙鄉(xiāng);但從變異系數看,,甲改,所以乙鄉(xiāng)的變異程度低于甲鄉(xiāng),說明乙鄉(xiāng)的小麥平均畝產量具有較大的代表性。第三節(jié)統(tǒng)計數據的形態(tài)特征統(tǒng)計數據的形態(tài)特征是對一組統(tǒng)計數據分布的對稱(或偏斜)程度和陡峭(或扁平)程度的度量,是反映一組統(tǒng)計數據分布形狀的重要指標。常用來表述一組統(tǒng)計數據形態(tài)特征的指標有:偏度和峰度。偏度和峰度是通過矩來定義的。51,2892166.09=0.308851114316730=03055a_52T=430=10.83%一、矩在力學和物理學中,矩用來描述質量的分布;
28、在統(tǒng)計學中,矩用來描述統(tǒng)計數據的分布。例如,算術平均數、方差、標準差和平均差等都是矩,變異系數也是通過矩來計算的。因此,矩是描述統(tǒng)計數據分布特征的一類數字特征。常用的矩有兩大類:原點矩和中心矩。(一)原點矩1.未分組數據,k階原點矩的計算公式為:(3.19)式中,的一小階原點矩;第i項的數據值;-任意實數,原點矩的階數;n數據的項數。2 .分組數據,k階原點矩的計算公式為:(3.20)式中,的一1fc 階原點矩;第1組的數據值或組中值;1一第i組的數據值或組中值為出現的次數;。一任意實數,原點矩的階數;A一分組的組數。%=1顯然,的=,即算數平均數是i階原點矩。(二)中心矩1.未分組數據,長階
29、中心矩的計算公式為:T_Pjt二-七區(qū)-X)”州i-1(3.21)式中,取一LL階中心矩;工一第i項的數據值;了一全部數據的算數平均數;k擾一任意實數,中心矩的階數;n數據的項數。2.分組數據,1階中心矩的計算公式為:1提_2-1(3.(22)其中,出一上階中心矩;X第1組的數據值或組中值;x-全部數據的算數平均數;6一第I組的數據值或組中值同出現的次數;Jt0-任意實數,中心矩的階數;血一分組的組數。顯然,出=及,即方差是2階中心矩。3.原點矩與中心矩的換算公式常用的前4階矩的換算公式如下:的=1時=0必=芻.城出=6-3%次3+2境;為=%-4厘%+6厘:比口-3d二、偏度偏度,亦稱偏態(tài)、
30、偏態(tài)系數等,是統(tǒng)計數據分布偏斜方向和程度的度量,是統(tǒng)計數據分布非對稱程度的數字特征。偏度是利用3階矩定義的,偏度的計算公式為:ft(3.(23)式中,片偏度;內一內一3階中心矩;。一標準差。在一般情形下,當統(tǒng)計數據為右偏分布時,耳口,且值越大,右偏程度越高;當統(tǒng)計數據為左偏分布時,$用二,且S*.值越小,左偏程度越高。當統(tǒng)計數據為對稱分布時,顯然有&二0。例3.17根據表3.1的未分組數據,計算200名職工月銷售額的偏度。解因為解因為%=%=?= =166.)9,%=%=產產= =30216,475,%=%=聲聲= =5916360419,于是有色=%一3句以3+2值;=591636(
31、1419-3x16609x30216475+2x(16609)3=238777295最后得偏度為Z,=23877.7295=01770/51.28923三、峰度嶺度,亦稱嶺度,亦稱峰態(tài)、峰態(tài)系數等,是統(tǒng)計數據分布陡峭桿皮的廢下峰態(tài)、峰態(tài)系數等,是統(tǒng)計數據分布陡峭桿皮的廢下. .峰度峰度是利用是利用4階矩定義的,峰度的計算公式為:紇紇=4=4(3.(24)式中,跖一峰度;44階中心矩;口一標準差。在數據分析工具中選擇“描述統(tǒng)計”。將統(tǒng)計數據的分布形態(tài)與正態(tài)分布加以比較,在一般情形下,如果統(tǒng)計數據的分布較正態(tài)分布更加陡峭時,則程3,稱為尖頂(尖峰)分布,且反值越大,分布的形狀越陡峭;如果統(tǒng)計數據的
32、分布較正態(tài)分布更加平坦時,則見3,稱為平頂(平峰)分布,且反值越小,分布的形狀越平坦;當統(tǒng)計數據為正態(tài)分布時,顯然有瓦二L例3.18根據表3.1的未分組數據,計算200名職工月銷售額的峰度。解解因為因為30216,475,30216,475,1232364050.471232364050.47于懸艮據原點矩與中心矩的換算公式有于懸艮據原點矩與中心矩的換算公式有4 44/4/的的+ +南,丐南,丐- -3 3端端= =1 12323640504723236405047-4x-4x1(561(560505x x591636041591636041P P+ +6x(166.09)6x(166.09)
33、a ax30211475-3x(ldfi.09)x30211475-3x(ldfi.09)4 4= =2011fi9fi4.382011fi9fi4.38最后得峰度為最后得峰度為附錄:用Excel計算描述統(tǒng)計量通過本附錄的學習,我們將學會利用 ExcelExcel 提供的各種統(tǒng)計函數和數據分析”宏程序中的描述統(tǒng)計過程,計算描述統(tǒng)計量的方法。一、利用“描述統(tǒng)計”過程計算例1某電腦公司四月份電腦銷售量數據(單位:臺)如下:25727127227629228429726126825228130423730027231127526224026531123528025026129127027826029
34、74*步驟一:輸入數據。打開Excel工作簿,分別在A1至A30這30個單元格內輸入上述數據。步驟二:利用“描述統(tǒng)計”過程計算。1.選擇“工具”下拉菜單。2.選擇“數據分析”選項。(如無此選項,可利用第二章附錄中介紹的“加載宏”的方法予以加載。)3.出現描述統(tǒng)計對話框,如下圖:據述統(tǒng)計ax輸入輸入區(qū)域中:分殂方式:r標志位于第一行feAil-JAS30w 逐列逐行輸出選項行輸出區(qū)域宜|:新工作表犯口:C新工作薄匯總統(tǒng)計平均數置信度:歹第K大值此):廠第K小值。:(1)在“輸入區(qū)域”方框中鍵入A1:A30;在“輸出區(qū)域”方框中鍵入輸出區(qū)域第一個起始單元格的地址B1;選擇“匯總統(tǒng)計”、“平均數置信度”;在“第K個最大值”和“第K個最小值”中,選擇系統(tǒng)默認值“1”出第1個最大值和第1個最小值);單擊“確定”按鈕。計算結果如下:Excel計算的月銷售額的描述統(tǒng)計量(表示選擇輸ABCDL257列列122S13311平均平均273.66666674271標標準誤差準誤差3.7769212465304中值中值2726235模式模式3117272標準偏差標準偏差20.587049648237樣本方差樣本方差427.9540239280峰值峰值T),54
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