第三章第3節(jié)向量間的線性關系

1、3.3 3.3 向量間的線性關系向量間的線性關系 ) 1 . 3(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa線性方程組（線性方程組（3.1）寫成常數列向量與系數列向量如下的線性關系寫成常數列向量與系數列向量如下的線性關系1 12 2nnxxx稱為方程組（稱為方程組（3.1）的向量形式。）的向量形式。一、線性組合一、線性組合其中其中1122j(1,2, );jjmjmababjnab都是都是m維列向量。維列向量。1212,)mmxxx （線性方程組（線性方程組（3.1）也可寫成）也可寫成線性方程組（線性方程組（3.1）是否有解，相當于是

2、否存在一組）是否有解，相當于是否存在一組數，數，1122,nnxk xkxk使線性關系式使線性關系式1122nnkkk成立。成立。 即常數列向量即常數列向量是否可以表示成上述系數是否可以表示成上述系數列向量組列向量組12,n 的線性關系式。的線性關系式。，組實數組實數，對于任何一，對于任何一給定向量組給定向量組mmkkkA,: 2121 定義定義., 21個線性組合的系數個線性組合的系數稱為這稱為這，mkkk，稱為向量組的一個稱為向量組的一個向量向量 2211mmkkk 線性組合線性組合mmb 2211，使，使，一組數一組數如果存在如果存在和向量和向量給定向量組給定向量組mmbA ,: 212

3、1. 2211有解有解即線性方程組即線性方程組bxxxmm 的線性組合，這時稱的線性組合，這時稱是向量組是向量組則向量則向量Ab 向量向量 能能由向量組由向量組 線性表示線性表示bA1122 .mmxxxb線性方程組有解1212,)mmxxbx （也可寫成：也可寫成：.),(),( 2121的秩的秩，的秩等于矩陣的秩等于矩陣，條件是矩陣條件是矩陣線性表示的充分必要線性表示的充分必要能由向量組能由向量組向量向量bBAAbmm 定理定理: :【例【例1 】 零向量是任何一組向量的線性組合零向量是任何一組向量的線性組合. .,)1(,2121的的線線性性組組合合都都是是此此向向量量組組中中的的任任一

4、一向向量量向向量量組組sjssj 【例【例2】都是都是n維單位向量組維單位向量組1, 0, 00, 1, 00, 0, 121n 的線性組合的線性組合. . naaan,21 維維向向量量任任何何一一個個【例【例3】 ) 1 . 3(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa令令njaaamjjjj, 2 , 121 mbbb21 對應的向量形式為對應的向量形式為 nnxxx2211)()(ArAr結論結論線線性性表表示示向向量量組組可可由由n ,21非齊次線性方程組非齊次線性方程組(3.1)有解有解即即).,(),(2121 nnr

5、r1212430114311112152111. 判判斷斷（ ， ， ，）, ,（ ， ，）是是否否為為向向量量組組（ ， ，），（ ， ， ）的的線線性性組組合合【例【例4】 121TTT 1115011312421 990430550421 1104210 0 10 0 012121(,)2(,)3TTTTTrr 112. 不不能能由由，線線性性表表示示【解】【解】11221,kk 設設121()TTT對對矩矩陣陣施以初等行變換：施以初等行變換： 122TTT 1242131115111 124055033099 1104210 0 00 0 012122(,)2(,)TTTTTrr 11

6、2. 不不能能由由，線線性性表表示示【解】【解】11222,kk 設設122()TTT對對矩矩陣陣施以初等行變換：施以初等行變換：二、線性相關與線性無關二、線性相關與線性無關.,0,021221121線線性性相相關關稱稱向向量量組組，使使得得的的數數如如果果存存在在一一組組不不全全為為sssskkkkkk .,0021221121線線性性無無關關稱稱向向量量組組，才才能能使使如如果果只只有有sssskkkkkk 定義定義 )9 . 3(000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa02211 nnxxx njaaamjjjj, 2 , 121

7、對應的向量形式為對應的向量形式為結論結論線線性性無無關關n ,)1(21齊次線性方程組齊次線性方程組(3.9)(3.9)只有零解只有零解nrn),(21 當當m= =n時時0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa線線性性相相關關n ,)2(21齊次線性方程組齊次線性方程組(3.9)(3.9)有非零解有非零解nrn),(21 當當m=n時時0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa【例【例5】僅由一個零向量組成的向量組線性相關僅由一個零向量組成的向量組線性相關. .【例【例6】包含零向量的向量組必線性相關包含零向量的向量組必線性相關. .僅由一個非零向量組成的向量組

8、線性無關僅由一個非零向量組成的向量組線性無關. .【例【例7】 n n維單位向量組維單位向量組n ,21線性無關線性無關. .nnkkk 2211nkkk,21=0=0. 021nkkk 1234213142542123 ,3212 ; ， ， ， ， ，【例【例8】判斷下列向量組是否線性相關】判斷下列向量組是否線性相關?1、【解解】對矩陣對矩陣 施以初等變換化為階梯形矩陣施以初等變換化為階梯形矩陣 TTTT4321, 2341125321213242.,4321線線性性相相關關所所以以 2121234112533242 21210 0 0 10 1 1 50 2 2 0 2121 0 1 1

9、 50 0 0 1 0 0 0 10 01010 1 1 00 0 0 10 0 0 0所以秩所以秩 TTTT4321, =34, 1231203251103412 . ， ， ， ， ，2、TTT321, 2103110452321可知可知, 3,321TTTr 因此因此.,321線性無關線性無關 7401101090321 3001101900321 3001900110321 1001103210 0 0【解】【解】定理定理3.4推論：推論： 當向量組中所含向量的個數大于向量的當向量組中所含向量的個數大于向量的 維數時，此向量組線性相關。維數時，此向量組線性相關。證：設證：設12(, ,

10、) (1,2, , )jjjmja aajn ，齊次線性，齊次線性方程組方程組11220nnxxx由于由于,mn 故有非零解，由此得證。故有非零解，由此得證。(3)、n+1個個n維向量必線性相關維向量必線性相關.(4)、向量組部分向量線性相關、向量組部分向量線性相關整個向量組必線性相關整個向量組必線性相關.000111 rssskk ,1線線性性相相關關s , 0,11 rsskkkk不不全全為為零零的的數數 使使(5)、向量組線性無關、向量組線性無關它的任何部分組必線性無關它的任何部分組必線性無關.例如例如 空間空間R3中，中，4個以上的向量總是線性相關個以上的向量總是線性相關.三、關于線性

11、組合和線性相關的定理三、關于線性組合和線性相關的定理定理定理3.6 ： 向量組向量組12,(2)ss 線性相關的充分必要條件線性相關的充分必要條件是：其中至少有一個向量是其余是：其中至少有一個向量是其余s-1個向量的線性組合。個向量的線性組合。11,ss 向向量量組組線線性性相相關關，而而線線性性無無關關.1一一線線性性表表示示，且且表表示示法法唯唯，可可由由s 定理定理3.7：【證明【證明】線線性性相相關關因因為為向向量量組組 ,1s使使的的數數所所以以存存在在不不全全為為,01kkks01 kkkss, 0 k如如果果, 01 sskk 則則,0,1不不全全為為又又skk線線性性相相關關與

12、與已已知知矛矛盾盾，故故s ,1, 0 k所以所以sskkkk 11則則.1線線性性表表示示，可可由由即即s 唯一唯一性自性自證證定理定理3.8：如果向量組（：如果向量組（A）可由向量組（）可由向量組（B）線性表示，而向量組（線性表示，而向量組（B）又可由向量組（）又可由向量組（C）線性）線性表示，表示， 則向量組（則向量組（A）也可由向量組（）也可由向量組（C）線性表示。）線性表示。12123.9( ),( ),stAB 定定理理： 設設12BAst 如如果果 （ ）向向量量組組（ ） 可可由由向向量量組組（ ）線線性性表表示示，（ ），.B那那么么向向量量組組（ ）必必線線性性相相關關12

13、12( ),( ),stAB 另另： 設設推論：如果向量組推論：如果向量組( (A), ),（B）等價，且）等價，且( (A) ),( (B) )都線性無關，都線性無關，則則s = t. 如果向量組如果向量組( (B) )可由向量可由向量( (A) )線性表示，而且向量組線性表示，而且向量組(B)(B)線性無關，則線性無關，則.ts 四、極大線性無關組四、極大線性無關組定義定義),(,2121nrriiin 的的一一個個部部分分組組向向量量組組如果如果線線性性無無關關，）（riii ,121線線性性表表示示，都都可可由由，）（riiijnj , 2 , 1221 的的一一個個稱稱為為向向量量組

14、組則則部部分分組組niiir ,2121極大線性無關組（極大無關組）極大線性無關組（極大無關組）. .），（），（，），（），（201101,104321 【例【例9】易證易證線線性性無無關關，21, 又任何又任何3個二維向量組必線性相關，個二維向量組必線性相關，.,432121的的一一個個極極大大無無關關組組是是故故 .,432132的的一一個個極極大大無無關關組組也也是是同同樣樣 向量組的極大無關組不唯一向量組的極大無關組不唯一. .向量組的極大無關組都含有相同個數的向量向量組的極大無關組都含有相同個數的向量. .向量組的極大無關組所含向量的個數稱為向量組向量組的極大無關組所含向量的個數稱

15、為向量組的秩的秩. .一個線性無關向量組的極大無關組就是這個向量一個線性無關向量組的極大無關組就是這個向量組本身組本身. .一向量組線性無關一向量組線性無關它的秩等于它所含向量的個數它的秩等于它所含向量的個數. .規(guī)定規(guī)定 只含零向量的向量組的秩為只含零向量的向量組的秩為0. 0.定理定理3.10：如果：如果12jjjr， ，是是12s， ，的線性無關部分組，的線性無關部分組， 它是極大無關組的充分必要條件它是極大無關組的充分必要條件是：是： 12s， ，中的每一個向量都可由中的每一個向量都可由12jjjr， ，線性表示。線性表示。矩陣的矩陣的行秩行秩是矩陣的是矩陣的行行向量組的秩向量組的秩矩

16、陣的矩陣的列秩列秩是矩陣的是矩陣的列列向量組的秩向量組的秩. .例如例如 0000500041201311A行向量組行向量組 4, 1, 2, 01, 3, 1, 121 0, 0, 0, 05, 0, 0, 043 .,4321321的的一一個個極極大大無無關關組組是是 易證易證，的的秩秩是是所所以以3,4321 即即A的行秩是的行秩是3. .列向量組列向量組 0, 0, 2, 10, 0, 0, 121 0, 5, 4, 10, 0, 1, 343 .,4321421的的一一個個極極大大無無關關組組是是 ，的的秩秩是是所所以以3,4321 即即A的列秩是的列秩是3. .推論推論 矩陣的行秩

17、與列秩相等矩陣的行秩與列秩相等. .定理定理 A為為m n矩陣矩陣, ,r( (A)=)=r 的充分必要條件是：的充分必要條件是：A的列的列( (行行) )秩為秩為r. .結論：如果對矩陣結論：如果對矩陣A僅施以初等僅施以初等行行變換化為矩陣變換化為矩陣,A則則A的的列列向量組與向量組與A的的列列向量組有相同向量組有相同 的線性關系，的線性關系，即：即：（1）如果）如果A的列向量組的列向量組12,n 中，部分組中，部分組12,jjjs 線性無關，則線性無關，則A的列向量組的列向量組12,n 中，對應的中，對應的12,jjjs 也線性無關。也線性無關。反之亦然。反之亦然。（2）如果）如果A的列向

18、量組的列向量組12,n 中，某個向量中，某個向量j 可由其中的可由其中的12,jjjs 線性表示：線性表示：1122jjjsjskkk則則A的列向量組的列向量組12,n 中，對應的中，對應的j 可由其中的可由其中的12,jjjs 線性表示：線性表示：1122jjjsjskkk類似地，類似地， 如果對矩陣如果對矩陣A僅施以初等列變換化為僅施以初等列變換化為,A 則則A 的行向量組與的行向量組與A的行向量組間有相同的線性關系。的行向量組間有相同的線性關系。簡言之，矩陣的初等行（列）變換不改變其列（行）簡言之，矩陣的初等行（列）變換不改變其列（行）向量間的線性關系。向量間的線性關系。 1201142333114132A【解解】對矩陣僅施以初等行變換：】對矩陣僅施以初等行變換： )(4321 A 1201142341323311 1, 1, 3, 42, 4, 3, 143 0, 2, 1, 31, 3, 1, 221 （1 1）求向量組的秩；）求向量組的秩；（2 2）求向量組的一個極大無關組）求向量組的一個極大無關組. .【例【例10】 211010550105503311 0000000021103311 000000002110120