第講數(shù)軸—數(shù)與形的第一次碰撞

1、數(shù)與形的第次碰撞為了學(xué)好有理數(shù)的概念，使思維適應(yīng)數(shù)集的擴(kuò)充，我們把現(xiàn)實(shí)生活中大量的有關(guān)模型，如直尺、杠 桿、溫度計(jì)、儀表上的刻度，所具有的本質(zhì)屬性抽象化，建立起數(shù)軸模型數(shù)軸的建立，賦予了抽象的 代數(shù)概念以直觀表象.數(shù)學(xué)一開始就是研究“數(shù)”和“形”的，從古希臘時(shí)期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來.數(shù)與形有著密切的聯(lián)系，我們常用代數(shù)的方法研究圖形問題；另一方面，也利用圖形來處理代數(shù)問 題，這種數(shù)與形相互作用，是一種重要的數(shù)學(xué)思想一一數(shù)形結(jié)合思想.利用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段，數(shù)軸是聯(lián)系數(shù)與形的橋梁，主要 體現(xiàn)在：1 運(yùn)用數(shù)軸直觀地表示有理數(shù)；2 運(yùn)用數(shù)軸形象地解釋相反數(shù)；

2、3 .運(yùn)用數(shù)軸準(zhǔn)確地比較有理數(shù)的大小；4 運(yùn)用數(shù)軸恰當(dāng)?shù)亟鉀Q與絕對(duì)值有關(guān)聯(lián)的問題.例題【例1】(1)數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，如果點(diǎn) A對(duì)應(yīng)的數(shù)是一 2,且A、B兩點(diǎn)的距離為3，那么點(diǎn)D對(duì) 應(yīng)的數(shù)是.(江蘇省競(jìng)賽題)1 1 一在數(shù)軸上，點(diǎn) A、B分別表示和一，則線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)是 35思路點(diǎn)撥 (1)確定B點(diǎn)的位置；在數(shù)軸上選擇兩個(gè)特殊點(diǎn)，探索它們的中點(diǎn)所表示的數(shù)與所選 兩點(diǎn)所表示的數(shù)的聯(lián)系.【例2】 如圖，在數(shù)軸上有六個(gè)點(diǎn)，且AB=BC=CD=DE=EF ，則與點(diǎn)C所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是() 思路點(diǎn)撥 利用數(shù)軸提供的信息，求岀 AF的長(zhǎng)度.1【例3】比較a與 的大小.a思路點(diǎn)撥 因?yàn)閍表

3、示的數(shù)有任意性，直接比較常會(huì)發(fā)生遺漏的現(xiàn)象，若把各個(gè)范圍在數(shù)軸上表示1 1岀來，借助數(shù)軸討論它們的大小，則形象直觀，解題的關(guān)鍵是由a 丄、無意義得岀a 1， 1,，據(jù)a a此3個(gè)數(shù)把數(shù)軸分為 6個(gè)部分.【例4】(1)閱讀下面材料并回答問題.28. (1)閱讀下面材料：點(diǎn) A B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為I ABI.當(dāng)A B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1，IAB| = | OB| = | b I = I a-b I當(dāng)A B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí),如圖2,點(diǎn)A B都在原點(diǎn)的右邊丨AB| = | OBI-I OA| = |b | |a|= b a=|a b| ；

4、如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，| AB| = | 0B| | OA| = | b | |a|= b a=|a b| ;如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，| AB|=| OB| | OA| = | b | |a|= b ( a)=|a b| ;綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|=|a b| .(2) 回答下列問題：數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是 ，數(shù)軸上表示2和一5的兩點(diǎn)之間的距離是 ，數(shù)軸上表示1和一3的兩點(diǎn)之間的距離是;數(shù)軸上表示x和一1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是 如果| AB|= 2用么x為；當(dāng)代數(shù)式| x+1 |十| x 2 |取最小值時(shí)，相應(yīng)的 x的取值范圍是 .注：有效地從圖形

5、、圖表獲取信息是信息社會(huì)的基本要求.從數(shù)軸上獲取有關(guān)信息是解有理數(shù)問題的常用技巧，主要包括：(1) 數(shù)軸上堵塞點(diǎn)所表示的數(shù)是正負(fù)性；(2) 數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.(1) 字母表示數(shù)是代數(shù)的特點(diǎn)，但字母具有抽象性，所以在條件允許的范圍內(nèi)賦予宇母以特殊值來計(jì) 算、判斷或探求解題思路，能化抽象為具體，這就是我們常說的“賦值法”，但這種方法不能作為解題 的規(guī)范過程.純粹的代數(shù)的方法比較抽象，如能借助圖形(利用數(shù)形結(jié)合的思想方法)，則可使許多抽象的概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化，甚至簡(jiǎn)單化.(2) 試求 | x-1 | 十 | x 2 | + | x 3 | + 丨 x 1997 | 的最小值.(

6、天津市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥 對(duì)于，閱讀理解從數(shù)軸上看，a b的意義；對(duì)于(2)由于x的任意性、無限性，因此，通過逐個(gè)求岀代數(shù)式的值解題明顯困難，不妨從絕對(duì)值的幾何意義，利用數(shù)軸入手，借助(1)的結(jié)論解題.【例5】(1)工作流水線上順次排列5個(gè)工作臺(tái)A、B、C、D、E, 只工具箱應(yīng)該放在何處，才能使工作臺(tái)上操作機(jī)器的人取工具所走的路程最短？(2) 如果工作臺(tái)由5個(gè)改為6個(gè)，那么工具箱應(yīng)如何放置能使6個(gè)操作機(jī)器的人取工具所走的路程之和最短？(3) 當(dāng)流水線上有n個(gè)工作臺(tái)時(shí)，怎樣放置工具箱最適宜？思路點(diǎn)撥把流水線看作數(shù)軸，工作臺(tái)、工具箱看作數(shù)軸上的點(diǎn)，這樣，就找到了解決本例的模型數(shù)軸，將問題轉(zhuǎn)化為例4的

7、形式求解.學(xué)力訓(xùn)練1 在數(shù)軸上表示數(shù) a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，則a 3 =.1 1 12. a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則、-、中最大的是 .a b c b a c3. 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，若mabb1ac1c ，則，則1000m=.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4 如圖，工作流程線上A、B、C、D處各有1名工人，且 AB = BC = CD = 1,現(xiàn)在工作流程線上安放一個(gè)工具箱，使 4個(gè)人到工具箱的距離之和為最短，則工具箱的安放位置是_.5.有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)a b c b的結(jié)果為（）.A. a+c B. -a-2b+c C. a+2b-c D . -a-c

8、6 .如圖，數(shù)軸上標(biāo)岀若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn) A、B、C、D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d，且d 2a =10，那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是 （）.A . A點(diǎn) B . B點(diǎn) C . C點(diǎn) D. D點(diǎn)7 . X 1 X 1的最小值是（）.A . 2 B . 0 C . 1 D . 一 l8 .數(shù)a、b、c、d所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) a、b、c、d在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么a c與b d的大小關(guān)系是（）.（江蘇省競(jìng)賽題）a . a c v b d b . a c = b d c . a c > b d d .不確定的9.有理數(shù)a、b滿足a 0，b 0， a b，用“ <”將a、b、 a、 b連接起來.10 . x 1 x 2 x 3的最小值是11.若a 0, b 0,則使x a x b a b成立的x取值范圍是.12 .如圖，A、B、C、D、E為數(shù)軸上的五個(gè)點(diǎn).且 AB = BC=CD=DE，則圖中與 P點(diǎn)表示的數(shù)比較接近的一個(gè)數(shù)是（）.A . 一 l B . 1 C 3 D . 513 .不相等的有理數(shù) a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 a、b、c,若a b b c a c，那么點(diǎn) B（ ）.A .在A、C點(diǎn)右邊 B .在A、C點(diǎn)左邊 C .在A、C點(diǎn)之間 D .以上均有可能14 .試求x 2 x 4 x 6x 2000的最