阿波羅尼斯圓

1、阿波羅尼斯圓一、適用題型1、已知兩個線段長度之比為定值；2、過某動點向兩定圓作切線，若切線張角相等3、向量的定比分點公式結(jié)合角平分線；4、線段的倍數(shù)轉(zhuǎn)化；二、基本理論一）阿波羅尼斯定理（又稱中線長公式）設(shè)三角形的三邊長分別為a,b,c，中線長分別為m,m,m,則：abc1b2+c2=a2+2m22a1a2+c2=b2+2m22ba2+b2=c2+2m22c二）阿波羅尼斯圓一般地，平面內(nèi)到兩個定點距離之比為常數(shù)九（九北1）的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”不妨設(shè)A(a,0JBC,0JAP二入BP(a>0,九0,九H1)若設(shè)P(x,yJ則v'(x+aJ2+y2=九-aJ2+y

2、2化簡得：X2+1'x-aX2-1丿軌跡為圓心a,0，丿半徑為2九a九2-1的圓三）阿波羅尼斯圓的性質(zhì)1、滿足上面條件的阿波羅尼斯圓的直徑的兩端是按照定比九內(nèi)分AB和外分AB所得的兩個分點；2、直線CM平分ZACB，直線CN平分ZACB的外角;cAMAN3、=BMBN4、CM丄CN5、九1時，點B在圓O內(nèi)；<X<1,點A在圓O內(nèi)；6、若AC,AD是切線，則CD與AO的交點即為B；7、若點B做圓O的不與CD重合的弦EF，則AB平分ZEAF；三、補充說明1、關(guān)于性質(zhì)1的證明定理：A,B為兩已知點，P,Q分別為線段AB的定比為血豐1）的內(nèi)、外分點，則以PQ為直徑的圓O上任意點到A

3、,B兩點的距離之比等于常數(shù)九。證明：不妨設(shè)九1設(shè)AB二a,過點B作圓O的與直徑PQ垂直的弦CD，則a九aa九aAP=廠,BP二一,AQ=廠,BQ二一九+1九+1九一1九一1由相交弦定理及勾股定理得:BC2=BP-BQ=-a2a2X2尢21AC2=AB2+BC2=a2+=X21九21于是BC=a,AC=上,則蘭=XX2一1X2一1BC從而P,Q,C同時在到A,B兩點距離之比等于X的曲線（即圓）上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的，因此圓O上任意點到A,B兩點距離之比等于常數(shù)。2、關(guān)于性質(zhì)6的補充若已知圓O及圓O外一點A，則可作出與點A對應(yīng)的點B，只要過點A作圓O兩條切線，切點分別為C,D，連結(jié)C

4、D與AQ即交于點B。反之，可作出與點B對應(yīng)的點A四、典型例題例1(教材例題)已知一曲線是與兩個定點0(0,0)、A(3,0)距離的比為-的點的軌跡,2求此曲線的方程，并畫出曲線。解：設(shè)點M(x,y)是曲線上任意一點，則X2+嚴二1，整理即得到該曲線的方程為：(x-3)2+y22(x+1)2+y2=4。例2(2003北京春季文)設(shè)A(-c,0),B(c,0)(c>0)為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a>0)，求P點的軌跡.解：設(shè)動點P的坐標為(x,y)由凹=a(a>0),得-"x+C)2+戸=a1PB1(x-c)2+y2化間得(1a2)x2+2

5、c(1+a2)x+c2(1a2)+(1a2)y2=0.當a豐1時,得x2+2c(1+"2)x+c2+y2=0，整理得(xac)2+y2=(2ac)2-1a2a21a21當a=1時，化間得x=0.所以當a豐1時，P點的軌跡是以(聖也c,0)為圓心，丨丄佇I為半徑的圓；a21a21當a=1時，P點的軌跡為y軸.例3（2005江蘇高考數(shù)學）如圖，圓O與圓O的半徑都是1，12OO=4，過動點P分別作圓O.圓O的切線PM、PN（分別為切點），1 2_12M使得PM=PN試建立適當?shù)淖鴺讼?，并求動點P的軌跡方程.解：以oo的中點o為原點，oo所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，貝yo（-2,0

6、），0121212。1yM.。2X（2，0），由已知PM=J2PN，得PM2=2PN2+因為兩圓的半徑均為1,所以PO2-1=2(PO2-1).12設(shè)P(x,y)，則(x+2)2+y2-1二2(x-2)2+y2-1,即(x6)2+y2=33，所以所求軌跡方程為(x6)2+y2=33.(或x2+y212x+3=0)例4（2006四川高考理）已知兩定點A（-2,0）、B（1,0），如果動點P滿足|PA|=2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（）(A)(B)4兀(C)8開(D)9開解：B例5（2008江蘇高考）AABC中，AB=2,AC=2BC，則S的最大值為AABC答案：4變形：AABC

7、中，AB=4,CA:CB=5:3，則S的最大值為AABC例6設(shè)點A,B,C,D依次在同一直線上，AB=6,BC=3,CD=2，已知點P在直線AD外，滿足ZAPB=ZBPC=ZCPD，試確定點P的幾何位置。解：先作線段AC關(guān)于2：1的阿氏圓匕，再作線段BD關(guān)于3：2的阿氏圓匕，兩圓交點即為點P，同時該點關(guān)于直線AD的對稱點也為所求。例7（2011年南通一模）已知等腰三角形一腰上的中線長為丫亍，則該三角形面積的最大值為a解法一如圖4-1-了所臥以中錢助所在直線溝i軸.線段/W的中點0為坐標原點，建丑平面査角坐赫系，則點E/F坐標粼導(dǎo)oh又設(shè)血），則因點n是Ac中點/尋c（A一工，一F）,英中?。?

8、gt;0,廡Y+歩，化簡，得（1丄礬丫+由AC-.八艮尋（x+v+vinoK-r.H(jC牛其中山從而TW-克而的裔積$二再八所以當f=時，S3-'J解法二如圖4-所示，以底酬?所在亞嘗為X軸中點0為坐赫原點*建圧平面立角坐標系譴忒mJJ>.（Xmt0A（0sfi）s（mtn刈人則腰M；的申點U-ytYh由RD二民得勺；.ym+n2=3,曲基本J；等式捋斗4+-:-?r',從而tnnW2,囲為.】SC的酋積為A：HIH,所以最史值為2.解法三設(shè)普雁三角形AHC的底加辰為2?jh高0二丹.則腰AC=AB=丿異+宀由三角彫屮線長公式圖4-1-92（Ai+BC2'）=4

9、iD2+AC1,得nt2+用+別，=丄，以下同解法二、解法四4-1-0所示記等膜三角母4M；的底邊H；上的中線MfJ與腰上的中観畑相交于點仏則C為重燈，蒔W；二ii（；匕三一，/T,由HC.Cr的面曲*耳|2Rf；*atKITL1=.、-i;jjH（工Y4川憂的面積E二站=2問“所以最大值務(wù)2.解法五設(shè)頂角AHAC=億兩腰之長為Af：=AC：=2xff）為腰M中點，則在A內(nèi)利用余弦定理，得512-4/fGsy=.則.=,S=lxsin05-4cijs0bsijjh5-4ti»(f整理f?A'.ni44,Sri)>W=化務(wù)i/36+I6S2fiiri(d+j)=55

10、87;從而由I玄IEl，得書W2,所以所求面積的骯丸值為工/36+16S1解法六由解法五得執(zhí)甘)邏口19現(xiàn)由毗,3%停12；得當層m=-4c(hfJ(.S-4rsor.-StTS(U.)有最大值此時!-,in(J=,捋Shlui二2-解迭七由解法五得(；js帝=r從而sinfi=于是S=/(3-.Y2X9.r2-3)=-1-/-(.r2-5)2+16,所収當h二衛(wèi)互時%2 2'3-2t解法八如圖4-丨-y所示、記茅腰三角影1甌的底邊腮'上的高為川人則kb=BA+憶&(斗庫+?M)+y</W)+斗曲')=+斗型,aIT”_”_»、加從jrBC2+-

11、OA2=31由基本不等式丫得I衣匚'丨*IOAI4f164所洪MEC的面S=-BCI可1紜即鼠大值是工例8(2013江蘇高考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l:y二2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在/上.(1) 若圓心C也在直線y二x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2) 若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.解：(1)聯(lián)立：|y=X-1，得圓心為：C(3，2).y=2x-4設(shè)切線為：y=kx+3，d=r=1，得：k=0ork=1+k243故所求切線為：y=0ory=x+3.4(2)設(shè)點M(x，y)，由MA=2MO，知：、:x2

12、+(y一3)2=2對x2+y2,化間得：x2+(y+1)2=4，即：點M的軌跡為以(0,1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D.又因為點M在圓C上，故圓C圓D的關(guān)系為相交或相切.故：1WICDIW3,其中|CD|=a2+(2a-3)2.解之得：0WaW5-例9圓O,圓O不等且外離，現(xiàn)有一點P，它對于圓O所張的視角與對于圓O所張的視角1212相等，試確定點P的幾何位置答案：做圓O,圓O的內(nèi)、外公切線，分別交連心線OO于點A,B，以線段AB為直徑的圓1212，就是線段OO關(guān)于r:r的阿氏圓，該圓上任意一點都符合要求。1212例10在x軸正半軸上是否存在兩個定點A、B，使得圓x2+y2二4上任意一點到

13、A、B兩點的距離之比為常數(shù)2?如果存在，求出點A、B坐標；如果不存在，請說明理由。解：假設(shè)在X軸正半軸上是否存在兩個定點A、B，使得圓x2+y2二4上任意一點到A、B兩點的距離之比為常數(shù)1，設(shè)P(x,y)、A(x,O)、B(x,0)，其中x>x>0。21221即也x_卩型二1對滿足x2+y2二4的任何實數(shù)對(x,y)恒成立，(x-x)2+y22整理得：2x(4x一x)+x2-4x2=3(x2+y2)，將x2+y2=4代入得：12212x(4x-x)+x2-4x2=12，這個式子對任意xe-2,2恒成立，所以一定有:122114x-x=0,匚,<12，因為x>x>0

14、，所以解得：x=1、x=4。Ix2-4x2=12211221所以，在x軸正半軸上是否存在兩個定點A(1,0)、B(4,0)，使得圓x2+y2=4上任意一點到A、B兩點的距離之比為常數(shù)1。2例11鐵路線上線段AB=100km，工廠C到鐵路的距離CA=20km?，F(xiàn)要在A、B之間某一點D處，向C修一條公路。已知每噸貨物運輸1km的鐵路費用與公路費用之比為3:5，為了使原料從供應(yīng)站B運到工廠C的費用最少，點D應(yīng)選在何處？解：建立如圖所示直角坐標系，3X先求到定點A、C的距離之比為5的動點P(x,y)的軌跡方程，即：jx2+y2=3，整理即得動點x2+(y一20)25P(x,y)的軌跡方程：4x2+4y2+90y-900=0，令y=0，得x=±15(舍去正值)即得點D(-15,0)DA=15,DC=25。F面證明此點D即為所求點:自點B作CD延長線的垂線，垂足為E,在線段BA上任取點D,連接CD,再作DE丄BE1111于E。1設(shè)每噸貨物運輸1km的鐵路費用為3k(k>0),則每噸貨物運輸1km的公路費用為5k，如果選址在D處，那么總運輸費用為y二3kBD+5kDC=(3BD+5DC)k，11111而ABEDsAB