高中數(shù)學(xué)-極坐標(biāo)與參數(shù)方程

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程一、平面直角坐標(biāo)系1. 平面直角坐標(biāo)系（1）數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（2）平面直角坐標(biāo)系： 定義：在同一個(gè)平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱為直角坐標(biāo)系 數(shù)軸的正方向：兩條數(shù)軸分別置于水平位置與豎直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向 坐標(biāo)軸水平的數(shù)軸叫做x軸或橫坐標(biāo)軸，豎直的數(shù)軸叫做y軸或縱坐標(biāo)軸，x軸或y軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸 坐標(biāo)原點(diǎn)：它們的公共原點(diǎn)稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 對(duì)應(yīng)關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（3）距離公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)平面直

2、角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），線段P1P2的中點(diǎn)為P兩點(diǎn)間的距離公式IPP2（XX2）2+（yiy2）2Xx±2中點(diǎn)P的坐標(biāo)公式X2y+yy1222. 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換"x'九X（A>0）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換申：1的作用下，點(diǎn)y'yy（卩>0）P（x，y）對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P'（x',y'），稱申為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換二、極坐標(biāo)系1. 定義：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個(gè)長度單位、一個(gè)角度單位（通常取

3、弧度）及其正方向（通常取逆時(shí)針方向），這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系2. 極坐標(biāo)系的四個(gè)要素：極點(diǎn) 極軸 長度單位4.極坐標(biāo)9（）極坐標(biāo)的定義：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)0與點(diǎn)M的距離IOMI叫做點(diǎn)M的極徑，記為P；以極軸Ox為始邊，射線0M為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為G.有序數(shù)對(duì)（p，G）叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M（p,0）極坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)O的極坐標(biāo)是（0，0），（0GR），若點(diǎn)M的極坐標(biāo)是M（p，0），則點(diǎn)M的極坐標(biāo)也可寫成M（p，0+2kn）,（keZ）；若規(guī)定p>0,0<0<2n，則除極點(diǎn)外極坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)（P，0）之間才是

4、一一對(duì)應(yīng)關(guān)系5.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如圖所示，把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，且長度單位相同，設(shè)任意一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為（x，y），（p，0）fx=pcosOy=psinO極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)Ip2=x2+y2，tan0=x（x0）.三、簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程1. 曲線的極坐標(biāo)方程一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程f（p,0）=0,并且坐標(biāo)適合方程f（p，0）=0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f（p，0）=0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程2. 圓的極坐標(biāo)方程1)特殊情形如下表：圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在極點(diǎn)(0,0)pr

5、(0<0<2n)圓心在點(diǎn)(r,0)p=2rcosG()圓心在點(diǎn)(r衛(wèi)),2p2rsin0(0<0<n)圓心在點(diǎn)(r,n)cn3np2rcos<)e(20<2圓心在點(diǎn)(r亟),2p2rsin0(n<0<0)CT(2)一般情形：設(shè)圓心C(p0,e0),半徑為r,M(p,G)為圓上任意一化點(diǎn)，貝OlCMI=r,ZCOM=|O-O0l,根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標(biāo)'''：方程為p22p0pcos(ee0)+p2r2=0即r2=p2+p2-2ppcosQG)'0000右f3. 直線的極坐標(biāo)方程°1)特殊情形如下表：

6、直線位置極坐標(biāo)方程圖形過極點(diǎn)，傾斜角為a(1) 0a(pwR)或Ga+n(p$R)(2) 0a(p>0)和0n+a(p>0)厶過點(diǎn)(a,0),且與極軸垂直pcos_Ga(-2<0<2)0tiix(n過點(diǎn)a,-，且與極軸平行12丿psin_0a(0<0<n):M血劭IOx過點(diǎn)(a,0)傾斜角為apsin(a0)asina(0<0<n)0/血訓(xùn)±(2) 一般情形，設(shè)直線1過點(diǎn)P(p0,00),傾斜角為a,M(p,G)為直線1上的動(dòng)點(diǎn)，則在4)PM中利用正弦定理可得直線1的極坐標(biāo)方程為psin(ae)=p0sin(ae0)四、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)

7、系簡(jiǎn)介(了解)1.柱坐標(biāo)系(1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，它在Oxy平面上的射影為Q,用(p,O)(p>0,0<0<2n)表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo)，這時(shí)點(diǎn)P的位置可用有序數(shù)組(p，0，z)(zeR)表示.這樣，我們建立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(p,0,z)之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(p,0,z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P(p,0,z),其中p>0,O<0<2n,zeRx=pcos0y=psin0.z=z2.球坐標(biāo)系xd)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz設(shè)P是空間任意一

8、點(diǎn)，連接OP,記IOPl=r,OP與Oz軸正向所夾的角為申，設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q,Ox軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角為0,這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組(r,申，0)表示，這樣，空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(r,申，0)之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組(r,申，0),叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，記作P（r,申，0）,其中r>0,0<9<n,0<0<2n.x=rsin申cos0空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x,y,z)與球坐標(biāo)(r,申，0)之間的變換公式為(y=rsin申sin0.z=rcos申五、曲線的參數(shù)方程1.參

9、數(shù)方程的概念(1)定義：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)x=f(t)t的函數(shù)：彳/、，并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在ly=g(t)這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程參數(shù)的意義：參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x，y的橋梁，可以是有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù)2.參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別與聯(lián)系()區(qū)別：普通方程F(x，y)=0,直接給出了曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)x，y之間的關(guān)系，它含有x=f(t)x，y兩個(gè)變量；參數(shù)

10、方程彳(t為參數(shù))間接給出了曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)x,y之間的關(guān)y=g(t)系，它含有三個(gè)變量t，x，y，其中x和y都是參數(shù)t的函數(shù).(2)聯(lián)系：普通方程中自變量有一個(gè)，而且給定其中任意一個(gè)變量的值，可以確定另一個(gè)變量的值；參數(shù)方程中自變量也只有一個(gè)，而且給定參數(shù)t的一個(gè)值，就可以求出唯一對(duì)應(yīng)的x，y的值注：這兩種方程之間可以進(jìn)行互化，通過消去參數(shù)可以把參數(shù)方程化為普通方程，而通過引入?yún)?shù)，也可把普通方程化為參數(shù)方程.六、圓的參數(shù)方程1. 圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程，如圖圓0與x軸正半軸交點(diǎn)M0(r，0)(1)設(shè)M(x，y)為圓0上任一點(diǎn)，以0M為終邊的角設(shè)為0，x=rcos0則以0為參數(shù)

11、的圓O的參數(shù)方程是彳(0為參數(shù)).、y=rsin0其中參數(shù)0的幾何意義是OM0繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)轉(zhuǎn)過的角度(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在圓上從M0點(diǎn)開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為®，則OM0經(jīng)過x=rcosrot時(shí)間t轉(zhuǎn)過的角0=rot，則以t為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程為(t為參數(shù))y=rsinrot其中參數(shù)t的物理意義是質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間2. 圓心為C(a,b),半徑為r的圓的參數(shù)方程圓心為(a,b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程可以看成將圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓通過坐標(biāo)x=a+rcos0,平移得到，所以其參數(shù)方程為4(0為參數(shù))、y=b+rsin03. 參數(shù)方程和普通方程的互化

12、(1) 曲線的參數(shù)方程和普通方程是在同一平面直角坐標(biāo)系中表示曲線的方程的兩種不同形式,兩種方程是等價(jià)的可以互相轉(zhuǎn)化(2) 將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,有利于識(shí)別曲線的類型參數(shù)方程通過消去參數(shù)就可得到普通方程(3) 普通方程化參數(shù)方程，首先確定變數(shù)x,y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x=f(t)，其fx=f(t)次將x=f(t)代入普通方程解出y=g(t)，貝*(t為參數(shù))就是曲線的參數(shù)方程y=g(t)(4) 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致七、圓錐曲線的參數(shù)方程1. 橢圓的參數(shù)方程X2y2xacos申()中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓+b2=l(a>b>

13、0)的參數(shù)方程是4.a202ly=bsm申(申是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)申的取值范圍是0,2n)y2x2X=bC0S申中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+b2=1(a>b>0)的參數(shù)方程是4.a2°2ly=asm申(申是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)申的取值范圍是0,2n)(xh)2(yk)2(3)中心在(h,k)的橢圓普通方程為a2+'b2=1，則其參數(shù)方程為x=h+acos申41(申是參數(shù))、y=k+bsin申2. 雙曲線的參數(shù)方程和拋物線的參數(shù)方程x2y2x=asec申d)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線a2b2=i的參數(shù)方程是4(申為參數(shù))，規(guī)a2D2y=btan申n3n定參數(shù)申的

14、取值范圍為9e0，2n)且92，申右yx2Ixbtan申中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線a2b2=l的參數(shù)方程是|（申為參數(shù)）a2b2ly=asec申3. 拋物線的參數(shù)方程fx=2pt2d）拋物線y2=2px的參數(shù)方程為彳（t為參數(shù)）y=2pt（2）參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)八、直線的參數(shù)方程1. 直線的參數(shù)方程|x=x0+tcosa經(jīng)過點(diǎn)M0（x0,y0）,傾斜角為a的直線1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）y=y0+tsina2. 直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義（1）參數(shù)t的絕對(duì)值表示參數(shù)t所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離（2）當(dāng)Ml與e（直線的單位方向向量）同

15、向時(shí)，t取正數(shù).當(dāng)MTm與e反向時(shí)，t取負(fù)數(shù)，00當(dāng)M與M0重合時(shí)，t=03.直線參數(shù)方程的其他形式對(duì)于同一條直線的普通方程，選取的參數(shù)不同，會(huì)得到不同的參數(shù)方程我們把過點(diǎn)fx=x0+tcosaM0（x0，y0），傾斜角為a的直線，選取參數(shù)t=M0M得到的參數(shù)方程彳（t為參數(shù)）y=y0+tsina稱為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，此時(shí)的參數(shù)t有明確的幾何意義bfx=x0+at一般地，過點(diǎn)M0x,y），斜率k=（a，b為常數(shù)）的直線，參數(shù)方程為（t為參000ay=y0+bt數(shù)），稱為直線參數(shù)方程的一般形式，此時(shí)的參數(shù)t不具有標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)的幾何意義九、漸開線與擺線（了解）1.漸開線的概念及參數(shù)方程（1）漸開線的產(chǎn)生過程及定義把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開，鉛筆畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做漸開線