材料閱讀題及答案

1、重慶中考材料閱讀題分類(lèi)講練(含答案)類(lèi)型1代數(shù)型新定義問(wèn)題例1【2017重慶A】對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n如果n滿(mǎn)足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”.將一個(gè)“相異數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，把這三個(gè)新三位數(shù)的和與111的商記為F(n).例如n=123,對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213,對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321，對(duì)調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位數(shù)的和為213+321+132=666,666+111=6,所以,F(123)=6.(1) 計(jì)算：F(243),F(617);若s,t都是“相異數(shù)”，其中s=100x+32,t=150

2、+y(1<x<9,1<y<9,F(s)x,y都是正整數(shù))，規(guī)定：k=(首.當(dāng)F(s)+F(t)=18時(shí)，求k的最大值.針對(duì)訓(xùn)練1. 對(duì)于一個(gè)兩位正整數(shù)xy(0<y<x<9,且x、y為正整數(shù))，我們把十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的平方和叫做t的“平方和數(shù)”，把十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的平方差叫做t的“平方差數(shù)”.例如：對(duì)數(shù)62來(lái)說(shuō)，62+22=40,62-22=32,所以40和32就分別是62的“平方和數(shù)”與“平方差數(shù)”.(1) 75的“平方和數(shù)”是,5可以是的“平方差數(shù)”；若一個(gè)數(shù)的“平方和數(shù)”為10,它的“平方差數(shù)”為8,則這個(gè)數(shù)是.(2) 求證：當(dāng)x<

3、;9,y<8時(shí)，t的2倍減去t的“平方差數(shù)”再減去99所得結(jié)果也是另一個(gè)數(shù)的“平方差數(shù)”.(3) 將數(shù)t的十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)交換得到數(shù)t若t與t的“平方和數(shù)”之和等于t'與t'的“平方差數(shù)”之和，求t.2. 將一個(gè)三位正整數(shù)n各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后(含n本身).得到新三位數(shù)abc(avc),在所有重新排列中，當(dāng)|a+c2b|最小時(shí)，我們稱(chēng)abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，并規(guī)定F(n)=b2ac.例如215可以重新排列為125、152、215,因?yàn)閨1+52X2|=2，|1+22X5|=7，|2+52X1|=5,且2v5v7，所以125是215的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(215

4、)=221X5=1.(1) F(236)=；(2) 如果在正整數(shù)n三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字中，有一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，求證：F(n)是一個(gè)完全平方數(shù)；設(shè)三位自然數(shù)t=100x+60+y(1<x<9，1<y<9,x，y為自然數(shù))，交換其個(gè)位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字得到數(shù)t.若t1'=693,那么我們稱(chēng)t為“和順數(shù)”.求所有“和順數(shù)”中F(t)的最大值.3. 進(jìn)制也就是進(jìn)位制，是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法.對(duì)于任何一種進(jìn)制X進(jìn)制，就表示某一位置上的數(shù)運(yùn)算時(shí)是逢X進(jìn)一位.十進(jìn)制是逢十進(jìn)一，十六進(jìn)制是逢十六進(jìn)一，二進(jìn)制就是逢二進(jìn)一，以此類(lèi)推，X進(jìn)制就是逢X進(jìn)一.為與十進(jìn)制進(jìn)行區(qū)

5、分，我們常把用X進(jìn)制表示的數(shù)a寫(xiě)成x.類(lèi)比于十進(jìn)制，我們可以知道：X進(jìn)制表示的數(shù)(1111)x中，右起第一位上的1表示1xX0,第二位上的1表示1xX1,第三位上的1表示1X乂，第四位上的1表示1X乂.故(1111)X=1X乂+1X*+1XX1+1XX0,即：(1111)X轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制表示的數(shù)為乂+X2+X+X如：(1111)2=1X23+1X22+1X21+1X20=15,(1111)5=1X53+1X52+1X51+1X50=156.根據(jù)材料，完成以下問(wèn)題：(1)把下列進(jìn)制表示的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制表示的數(shù)：(101011)2=;(302)4=;(257)7=若一個(gè)五進(jìn)制三位數(shù)(a4b)5與八進(jìn)

6、制三位數(shù)(ba4)8之和能被13整除(1<a<5,1<b<5,且a、b均為整數(shù))，求a的值；(3) 若一個(gè)六進(jìn)制數(shù)與一個(gè)八進(jìn)制數(shù)之和為666,則稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為“如意數(shù)”，試判斷(mm1)s與(nn5)8是否互為“如意數(shù)”？若是，求出這兩個(gè)數(shù)；若不是，說(shuō)明理由.4. 我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=pxq(p，q是正整數(shù)，且p<q)，在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱(chēng)pXq是n的最佳分解.并規(guī)定：F(n)=p.例如12可以分解成1x12,2X6或3X4,因?yàn)?21>6-2>4-3,所以3X4是12的最佳分

7、解，所以F(12)_3=4.(1)如果一個(gè)正整數(shù)m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方，我們稱(chēng)正整數(shù)m是完全平方數(shù).求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,總有F(m)_1.如果一個(gè)兩位正整數(shù)t,t_10x+y(1<x<y<9,x,y為自然數(shù))，交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來(lái)的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱(chēng)這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；在所得的“吉祥數(shù)”中，求F(t)的最大值.類(lèi)型2函數(shù)型新定義問(wèn)題例2已知一個(gè)大于1的正整數(shù)t可以分解成t_ac+b2的形式(其中a<c,a,b,c均為正整數(shù))，在t的所有表示結(jié)果中，當(dāng)bc-ba取得最小值時(shí)，稱(chēng)“ac+b2”b+

8、c是t的“等比中項(xiàng)分解”，此時(shí)規(guī)定：P(t)=2(a+b)，例如：7=1X6+12=2X3+12=1X3+22,1X6-1X1>2X3-2X1>1X3-1X2,所以2X3+12是7的“等比中項(xiàng)分解”，P(7)=|(1) 若一個(gè)正整數(shù)q=vm+n2,其中mn為正整數(shù)，則稱(chēng)q為“偽完全平方數(shù)”，1證明：對(duì)任意一個(gè)“偽完全平方數(shù)”q都有P(q)=若一個(gè)兩位數(shù)s=10x+y(1<y<x<5，且x，y均為自然數(shù))，交換原數(shù)十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字得到的新數(shù)的兩倍再加上原數(shù)的14倍，結(jié)果被8除余4，稱(chēng)這樣的數(shù)s為“幸福數(shù)”，求所有“幸福數(shù)”的P(s)的最大值.針對(duì)訓(xùn)練1.

9、如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱(chēng)這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說(shuō)法： 方程X2X2=0是倍根方程； 若(x2)(mx+n)=0是倍根方程，則4+5mnn2=0; 若點(diǎn)(p，q)在反比例函數(shù)y=2的圖象上，則關(guān)于x的方程px2+3x+q=0是x倍根方程.其中正確的是.(寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào))2. 先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題：2材料：因式分解：(x+y)+2(x+y)+1.解：將“x+y”看成整體，令x+y=A,則原式=A2+2A+1=(A+1)2.再將“A”還原，得原式=(x+y+1)2.上述解題中用到的是“整體思想

10、”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：2(1)因式分解：1+2(xy)+(xy)=;因式分解：(a+b)(a+b4)+4=;證明：若n為正整數(shù)，則式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方.3. 若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱(chēng)這三個(gè)實(shí)數(shù)x,y,z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.(1) 實(shí)數(shù)1,2，3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；k(2) 若M(t,yO,N(t+1,y2),R(t+3,y»三點(diǎn)均在函數(shù)y=(k為常數(shù)，k工x0)的圖象上，且這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y,y2,y3構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，求實(shí)

11、數(shù)t的值；2若直線(xiàn)y=2bx+2c(bc工0)與x軸交于點(diǎn)A(X1,0)，與拋物線(xiàn)y=ax+3bx+3c(a工0)交于B(X2,y2),C(X3,y3)兩點(diǎn). 求證：A,B,C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)X1,X2,X3構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；一cb 若a>2b>3c,X2=1,求點(diǎn)P(-,-)與原點(diǎn)O的距離OP的取值范圍.aa4. 若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2(a,b是整數(shù))的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.例如，5是“完美數(shù)”，因?yàn)?=22+12.再如，x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整數(shù))，所以M也是“完美數(shù)”.(1)請(qǐng)你再寫(xiě)一個(gè)小于10的“完美數(shù)”，并判斷29是否為“完美數(shù)”.

12、已知S=x2+4y2+4x12y+k(x,y是整數(shù)，k是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由.如果數(shù)mn都是“完美數(shù)”，試說(shuō)明mn也是“完美數(shù)”.5. 若將自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)稱(chēng)為“3倍點(diǎn)”P(pán),取任意的一個(gè)“3倍點(diǎn)”P(pán),到點(diǎn)P距離為1的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別記為a，b.定義：若數(shù)K=a2+b2ab,則稱(chēng)數(shù)K為“尼爾數(shù)”.例如：若P所表示的數(shù)為3,貝Ua=2,b=4,那么K=22+422X4=12;若P所表示的數(shù)為12,貝Ua=11,b=13,那么K=132+11213X11=147,所以12,147是“尼爾數(shù)”.(1) 請(qǐng)直接判斷6和39是不是“尼爾數(shù)

13、”,并且證明所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3；(2) 已知兩個(gè)“尼爾數(shù)”的差是189,求這兩個(gè)“尼爾數(shù)”.類(lèi)型3整除問(wèn)題例3我們知道，任意一個(gè)大于1的正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p+q(p、q是正整數(shù)，且p<q)，在n的所有這種分解中，如果p、q兩數(shù)的乘積最大，我們就稱(chēng)pq是n的最佳分解.并規(guī)定在最佳分解時(shí)：F(n)=pq.例如6可以分解成1+5或2+4或3+3,因?yàn)?X5<2X4<3X3,所以3+3是6的最佳分解,所以F(6)=3X3=9.(1) 求F(11)的值；(2) 一個(gè)正整數(shù)，由N個(gè)數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)被2除余1,前三位數(shù)被3除

14、余2,前四位數(shù)被4除余3,，一直到前N位數(shù)被N除余(N1)，我們稱(chēng)這樣的數(shù)為“多余數(shù)”.如：236的第一位數(shù)“2”能被1整除,前兩位數(shù)“23”被2除余1,“236”被3除余2,則236是一個(gè)“多余數(shù)”.若把一個(gè)小于200的三位“多余數(shù)”記為t,它的各位數(shù)字之和再加1為一個(gè)完全平方數(shù),請(qǐng)求出所有“多余數(shù)”中F(t)的最大值.針對(duì)訓(xùn)練1. 一個(gè)正整數(shù)，由N個(gè)數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)可以被1整除，它的前兩位數(shù)可以被2整除，前三位數(shù)可以被3整除，一直到前N位數(shù)可以被N整除，則這樣的數(shù)叫做“精巧數(shù)”.如：123的第一位數(shù)“1”可以被1整除，前兩位數(shù)“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，則

15、123是一個(gè)“精巧數(shù)”.(1) 若四位數(shù)123k是一個(gè)“精巧數(shù)”，求k的值；(2) 若一個(gè)三位“精巧數(shù)”2ab各位數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的三位“精巧數(shù)”.2. 人和人之間講友情，有趣的是，數(shù)與數(shù)之間也有相類(lèi)似的關(guān)系.若兩個(gè)不同的自然數(shù)的所有真因數(shù)(即除了自身以外的正因數(shù))之和相等，我們稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)為“親和數(shù)”.例如：18的正因數(shù)有1、2、3、6、9、18，它的真因數(shù)之和為1+2+3+6+9=21;51的正因數(shù)有1、3、17、51，它的真因數(shù)之和為1+3+17=21,所以稱(chēng)18和51為“親和數(shù)”.數(shù)還可以與動(dòng)物形象地聯(lián)系起來(lái)，我們稱(chēng)一個(gè)兩頭(首位與末位)都是1的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)

16、”.例如：121、1351等.(1) 8的真因數(shù)之和為;求證：一個(gè)四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍的差，能被7整除；(2) 一個(gè)百位上的數(shù)為4的五位“兩頭蛇數(shù)”能被16的“親和數(shù)”整除，若這個(gè)五位“兩頭蛇數(shù)”的千位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字，求滿(mǎn)足條件的五位“兩頭蛇數(shù)”.2xx+33. 材料1:將分式一x+1拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式(分子為整數(shù))的和的形式.解:2x-x+3_x(x+1)2(x+1)+5_x(x+1)這樣，分式2xx+3x+1就拆分成一個(gè)整式x2與一個(gè)分式冊(cè)的和的形式.x+1x+1x+1材料2:已知一個(gè)能被11整除的個(gè)位與百位相同的三位整數(shù)100x+10y+x,

17、且1<x<4,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.解:2xy9x+y+101x+10y99x+11y+2xy11_112xy又v1<x<4,0<y<9,A7<2xy<8,還要使為整數(shù),二2xy_0.2x2+6x一3(1)將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)xI果為已知整數(shù)x使分式2x2+5x20x3的值為整數(shù),則滿(mǎn)足條件的整數(shù)x_(3) 已知一個(gè)六位整數(shù)20xy17能被33整除，求滿(mǎn)足條件的x,y的值.4. 在任意n(n>1且n為整數(shù))位正整數(shù)K的首位后添加6得到的新數(shù)叫做K的“順數(shù)”，在K的末位前添加6得到的新數(shù)叫做K的“逆數(shù)”.

18、若K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差能被17整除，稱(chēng)K是“最佳拍檔數(shù)”.比如1324的“順數(shù)”為16324,1324的“逆數(shù)”為13264,1324的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差為1632413264=3060,3060-17=180,所以1324是“最佳拍檔數(shù)”.請(qǐng)根據(jù)以上方法判斷31568(填“是”或“不是”)“最佳拍檔數(shù)”；若一個(gè)首位是5的四位“最佳拍檔數(shù)”N,其個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為8,且百位數(shù)字不小于十位數(shù)字，求所有符合條件的N的值；證明：任意三位或三位以上的正整數(shù)K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差一定能被30整除.a5. 若整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則一定存在整數(shù)n,使得b=n，即a=bn.例如:若整數(shù)a

19、能被整數(shù)7整除，則一定存在整數(shù)n,使得a=7n.(1) 將一個(gè)多位自然數(shù)分解為個(gè)位與個(gè)位之前的數(shù)，讓個(gè)位之前的數(shù)減去個(gè)位數(shù)的兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數(shù)一定能被7整除例如：將數(shù)字1078分解為8和107,1078X2=91,因?yàn)?1能被7整除，所以1078能被7整除，請(qǐng)你證明任意一個(gè)三位數(shù)都滿(mǎn)足上述規(guī)律.(2) 若將一個(gè)多位自然數(shù)分解為個(gè)位與個(gè)位之前的數(shù)，讓個(gè)位之前的數(shù)加上個(gè)位數(shù)的k(k為正整數(shù)，1<k<5)倍，所得之和能被13整除，求當(dāng)k為何值時(shí)使得原多位自然數(shù)一定能被13整除.參考答案例1.解：(1)F(243)=(423+342+234)-111=9,F(617

20、)=(167+716+671)-111=14.s,t都是“相異數(shù)”，F(xiàn)(s)=(302+10x+230+x+100x+23)+111=x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)寧111=y+6,F(s)+F(t)=18,.°.x+5+y+6=x+y+11=18,x+y=7,°.°1冬x冬9,1<y<9,x,y都是正整數(shù),x=1,x=2,x=3,x=4,x=5,c或或或c或cy=6y=5y=4y=3y=2x=6,或1y=1.(2)vs是“相異數(shù)”，x豐2,x豐3,vt是“相異數(shù)”，x=1,亠x=4,x=5,y世1,y世5,二或或y=

21、6y=3y=2.F(s)=6,F(s)=9,F(s)=10,或或/、F(t)=12F(t)=9F(t)=8.k=妙=1或k=妙=i或k=血=5kF(t)2或kF(t)1或kF(t)4,.k的最大值為4.針對(duì)訓(xùn)練1解：(1)74;32;31(2)證明：令t=10x+y,222(10x+y)(xy)99222222=20x+2yx+y99=(y+2y+1)(x20x+100)=(y+1)(x10),.t的2倍減去t的“平方差數(shù)”再減去99所得結(jié)果是另一個(gè)數(shù)的“平方差”數(shù).令t=xy,t'=yx,由題意知：10x+y+x2+y2=10y+x+y2x2,所以9x9y+2x2=0,9(xy)+2

22、x2=0,2/xy>0,2x>0,.x=y=0.故t=0.2. 解：(1)F(236)=3(2)證明：設(shè)這個(gè)正整數(shù)n三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別為：x+yx,y.F(n)=b2ac=|a+c2b|最小時(shí)，我們稱(chēng)abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”2xy=x2+y2xy42.F(n)為一個(gè)完全平方數(shù)；t=100x+60+y,t=100y+60+x,/11=99x99y=693,.99(xy)=693,xy=7,x=y+7,.1<x<9,1<y<9,.1<y+7<9,.1<y<2,y=1,y=2,.或.t=861或t=962,x=8x=9,當(dāng)t=861時(shí)，

23、可以重新排列為168,186,618.|1+82X6|=3,|1+62X8|=9,|6+82X1|=12,.168為861的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(861)=6X6-1X8=28;當(dāng)t=962時(shí)，可以重新排列為269,296,629,.|2+9-2X6|=1,|2+6-2X9|=10,|6+9-2X2|=11,二269為962的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(962)=6X6-2X9=18.所有“和順數(shù)”中F(t)的最大值為28.3. 解：(1)43；50；140122(2) b+4X5+aX5+4+aX8+bX8=33a+65b+24=13(2a+5b+1)+7a+11,13整除7a+11,15而1<

24、a<5,1<b<5,二18冬7a+11<46,二7a+11=26或39.解得a=(舍去)或4,二a=4.(3) (mm)6+(nn5)8=1+6耐36仃卄5+8n+64n=6+42m72n.若互為“如意數(shù)”，則6+42耐72n=666, 7m12n=110,此時(shí)m必為偶數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)2,n=8時(shí)，7m12n=110,這兩個(gè)數(shù)為85和581.4. (1)證明：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m,設(shè)n=a2(a為正整數(shù))，|aa|=0,二aXa是m的最佳分解，a對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m總有F(m=-=1.a(2)設(shè)交換t的個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t'，則t'=1

25、0y+x,t是“吉祥數(shù)”， t一t=(10y+x)(10x+y)=9(yx)=36, y=x+4,v1<x<y<9,x,y為自然數(shù)，滿(mǎn)足“吉祥數(shù)”的有15,26,37,48,59.32163F(15)=5,F(26)=亦，F(xiàn)(37)=37，F(xiàn)(48)=孑=；,F(59)=133211359.3>5>i3>37>59，所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)(t)的最大值是4.例2解：(1)證明：Ia<c,a,b,c為正整數(shù),bc-ba=b(ca)>0.又q=m+n2=m-mn2,令n=b,m=a=c,則此時(shí)bcba最小為0,故m-mn2是q的“等比中項(xiàng)分解”，

26、n+m1二P(q)=2(mn)=2.由題意，得2(10y+x)+14(10x+y)=8k+4(k為整數(shù)),即：142x+34y=8k+4.二8(18x+4y)+2y2x4=8k,2(yx2)是8的倍數(shù)，yx2是4的倍數(shù).又v1<y<x<5且x,y均為自然數(shù)，6<yx2<2,Ayx2=4,x=y+2，s=31,42,53.vbcba=b(ca)，且a,b,c為正整數(shù)，a<c,當(dāng)b越小，ca的差越小，b(ca)越小.當(dāng)s=31時(shí)，31=5X6+12，貝9P(31)=2xI；'"=£；當(dāng)s=42時(shí)，42=2X3+62,貝9P(42)=6

27、；3八=£2X(6+2)16'當(dāng)s=53時(shí)，53=7X7+22或53=2X2+72,小19719則P(53)=.v>石二，P(s)max=.21612216針對(duì)訓(xùn)練1.2. 解：(1)1+2(xy)+(xy)2=(xy+1)2;令A(yù)=a；b,則原式變?yōu)锳(A-4)+4=A4A；4=(A2)2,2故(a；b)(a；b4)+4=(a；b2);2證明：(n；1)(n；2)(n；3n)；1=(n2；3n)(n；1)(n；2)；1=(n；3n)(n；3n；2)；1222=(n；3n)；2(n；3n)；1=(n2；3n；1)2,vn為正整數(shù)，n2；3n；1也為正整數(shù)，代數(shù)式(n；1

28、)(n；2)(n2；3n)；1的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方.11113. 解：(1)v1,2,3的倒數(shù)分別為1,，彳且1>2>亍11v；3工1,二1,2,3不可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.kkkkkk亠“宀、比一Mt,-),Nt；1,百),Rt；3,両3)，且,笛，苻3構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.tt；1t；3 右匚=，得2t；4=t,得t=4;t4-1tt+3 若F:+耳3，得2t+3=t+1,得t=2;kkkt+3tt+1 若=R+，得2t+1=t+3,得t=2.綜上，t的值為一4或一2或2.證明：Ia,b,c均不為0,二X1,X2,X3都不為0,令y=2bx+2c=0,則整理得：ax+bx+

29、c=0.聯(lián)立2'整理得：ax111當(dāng)一2<m<2且m0時(shí)，OP隨m的增大而增大，當(dāng)m=q時(shí)，OP有最小值？，當(dāng)m=寸時(shí)，OP有最大值I，1 以5口R210口/Opv：且oPm1,.OP<且0占1.2'224. 解：（1）（答案不唯一）0,1,2,4,8,9均可.因?yàn)?9=52+22，所以29是完美數(shù)2222(2)當(dāng)k=13時(shí)，S=x+4y+4x12y+13=x+4x+4+4y12y+9=(x+2)2+(2y3)2,vx,y是整數(shù)，.x+2,2y3也是整數(shù)，.S是一個(gè)“完美數(shù)”./m與n都是“完美數(shù)”，設(shè)m=a2+b2,n=c2+d2(a,b,c,d都是整數(shù))，

30、+bx+c=0.y=ax+3bx+3c,bc/x2+X3=一，X2X3=,aa11x2+X3bab1X2X3X2X3accX1A,B,C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)X1,X2,X3構(gòu)成“和諧三數(shù)組X2=1，a+b+c=0,c=ab.a>2b>3c,.a>2b>3(ab)，且a>0,整理得a>2b,5b>3a,b3111令n=，則一i<m<且0,貝UOP=2（m4）2+,：2>0,a522231313當(dāng)一7<m<：時(shí)，OP隨m的增大而減小，當(dāng)m=時(shí)，OP2有最大值忑，當(dāng)m5252511=2時(shí)，oP有最小值；則222222222222mn=(

31、a+b)(c+d)=ac+ad+be+bd=a2e2+2abed+b2d2+b2c22abed+a2d2=(ac+bd)2+(bead)2./a,b,c,d是整數(shù)，ac+bd與bead都是整數(shù)，mn也是“完美數(shù)”.5. 解：(1)6不是“尼爾數(shù)”；39是“尼爾數(shù)”；設(shè)a=3n+1,b=3n1(其中n為自然數(shù))，K=(3n+1)2+(3n1)2(3n+1)(3n1)222=2X9n+2X1(9n1)=9n+3,所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3.(2)設(shè)這兩個(gè)“尼爾數(shù)”分別為9m23，9n23，其中mn為整數(shù)，則(9ni+3)(9n2+3)=189,22mn=21.(nHn)(m-n)=1X21或3X

32、7.mn=21,m-n=1mHn=7,或m-n=3.解得m=11,n=10m=5,n=2.當(dāng)m=11,n=10時(shí)，9m+3=9X112+3=1092,229n2H3=9X102H3=903.當(dāng)5,n=2時(shí)，9m+3=9X52+3=228,229nH3=9X2H3=39.答：這兩個(gè)“尼爾數(shù)”分別是1092和903或228和39.類(lèi)型3.整除問(wèn)題例3.解：(1)11=1H10=2H9=3H8=4H7=5H6,且1X10<2X9<3X8<4X7<5X6,所以F(11)=5X6=30.(2)設(shè)此數(shù)為1bc，由題可得10+b=2mH1，由得：10+b為奇數(shù)，所以b為奇數(shù)；100+

33、10bHc=3nH2，由得：1HbHc+1是3的倍數(shù);1+bHeH1=k2.(其中mn,k為整數(shù))又因?yàn)?冬b冬9,1冬e冬9,所以4冬1+b+CH1冬20,所以1HbHcH1只能等于9，即bHc=7.所以當(dāng)b=1時(shí)，c=6,此數(shù)為116.當(dāng)b=3時(shí)，c=4，此數(shù)為134；當(dāng)b=5時(shí)，c=2,此數(shù)為152;當(dāng)b=7時(shí)，c=0,此數(shù)為170;當(dāng)b=9時(shí),舍去；所以F(t)max=F(170)=85X85=7225.針對(duì)訓(xùn)練1. 解：(1)t四位數(shù)123k是一個(gè)“精巧數(shù)”，1230+k是4的倍數(shù)；即1230+k=4n,當(dāng)n=308時(shí)，k=2;當(dāng)n=309時(shí)，k=6,k=2或6;2ab是“精巧數(shù)”，

34、a為偶數(shù)，且2+a+b是3的倍數(shù)，/a<10，bv10，a2+a+bv22，各位數(shù)字之和為一個(gè)完全平方數(shù)，2+a+b39，當(dāng)a0時(shí)，b7；當(dāng)a2時(shí)，b5;當(dāng)a4時(shí)，b3;當(dāng)a6時(shí)，b1，所有滿(mǎn)足條件的三位“精巧數(shù)”有：207，225，243，261.2. 解：證明：設(shè)這個(gè)四位“兩頭蛇數(shù)”為1ab1，由題意，得1ab1-3ab1001+100a+10b30a3b1001+70a+7b7(143+10a+b).a、b為整數(shù)，143+10a+b為整數(shù)，一個(gè)四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍能被7整除.T16的真因數(shù)有：1，2，4，8，二1+2+4+815.151+3+11，二16的“親和數(shù)”為33.設(shè)這個(gè)五位“兩頭蛇數(shù)”為1x4y1，由題意，得衛(wèi)字為整數(shù)， 315+30x+10