正態(tài)分布原理

1、正態(tài)分布(一)正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為/(X)-1g知v2jra-,(4.29)其中-8<Q<+C0,仃>I,則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的正態(tài)分布，記作正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差E寸D(=j3正態(tài)分布的圖形有如下性質(zhì)1 .它是一條以直線工二口為對(duì)稱軸的鐘形曲線;2 .它以橫軸為漸近線，并且在工土仃處有拐點(diǎn);3 .它在工，戶處取得最大值，最大值為:由此可見，標(biāo)準(zhǔn)差越大，網(wǎng)的圖形就越平緩，標(biāo)準(zhǔn)差越小，網(wǎng)的圖形就越陡峭。正態(tài)分布的分布函數(shù)dt(4.30),"00<l<+CD(二)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度參數(shù)#=,病=1的正

2、態(tài)分布，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度通常用MD表示，400=4中丁(4.31)圖4.12標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)通常用式a表示,由=也出7出岳J,-oo<j<+oo(4.32)岳,-«<!<+«圖4.13標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表對(duì)于非負(fù)的實(shí)數(shù)，可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表，直接查出0(力的數(shù)值。對(duì)于負(fù)的實(shí)數(shù)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱性，可由下式1；-：(4.33)計(jì)算出數(shù)值。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，對(duì)于給定的概率水平評(píng)愣<1),滿足等式P(|X|<y=f

3、?A=l-a(4.34)的正數(shù)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平的雙側(cè)分位數(shù)；滿足等式(4.35)?X<%加=1-1的正數(shù)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平的上側(cè)分位數(shù)。一ctf2-ci/2圖4.14正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)例4.21假設(shè)E。），求下列概率：1,刀四）；2,凡公-1）;3.也21%4,年2T幼。解1 .2 .二，7：”二】；一3 .一I：1二一：二一，4 .；一二P二-二1=22）-1=2x0.9772-1=19544（三）正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系如果"見"）,則立豆W1）汀于是，在正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度/和楙）、分布函數(shù)網(wǎng)到和火工）之間存在下列關(guān)系式：加)=與日

4、1. bICT，(4.(36)2. 1一(4.37)不"口)=抑網(wǎng)口)=0依31-由仕33. J<4.8(4.38)這就是說，計(jì)算任一正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率都能通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來實(shí)Bo例4.22設(shè)XN(4,4),求下列概率：1 .2 .二一X-4解因?yàn)檠綧(4,4),所以“(0)。(6-4、P(YM6)=9(6)=9-=<P(l)=0.84131. 12JP"2MJfW6)=網(wǎng)6)-網(wǎng)-2)=©4>=4>Cl)-4>C-3)2. 12)12)=0.8413-(1-|.3987)=0.8413-0.0013=0,8400例4.23設(shè)丫械

5、從仃)，求下列概率：1.”：2 .必3 .必-解1.'b):口，飄-1)=加-1=2x08413-1=46眈2.3.XJICTJ=。-氮-2)=加(2)-1口師2-1=0,9544CT7CT7=(P(3)-3)=2(P(3)-1=2x03987-1=0.5974從上面的結(jié)果可以看出，事件|萬川3仃)的概率很小，因此的取值幾乎全部落在區(qū)間(/-3，/+3仃)內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性還不到0.3%o這就是在產(chǎn)品質(zhì)量控制中有重要應(yīng)用的準(zhǔn)則。(四)正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究及應(yīng)用中具有極其重要的作用，它在各種概率分布中居首要地位，是抽樣和抽樣分布的理論基礎(chǔ)。這是因?yàn)椋? .客

6、觀世界的許多現(xiàn)象都可以利用正態(tài)分布來近似地描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例如，人的身高和體重，電子產(chǎn)品的使用壽命，原材料的物理特性，各種各樣的測(cè)量誤差都可以看作是具有“兩頭小，中間大”分布特征的隨機(jī)變量。具有這種特征的隨機(jī)變量，一般可以認(rèn)為是近似服從正態(tài)分布的。2 .正態(tài)分布是許多重要分布的極限分布。例如可以用正態(tài)分布來近似二項(xiàng)分布。3 .正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)推斷中有重要的應(yīng)用。例如分布，分布和分布都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的函數(shù)。二項(xiàng)分布的正態(tài)近似德莫佛一拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布回拈P),|那么，當(dāng)充分大時(shí)，近似服從參數(shù)為六碑,仃二叩(1-")的正態(tài)分布X-npN(wMl-p)。也就是說，當(dāng)充分大時(shí)，加。7)近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在實(shí)際應(yīng)用中，除要求比較大外，還要求。斗4。9,物25和心吩5。例4.24假設(shè)產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為30%。試求在1000件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品件數(shù)在280件和350件之間的概率。解設(shè)表示在1000件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，則服從參數(shù)為M=10DLI,好口的二項(xiàng)分布用10汕03）