高考數(shù)學(xué)圓錐曲線重難點專題訓(xùn)練專題11直線與拋物線的位置關(guān)系（含答案）

1、專題11 直線與拋物線的位置關(guān)系一、單選題1直線與拋物線有且只有一個公共點，則，滿足的條件是（ ）AB，C，D或2過點作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（ ）A1條B2條C3條D4條3已知拋物線的焦點為F，傾斜角為的直線過點，若上恰存在3個不同的點到的距離為，則的準線方程為（ ）ABCD4給定拋物線，F(xiàn)是其焦點，直線，它與E相交于A，B兩點，如果且，那么的取值范圍是（ ）ABCD5已知拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點則的值為（ ）A4BC1D6已知點P是拋物線上任一點，則點P到直線l：距離的最小值為（ ）ABCD27已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，過點的直線與拋物線

2、交于，兩點，則的最小值為（ ）ABCD98已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線交于兩點，為弦的中點，為坐標原點，直線與拋物線的另一個交點為，則的取值范圍是（ ）AB)CD二、多選題9已知，過拋物線：焦點的直線與拋物線交于，兩點，為上任意一點，為坐標原點，則下列說法正確的是（ ）A過與拋物線有且只有一個公共點的直線有兩條B與到拋物線的準線距離之和的最小值為3C若，成等比數(shù)列，則D拋物線在、兩點處的切線互相垂直10過拋物線的焦點F的直線l與拋物線C交于，兩點，若，則直線l的斜率為（ ）AB2CD-211設(shè)是拋物線的焦點，直線與拋物線交于、兩點，為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（ ）AB可能大于C若，

3、則D若在拋物線上存在唯一一點（異于、），使得，則12已知直線和拋物線交于、兩點，直線、（為坐標原點）的斜率分別為、，若，則（ ）ABCD三、填空題13已知O為坐標原點，點P(1，2)在拋物線C:y2=4x上，過點P作兩直線分別交拋物線C于點A，B，若kPA+kPB=0，則kAB·kOP的值為_.14已知點A到點F(1,0)的距離和到直線x1的距離相等，點A的軌跡與過點P(1,0)且斜率為k的直線沒有交點，則k的取值范圍是_15拋物線的焦點為，已知拋物線在點處的切線斜率為2，則直線與該切線的夾角的正弦值為_16過拋物線：的焦點的動直線交于，兩點，線段的中點為，點.當?shù)闹底钚r，點的橫坐

4、標為_.四、解答題17已知拋物線：，坐標原點為，焦點為，直線：（1）若與只有一個公共點，求的值；（2）過點作斜率為的直線交拋物線于、兩點，求的面積18已知,是拋物線上的點.（1）若點在其準線上的投影為，求的最小值；（2）求過點且與拋物線有且僅有一個公共點的直線的方程.19已知曲線在軸右邊，上每一點到點的距離減去它到軸距離的差都是.（1）求曲線的方程；（2）是否存在正數(shù)，對于過點且與曲線有兩個交點的任一直線，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.20已知拋物線：，點M在拋物線C上，點N在x軸的正半軸上，等邊的邊長為.（1）求C的方程；（2）若平行軸的直線交直線OM于點P，交拋物線C

5、于點，點T滿足，判斷直線TM與拋物線C的位置關(guān)系，并說明理由.21已知動圓過點，且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線交曲線于，兩點，以為直徑的圓交軸于，兩點，若，求的取值范圍.22已知中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓C過點.（1）求C的標準方程；（2）是否存在不過原點O的直線ly=kx+m與C交于P，Q兩點，使得直線OPPQOQ的斜率成等比數(shù)列若存在，求k的值及m的取值范圍；若不存在，請說明理由.專題11 直線與拋物線的位置關(guān)系一、單選題1直線與拋物線有且只有一個公共點，則，滿足的條件是（ ）AB，C，D或【解析】當時，直線與拋物線有且只有一個公共點

6、，符合題意；當時，由可得：，若直線與拋物線有且只有一個公共點，則，整理可得：，所以，綜上所述：或，故選：D.2過點作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（ ）A1條B2條C3條D4條【解析】當直線的斜率不存在時，直線符合題意當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由，得當時，符合題意；當時，由，可得，即當時，符合題意綜上，滿足條件的直線有3條故選：C3已知拋物線的焦點為F，傾斜角為的直線過點，若上恰存在3個不同的點到的距離為，則的準線方程為（ ）ABCD【解析】由題意，拋物線的焦點為，因為直線的傾斜角為，所以直線，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立方程組，可得，則，解得，且 ，故兩平行線間的距離，

7、解得，所以拋物線的方程為，則準線方程為.故選：B.4給定拋物線，F(xiàn)是其焦點，直線，它與E相交于A，B兩點，如果且，那么的取值范圍是（ ）ABCD【解析】直線與拋物線方程聯(lián)立得：，因為直線與拋物線相交于A，B兩點，所以，設(shè)，因此有，且，由，代入中得：且，解得：，函數(shù)在時單調(diào)遞減，所以，因此，所以或，故選：C5已知拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點則的值為（ ）A4BC1D【解析】拋物線的焦點為，過的焦點且斜率為的直線方程為，因為該直線與拋物線有兩個交點，所以，聯(lián)立，消去得，.由韋達定理得，.故選：B.6已知點P是拋物線上任一點，則點P到直線l：距離的最小值為（ ）ABCD2【解析】設(shè)與拋

8、物線相切，且與直線平行的直線方程為，由得，所以，所以切線方程為，切線與直線的距離為即為到直線的最小值故選：D7已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，過點的直線與拋物線交于，兩點，則的最小值為（ ）ABCD9【解析】因為拋物線的焦點到其準線的距離為2，所以，拋物線的方程為設(shè)直線的方程為，將此方程代入，整理得設(shè)，則，所以，當且僅當，即時等號成立故選：B8已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線交于兩點，為弦的中點，為坐標原點，直線與拋物線的另一個交點為，則的取值范圍是（ ）AB)CD【解析】由題意知，設(shè)，直線，代入得，有，所以，所以所以直線，代入得，所以，故選：D二、多選題9已知，過拋物線：焦點的直線與

9、拋物線交于，兩點，為上任意一點，為坐標原點，則下列說法正確的是（ ）A過與拋物線有且只有一個公共點的直線有兩條B與到拋物線的準線距離之和的最小值為3C若，成等比數(shù)列，則D拋物線在、兩點處的切線互相垂直【解析】設(shè)過的直線方程為：，又 拋物線的方程為：，聯(lián)立方程可得：化簡得： ，時，解得，即有兩解.又時，所以直線與拋物線有一個交點過與拋物線相交且有一個公共點的直線有三條，選項A錯誤；，與到拋物線的準線距離之和等于，又，選項B正確；設(shè)，直線的方程為，代入拋物線的方程可得，所以，因為，所以，選項C正確；不妨設(shè)，由得，由得，所以拋物線在處的切線的斜率為，在處的切線的斜率為，因為，所以兩條切線相互垂直，選

10、項D正確故選：BCD10過拋物線的焦點F的直線l與拋物線C交于，兩點，若，則直線l的斜率為（ ）AB2CD-2【解析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以,，,由題得.因為，所以.滿足.故選：BD11設(shè)是拋物線的焦點，直線與拋物線交于、兩點，為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（ ）AB可能大于C若，則D若在拋物線上存在唯一一點（異于、），使得，則【解析】對于A選項，設(shè)、.聯(lián)立直線與拋物線可得，則，則，故A正確；對于B選項，故B錯誤；對于C選項，過點作直線的垂線，垂足為點，由拋物線的定義可得，則，當點、三點共線時，取最小值，且的最小值為點到直線的距離，故的最小值為，故C正確；若存在唯一一點，使得，同理可得，

11、由題意可得且，則，整理可得，由題意可知，關(guān)于的二次方程只有唯一解，則，解得，D選項正確.故選：ACD.12已知直線和拋物線交于、兩點，直線、（為坐標原點）的斜率分別為、，若，則（ ）ABCD【解析】設(shè)點、，聯(lián)立，消去可得，解得，由韋達定理可得，.對于A選項，A選項錯誤；對于B選項，解得，B選項正確；對于C選項，C選項錯誤；對于D選項，D選項正確.故選：BD.三、填空題13已知O為坐標原點，點P(1，2)在拋物線C:y2=4x上，過點P作兩直線分別交拋物線C于點A，B，若kPA+kPB=0，則kAB·kOP的值為_.【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，同理kPB=kPA+

12、kPB=0，+，得y1+y2=，kAB=又kOP=2，14已知點A到點F(1,0)的距離和到直線x1的距離相等，點A的軌跡與過點P(1,0)且斜率為k的直線沒有交點，則k的取值范圍是_【解析】設(shè)點，依題意得點在以為焦點，以直線為準線的拋物線上，A點的軌跡為. 由題意可知：過點且斜率為的直線方程為， 由消去，得，當時，顯然不符合題意；當時，依題意得中，化簡得，解得或. 因此的取值范圍為.15拋物線的焦點為，已知拋物線在點處的切線斜率為2，則直線與該切線的夾角的正弦值為_【解析】由，得，則，設(shè)點的坐標為，則由題意可得，解得，則，所以，因為拋物線的焦點，所以，設(shè)切線與的夾角為，則，所以16過拋物線：

13、的焦點的動直線交于，兩點，線段的中點為，點.當?shù)闹底钚r，點的橫坐標為_.【解析】設(shè)拋物線的準線為，作，垂足分別為，.則，點到直線的距離為13，當，三點共線且在，之間時，此時，點的縱坐標為.過點，故設(shè)方程為，代入，得，則.當，三點共線時，直線的方程為，.點在，之間，成立，所以，當?shù)闹底钚r，點的橫坐標為9.四、解答題17已知拋物線：，坐標原點為，焦點為，直線：（1）若與只有一個公共點，求的值；（2）過點作斜率為的直線交拋物線于、兩點，求的面積【解析】（1）依題意消去得，即，當時，顯然方程只有一個解，滿足條件；當時，解得；綜上，當或時直線與拋物線只有一個交點；（2）拋物線：，所以焦點，所以直線方

14、程為，設(shè)，由，消去得，所以，所以，所以.18已知,是拋物線上的點.（1）若點在其準線上的投影為，求的最小值；（2）求過點且與拋物線有且僅有一個公共點的直線的方程.【解析】（1）由拋物線，可得其焦點為，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以，當點三點共線時，等號成立，又由，所以，即的最小值為.（2）當過點的直線斜率不存在時，直線方程為，此時直線與拋物線只有一個交點，滿足題意；當過點的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，當時，方程可只有一解，此時直線方程為；當時，令，解得，所以直線方程為.綜上可得，直線方程為或或.19已知曲線在軸右邊，上每一點到點的距離減去它到軸距離的差都是.（1）

15、求曲線的方程；（2）是否存在正數(shù)，對于過點且與曲線有兩個交點的任一直線，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)是曲線上任意一點，由題意可得：，整理可得：，（2）存在，理由如下：設(shè)過點的直線與曲線的交點為，設(shè)直線的方程為，由得：，所以，又，由，可得，所以，將代入上式可得：對任意的實數(shù)恒成立，所以，解得：，所以存在正數(shù)，對于過點且與曲線有兩個交點的任一直線，都有，且的取值范圍.20已知拋物線：，點M在拋物線C上，點N在x軸的正半軸上，等邊的邊長為.（1）求C的方程；（2）若平行軸的直線交直線OM于點P，交拋物線C于點，點T滿足，判斷直線TM與拋物線C的位置關(guān)系，并說明理由.【解析】（1）等邊的邊長為，得， 代入，解得，所以，C的方程為.（2）相切.理由如下；由（1）得C的方程為，.由等邊得，直線的方程為，不妨設(shè)直線的方程為，則，設(shè)點，從而，由得，由得，整理得，所以，由題知.設(shè)直線的斜率為，則，則直線的方程為，即，與拋物線聯(lián)立得，整理得，從而所以直線與拋物線相切.21已知動圓過點，且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)直線交曲線于，兩點，以為直徑的圓交軸于，兩點，若，求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)，由題意得到的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知曲線的方程為.（2）設(shè)，由題意可知直線過的焦點，聯(lián)立消去得，整