CH3_4深圳大學激光器原理與技術

1、 4.3 4.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程激光器速率方程組和參與產(chǎn)生激光過程的能級結構和工作粒子(原子、分子等)在這些能級間的躍遷特性有關。不同激光工作物質的能級結構和躍遷特性可能很不相同，而且很復雜。但是，我們還是可以從中歸納出一些共同的、主要的物理過程，從而針對一些簡化的、具有代表性的模型列出速率方程組，這就是所謂三能級系統(tǒng)和四能級系統(tǒng)。上述關系建立在能級無限窄，因而自發(fā)輻射是單色的假設基礎上。實際上，自發(fā)輻射并不是單色的，因此在建立速率方程之前，必須對上述關系式進行必要的修正。 hnchBA 332121822121nAdtdnsp 212111212BWnWdtdnst 22

2、121nWdtdnst 221112fBfB 激光器腔內(nèi)光子數(shù)和工作物質各有關能級上的原子數(shù)隨時間變化的微分方程組，稱為激光器速率方程組。激光器速率方程理論的出發(fā)點是原子的自發(fā)輻射、受激輻射和受激吸收幾率的基本關系式。第一章，唯象方法得到的關系式：一、自發(fā)輻射、受激輻射和受激吸收幾率所以，線型函數(shù)g(,0)也可理解為躍遷幾率按頻率的分布函數(shù)。P)(P),(g 0),(gAhn0212 ),(gA)(A02121 表示在總自發(fā)躍遷幾率A21中，分配在頻率處單位頻帶內(nèi)的自發(fā)躍遷幾率。其中),(gP)(P0 )(Ahn 212 21221221And )(An)dtdn(sp 22121nA)dtd

3、n(sp 以前，表示n2個原子中單位時間內(nèi)發(fā)生自發(fā)躍遷的原子總數(shù)現(xiàn)根據(jù) 進行修正;),(gA)(A02121 譜線加寬對單位時間內(nèi)發(fā)生自發(fā)躍遷的原子總數(shù)沒有影響。再根據(jù)B21與A21的關系式：),()(8802133213321 gAhcAhcB 或)(8),()(213302121 AhcgBB 因此,在輻射場的作用下的總受激躍遷幾率，分配在頻率處單位頻帶內(nèi)的受激躍遷幾率: ),(gB)(B)(W0212121 ),(gB)(B),(gAhc)(Ahc)(BAhcB0212102133213321213321888 積分與輻射場的帶寬有關，以下對兩種極限情況進行討論。單位時間內(nèi)，由高能級E2

4、受激輻射到低能級E1的粒子數(shù)： d),(gBnd)(Wn)dtdn(st021221221 1.原子和連續(xù)譜光輻射場的相互作用輻射場分布在的頻帶范圍內(nèi)，為單色能量密度。積分式的被積函數(shù)只在原子中心頻率0附近的很小頻率范圍()內(nèi)才有非零值。在此頻率范圍內(nèi)可近似認為為常數(shù)。于是有：原子和連續(xù)譜場相互作用(4.4.6)(4.4.7)g(,0)0212021221 Bnd),(gBn)dtdn(st 0是連續(xù)譜輻射場在原子中心頻率0處的單色能量密度。可見，這和具有連續(xù)譜黑體輻射場一致。012112 Bn)dtdn(st 同理，有：0012122121 BWBW 或：此時積分式的被積函數(shù)只在中心頻率附近

5、的一個極窄范圍內(nèi)才有非零值。在此頻率范圍內(nèi)，g(,0)可以近似看成不變。為求此積分，可將單色能量密度表示為函數(shù)形式:=(-)2.原子和準單色光輻射場相互作用輻射場的中心頻率為，帶寬為，并滿足條件0，由于激光的高度單色性，所以激光器內(nèi)的光波場和原子相互作用都屬于這種情況。原子和準單色場相互作用根據(jù)函數(shù)的性質有：因此，表示頻率為的準單色光輻射場的總能量密度，其量綱為Jm-3得：同理受激躍遷修正： dd)( ),()(),()(0212021221gBndgBndtdnst ),()(012112gBndtdnst 在頻率為的單色輻射場的作用下，受激躍遷幾率：物理意義：由于譜線加寬，和原子相互作用的

6、單色光的頻率并不一定要精確等于原子發(fā)光的中心頻率0才能產(chǎn)生受激躍遷，而是在=0附近一個頻率范圍內(nèi)都能產(chǎn)生受激躍遷。只是當=0時，躍遷幾率最大；當偏離0時，躍遷幾率急劇下降。 ),(),(0121202121gBWgBW W12，W21可表示為與Nl有關的形式： llN),(gnAffWN),(gnAW021121202121 32221112332121012120212188cnhNfBfBhnchBA),(gBW),(gBWl 激光器內(nèi)與第 l 模內(nèi)的光子數(shù)密度Nl的關系： hNl 腔內(nèi)單位體積中頻率處于附近的單位頻率間隔內(nèi)的光波模式數(shù):328cn 將分子分母同乘以光腔體積V，并令nl=N

7、lV，則得A21g(,0)是分配到頻率為處單位頻帶內(nèi)的自發(fā)輻射幾率，所以A21g(,0) /nV表示分配在光腔內(nèi)頻率為的一個模式上的自發(fā)輻射躍遷幾率，用al表示。而W21/nl是一個模式內(nèi)的一個光子引起的受激躍遷幾率，因此根據(jù)關系式一個模式內(nèi)的一個光子引起的受激躍遷幾率等于分配到同一模式上的自發(fā)躍遷幾率。lllnVngAVNVngANngAW ),(),(),(02102102121 VngAanWll ),(02121 llN),(gnAffWN),(gnAW021121202121 nl為光腔內(nèi)第l 模的總光子數(shù) llllNNgnAffWNNgnAW ),(),(),(),(0120211

8、21202102121式中v為工作物質中的光速；21(,0)和12(,0)分別稱為發(fā)射截面和吸收截面，它們有面積的量綱，可表示為),(8),(),(8),(02022112012020221021 gAffgA 腔內(nèi)單位體積中頻率處于附近的單位頻率間隔內(nèi)的光波模式數(shù):328cn 中心頻率處的發(fā)射截面與吸收截面最大。當=0時，均勻加寬工作物質(具有洛侖茲線型)的發(fā)射截面:非均勻加寬工作物質(具有高斯線型)的發(fā)射截面:HA 202212214DA 20232122142ln對于一般固體激光工作物質來說，譜線線型函數(shù)的具體形式很難從理論上求得?？梢愿鶕?jù)上式對W21作出近似估算。設譜線的總自發(fā)輻射躍遷

9、幾率為A21，譜線寬度為，并假設A21均勻分配在所包含的所有模式上，則分配在一個模式上的自發(fā)輻射躍遷幾率: VnAVcAal2132218llNnAVnnAW 212121 nNAffVnnAffWffWll21122112211212 llllnaffWnaW121221受激輻射和受激吸收概率改寫：二、單模振蕩速率方程組激光振蕩可以在滿足振蕩條件的各種不同模式上產(chǎn)生，每一個振蕩模式是具有一定頻率(模式諧振頻率)和一定腔內(nèi)損耗的準單色光(具有極窄的模式頻帶寬度)。腔內(nèi)損耗可由光腔的光子壽命R描述。首先討論激光器內(nèi)只有第 l 個模式振蕩時的單模速率方程組。?212121 WnWn21221121

10、212121WnWWnWnWn 221112fBfB ),(),(0121202121gBWgBW 122112ffBB 21122112BBWW llNNgnAW ),(),(02102121 21212121221121212121WnffnWnWWnWnWn lNnffnWnWn ),(0212121212121 1212ffnnnlNnWnWn ),(021212121 參與激光產(chǎn)生過程的有三個能級：E1E2E3三能級系統(tǒng)激光工作物質的能級簡圖。1.三能級系統(tǒng)速率方程組E2為亞穩(wěn)態(tài)能級，（激光上能級）E3為抽運高能級。基態(tài)（激光下能級）E1，E1E2E3W13A31S31S32三能級系

11、統(tǒng)激光工作物質的能級簡圖。粒子在這些能級間的躍遷過程：(1)在激勵泵源的作用下，基態(tài)E1上的粒子被抽運到能級E3上，抽運幾率設為W13。在光激勵情況下，W13即為受激吸收躍遷幾率。對于其他激勵方或，則W13只表示粒子在單位時間內(nèi)被抽運到E3的幾率。 (2)到達高能級E3的粒子數(shù)時將主要以無輻射躍遷(熱弛豫)的形式極為迅速地轉移到激光上能級E2，其幾率設為S32。另外，n3也能以自發(fā)輻射(幾率A31)和無輻射躍遷(幾率S31)等方式返回基態(tài)E1。但對于一般激光工作物質，這種消激勵過程的幾率很小，即S31S32，A31S32。W13A31S31E1E2E3S32A21S21W21W12三能級系統(tǒng)激

12、光工作物質的能級簡圖。(3)激光上能級E2一般都是亞穩(wěn)能級，在未形成集居數(shù)反轉之前，n2粒子將主要以自發(fā)躍遷(幾率A21)形式返回E1，并且A21較小，即粒子在E2上的壽命較長。另外，n2粒子也可能通過無輻射躍遷(幾率S21)返回E1，一般情況下S21f2n1/f1)。一旦出現(xiàn)這種情況，則在E2和E1間的受激輻射和吸收躍遷(W21和W12)將占絕對優(yōu)勢。三能級系統(tǒng)激光工作物質的典型例子是紅寶石晶體。紅寶石在室溫下的一些躍遷幾率數(shù)據(jù)為:S320.5107s-1； A313105s-1；A210.3103s-1；S21、S310.可以寫出各能級集居數(shù)隨時間變化的方程nnnnSnASnWnWndtd

13、nASnWndtdn 321323212122121212313231313)()(E1E2E3W13A31S31S32A21S21W21W12n為單位體積工作物質內(nèi)的總粒子數(shù)。一般情況下S31很小，故予以忽略了。激光器光腔內(nèi)的光子數(shù)密度(單位體積內(nèi)的光子數(shù))隨時間的變化規(guī)律。若第l個模式的光子壽命為Rl，工作物質長度l等于腔長L，則其光子數(shù)密度的速率方程：忽略了進入l 模內(nèi)的少量自發(fā)輻射非相干光子。得到三能級系統(tǒng)的速率方程組：lRllNWnWndtdN 211212lRllllNvNnffndtdNnnnnSnASnvNnffndtdnASnWndtdn ),()()(),()()(0211

14、1223213232121202111222313231313對于多數(shù)激光工作物質來說，四能級系統(tǒng)更具有代表性，因為四能級系統(tǒng)更容易實現(xiàn)集居數(shù)反轉。氦氖激光器以及Nd:YAG等都屬于四能級系統(tǒng)。 2.四能級系統(tǒng)速率方程組E0E3E2E1具有四能級系統(tǒng)的激光工作物質的能級簡圖參與產(chǎn)生激光的有四個能級:它的主要特點是，激光下能級E1不再是基態(tài)能級，因而在熱平衡狀態(tài)下處于E1的粒子數(shù)很少，有利于在E2和E1之間形成集居數(shù)反轉狀態(tài)。 各符號代表的物理意義與三能級系 統(tǒng)相同。基態(tài)能級E0（抽運過程的低能級）抽運高能級E3、激光上能級E2（亞穩(wěn)能級）和激光下能級E1。E0E3E2E1W03W12W21S1

15、0S21S32S30A30A21具有四能級系統(tǒng)的激光工作物質的能級簡圖著重指出兩點。 (1)對于實際的激光工作物質，仍有S30，A30S32，S21KT，這就保證在熱平衡情況下E1能級上的粒子數(shù)可忽略。另一方面，當粒子由于受激輻射和自發(fā)輻射由E2躍遷到E1后，必須使它們以某種方式迅速地轉移到基態(tài)，即要求S10較大。 S10也稱為激光下能級的抽空速率。參照能級圖，根據(jù)和三能級系統(tǒng)完全相同的考慮，可得四能級系統(tǒng)的速率方程組：lRllllNvNnffndtdNnnnnnAnWnSndtdnSnASnvNnffndtdnASnWndtdn ),()()(),()()(02111223210303030

16、10103232121202111222303230303E0E3E2E1W03W12W21S10S21S32S30A30A21四能級系統(tǒng)的激光工作物質的能級簡圖忽略了n3W30項，因為n3很小，故n3W30n0W03對于四能級系統(tǒng)，另有一種常見的粒子數(shù)密度速率方程的寫法:R1、R2為單位體積中，在單位時間內(nèi)激勵至E1、E2能級的粒子數(shù)；1，2為E1，E2能級的壽命，21為E2能級由于至E1能級的躍遷造成的有限壽命。前者采用激勵速率和能級壽命來描述粒子數(shù)變化速率而不涉及具體的激勵及躍遷過程；后者則忽略了激光下能級的激勵過程，對大部分激光工作物質來說，這一忽略是允許的?？筛鶕?jù)所研究工作物質的激勵

17、與躍遷過程選擇或建立適用的速率方程。3232121202111222)(),()(SnASnvNnffndtdnl llvN),()nffn(nnRdtdnvN),()nffn(nRdtdn0211122212111102111222222 如果激光器中有m個模振蕩，其中第l個模的頻率：l，光子數(shù)密度：N l 光子壽命：Rl。則E2能級的粒子數(shù)密度速率方程：每個模式的頻率、損耗、g(l,0)值不同，必須建立m個光子數(shù)密度速率方程，其中第l個模的光子數(shù)密度速率方程：3232121202111222)(),()(SnASnNnffndtdnlll 三、多模振蕩速率方程lRllllNvNnffndt

18、dN ),()(0211122為簡化計，假設：(1)假設各個模式的衍射損耗比腔內(nèi)工作物質的損耗及反射鏡透射損耗小得多，因而可以認為各個模式的損耗相同。(2)將線型函數(shù)g(l,0)用一矩形譜線g(,0)代替，并使矩形譜線的高度與譜線輪廓中心點的高度相等，矩形譜線所包含的面積與原有譜線包含的面積相等。即),(1),(),(00000 ggg 對洛侖茲線型與高斯線型，等效線寬:FF 2ln21,2光譜線的線型函數(shù)及等效線型函數(shù)用工作物質的自發(fā)輻射熒光譜線寬度F統(tǒng)一表示均勻加寬線寬H和非均勻加寬線寬i.按照以上簡化模型，四能級多模振蕩的速率方程：nnnnnWnSndtdnSnAnNnffndtdnSnWndtdnNNnffndtdNR 321003010103232212211122213230303211