高中數(shù)學(xué)求軌跡方程地六種常用技法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上求軌跡方程的六種常用技法軌跡方程的探求是解析幾何中的基本問(wèn)題之一，也是近幾年來(lái)高考中的常見(jiàn)題型之一。學(xué)生解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，不善于揭示問(wèn)題的內(nèi)部規(guī)律及知識(shí)之間的相互聯(lián)系，動(dòng)輒就是羅列一大堆的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)行無(wú)目的大運(yùn)動(dòng)量運(yùn)算，致使不少學(xué)生喪失信心，半途而廢，因此，在平時(shí)教學(xué)中，總結(jié)和歸納探求軌跡方程的常用技法，對(duì)提高學(xué)生的解題能力、優(yōu)化學(xué)生的解題思路很有幫助。本文通過(guò)典型例子闡述探求軌跡方程的常用技法。1直接法根據(jù)已知條件及一些基本公式如兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，直線(xiàn)的斜率公式等，直接列出動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，從而求得軌跡方程。例1已知線(xiàn)段，直線(xiàn)相交于，且它們的斜率

2、之積是，求點(diǎn) 的軌跡方程。解：以所在直線(xiàn)為軸，垂直平分線(xiàn)為軸建立坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率 由已知有 化簡(jiǎn)，整理得點(diǎn)的軌跡方程為練習(xí)：1平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離之比為2，則點(diǎn)的軌跡方程是 。2設(shè)動(dòng)直線(xiàn)垂直于軸，且與橢圓交于、兩點(diǎn)，是上滿(mǎn)足的點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程。3. 到兩互相垂直的異面直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn),在過(guò)其中一條直線(xiàn)且平行于另一條直線(xiàn)的平面內(nèi)的軌跡是A直線(xiàn)B橢圓C拋物線(xiàn)D雙曲線(xiàn)2定義法通過(guò)圖形的幾何性質(zhì)判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程，這種方法叫做定義法，運(yùn)用定義法，求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)等

3、，二是熟練掌握平面幾何的一些性質(zhì)定理。例2若為的兩頂點(diǎn)，和兩邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)之和是，則的重心軌跡方程是_。解：設(shè)的重心為，則由和兩邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)之和是可得，而點(diǎn)為定點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡為以 為焦點(diǎn)的橢圓。 所以由可得故的重心軌跡方程是練習(xí)：4方程表示的曲線(xiàn)是（）A橢圓 B雙曲線(xiàn) C線(xiàn)段 D拋物線(xiàn)3點(diǎn)差法圓錐曲線(xiàn)中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線(xiàn)方程，然而相減，利用平方差公式可得，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，且直線(xiàn)的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程。例3橢圓中,過(guò)的弦恰被點(diǎn)平分,則該弦所在直線(xiàn)方程為_(kāi)。解：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于、，則有 可得而為線(xiàn)段的中點(diǎn)，

4、故有所以，即所以所求直線(xiàn)方程為化簡(jiǎn)可得練習(xí)：5已知以為圓心的圓與橢圓交于、兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。6已知雙曲線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)能否作一條直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，使 為線(xiàn)段的中點(diǎn)？4轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)移法求曲線(xiàn)方程時(shí)一般有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)是主動(dòng)的，另一個(gè)是次動(dòng)的。當(dāng)題目中的條件同時(shí)具有以下特征時(shí)，一般可以用轉(zhuǎn)移法求其軌跡方程：某個(gè)動(dòng)點(diǎn)在已知方程的曲線(xiàn)上移動(dòng)；另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨的變化而變化；在變化過(guò)程中和滿(mǎn)足一定的規(guī)律。例4 已知是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求的重心 的軌跡方程。解：設(shè) 重心，點(diǎn) ，因?yàn)閯t有， 故代入 得所求軌跡方程例5拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)、兩點(diǎn),再以、為鄰邊作平行四邊形，試求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

5、解法一：（轉(zhuǎn)移法）設(shè)，平行四邊形的中心為，將，代入拋物線(xiàn)方程,得，設(shè)，則 ，為的中點(diǎn).，消去得，由得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為。解法二：（點(diǎn)差法）設(shè)，平行四邊形的中心為，設(shè)，則有 由得 而為的中點(diǎn)且直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以代入可得，化簡(jiǎn)可得由點(diǎn)在拋物線(xiàn)口內(nèi)，可得將式代入可得故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為。練習(xí)：7已知，在平面上動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。5參數(shù)法求曲線(xiàn)的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一，求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過(guò)“坐標(biāo)互化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系。在確定了軌跡方程之后，有時(shí)題目會(huì)就方程中的參數(shù)進(jìn)行討論；參數(shù)取值的變化使方程表示不同的

6、曲線(xiàn)；參數(shù)取值的不同使其與其他曲線(xiàn)的位置關(guān)系不同；參數(shù)取值的變化引起另外某些變量的取值范圍的變化等等。例6過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)，已知。（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)；（2）是否存在這樣的直線(xiàn)，使矩形？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由。解：當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，代入方程，得因?yàn)橹本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，設(shè)，則 設(shè)，由 得 所以，代入可得，化簡(jiǎn)得即 當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，易求得滿(mǎn)足方程，故所求軌跡方程為，其軌跡為雙曲線(xiàn)。（也可考慮用點(diǎn)差法求解曲線(xiàn)方程）（2）平行四邊為矩形的充要條件是即 當(dāng)不存在時(shí)，、坐標(biāo)分別為、，不滿(mǎn)足式當(dāng)存在時(shí)，化簡(jiǎn)得，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故不

7、存在直線(xiàn)使為矩形。練習(xí)：8設(shè)橢圓方程為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)、,是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)滿(mǎn)足,點(diǎn)的坐標(biāo)為,當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),求:(1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； (2)的最小值與最大值。9設(shè)點(diǎn)和為拋物線(xiàn)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)作于，求點(diǎn)的軌跡方程。6交軌法：若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)，可以通過(guò)這兩曲線(xiàn)的方程直接求出交點(diǎn)的方程，也可以解方程組先求出交點(diǎn)的參數(shù)方程，再化為普通方程。例7已知是橢圓中垂直于長(zhǎng)軸的動(dòng)弦，、是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，求直線(xiàn)和的交點(diǎn)的軌跡方程。解1:(利用點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù))令，則而.設(shè)與的交點(diǎn)為因?yàn)楣簿€(xiàn)，所以 因?yàn)楣簿€(xiàn)，所以?xún)墒较喑说茫?而即代入得，即交點(diǎn)的軌跡方程為解2: (利用角作參數(shù))設(shè)，則所以 ,

8、 兩式相乘消去即可得所求的點(diǎn)的軌跡方程為 。練習(xí)：10兩條直線(xiàn)和的交點(diǎn)的軌跡方程是_ _。總結(jié)歸納1要注意有的軌跡問(wèn)題包含一定隱含條件，也就是曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍由曲線(xiàn)和方程的概念可知，在求曲線(xiàn)方程時(shí)一定要注意它的“完備性”和“純粹性”，即軌跡若是曲線(xiàn)的一部分，應(yīng)對(duì)方程注明的取值范圍，或同時(shí)注明的取值范圍。2“軌跡”與“軌跡方程”既有區(qū)別又有聯(lián)系，求“軌跡”時(shí)首先要求出“軌跡方程”，然后再說(shuō)明方程的軌跡圖形，最后“補(bǔ)漏”和“去掉增多”的點(diǎn)，若軌跡有不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性。練習(xí)參考答案1 2解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由方程，得由于直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)、，故即、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為由題知

9、即 即 所以點(diǎn)的軌跡方程為3D 【解析】在長(zhǎng)方體中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知直線(xiàn)與是異面垂直的兩條直線(xiàn)，過(guò)直線(xiàn)與平行的平面是面，設(shè)在平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足到直線(xiàn)與的距離相等，作于，于，于，連結(jié)，易知平面，則有，(其中是異面直線(xiàn)與間的距離)，即有，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)，選D.4A 5解 設(shè)，PMA則，由， OB兩式相減并同除以得 ,而, 又因?yàn)樗?化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程6先用點(diǎn)差法求出，但此時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)并無(wú)交點(diǎn)，所以這樣的直線(xiàn)不存在。中點(diǎn)弦問(wèn)題，注意雙曲線(xiàn)與橢圓的不同之處，橢圓不須對(duì)判別式進(jìn)行檢驗(yàn)，而雙曲線(xiàn)必須進(jìn)行檢驗(yàn)。7解：設(shè)，則由即 所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以3為半徑的圓。點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的

10、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以為圓心，半徑為3的圓，其中是點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即直線(xiàn)過(guò)的中點(diǎn)，且與垂直，于是有即故動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為。8解：(1)解法一:直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，設(shè)其斜率為,則的方程為 記、由題設(shè)可得點(diǎn)、的坐標(biāo)、是方程組 的解 將代入并化簡(jiǎn)得,所以于是 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則消去參數(shù)得 當(dāng)不存在時(shí), 、中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),也滿(mǎn)足方程,所以點(diǎn)的軌跡方程為 解法二:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,因、在橢圓上,所以 得,所以 當(dāng)時(shí),有 并且 將代入并整理得 當(dāng)時(shí),點(diǎn)、的坐標(biāo)為，這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為也滿(mǎn)足,所以點(diǎn)的軌跡方程為 (2)解:由點(diǎn)的軌跡方程知，即所以 故當(dāng),取得最小值,最小值為時(shí),取得最大值, 最大值為9解法1 ：(常規(guī)設(shè)參)設(shè)，則（）由共線(xiàn)得 則把