定積分的換元法和分部積分法ppt課件

1、 5.3 定積分的換元法定積分的換元法和分部積分法和分部積分法一、一、 定積分的換元法定積分的換元法二、二、 定積分的分部積分法定積分的分部積分法三、三、 小結(jié)、作業(yè)小結(jié)、作業(yè)微積分根本公式微積分根本公式定積分法，定積分法，不定積分法不定積分法且運(yùn)用方法與相應(yīng)的不定積分法類似。且運(yùn)用方法與相應(yīng)的不定積分法類似。一、定積分的換元法一、定積分的換元法 我們知道，不定積分的換元法有兩種，下面就分別我們知道，不定積分的換元法有兩種，下面就分別引見對應(yīng)于這兩種換元法的定積分的換元法。引見對應(yīng)于這兩種換元法的定積分的換元法。1. 1. 第一類換元積分法湊微分法第一類換元積分法湊微分法 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間

2、在區(qū)間 上延續(xù)，上延續(xù)， 那么那么 )(xf ,ba CxFdxxf)()(abxFxdxfdxxxfbaba)()()()()( 例例1 計(jì)算計(jì)算 30 3dxex解解 30 3dxex 30 )3(33xdex3033 xe)1(3 e例例2 計(jì)算計(jì)算 10 241dxx解解 10 241dxx 10 2)2(1121dxx102arcsin x2 10 2)2()2(11xdx 206cossinxdxx例例3 計(jì)算計(jì)算 解解 206cossinxdxx)sin(sin206 xxd2077sinx 71 例例4 計(jì)算計(jì)算 edxxx1 ln1 解解 edxxx1 ln1 exdx1 )

3、ln1()ln1(ex 1 22)ln1( 212 23 例例5 計(jì)算計(jì)算 462cos xdx 462cos xdx解解 4622cos1 dxx 4646)2(cos2 21 21xxddx sin221)64(2146x )211(211221 8124 2. 2. 第二類換元積分法第二類換元積分法設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上延續(xù)上延續(xù) ，函數(shù)，函數(shù) )(xf ,ba)(tx 滿足滿足,)()1(a b )( badtttfdxxf)()()( 在在 或或 上具有延續(xù)上具有延續(xù)導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)數(shù)，且)()2(t, , ,)(bat ，于是，于是留意留意:1換元前后，上限對上限、下限對下限；換

4、元前后，上限對上限、下限對下限； 2不引入新的變量記號，積分限不變；引不引入新的變量記號，積分限不變；引入新的變量記號，積分限跟著變。入新的變量記號，積分限跟著變。例例6 6 計(jì)算計(jì)算 30 1 dxxx1根號下為根號下為 的一次式的一次式x解解，設(shè)設(shè)tx 1，即即12 tx，則則dttdx2 時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng)0 x；1 t時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)3 x因因此此，2 t 21 2)1(2dtt 30 1 dxxxdtttt2121 2 21332 tt38 例例7 7 計(jì)算計(jì)算 解解，設(shè)設(shè)tx ,2tx 即即，則則dttdx2 時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng)0 x；0 t時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)4 x因因此此，2 t 4011 dxxtd

5、tt21120 4011 dxx 20)111(2dtt 20|1|ln2tt 3ln24 2根號下為根號下為 的二次式的二次式x例例8 8 計(jì)算計(jì)算 解解t，xsin 設(shè)設(shè)，t22 ，則則dttdx cos 時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng)0 x；0 t時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x因因此此，6t 210221dxxx 210221dxxxtdtttcoscossin 60 2 60 2sin tdtdtt 60 22cos1 602sin2121 tt 3sin216218312 例例9 9 計(jì)算計(jì)算 解解t，xtan 設(shè)設(shè)，t22 ，則則dttdx2sec 時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng)0 x；0 t時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x因因此此，4t

6、10232)x1(dxtdtt223240 sec)tan1( 40 232sec)sec(1dttt 40sint 10232)x1(dx 40 sec1dtt 40cos dtt22 證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf 0)(atxdttf adxxf0)( adxxf0)( adxxf0)( adxxfxf0)()( 為為偶偶函函數(shù)數(shù)；)( ,)(20 xfdxxfa 為為奇奇函函數(shù)數(shù)。)( , 0 xf證證畢畢。奇函數(shù)奇函數(shù)例例10 10 計(jì)算計(jì)算解解.1sin334225 dxxxxx 22cossin2xdxx0 3342251sindxxxxx例例11 11

7、 計(jì)算計(jì)算解解 22cossin2xdxx偶函數(shù)偶函數(shù) 202cossin2xdxx 202)sin(sin2xxd2033sin2t 32 ),(),()()( xvxua,bxvxu 上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間在區(qū)間、設(shè)設(shè)二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法則由導(dǎo)數(shù)公式則由導(dǎo)數(shù)公式)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 上上求求積積分分，有有對對等等式式兩兩邊邊分分別別在在區(qū)區(qū)間間a,b bababadxvuvdxudxuv )(即即 bababaudvvduuv移項(xiàng)有移項(xiàng)有 bababavduuvudv 分部積分公式分部積分公式 定積分的分部積分公式的用法

8、與不定積分的分部定積分的分部積分公式的用法與不定積分的分部積分公式的用法類似。積分公式的用法類似。例例12 12 計(jì)計(jì)算算解解 xdxx0 cos xdxx0 cos 0 0sinsinxdxxx)sin(0 xxd 0cos0 x2 例例13 13 計(jì)計(jì)算算 10 2dxxex解解 10 2dxxex 10 2)(21xexd 10 210221dxexexx 10222121xee)1(412 e例例14 14 計(jì)計(jì)算算 3 0 arctan xdxx解解 3 0 arctan xdxx)2(arctan30 2 xxd 30 230 2)(arctan2arctan2xdxxxdxxx2

9、30 2112 2 30 2)111(212dxx2332 30 arctan212xx 例例15 15 計(jì)計(jì)算算.arcsin210 xdx解法解法1 1 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 210)(arcsinxxd解法解法2 2 210arcsin xdx 60sin tt分分部部積積分分 60sin tdt216 60cos t . 12312 )(sin 60sinarcsin tdttxxt則則換換元元：例例16 16 計(jì)算計(jì)算 10 )1ln(e-dxx解解 10 )1ln(e-dxx 10 10)1ln()1ln(eexxdxx)()1ln(10 e-xdx 10 111e-dxxxe 1 0 )111(1e-dxxe 10 |1|ln1 exxe1 例例1717 402cos1 xxdx半半角角公公式式 xdxtan240 分分部部積積分分 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 402cos2 xxdx三、小結(jié)三、小結(jié)1、運(yùn)用定積分的換元法時(shí)要留意積分限的對應(yīng)。