第三章_插值法_牛頓

1、第三章第三章 插值法插值法第三節(jié)第三節(jié) 均差與牛頓插值公式均差與牛頓插值公式 nkkknxlyxL0)()()()( )()()()( )()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl ， k = 0, 1 , , n . . 過過n +1+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)，滿足插值條件：，滿足插值條件：L j( xj)= yj(j=0,1, , n )的的n次插值次插值插值插值基函數(shù)基函數(shù)多項(xiàng)式多項(xiàng)式Ln( (x) )：拉格朗日插值拉格朗日插值u優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：結(jié)果清晰、緊湊，適用于作理論分析、應(yīng)用結(jié)果清晰、緊湊，適用于作理論分析、應(yīng)用u缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，所有的基函數(shù)都要

2、重新計(jì)算增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，所有的基函數(shù)都要重新計(jì)算)()()()(10010nnnxxxxaxxaaxN其中其中 為待定系數(shù)，可有插值條件確定為待定系數(shù)，可有插值條件確定)()()()()()()()()()()()()()(1001021202202102101101000nnnnnnnnnnnxfxxxxaxxaaxNxfxxxxaxxaaxNxfxxaaxNxfaxNNewton型多項(xiàng)式插值型多項(xiàng)式插值0,naa把插值多項(xiàng)式寫成：把插值多項(xiàng)式寫成：()()(1, )njjNxf xjn得到：得到：)(00 xfa 01011)()(xxxfxfa10202122)()(1axxxfxfxxa

3、30312323031()()11f xf xaaaxxxxxxNewton型多項(xiàng)式插值型多項(xiàng)式插值均均 差差已知已知y = =)(xf函數(shù)表函數(shù)表)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx),(jixxji 當(dāng)當(dāng))(xf則則 在在 nnxxxxxx,12110 上平均變化率分別為：上平均變化率分別為： ,)()(,010110 xxxfxfxxf ,)()(,121221xxxfxfxxf .)()(,111 nnnnnnxxxfxfxxf，即有定義：即有定義：定義為定義為f( (x) )的均差的均差均差與牛頓插值多項(xiàng)式均差與牛頓插值多項(xiàng)式定義定義為函數(shù)為函數(shù)在在jixx ,的的一

4、階均差一階均差（一階一階差商差商）；）；)(xfikjikjkjixx,xxf,xxf,x,xxf稱為稱為y = =在點(diǎn)在點(diǎn)kjixxx,的的二階二階均差均差（二階二階差商差商）；)(xf （3）一般由函數(shù)）一般由函數(shù)y= =的的k1 1階階均差均差表可定義函數(shù)的表可定義函數(shù)的k階階均差均差。)(xf)(xf稱為函數(shù)稱為函數(shù)y= =在在kxxx,10點(diǎn)的點(diǎn)的k階階均差均差（k階階差商差商）。,jixx，稱，稱ijijjixx)f(x)f(x,xxf（1 1）對于）對于 的一階均差表，再作一次均差，即的一階均差表，再作一次均差，即)(xf（2）由函數(shù)）由函數(shù)y= =,kxxxf10011021x

5、xxxxfxxxfkkk,即即kxxxf,21110kxxxf,k1 1階階均差均差定義定義均差均差 一階均差一階均差二階均差二階均差三階均差三階均差k 階均差階均差 ix0 x1x2x3x4xkx)(ixf)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(kxf,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,321xxxf,210 xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,10kxxxf,12kkkxxxf ,1kkxxf 均差表均差表計(jì)算順序計(jì)算順序: :每次用前一列同行的均差與前一列上一行的每次用前一列同行的均差與前一列上一行的均差均差再作再作均差均差

6、 kjijkjiijxxxf00)()( kjjkjxxf01)()( k 階階均差均差 kxxxf,10關(guān)于節(jié)點(diǎn)關(guān)于節(jié)點(diǎn)kxxx,10是對稱的，或說是對稱的，或說均差均差與節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)，與節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)，即即例如：例如：共共6個(gè)個(gè) ijkxxxf, jikxxxf, kjixxxf, ,jkixxxf kijxxxf, ikjxxxf, kxxxf,10 kjkjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf01110)()()()(的線性組合，的線性組合，即即)(xf的的k階均差階均差 kxxxf,10是函數(shù)值是函數(shù)值)(,),(),(10kxfxfxf kxxxf,10 kxxxf,01 01,x

7、xxfkk 均均 差差性質(zhì)性質(zhì)1 kxxxf,10 kjkjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf01110)()()()(分析分析 ：當(dāng)當(dāng)k =1=1時(shí)時(shí), ,01110010)()(xxxfxxxfxxf ， ( (1) )可用歸納法證明。可用歸納法證明。(2)(2)利用利用(1)(1)很容易得到。只證很容易得到。只證(1)(1) 010110)()(,xxxfxfxxf 證明：證明：（1）當(dāng)）當(dāng)k =1=1時(shí)時(shí), , 010110)()(,xxxfxfxxf 011100)()(xxxfxxxf 時(shí)時(shí)成成立立，即即有有假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)nk 111111121)()()()(njnjjjjjj

8、jnxxxxxxxxxfxxxf， njnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(，均均 差差 111111121)()()()(njnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf，,110 nnxxxxf，則則由由定定義義 0110121,xxxxxfxxxfnnn 011xxn njnjjjjjjjnjjnjxxxxxxxxxxxxxxxxxf1111101001)()()()()()(#)()()()(1011110 njnjjjjjjjjxxxxxxxxxxxf時(shí)時(shí)成成立立，即即有有假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)nk njnjjjjjjjnxxxxxxxxxfxxxf01

9、1010)()()()(，)()()(020100nxxxxxxxf )()()(121111nnnnnxxxxxxxf 均均 差差01010,xxxxfxxfxxfkkkk性質(zhì)性質(zhì)2由由k k階均差的定義和性質(zhì)階均差的定義和性質(zhì)1 1推出推出( )01( ),.,!nnf xxxnf 01( ) , , , , , nf xa bnxxxa ba b 設(shè)設(shè)在在上上有有 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且則則存存在在使使性質(zhì)性質(zhì)3均均 差差1)( nxf的的若若階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，由插值多項(xiàng)式的唯一性由插值多項(xiàng)式的唯一性有余項(xiàng)公式有余項(xiàng)公式)()()(xPxfxRnn )(,010ininxxxxxxf

10、 )()!1()(0) 1(ininxxnf ！)1(,)1(10 nfxxxxfnn n+1+1階均差函數(shù)階均差函數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)其中其中 ba, 且且 bax, 為包含為包含), 1 , 0(nixi 區(qū)間區(qū)間.依賴于依賴于則則n 階均差與導(dǎo)數(shù)階均差與導(dǎo)數(shù),)()1(階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)nbaxf的關(guān)系為的關(guān)系為 ！nfxxxfnn )(10, 其中其中 ，ba, 的的區(qū)區(qū)間間。，為為包包含含nxxxba10,n +1+1階均差函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系階均差函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 則則次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式是是一一個(gè)個(gè)若若,)2(0nxaxfinii ,10kxxxf 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nkankn,

11、0定理定理已知已知)(xfy 函數(shù)表函數(shù)表, 由均差定義及對稱性，得由均差定義及對稱性，得 000)()(,xxxfxfxxf )()(,)()(000axxxxfxfxf 110010,xxxxfxxfxxxf )()(,110100bxxxxxfxxfxxf 221010210,xxxxxfxxxfxxxxf )()(,221021010cxxxxxxfxxxfxxxf nnnnxxxxxfxxxfxxxf ,10100 )()(,01010dxxxxxfxxxfxxxfnnnn 牛頓插值多項(xiàng)式的推導(dǎo)牛頓插值多項(xiàng)式的推導(dǎo)，)()()()(1010nnxfxfxfxfxxxx),(jixxj

12、i 當(dāng)當(dāng)牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式將將(b)式兩邊同乘以式兩邊同乘以,)(0 xx )()(,)()(000axxxxfxfxf )()(,110100bxxxxxfxxfxxf )()(,221021010cxxxxxxfxxxfxxxf )()(,01010dxxxxxfxxxfxxxfnnnn )()(,11010 nnxxxxxxxxxf)()(,1100nnnxxxxxxxxxxxf )(,)(,)()(102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf )(0 xx ,0 xxf )(,00 xxxxf 抵消抵消)(10 xxxx 10,xxxf )(,110 xxxxxf

13、抵消抵消)()(110 nxxxxxx)(,2210 xxxxxxf 10, nxxxf抵消抵消)()(0 xfxf ,10 xxf)(0 xx )(10 xxxx 210,xxxf)(0 xx )(,010nnnxxxxxfxxxf )()(110 nxxxxxx)()(110 nxxxxxx(d)(d)式兩邊同乘以式兩邊同乘以, ,把所有式子相加把所有式子相加, ,得得，)(10 xxxx ,(c),(c)式兩邊同乘以式兩邊同乘以牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式 )()(,)()(,)(,)(,)()(110011010102100100nnnnnxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfx

14、xxxxxxfxxxxfxfxf 記記 )()(,)(,)(,)()(11010102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN)()(,)(1100nnnnxxxxxxxxxxxfxR )()(,1100nnnxxxxxxxxxxxf )()(,)(,)(,)(11010102100100 nnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxf- - 牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式- - 牛頓插值余項(xiàng)牛頓插值余項(xiàng))(,10jnjnxxxxxf 可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證 ), 1 , 0)()(nixPxfini，即，即 滿足插值條件。滿足插值條件。)(xNn )(xf(x

15、)Nn)(xRn牛頓插值多項(xiàng)式牛頓插值多項(xiàng)式 一階均差一階均差二階均差二階均差三階均差三階均差k 階均差階均差 ix0 x1x2x3x4xkx)(ixf)(0 xf)(1xf)(2xf)(3xf)(4xf)(kxf,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,321xxxf,210 xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,10kxxxf,12kkkxxxf ,1kkxxf 均差表均差表計(jì)算順序計(jì)算順序: :每次用前一列同行的均差與前一列上一行的每次用前一列同行的均差與前一列上一行的均差均差再作再作均差均差xif xif xi,xi+1fxi,xi+1,xi+2

16、114293N2(7)=1+(7-1)*0.33333+ (7-1)*(7-4)*(-0.01667)= 2.6999233333. 01412 2 . 04923 01667. 01933333. 02 . 0 + (x- x0) (x-x1) fx1,x0,x+ (x- x0) fx1,x0=f(x0)N(x)解：解：7例：例：已知已知 x = 1, 4, 9 x = 1, 4, 9 的平方根值，求的平方根值，求 xi f(xi) 一階均差一階均差 二階均差二階均差 三階均差三階均差 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 3001001201( ),(), ,()()231(2)(2)(3)310Nf xf x xx xf x x xx xx xxx xx xx 例例 已知已知 x x=0, 2, 3, 5 =0, 2, 3, 5 對應(yīng)的函數(shù)值為對應(yīng)的函數(shù)值為 y y=1, =1, 3, 2, 5 , 3, 2, 5 , 作三次作三次NewtonNewton插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 所求的三次所求的三次NewtonNewton插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式為為 1、理解均差定義P.87 12作業(yè)作業(yè): : 3、會用牛頓插值多項(xiàng)式解簡單題目。 2、掌握牛頓插值