兩個重要極限與無窮小量的比較

1、第六講第六講 兩個重要極限兩個重要極限與無窮小量的比較與無窮小量的比較 內容提要內容提要 1. 兩個重要極限；兩個重要極限； 2. 無窮小量的比較。無窮小量的比較。 教學要求教學要求 1. 熟練掌握用兩個重要極限求極限；熟練掌握用兩個重要極限求極限； 2. 熟練掌握無窮小的比較、等價無窮小量的性質及一熟練掌握無窮小的比較、等價無窮小量的性質及一些常見的等價無窮小。些常見的等價無窮小。一、兩個重要極限一、兩個重要極限 ( x 取弧度單位取弧度單位 )如圖所示如圖所示 , 作單位圓作單位圓則圓心角則圓心角AOB=x ， 顯然有顯然有AODAOBSSSD DD D AOB扇形扇形 即即xxxtans

2、in 分別除以分別除以 xsin 對于對于情形情形, ,20 x有有xxxcos1sin1 D1sinlim)1(0 xxx證證: :oyxBAx BCxsin ADxtanxxsin21xtan21x21C AB再取倒數(shù)再取倒數(shù) , 得得1sincos xxx (1)由于用由于用x- -代替代替x時時xcos和和xxsin都不變號都不變號不等不等 式式 (1)仍成立仍成立 ,恒恒 有不等式有不等式 1sincos xxx 成立。成立。3由于由于1coslim0 xx , 且且11lim0 x ,由夾逼準則由夾逼準則可知可知 , 1sinlim0 xxx . 證畢證畢從而當從而當時時 , -

3、- 2, 00,2 x2. .對于對于的情形的情形 ,02 - -x 所以當所以當時時 ,02 - -x 對對xxxcos1sin1 20 x（偶函數(shù)），（偶函數(shù)），1sinlim0 xxx1)()(sinlim0)( xxx 0 注意：注意：xxxsinlim xxxsinlim10求求例例解解xxxsinlim0 xxxsin1lim0 xxxsinlim10 1 1sinlim0 xxx1)(sin)(lim0)( xxx 例例2 求求xxx3sinlim0解解 xxx3sinlim0 xxx33sinlim303 3 1)()(sinlim0)( xxx xxxtanlim. 30求求

4、例例解解xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 1 例例4 求求)0,(sinsinlim0 babxaxx解解 bxaxxsinsinlim00limxba bxbxbaxaxasinsin bxbxaxaxxsinsinlim0bxbxaxaxbabxaxsinlimsinlim00 ba 1)()(sinlim0)( xxx 解解 當當 n時時 , 因此因此例例5 5nnn sinlim , 有有0n nnn sinlim nnn sinlim 1 1)()(sinlim0)( xxx nnn sinlim0 例例 6 2021cos1limxxx- -220212sin2

5、limxxx 22022sinlim xxx2022sinlim xxx21 1 1)()(sinlim0)( xxx 解解2021cos1limxxx- -2022sinlim xxx1)1sin(lim. 121- - -xxx1)1sin(lim21- - -xxx1)1sin()1(lim221- - - xxxx練習練習解解2 xxxarcsinlim0解解xxxarcsinlim. 20tttsinlim0 1 tx arcsin令令txsin . 00tx則則xxx1sinlim. 4 解解xxxcotlim0 xxxxsincoslim0 xxxxcossinlim0 1 xx

6、xcotlim. 30解解xxx1sinlim xxx11sinlim01 1 證明略證明略 ( 可用兩個準則證明可用兩個準則證明)。exxx 11lim)2(exxx )()()(11lim 例例 1 xxx 31lim33311lim xxx解解xxx 31lim3e 33311lim xxx解法一解法一令令tx - - 則當則當 x時時 有有 t 所以所以例例2 求求3411lim - -xxx3)(411lim - - ttt3411lim - -xxx 311limtt411lim- - ttt431- - e4- - e3)(4)11()11(limtttt - - xxx411l

7、im - - 311lim - - xx411lim- - - - - xxx311lim - - xx3411lim - -xxx解法二解法二4- - eexxx )()()(11lim 34)11()11(limxxxx- - - - 解解 令令tx 1 當當0 x時時 有有 t 所以所以例例3 xxx101lim ttt 11lim xxx101lim e exxx 101limexxx 11limexxx )()()(11lim exxx )(10)()(1 lim 1)1(（3）倒數(shù)關系）倒數(shù)關系)1()2( 注意：注意： ,1lim1exxx exxx 11lim0;)tan1(l

8、im. 1cot50 xxx 求求解解xxxcot50)tan1(lim 5tan10tan)tan1(limxxx 5e ;)1(lim. 3xxxx 求求解解xxxx- - )1(limxxxx)1(lim 1)11(lim- - xxx1- - eexxx )(10)()(1 lim ;)21(lim. 2xxx- - 求求解解xxx)21(lim- - 22)21(lim- - - - - xxxexxx )()()(11lim 2- - e練習練習二、無窮小的比較二、無窮小的比較由無窮小的性質可知由無窮小的性質可知 , 兩個無窮小的和、差、積兩個無窮小的和、差、積仍為無窮小仍為無窮小

9、 , 但兩個無窮小的商會出現(xiàn)不同的情況但兩個無窮小的商會出現(xiàn)不同的情況。如當如當0 x時時 , 函數(shù)函數(shù)x2 , xsin都是無窮小。都是無窮小。但是但是0 21 而而0sinx與與02x的的 “快快”、“慢慢”差不多。差不多。,2xxxx2lim)1(202lim0 xx 202lim)2(xxx(3)2sinxx0limxxxxsinlim210 比比02x“快些快些”, 事實上事實上02x反之反之“慢些慢些”02x比比02x由此可見由此可見 , 無窮小雖然都是以無窮小雖然都是以 0 為為 極限的變量極限的變量, , 但它們趨向但它們趨向0的速度不一樣的速度不一樣 , 趨向趨向 0的的 “

10、快快”、 “慢慢”程度程度 , 我們引我們引 入無窮小的入無窮小的“階階”的概念。的概念。下面僅給出下面僅給出0 xx 時的無窮小比較的定義時的無窮小比較的定義, ,對于對于 0 xx ,- -0 xx , x ,x-x等情況的無窮小比較的定義可類似。等情況的無窮小比較的定義可類似。為了為了反映無窮小反映無窮小定義定義 設設0)(lim0 xxxa a 0)(lim0 xxxb b0)()(lim0 xxxxa ab b（1）如果）如果 , 則稱則稱)(xb b是比是比)(xa a高階高階的無窮小的無窮小 , 記為記為)()(xoxa ab b （2）如果）如果 )()(lim0 xxxxa

11、ab b , 則稱則稱)(xb b是比是比)(xa a低階低階的無窮小。的無窮小。)1, 0( （3）如果）如果)()(lim0 Cxxxxa ab b 則稱則稱)(xb b與與)(xa a是是同階同階無窮小。無窮小。（4）如果）如果1)()(lim0 xxxxa ab b 則稱則稱)(xb b與與)(xa a為為等價等價無窮小無窮小 , 記為記為)()(xxa ab b例如例如 03lim30 xxxQ )0(x)3(3 xox1sinlim0 xxxQ )0(xsinxx1- -x與與12- -x同階無窮小同階無窮小) 1(x02lim0 xxQ)2(ox )0(x11lim21- - -

12、xxxQ11lim1 xx21 可以證明可以證明 : 當當0 x時時 , 有下列等價無窮小：有下列等價無窮小：xxsinxxtanxex1- -xx)1ln( 22xcos1x- -利用等價無窮小可以簡化某些極限的運算利用等價無窮小可以簡化某些極限的運算 , 有下面定理：有下面定理：xarctanxarcsinxx定理定理設當設當0 xx 時時 , )()(xxa aa a ,)()(xxb bb b 且且)()(lim0 xxxxa ab b 存在存在( 或或 ) , )()(lim0 xxxxa ab b 則則)()(lim0 xxxxa ab b證明證明 因因)()(lim0 xxxxa

13、 ab b)()(lim0 xxxxa ab b (證畢證畢)()(xxa aa a )()(xxa ab b )()(xxb bb b lim0 xx )()(lim0 xxxxa aa a )()(lim0 xxxxa ab b )()(lim0 xxxxb bb b 23lim0 xxx例例1 1 求求2tan3sinlim0 xxx23 .22xxtg,0時時當當x,33sinxx0 0lim30 xxlim30- - xxxx這種解法是錯誤的！這種解法是錯誤的！.tanxx,0時時當當xQ,sinxx30sintanlimxxxx- -30sintanlim2xxxx- -求求例例解

14、解正確的解法如下正確的解法如下.xxx- - sinlimxxx- - lim xxx- - sinlim.sin不不是是無無窮窮小小是是無無窮窮小小，而而時時，xxx Qxxx- - - )sin(lim1 正確的解法如下正確的解法如下.cos21lim0 xxcos2lim320. . xxxxxcos)cos1(sinlim30- - xxxxxsintanlim30- -xxxx30sintanlimxxxx- -求求)sincossin(1lim30 xxxxx- - 21 ,0時時當當x,2cos12xx- -解解注意：注意：無窮小量替換分子或分母，也可替換分無窮小量替換分子或分母，也可替換分用無窮小的等價替換簡化極限運算時，可用用無窮小的等價替換簡化極限運算時，可用“-”“-”號連接的各號連接的各 部分不能分別作替換。部分不能分別作替換。等價等價分母分母子或