概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)7.3.3單側(cè)置信區(qū)間

1、一、問題的引入一、問題的引入). ,( , , , 的的雙雙側(cè)側(cè)置置信信區(qū)區(qū)間間得得到到出出兩兩個(gè)個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量我我們們給給對(duì)對(duì)于于未未知知參參數(shù)數(shù)在在以以上上各各節(jié)節(jié)的的討討論論中中 但在某些實(shí)際問題中但在某些實(shí)際問題中, 例如例如, 對(duì)于設(shè)備、元對(duì)于設(shè)備、元件的壽命來說件的壽命來說, 平均壽命長是我們希望的平均壽命長是我們希望的, 我們我們關(guān)心的是平均壽命關(guān)心的是平均壽命 的的“下限下限”; 與之相反與之相反, 在在考慮產(chǎn)品的廢品率考慮產(chǎn)品的廢品率 p時(shí)時(shí), 我們常關(guān)心參數(shù)我們常關(guān)心參數(shù) p的的“上限上限”, 這就引出了單側(cè)置信區(qū)間的概念這就引出了單側(cè)置信區(qū)間的概念. 單側(cè)置信區(qū)間單側(cè)置信

2、區(qū)間二、基本概念二、基本概念1. 單側(cè)置信區(qū)間的定義單側(cè)置信區(qū)間的定義,1, ),(, )10( 2121 PXXXXXXnn滿足滿足對(duì)于任意對(duì)于任意確定的統(tǒng)計(jì)量確定的統(tǒng)計(jì)量若由樣本若由樣本對(duì)于給定值對(duì)于給定值.1,1) ,(信下限信下限的單側(cè)置的單側(cè)置的置信水平為的置信水平為稱為稱為側(cè)置信區(qū)間側(cè)置信區(qū)間的單的單的置信水平為的置信水平為是是則稱隨機(jī)區(qū)間則稱隨機(jī)區(qū)間 ,1 ),( 21 PXXXn滿足滿足意意對(duì)于任對(duì)于任又如果統(tǒng)計(jì)量又如果統(tǒng)計(jì)量.1 , 1 ), (置置信信上上限限的的單單側(cè)側(cè)的的置置信信水水平平為為稱稱為為單單側(cè)側(cè)置置信信區(qū)區(qū)間間的的的的置置信信水水平平為為是是則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)

3、區(qū)區(qū)間間 2. 正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間 , )( , 2均為未知均為未知方差是方差是的均值是的均值是設(shè)正態(tài)總體設(shè)正態(tài)總體 X , , 21是一個(gè)樣本是一個(gè)樣本nXXX),1(/ ntnSX 由由,1)1(/ ntnSXP有有,1)1( ntnSXP即即,),1( ntnSX 1 的置信下限的置信下限的置信水平為的置信水平為 ).1( ntnSX 1的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為于是得于是得 12的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為于是得于是得 ,)1()1(, 0212 nSn 12的單側(cè)置信上限的

4、單側(cè)置信上限的置信水平為的置信水平為 .)1()1(2122 nSn ,1)1()1( 2122 nSnP即即),1()1( 222 nSn 又根據(jù)又根據(jù),1)1()1( 2122 nSnP有有 設(shè)從一批燈泡中設(shè)從一批燈泡中, 隨機(jī)地取隨機(jī)地取5只作壽命試驗(yàn)只作壽命試驗(yàn),測得壽命測得壽命(以小時(shí)計(jì)以小時(shí)計(jì))為為 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布, 求燈泡壽命平均求燈泡壽命平均值的置信水平為值的置信水平為 0.95 的單側(cè)置信下限的單側(cè)置信下限.解解, 5 n,1160 x,95. 01 ,1318. 2)4()1(05.

5、0 tnt ,99502 s .950的置信下限的置信下限的置信水平為的置信水平為 .1065)1( ntnsx 例例1),(),(222211NYNX1 12 221,;,.,2121nnYYYXXX2221,;,SSYX2221, 【推導(dǎo)】因?yàn)椤就茖?dǎo)】因?yàn)?分別是分別是 的無偏估計(jì)的無偏估計(jì),且且YX,21,),(),(22221211nNYnNX從而可得從而可得 的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為1-的的置信區(qū)間置信區(qū)間為為21故故 是是 的無偏估計(jì)的無偏估計(jì), ,且有且有YX 21),(22212121nnNYX) 1 , 0()()(22212121NnnYX2222121znnYX從而從

6、而 2221, 當(dāng)樣本容量都很大時(shí)當(dāng)樣本容量都很大時(shí), ,可用樣本方差代替總體方差可用樣本方差代替總體方差 而得而得 的置信度為的置信度為1-1-的的近似近似的的置信區(qū)間置信區(qū)間為為212222121znSnSYX 由由ch6-th4得得)2(11)()(212121nntnnSYXw 從而從而 的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為1-的的置信區(qū)間置信區(qū)間為為21) 2(1121221nntnnSYXw其中其中.2) 1() 1(21222211nnSnSnSw 解雙正態(tài)總體解雙正態(tài)總體, ,未知同方差的未知同方差的均值差均值差置信區(qū)間置信區(qū)間. . ) 2(1121221nntnnSYXw【例【例2

7、 2】 6,105 . 1,00387. 0,67817. 615211nssx 置信度置信度1-=0.9 ,=0.1, 1-=0.9 ,=0.1, 由樣本值計(jì)算得：由樣本值計(jì)算得： 查表得查表得: :8331. 1)9(05. 0t 所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為: :5,109,003. 0,664. 626222nssy2) 1() 1(212222112nnsnsnsw61033.122561094105 . 156531051. 3ws8331. 151611051. 3664. 6678. 63018. 0 ,010. 0 即為即為: : 2、2221僅僅討論兩正態(tài)總體討論兩正態(tài)總體

8、均值都未知均值都未知情形情形.【推導(dǎo)】由【推導(dǎo)】由ch6-th1知知:)1()1(1221211nSn)1()1(2222222nSn且相互獨(dú)立且相互獨(dú)立,故由故由定義知定義知:)1, 1()1/()1()1/()1(21221211121211nnFnSnnSn)1, 1(/2122222121nnFSS即即:1) 1, 1(/) 1, 1(212/22222121212/1nnFSSnnFP其分布不依賴于任何未知參數(shù)其分布不依賴于任何未知參數(shù). 由由F-分布雙側(cè)分位點(diǎn)知分布雙側(cè)分位點(diǎn)知:即即:1) 1, 1(1) 1, 1(1212/122212221212/2221nnFSSnnFSSP

9、) 1, 1(1,) 1, 1(1212/12221212/2221nnFSSnnFSS故故 的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為1-的的置信區(qū)間置信區(qū)間為為:2221 設(shè)兩位化驗(yàn)員設(shè)兩位化驗(yàn)員A,BA,B獨(dú)立地對(duì)某種化學(xué)物品用獨(dú)立地對(duì)某種化學(xué)物品用相同的方法各作相同的方法各作1010次測定次測定, ,其測定值的樣本方差分別為其測定值的樣本方差分別為 解雙正態(tài)總體解雙正態(tài)總體. .均值未知時(shí)方差比的置信區(qū)間均值未知時(shí)方差比的置信區(qū)間. . 6065. 0,5419. 022BAss設(shè)總體均為正態(tài)的設(shè)總體均為正態(tài)的,且且 分別為分別為A,B所測定的測定所測定的測定值總體的方差值總體的方差.求方差比求方差

10、比 置信度為置信度為0.95的置信區(qū)的置信區(qū)間間.22,BA22/BA) 1, 1(1,) 1, 1(1212/122212/22nnFSSnnFSSBABA10,6065. 0,5419. 02122nnssBA 置信度置信度1-=0.95 ,=0.05, 1-=0.95 ,=0.05, 由樣本值計(jì)算得：由樣本值計(jì)算得： 查表得查表得: :2481. 003. 41)9 , 9(1)9 , 9(,03. 4)9 , 9(025. 0975. 0025. 0FFF 所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為: :60.3 ,222.0已知方差已知方差,置信區(qū)間置信區(qū)間 (N(0,1)-分布分布)未知方差未知方差,近似置信區(qū)間近似置信區(qū)間 大樣本（大樣本（N(0,1)-分布）分布）未知同方差未知同方差,置信區(qū)間置信區(qū)間 (t(n1+n2-2)-分布分布)未知均值未知均值,置信區(qū)間置信區(qū)間 (F(n1-1,n2-1)-分布分布)2222121znnYX2222121znSnSYX) 2(1121221nntnnSYXw) 1, 1(1,) 1, 1(1212 /12221212 /2221nnFSSnnFSS.)