材料力學(xué) 截面的幾何性質(zhì)

1、附錄附錄 截面截面的幾何性質(zhì)的幾何性質(zhì)-1 截面的靜矩和形心位置截面的靜矩和形心位置-2 慣性矩、慣性積和慣性半徑慣性矩、慣性積和慣性半徑-4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩-3 平行移軸公式平行移軸公式附 錄2一、靜矩的定義(與力矩類似)（也稱稱面積矩面積矩或或一次矩一次矩）dAzyyz靜矩與形心AAyyAAzzAzSSAySSdddd截面對z軸的靜矩：截面對y軸的靜矩： 平面圖形的靜矩是對某一坐標(biāo)軸而言平面圖形的靜矩是對某一坐標(biāo)軸而言的，同一圖形對不同坐標(biāo)軸，其靜矩也的，同一圖形對不同坐標(biāo)軸，其靜矩也就不同；就不同； 靜矩的數(shù)值可正、可負(fù)、也可等于零；靜矩的數(shù)值可正、可負(fù)、也可等于零；

2、 靜矩的量綱是長度的三次方。靜矩的量綱是長度的三次方。3二、靜矩與形心的關(guān)系zyyzASAAyyASAAzzzACyACdd形心坐標(biāo)CzCyC由力矩的等效關(guān)系得到靜矩的另一公式：czyAScyzAS(1)若z、y軸通過形心C，則 yC=zC=0，因此Sz=Sy=0。即：截面對其形心軸的靜矩等于零。反之，若截面對某軸的靜矩為零，則該軸必過其形心。Ad(2) 對于有對稱軸的截面對于有對稱軸的截面, ,對稱軸必然是形心軸對稱軸必然是形心軸. . 組合截面形心組合截面形心 組合截面：如果截面的圖形是由幾個(gè)簡單圖形組合截面：如果截面的圖形是由幾個(gè)簡單圖形(如矩形、圓形如矩形、圓形等）組成的，這種截面稱為

3、組合截面。等）組成的，這種截面稱為組合截面。附 錄cciniixAyyAScciniiyAxxAS組合截面對組合截面對X、Y軸靜矩的計(jì)算：軸靜矩的計(jì)算：Ai任一簡單圖形的面積；任一簡單圖形的面積；xci，yci任一簡單圖形的形心坐標(biāo)；任一簡單圖形的形心坐標(biāo)；n全部簡單圖形的個(gè)數(shù)。全部簡單圖形的個(gè)數(shù)。組合截面對某一軸的靜矩應(yīng)等組合截面對某一軸的靜矩應(yīng)等于其各組成部分對該軸靜矩的于其各組成部分對該軸靜矩的代數(shù)和。代數(shù)和。確定組合截面確定組合截面形心位置形心位置的公式：的公式：niiniciicAxAxniiniciicAyAy附 錄yc1y1H/2H/2Cb 例題例題 一矩形截面如圖所示，圖中的一

4、矩形截面如圖所示，圖中的b、h和和y1均為已知值。試均為已知值。試求有陰影線部分的面積對于對稱軸求有陰影線部分的面積對于對稱軸X的靜矩。的靜矩。) )y y2 2h hb(b(A A1 1 解：解：) )y y2 2h h( (2 21 1) )y y2 2h h( (2 21 1y yy y1 11 11 1c c1 1) )y y2 2h h( (2 21 1) )y y2 2h hb b( (A Ay yS S1 11 1c c1 1x x) )4y4y(h(h8 8b b2 21 12 2XY2061d)(d bhyhyhbyAyhAxs例例2、圖形對、圖形對 x 軸的靜矩為軸的靜矩為

5、形心坐標(biāo)形心坐標(biāo)yc為為 b)(yboxyyydhh h3 31 1b bh h2 21 1b bh h6 61 1A Ay yc c2 2s sy y例3、求左圖示組合圖形的靜矩。解：將原圖在右端補(bǔ)滿，其中內(nèi)部蘭色的矩形和外部黑色的矩形均為規(guī)則圖形，要注意的是圖形I事實(shí)上是不存在的，我們在這里使用負(fù)面積法。yz20202010010090IIIyz202020901001003III21i21iymm225000454000459000IIIccciyzAzAzASSii2IIIIII2IIImm4000mm45mm60mm9000mm45mm50AzyAzycccc3mm210000zS對

6、圖形I和圖形II,有IIIyz20202090100100AIdA2pyzyozAAd 極慣性矩極慣性矩為圖形對坐標(biāo)原點(diǎn)為圖形對坐標(biāo)原點(diǎn)o的極慣性矩。的極慣性矩。極慣性矩恒為正值，它的量綱為極慣性矩恒為正值，它的量綱為長長度度4，常用單位為，常用單位為m4和和mm4。定義定義極慣性矩 慣性矩 慣性積 AzAyAyIAzId,d22分別稱分別稱Iy、Iz為圖形對為圖形對y軸和軸和z軸的慣軸的慣性矩。慣性矩的量綱是性矩。慣性矩的量綱是長度長度4，慣性，慣性矩是恒正的量。矩是恒正的量。慣性矩慣性矩yzyozAAd慣性矩的國際單位是慣性矩的國際單位是m4，常用單位是，常用單位是cm4,mm4。 yzy

7、ozAAd 慣性矩的大小不僅與慣性矩的大小不僅與圖圖形面積形面積有關(guān)，而且與有關(guān)，而且與圖形面圖形面積相對于坐標(biāo)軸的分布有關(guān)積相對于坐標(biāo)軸的分布有關(guān)。面積離坐標(biāo)軸越遠(yuǎn)，慣性矩面積離坐標(biāo)軸越遠(yuǎn)，慣性矩越大；反之，面積離坐標(biāo)軸越大；反之，面積離坐標(biāo)軸越近，慣性矩越小。越近，慣性矩越小。22,zzyyiAIiAIAIiAIizzyy,iy和和iz分別稱為圖形對于分別稱為圖形對于y 軸和軸和z 軸的慣性半徑。慣性半徑為軸的慣性半徑。慣性半徑為正值，它的大小反映了圖形面積對坐標(biāo)軸的聚集程度。慣正值，它的大小反映了圖形面積對坐標(biāo)軸的聚集程度。慣性半徑的量綱是長度，常用單位為性半徑的量綱是長度，常用單位為m

8、m或或m。 定義定義 慣性半徑慣性半徑 或或222zy yzAAIIAzAyAIddd22A2pyzyozAAd由于由于則則此式說明了極慣性矩與軸慣性矩之間的關(guān)系。此式說明了極慣性矩與軸慣性矩之間的關(guān)系。AyzAyzIdyzyozAAd為圖形對為圖形對y、z軸的慣性積軸的慣性積 。定義定義慣性積慣性積慣性積的數(shù)值可正，可負(fù)，也可為零。慣性積的量綱是慣性積的數(shù)值可正，可負(fù)，也可為零。慣性積的量綱是長長度度4 ，常用單位為，常用單位為m4和和mm4。定理：若有一個(gè)軸是圖形的對稱軸，則圖形對這對軸定理：若有一個(gè)軸是圖形的對稱軸，則圖形對這對軸的慣性積必然為零。的慣性積必然為零。 0d AyzAyzI

9、oyzAdAdzyy1. 均質(zhì)矩形板均質(zhì)矩形板 質(zhì)量為質(zhì)量為m，長度為，長度為l的均質(zhì)桿，建的均質(zhì)桿，建立圖示坐標(biāo)系，則有立圖示坐標(biāo)系，則有2.5 常見圖形的慣性矩、慣性積常見圖形的慣性矩、慣性積12dd32222bhzbzAzIhhAyccyzczCAdzd2h2b2b2h1z2z3dd302221hbyhyAyIIbAzz很容易得到下列結(jié)果很容易得到下列結(jié)果cyczCAddy2h2b2b2h1z2z12dd32222hbyhyAyIbbAzc4232pA0d2d32DDIA圓形圓形 直徑為直徑為d的圓形，選取圖示圓環(huán)形積分的圓形，選取圖示圓環(huán)形積分微元，微元，oyzDd64214pDIII

10、zy444444322132)(323232d2DdDdDIDdP44p16421DIIIzy0yzIyzDd由于由于y軸為對稱軸，故軸為對稱軸，故圓環(huán)形對圓環(huán)形對y(或或z)軸的慣性矩為軸的慣性矩為圓環(huán)形圓環(huán)形azzbyycc 對于平面圖形，建立坐標(biāo)系對于平面圖形，建立坐標(biāo)系Oyz和基于和基于形心形心C的坐標(biāo)系的坐標(biāo)系Cyczc，由定義，由定義AyIAzIAczAcyccd,d22oyzCAdbazcyczcyczy及坐標(biāo)變換公式及坐標(biāo)變換公式 平行移軸定理ccyyAcAcAcAyaSAaIAzaAaAzAazAzI2d2ddd22222 將圖形對將圖形對y軸的慣性矩用關(guān)于形心坐軸的慣性矩用

11、關(guān)于形心坐標(biāo)系的坐標(biāo)來表達(dá)標(biāo)系的坐標(biāo)來表達(dá)oyzCAdbazcyczcyczyAaIIcyy2AbIIczz2abAIIcczyyzoyzCAdbazcyczcyczy由于由于yc是過形心的軸，所以是過形心的軸，所以同理可得同理可得小結(jié)小結(jié)v移軸公式中的兩根平行軸中必須至少有一根軸過形心；移軸公式中的兩根平行軸中必須至少有一根軸過形心；v在所有平行的軸中，圖形對過形心的軸的慣性矩最小。在所有平行的軸中，圖形對過形心的軸的慣性矩最小。mm3 .1030212211cAAzAzAzyc解：將圖形看作是兩個(gè)矩形的結(jié)合。解：將圖形看作是兩個(gè)矩形的結(jié)合。形心坐標(biāo)為形心坐標(biāo)為例題例題 試求圖示圖形對形心軸

12、的慣性矩和試求圖示圖形對形心軸的慣性矩和慣性積。慣性積。 yzC1ay2a1403 .1032020100IICICIIIIII334420 100140 201212176 10 mmzzzIII求圖形對求圖形對y、z軸的慣性矩軸的慣性矩 4423mm1044320100)3 .103150(1220100IyIyzC1ay2a1403 .1032020100IICICIII4423mm1076814020)703 .103(1214020IIyI4444mm1012111076810443IIIyyyIII0yzIyzC1ay2a1403 .1032020100IICICIII由于z軸是對

13、稱軸 ，故圖形對兩軸的慣性積為26*典型截面慣性矩的計(jì)算1、矩形截面zybhydydAyIAz2222hhbdyy2233hhyb3121bh同理dAzIAy23121hb27zyD2、實(shí)心圓截面已知APdAI2324D則yzAAAPIIdAzdAydAI222zyII 由對稱性知所以zyII pI21644D同理，空心圓截面44164DIIzy28平行移軸定理CCybyzaz以形心C為原點(diǎn)，建立與原坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)軸 zC , yC則某微元dA在兩坐標(biāo)系的位置關(guān)系為：0CzCCAySz 為形心軸軸AbbSIAbbyyAyIzCzCCACAz22222 d)2( dAbIIzCz2dAzyyz

14、abCzCyC29注意：1、 C點(diǎn)必須為形心，即：zC、yC必須是形心軸。2、式中的a、b是代數(shù)值。（可能取負(fù)值。）AbIICzz2AaIICyy2abAIICCyzzy同理可得b為軸z與zC的軸距a為軸y與yC的軸距平行移軸公式：30例：已知 ，求最大彎曲正應(yīng)力。mNM5max102 . 116281448解：確定中性軸的位置1081628) 514(108141628Cycm13zCzCy單位：cm)1319(10812108 )1314(28161228162323zI426200 cmMPaIyMz65.68102620015. 0102 . 185maxmaxmax計(jì)算最大正應(yīng)力 圖

15、形對某一對坐標(biāo)軸圖形對某一對坐標(biāo)軸y和和z取得極值時(shí)，圖形對該坐標(biāo)軸取得極值時(shí)，圖形對該坐標(biāo)軸的慣性積為零。的慣性積為零。 y和和z軸稱作主慣性軸。圖形對主慣性軸的慣軸稱作主慣性軸。圖形對主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。主慣性矩的值是圖形對通過同一點(diǎn)的所有性矩稱為主慣性矩。主慣性矩的值是圖形對通過同一點(diǎn)的所有坐標(biāo)軸的慣性矩的極值。坐標(biāo)軸的慣性矩的極值。 若主慣性軸通過形心，則該軸稱為形心主慣性軸。圖形若主慣性軸通過形心，則該軸稱為形心主慣性軸。圖形對形心主慣性軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。對形心主慣性軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。 基本概念基本概念轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸4.1 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式平面任意圖

16、形及新舊坐標(biāo)系統(tǒng) 圖示平面圖形對任意一對新坐標(biāo)軸y軸z軸的慣性矩和慣性積為： AyzIAyIAzId,d,dAyzA2zA2y 若將坐標(biāo)軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角(規(guī)定角逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù))。得到一對新坐標(biāo)軸y1軸和z1軸。圖形對y1軸z1軸的慣性矩和慣性積為： AzyIAyIAzIAAAd,d,d11zy21z21y1111 從圖中任意一點(diǎn)取微面積dA，它在新舊坐標(biāo)(y1,z1)和(y,z)有如下關(guān)系 sincossincos11yzzzyy將此關(guān)系代入Iy1、Iz1和Iy1z1中，得2sinsincosdcossin2dsindcosd)sincos(dzyz2z2yAA22A222A

17、A211IIIAyzAyAzAyzAIy22cos1cos,22cos1sin22將代入上式得2sin2sin)(212sin2cos)(21)(212sin2cos)(21)(21yzzyzyyzzyzyzyzzyzyy1111IIIIIIIIIIIIIIII同理 (a)4.2 主慣性軸和主慣性矩主慣性軸和主慣性矩(principal moment of inertia)將式(a)對求導(dǎo)數(shù)，以確定慣性矩的極值2cos2sin)(212ddyzzyy1IIII令=0時(shí)02cos2sin)(212ddyzzyy1IIII得zyyz022tanIII由上式可以解得相差90的兩個(gè)角度0和0+ 90，

18、從而確定了一對相互垂直的坐標(biāo)軸y0軸z0軸。圖形對這對軸的慣性矩一個(gè)取得最大值Imax，另一個(gè)取得最小值Imin，將0和0+ 90分別代入式(a)第一式，經(jīng)化簡得慣性矩極值的計(jì)算公式：2yz2zyzymin2yz2zyzymax2212)(2100IIIIIIIIIIIIIIzy 將a0和a0+ 90代入式(a)第三式，得慣性積Iy0z00。因此圖形對某一對坐標(biāo)軸y0和z0取得極值時(shí)，圖形對該坐標(biāo)軸的慣性積為零。 y0和z0軸稱作主慣性軸。圖形對主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。主慣性矩的值是圖形對通過同一點(diǎn)的所有坐標(biāo)軸的慣性矩的極值。 4.3 形心主慣性軸和形心主慣性矩形心主慣性軸和形心主慣性矩 若主慣性軸通過形心，則該軸稱為形心主慣性軸(principal centroidal axis)。 圖形對形心主慣性軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。 由于圖形對于對稱軸的慣性積等于零，而對稱軸又過形心，所以，圖形的對稱軸就是形心主慣性軸。 形心主慣性軸的特點(diǎn)可歸納為以下幾點(diǎn)：形心主慣性軸是通過形心，由角定向的一對互相垂直的坐標(biāo)軸。圖形對形心主慣性軸的慣性矩即形心主慣性矩是圖形對通過形心的所有坐標(biāo)軸的慣性矩的極值。圖形對形