三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)命題的證明及應(yīng)用

1、三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)命題的證明及應(yīng)用在中考和一些競賽題目中常有與三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)的題目，若平時不注意總結(jié)是很難一下子解決的.下面來一起學(xué)習(xí)一下.命題1如圖1,點D是4ABC兩個內(nèi)角平分線的交點，則/D=90°+2ZA.證明：如圖1:R金圖1vZ1=Z1Z2=Z2】，/.2Z1+2Z2+ZA=180Z1+Z2+ZD=180得：/1+/2+/A=/D由得：Z1+Z2=180/D把代入得：.180-ZD+ZA=ZD1/D=90+2ZA.點評利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和等于180,不難證明.命題2如圖2,點D是4ABC兩個內(nèi)角平分線的交點，則/1D=90-2ZA.D圖2證明：如

2、圖2:VDB和DC是4ABC的兩條外角平分線，D=180°-Z1-Z2工=180-2(/DBE+ZDCF)工=180-2(/A+Z4+ZA+Z3)=180°-2(ZA+180)=180-2ZA-90=90-/a；點評利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形的內(nèi)角和等于180,可以證明.A國3命題3如圖3,點E是4ABC一個內(nèi)角平分線與一個外角平分工線的交點，則/E=2ZA.證明：如圖3:/1=22,Z3=24,ZA+2Z1=2Z4®Z1+ZE=Z4®1x5代入得：1ZE=2ZA.點評利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與

3、它不相鄰兩外角的和，很容易證明.命題4如圖4,點E是ABC一個內(nèi)角平分線BE與一個外角平分線CE的交點，證明:AE是4ABC的外角平分線.證明：如圖3:.BE是/ABC的平分線，可得：EH=EFCE是/ACD的平分線，可得：EG=EF 過點E分別向AB、AC、BC所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.即EF=EG=EH .EG=EH .AE是4ABC的外角平分線.點評利用角平分線的性質(zhì)和判定能夠證明.應(yīng)用上面的結(jié)論能輕松地解答一些相關(guān)的比較復(fù)雜的問題，下面來一起看.例1如圖5,PB和PC是ABC的兩條外角平分線.已知/A=60°,請直接寫出/P的度數(shù).三角形的三條外角平分線所在的直線形

4、成的三角形按角分類屬于什么三角形？解析：由命題2的結(jié)論直接得：ZP=902ZA=90-2X60=60根據(jù)命題2的結(jié)論/P=902/A,知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個角都是銳角，則該三角形是銳角三角形.點評此題直接運用命題2的結(jié)論很簡單.同時要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.例2如圖6,在4ABC中，延長BC到D,/ABC與/ACD的角平分線相較于A點，/ABC與/ACD的平分線交與4點，以此類推，若/A=96°,則/&=度.A圖后解析：由命題的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律/可以直接得：/4=無刈6°=3.點評此題是要找出規(guī)律的但對要有

5、命題的結(jié)論作為基礎(chǔ)知識.例3（2011湖北鄂州市中考第一大題填空題第八小題，此題3分）如圖7,AABC的外角/ACD的平分線CP的內(nèi)角/ABC平分線BP交于點P,若/BPC=40,貝U/CAP=:解析：此題直接運用命題4的結(jié)論可以知道AP是ABC的一個夕卜角平分線，結(jié)合命題3的結(jié)論知道/BAC=2/BPC,CAP=2(180-ZBAC尸2(1802/BPC)=50.點評對命題3、4研究過的讀者此題不難，否則將是一道在考試的時候花時間也不一定做的出來的題目.例4(2003年山東省“KLT快樂靈通杯”初中數(shù)學(xué)競賽試題)如圖，在RtzABC中，/ACB=90,/BAC=30,/ACB的平分線與/ABC的外角平分線交與E點，連接AE,則/AEB=度.圖區(qū)解析：有題目和命題4的結(jié)論可以知道AE是4ABC的一