角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用培訓(xùn)講學(xué)

1、角平分線的性質(zhì)及應(yīng)用舊知回顧舊知回顧 已知一個(gè)角你會(huì)將它平分嗎？說一說，已知一個(gè)角你會(huì)將它平分嗎？說一說，你有哪些方法？有沒有既簡(jiǎn)單又準(zhǔn)確的方法。你有哪些方法？有沒有既簡(jiǎn)單又準(zhǔn)確的方法。ABO畫法：畫法：以為圓心，適當(dāng)以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于，長(zhǎng)為半徑作弧，交于，交于交于分別以，為分別以，為圓心大于圓心大于 1/2 的長(zhǎng)的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于作射線作射線射線即為所求射線即為所求1 1、怎樣畫一個(gè)已知角的角平分線、怎樣畫一個(gè)已知角的角平分線 如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處解決問題S公路公路鐵路鐵路 畫一個(gè)畫

2、一個(gè)AOB,用尺規(guī)作出用尺規(guī)作出AOB的平分線的平分線OP,過過P作作PD OA,PE OB問題：?jiǎn)栴}：比較比較PD和和PE 的大小關(guān)系（量一量）。的大小關(guān)系（量一量）。 PD=PE 再換一個(gè)新的位置看看情況會(huì)怎樣？再換一個(gè)新的位置看看情況會(huì)怎樣？(2)(2)猜想猜想: : 角的平分線上的角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. .P PA AOOB BC CE EDD1 1、怎樣畫一個(gè)已知角的角平分線、怎樣畫一個(gè)已知角的角平分線證明證明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分線的定義）（角平分線的定義） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO=

3、PEO（垂直的定義）（垂直的定義） 在在PDO和和PEO中中 PDO= PEO（已證）（已證） 1= 2 （已證）（已證） OP=OP （公共邊）（公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） P PA AOOB BC CE EDD12已知已知：如圖，如圖，OCOC平分平分AOBAOB，點(diǎn)，點(diǎn)P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于點(diǎn)于點(diǎn)D D，PEOBPEOB于于點(diǎn)點(diǎn)E E求證求證: PD=PE: PD=PE2、驗(yàn)證猜想：、驗(yàn)證猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.已知：已知：“一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角

4、的平分線上一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上”。結(jié)論：結(jié)論：“這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊得距離相等這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊得距離相等”角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等3 3、角的平分線的性質(zhì)、角的平分線的性質(zhì): :OCB1A2PDEPDOA，PEOB OC是是AOB的平分線的平分線 PDPE用數(shù)學(xué)語言表述：或：或： 1= 2, PD OA， PE OB PD=PE（角平分線的性質(zhì)）（角平分線的性質(zhì)）ACDEBF例：已知：如圖，例：已知：如圖，ABCABC中中 C=90C=90，ADAD是是ABCABC的角平的角平分線，分線，DEABDEAB于于E E，F(xiàn) F在在ACAC上上BD

5、=DFBD=DF，求證：，求證：CF=EBCF=EB。證明：證明：AD平分平分CABDEAB，C90（已知）（已知）CDDE (角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì))在在tCDF和和RtEDB中中, CD=DE （已證）（已證） DF=DB （已知）（已知） RtCDF RtEDB (HL) CF=EB （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）練習(xí)練習(xí)1 1：已知:如圖,在ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC. BAEDCF證明證明： AD平分平分CABDEAB ，DFAC(已知已知)DE=DF (角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì))在在

6、tBED和和RtCFD中中, BD=CD （已證）（已證） DE=DF （已知）（已知） Rt BED RtCFD (HL) BE=FC （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）等）練習(xí)練習(xí)2 2：如圖，如圖，E E是是AOBAOB的角平分線的角平分線OCOC上上的一點(diǎn)，的一點(diǎn)， EMOBEMOB垂足為垂足為M M，且，且EM=3cmEM=3cm，求點(diǎn)求點(diǎn)E E 到到OAOA的距離的距離分析分析：點(diǎn)：點(diǎn)E 到到OA的距離是過點(diǎn)的距離是過點(diǎn)E作作OA的垂線段，再根據(jù)角的平的垂線段，再根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，可知點(diǎn)分線的性質(zhì)，可知點(diǎn)E到到OA的距離。的距離。解解：過過E作作ENOA垂足為垂足為N

7、 E是是AOB的角平分線上的一點(diǎn)，的角平分線上的一點(diǎn)， EMOB， ENOA，EM=EN又又 EM=3cm，EN=3cm即點(diǎn)即點(diǎn)E 到到OA的距離為的距離為3cm。E EB BOOA AC CMMN N練習(xí)：練習(xí)：如圖，如圖，E E是是AOBAOB的角平分線的角平分線OCOC上的上的一點(diǎn)，一點(diǎn)， EMOBEMOB垂足為垂足為M M，且，且EM=3cmEM=3cm，求，求點(diǎn)點(diǎn)E E 到到OAOA的距離的距離分析分析：點(diǎn)：點(diǎn)E 到到OA的距離是過點(diǎn)的距離是過點(diǎn)E作作OA的垂線段，再根據(jù)角的平的垂線段，再根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，可知點(diǎn)分線的性質(zhì)，可知點(diǎn)E到到OA的距離。的距離。解解：過過E作作ENOA

8、垂足為垂足為N E是是AOB的角平分線上的一點(diǎn)，的角平分線上的一點(diǎn)， EMOB， ENOA，EM=EN又又 EM=3cm，EN=3cm即點(diǎn)即點(diǎn)E 到到OA的距離為的距離為3cm。E EB BOOA AC CMMN N練習(xí)練習(xí)3 3：如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD中中AB=ADAB=AD，ABBCABBC，ADCDADCD，P P是對(duì)角線是對(duì)角線ACAC上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，求證：求證：PB=PCPB=PC P D C B A回味無窮回味無窮w 性質(zhì)性質(zhì) 角平分線上的點(diǎn)到這角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等個(gè)角的兩邊距離相等. .w 幾何語言幾何語言： OCOC是是AOBAOB的平分線的平分線, , P P是是OCOC上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn) PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E( D,E( 已知已知) )PD=PE(PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離