求軌跡方程例題方法解析

1、精選文檔求軌跡方程的常用方法學(xué)問梳理：（一）求軌跡方程的一般方法： 1. 待定系數(shù)法：假如動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再依據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為定義法。 2. 直譯法：假如動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以推斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。 3. 參數(shù)法：假如接受直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點(diǎn)P運(yùn)動的某個(gè)幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x

2、，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系xf（t），yg（t），進(jìn)而通過消參化為軌跡的一般方程F（x，y）0。 4. 代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：假如動點(diǎn)P的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn)P'的坐標(biāo)，然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點(diǎn)P的軌跡方程。5.幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)（如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等），可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)較簡潔。6：交軌法：在求動點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會消滅要求兩動曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這燈問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)（含

3、參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。（二）求軌跡方程的留意事項(xiàng)： 1. 求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁簡單的運(yùn)動變化中，發(fā)覺動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律，即P點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會動中求靜，變中求不變。 來表示，若要推斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為一般方程。 3. 求出軌跡方程后，應(yīng)留意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢驗(yàn)是否增解，（即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上），又要檢驗(yàn)是否丟解。（即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示），消滅增解則要舍去，消滅丟解，則需補(bǔ)充。檢驗(yàn)方法：爭辯運(yùn)動中的特殊情形或極端情形

4、。熱身： 1. P是橢圓=1上的動點(diǎn)，過P作橢圓長軸的垂線，垂足為M，則PM中點(diǎn)的軌跡中點(diǎn)的軌跡方程為： （ ） A、 B、 C、 D、=1【答案】：B【解答】:令中點(diǎn)坐標(biāo)為,則點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(代入橢圓方程得,選B2. 圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程是（ ）A B C D 【答案】：D【解答】:令圓心坐標(biāo)為(,則由題意可得,解得,則圓的方程為,選D3: 一動圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓 C：橢圓 D：雙曲線一支【答案】：D【解答】令動圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。4: 點(diǎn)P(x0，y0)

5、在圓x2+y2=1上運(yùn)動，則點(diǎn)M（2x0，y0）的軌跡是 （ ）A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B. 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C. 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 D. 焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線【答案】：A【解答】:令M的坐標(biāo)為則代入圓的方程中得 一：用定義法求曲線軌跡求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一，求符合某種條件的動點(diǎn)軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過坐標(biāo)互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系，在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時(shí)，要特殊留意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用，只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足已知曲線定義時(shí)，通過待定系數(shù)法就可以直接得出方程。例1：已知的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），C 為動點(diǎn)，且

6、滿足求點(diǎn)C的軌跡。【解析】由可知，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點(diǎn)）。【點(diǎn)評】生疏一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。（1） 圓：到定點(diǎn)的距離等于定長（2） 橢圓：到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)的距離）（3） 雙曲線：到兩定點(diǎn)距離之差的確定值為常數(shù)（小于兩定點(diǎn)的距離）（4） 到定點(diǎn)與定直線距離相等?！咀兪?】: 1:已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個(gè)圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。解：設(shè)動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌

7、跡方程為2:一動圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓 C：橢圓 D：雙曲線一支【解答】令動圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。二：用直譯法求曲線軌跡方程此類問題重在查找數(shù)量關(guān)系。例2： 一條線段AB的長等于2a,兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程？解 設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為 由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中，OM=M點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓周.【點(diǎn)評】此題中找到了OM=這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在。一般直譯法有下列幾種狀況：1）代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動點(diǎn)的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系

8、明顯給出，則接受直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡。2）列出符合題設(shè)條件的等式：有時(shí)題中無坐標(biāo)系，需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系，再依據(jù)題設(shè)條件列出等式，得出其軌跡方程。3）運(yùn)用有關(guān)公式：有時(shí)要運(yùn)用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動點(diǎn)坐標(biāo)，并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程。4）借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時(shí)動點(diǎn)規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時(shí)可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等，從而分析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定理的方法是求動點(diǎn)軌跡的重要方法.【變式2】: 動點(diǎn)P（x,y）到兩定點(diǎn)A（3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點(diǎn)P的軌跡方程？【解答

9、】|PA|=代入得化簡得（x5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.三：用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最終消參，化為一般方程。留意參數(shù)的取值范圍。例3過點(diǎn)P（2，4）作兩條相互垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程?！窘馕觥糠治?：從運(yùn)動的角度觀看發(fā)覺，點(diǎn)M的運(yùn)動是由直線l1引發(fā)的，可設(shè)出l1的斜率k作為參數(shù)，建立動點(diǎn)M坐標(biāo)（x，y）滿足的參數(shù)方程。解法1：設(shè)M（x，y），設(shè)直線l1的方程為y4k（x2），（k） M為AB的中點(diǎn)， 消去k，得x2y50。 另外，當(dāng)k0時(shí)，AB中點(diǎn)為M（1

10、，2），滿足上述軌跡方程； 當(dāng)k不存在時(shí)，AB中點(diǎn)為M（1，2），也滿足上述軌跡方程。 綜上所述，M的軌跡方程為x2y50。 分析2：解法1中在利用k1k21時(shí)，需留意k1、k2是否存在，故而分情形爭辯，能否避開爭辯呢？只需利用PAB為直角三角形的幾何特性： 解法2：設(shè)M（x，y），連結(jié)MP，則A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB為直角三角形 化簡，得x2y50，此即M的軌跡方程。分析3：設(shè)M（x，y），由已知l1l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k21，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用M點(diǎn)坐標(biāo)表示A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)。事實(shí)上，由M為AB的中點(diǎn)，易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。解法3：設(shè)

11、M（x，y），M為AB中點(diǎn)，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2過點(diǎn)P（2，4），且l1l2 PAPB，從而kPA·kPB1， 留意到l1x軸時(shí)，l2y軸，此時(shí)A（2，0），B（0，4） 中點(diǎn)M（1，2），經(jīng)檢驗(yàn)，它也滿足方程x2y50 綜上可知，點(diǎn)M的軌跡方程為x2y50?！军c(diǎn)評】1） 解法1用了參數(shù)法，消參時(shí)應(yīng)留意取值范圍。解法2，3為直譯法，運(yùn)用了kPA·kPB1，這些等量關(guān)系。用參數(shù)法求解時(shí)，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時(shí)間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)等。也可以沒有具體的意義，選定參變量還要特殊留意它的取值

12、范圍對動點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響【變式3】過圓O：x2 +y2= 4 外一點(diǎn)A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點(diǎn)M的軌跡。 解法一：“幾何法” 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,由于點(diǎn)M 是弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)MBC, 所以|OM | | ， 即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16 化簡得：（x2）2+ y2 =4. 由方程 與方程x2 +y2= 4得兩圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以點(diǎn)M的軌跡方程為 （x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。解法二：“參數(shù)法” 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y

13、2）直線AB的方程為y=k(x4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0.(*),由點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，所以x=.(1) , 又OMBC，所以k=.(2)由方程（1）（2）消去k得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0得k2 ,所以x1.所以點(diǎn)M的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程 例4. 軌跡方程。 分析：題中涉及了三個(gè)點(diǎn)A、B、M，其中A為定點(diǎn)，而B、M為動點(diǎn)，且點(diǎn)B的運(yùn)動是有規(guī)律的，明顯M的運(yùn)動是由B的運(yùn)動而引發(fā)的，可見M、B為相關(guān)點(diǎn)，故接受相

14、關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)M的軌跡方程。 【解析】設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0） 則由M為線段AB中點(diǎn)，可得 即點(diǎn)B坐標(biāo)可表為（2x2a，2y） 【點(diǎn)評】代入法的關(guān)鍵在于找到動點(diǎn)和其相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)間的等量關(guān)系【變式4】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動點(diǎn)，且滿足APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程 【解析】： 設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR| 又由于R是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y

15、2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動 設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，由于R是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程 【備選題】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（I）若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：由條件知，設(shè)，解法一：（I）設(shè)，則則，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即又由于兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式

16、相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程所以點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是由于是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以 由得當(dāng)時(shí)，由得，將其代入有整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，以上同解法一的（II）1.錯(cuò)誤診斷【

17、例題5】中，B，C 坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為16，求點(diǎn)A的軌跡方程?！境Ｒ婂e(cuò)誤】由題意可知，|AB|+|AC|=10，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則由定義可知，則，得軌跡方程為【錯(cuò)因剖析】ABC為三角形，故A，B，C不能三點(diǎn)共線?！菊_解答】ABC為三角形，故A，B，C不能三點(diǎn)共線。軌跡方程里應(yīng)除去點(diǎn)，即軌跡方程為2.誤區(qū)警示1：在求軌跡方程中易出錯(cuò)的是對軌跡純粹性及完備性的忽視，因此，在求出曲線方程的方程之后，應(yīng)認(rèn)真檢查有無“不法分子”摻雜其中，將其剔除；另一方面，又要留意有無“漏網(wǎng)之魚”仍逍遙法外，要將其“捉拿歸案”。2：求軌跡時(shí)方法選擇尤為重要，首先應(yīng)留意定義

18、法，幾何法，直接法等方法的選擇。3：求出軌跡后，一般畫出所求軌跡，這樣更易于檢查是否有不合題意的部分或漏掉的部分?！菊n外作業(yè)】【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1:已知兩點(diǎn)給出下列曲線方程：；，在曲線上存在點(diǎn)P滿足的全部曲線方程是（ ）A B C D 【答案】:D【解答】: 要使得曲線上存在點(diǎn)P滿足,即要使得曲線與MN的中垂線有交點(diǎn).把直線方程分別與四個(gè)曲線方程聯(lián)立求解,只有無解,則選D2.兩條直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是 .【解答】:直接消去參數(shù)即得(交軌法):3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點(diǎn)O作圓的弦0A，則弦的中點(diǎn)M的軌跡方程是 .【解答】:令M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,則A的坐標(biāo)為(2,代入圓的方程里面得:

19、4:當(dāng)參數(shù)m任憑變化時(shí)，則拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方程為_。【分析】：把所求軌跡上的動點(diǎn)坐標(biāo)x，y分別用已有的參數(shù)m來表示，然后消去參數(shù)m，便可得到動點(diǎn)的軌跡方程。【解答】：拋物線方程可化為它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為消去參數(shù)m得：故所求動點(diǎn)的軌跡方程為。5:點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程為_?！痉治觥浚狐c(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，意味著點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可寫出點(diǎn)M的軌跡方程。【解答】：依題意，點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。則點(diǎn)M的軌跡是以F（4，0）為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點(diǎn)距離的比為1：2的點(diǎn)的軌跡方程為_【分析】:設(shè)動點(diǎn)為P，由題意，則依照點(diǎn)P在運(yùn)動中所遵循的條件，可列出等量關(guān)系式?！窘獯稹浚涸O(shè)是所求軌跡上一點(diǎn)，依題意得由兩點(diǎn)間距離公式得：化簡得：7拋物線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，動點(diǎn)C在拋物線