導數(shù)的基本公式與運算法則(高階求導)

1、高階導數(shù)1、顯函數(shù)的高階導數(shù)（2-n階）2、隱函數(shù)和參數(shù)方程的2階導數(shù)一、顯函數(shù)高階導數(shù)的定義定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導數(shù)處的二階導數(shù)在點在點為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導處可導在點在點的導數(shù)的導數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 記作記作( ),fxy記作記作階導數(shù)階導數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導數(shù)的導數(shù)稱為階導數(shù)的導數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù), 二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上

2、的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)高階導數(shù).)(;)(,稱為一階導數(shù)稱為一階導數(shù)稱為零階導數(shù)稱為零階導數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf( )yf x( )yfx( )( )yfxfxd d()ddyxx2222( ).d yd f xdxdx或或二、 高階導數(shù)求法舉例例例).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0

3、. 2 211( )uu 222211 (1)()1(1)xxx 2 222 22 422(1) ( 2 ) 2(1) 2()(1)(1)xxxxxxx 422 22 42642()(1)(1)xxxxx222 22 42(22)(31 )()(1)(1)xxxxx例例.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 求求n階導數(shù)時階導數(shù)時,求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析

4、結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導數(shù)階導數(shù).(數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法)注意注意: :,3xaeay 例例. . 設(shè)求解解: :特別有:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(4)43 2(1)yx 32 1(1)yx 例例.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xy 112)1(1xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn211()(1)1(1)xxx2231 (1) (1)2(1)xxx 3)1(! 2xy 33422(1) (1)2 3(1)xxx 4)4()1(! 3xy 例例.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos

5、)2sin( x)22sin( x)22sin( xcosyx)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得(4)sinyxsinyx )2cos( xy)22cos( xycossin()22. 高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則:則則階導數(shù)階導數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu 3.vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 例例 設(shè),3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x

6、,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x階數(shù)1)( !nxfn2. (填空題) 已知 )(xf任意階可導, 且2n時)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf則當 )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf隱函數(shù)和參數(shù)方程的2階導數(shù)例例設(shè) 0922 xyy, 求 22ddyx解解：兩邊對x求導 ddyyxyx( )

7、( )y xy xx,有22d()dyyxyx2()(1)()y yxy yyx21()xyyx221()()xyyxyxyx32)()(1xyxyxy ddyyxyxdd2220ddyyyyxxx分析：例例解解33440(1)xyxyy y011;4xyy222312212()40 xyxyyyy y011.16xyy .)1 , 0(, 144處的值在點求設(shè)yyxyx 求導得方程兩邊對 x 得代入1,0=yx求導得兩邊再對將方程x)1(代入0,1,xy0114xyy得dtdxdtdydxdy,)()(中在方程tytx)()(tt)(22dxdydxddxyddxdtttdtd)()()()()()()(2ttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即若上述參數(shù)方程中)(, )(tt二階可導,且,0)( t則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導數(shù) .)(1t例例 求由 所確定的函數(shù)y(x)的二階導數(shù) ,1221tytxxydd;1t22ddxy31