第2章信號的采樣與重建

1、1第第2 2章章 信號的采樣與重建信號的采樣與重建 第第1 1章中我們討論了離散時間信號，然而工程和現(xiàn)實章中我們討論了離散時間信號，然而工程和現(xiàn)實生活中大部分信號為模擬信號。生活中大部分信號為模擬信號。如何對模擬信號進(jìn)行數(shù)字如何對模擬信號進(jìn)行數(shù)字處理？處理？本章主要討論模擬信號的采樣與重建，并引出采樣本章主要討論模擬信號的采樣與重建，并引出采樣定理、奈奎斯特采樣頻率的概念；對用到的模擬低通濾波定理、奈奎斯特采樣頻率的概念；對用到的模擬低通濾波器的特性指標(biāo)進(jìn)行了分析；并介紹了欠采樣和采樣率轉(zhuǎn)換器的特性指標(biāo)進(jìn)行了分析；并介紹了欠采樣和采樣率轉(zhuǎn)換技術(shù)。技術(shù)。2.1 2.1 數(shù)字信號處理系統(tǒng)的模擬接口

2、數(shù)字信號處理系統(tǒng)的模擬接口 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理：用數(shù)字序列表示信號，通過數(shù)字計算：用數(shù)字序列表示信號，通過數(shù)字計算機去處理這些序列。機去處理這些序列。 要對自然方式產(chǎn)生的模擬信號進(jìn)行數(shù)字處理，則可按要對自然方式產(chǎn)生的模擬信號進(jìn)行數(shù)字處理，則可按照以下方法進(jìn)行。照以下方法進(jìn)行。模擬信號數(shù)模擬信號數(shù)字化（字化（A/D)A/D)數(shù)字信號數(shù)字信號處理處理處理后的數(shù)字信號處理后的數(shù)字信號模擬化（模擬化（D/AD/A）具體過程如圖具體過程如圖2.12.1所示。所示。2圖2.1 數(shù)字信號處理系統(tǒng)的框圖A / D變換器通用或?qū)Ｓ糜嬎銠C采樣保持器D/ A變換器平 滑濾 波器模擬信號模 擬信號連續(xù)時間信號連

3、續(xù)時間信號數(shù) 字信號抗混疊濾波器 模擬信號的采樣與保持。模擬信號的采樣與保持。所謂所謂采樣采樣是從模擬信號中是從模擬信號中“抽取抽取”信號的離散樣值，最常用的采樣方法是等間隔采信號的離散樣值，最常用的采樣方法是等間隔采樣，即每隔一個固定的時間樣，即每隔一個固定的時間T采一個信號樣值，采一個信號樣值，T稱為采稱為采樣周期樣周期。采樣保持器按照設(shè)定的采樣周期對信號進(jìn)行采樣，。采樣保持器按照設(shè)定的采樣周期對信號進(jìn)行采樣，并將采樣得到的瞬時幅值并將采樣得到的瞬時幅值保持保持至下一采樣時刻。至下一采樣時刻。理想采樣理想采樣保持器輸出的是一階梯狀的波形，階梯前沿的幅值與此刻保持器輸出的是一階梯狀的波形，階

4、梯前沿的幅值與此刻的模擬信號保持一致，階梯的寬度就是采樣周期的模擬信號保持一致，階梯的寬度就是采樣周期T見圖見圖2.2。采樣保持器輸出的是連續(xù)時間信號。但實際應(yīng)用中采樣保采樣保持器輸出的是連續(xù)時間信號。但實際應(yīng)用中采樣保持器總存在一定的偏差。持器總存在一定的偏差。3 A/D A/D轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換-量化：量化：用二進(jìn)制數(shù)碼對應(yīng)的電平替代采樣電用二進(jìn)制數(shù)碼對應(yīng)的電平替代采樣電平值，圖平值，圖2.22.2中的小圓點處的幅度稱為中的小圓點處的幅度稱為量化電平。量化電平。 A/D A/D轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換-數(shù)字化（編碼）：數(shù)字化（編碼）：將量化后的電平用將量化后的電平用二進(jìn)制二進(jìn)制數(shù)碼數(shù)碼表示。表示。 模擬信號的數(shù)字化

5、工程上通常用模擬信號的數(shù)字化工程上通常用A/DA/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器來實現(xiàn)。來實現(xiàn)。 由由于于A/DA/D轉(zhuǎn)換器采用有限的二進(jìn)制位，所以表示的信號幅度也轉(zhuǎn)換器采用有限的二進(jìn)制位，所以表示的信號幅度也是有限的，若用是有限的，若用b b位二進(jìn)制數(shù)碼位二進(jìn)制數(shù)碼表示，則只能表示表示，則只能表示2 2b b個電平個電平（量化電平量化電平），所以），所以量化電平和模擬信號相比存在一定的誤量化電平和模擬信號相比存在一定的誤差，差，誤差的大小和誤差的大小和A/DA/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)有關(guān)。轉(zhuǎn)換器的位數(shù)有關(guān)。 A/D A/D轉(zhuǎn)換器將采轉(zhuǎn)換器將采樣保持器的輸出信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，樣保持器的輸出信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，A/D

6、A/D轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換時轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換時間應(yīng)小于采樣周期間應(yīng)小于采樣周期T T。A/DA/D轉(zhuǎn)換后的信號是一串?dāng)?shù)字，不但在轉(zhuǎn)換后的信號是一串?dāng)?shù)字，不但在時間上進(jìn)行了離散化，在幅度上也進(jìn)行了量化，這種信號稱時間上進(jìn)行了離散化，在幅度上也進(jìn)行了量化，這種信號稱為為數(shù)字信號數(shù)字信號。4模擬信號數(shù)字化模擬信號數(shù)字化: :采樣、量化、編碼。采樣、量化、編碼。圖2.2 模擬信號的數(shù)字化數(shù)字信號數(shù)字信號數(shù)碼量化電平模擬信號模擬信號采樣保持信號采樣保持信號量化電平量化電平0.380.380.630.630.810.810.890.890. 900. 900.870.870.750.750.610.610.360.3

7、60.240.240.140.145 為了便于進(jìn)一步討論連續(xù)時間信號的采樣與重建的基本條為了便于進(jìn)一步討論連續(xù)時間信號的采樣與重建的基本條件，對圖件，對圖2.12.1進(jìn)行一定的簡化，見圖進(jìn)行一定的簡化，見圖2.4.2.4.理想采樣器理想采樣器通用或?qū)Ｓ猛ㄓ没驅(qū)Ｓ糜嬎銠C計算機理想內(nèi)插器理想內(nèi)插器xa(t)x(n)y(n)ya(t)圖圖2.4 2.4 圖圖2.12.1的簡化表示的簡化表示 數(shù)字?jǐn)?shù)字/ /模擬轉(zhuǎn)換與平滑濾波。模擬轉(zhuǎn)換與平滑濾波。工程上用工程上用D/AD/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器實現(xiàn)從實現(xiàn)從數(shù)字信號到模擬信號的轉(zhuǎn)換。數(shù)字信號到模擬信號的轉(zhuǎn)換。 D/AD/A轉(zhuǎn)換器的輸出信號類似與轉(zhuǎn)換器的輸出信號類

8、似與采樣保持信號，是一階梯狀的連續(xù)時間信號。采樣保持信號，是一階梯狀的連續(xù)時間信號。D/AD/A轉(zhuǎn)換器每轉(zhuǎn)換器每得到一個數(shù)字就建立一個新的量化電平，并通過零階保持在得到一個數(shù)字就建立一個新的量化電平，并通過零階保持在T T時間段內(nèi)保持此電平直至下一個數(shù)字到達(dá)時間段內(nèi)保持此電平直至下一個數(shù)字到達(dá)，如此不斷重復(fù)，如此不斷重復(fù)，形成一個階梯狀的連續(xù)時間信號。形成一個階梯狀的連續(xù)時間信號。該信號與原模擬信號的頻該信號與原模擬信號的頻譜并不相同譜并不相同，只有通過，只有通過平滑濾波器平滑濾波器濾除高頻分量，才能得到濾除高頻分量，才能得到平滑的模擬信號。如圖平滑的模擬信號。如圖2.32.3所示。所示。6數(shù)

9、字信號轉(zhuǎn)化成模擬信號數(shù)字信號數(shù)字信號數(shù)碼量化電平D/A輸出信號模擬信號模擬信號圖2.3數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為模擬信號數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為模擬信號：D/AD/A轉(zhuǎn)換、平滑濾波轉(zhuǎn)換、平滑濾波72.2 2.2 模擬信號的采樣與重建模擬信號的采樣與重建 對于信號的采樣與重建我們首先關(guān)心的是模擬信號經(jīng)對于信號的采樣與重建我們首先關(guān)心的是模擬信號經(jīng)采樣后是否能保持原有的信息；其次，由數(shù)字信號恢復(fù)模采樣后是否能保持原有的信息；其次，由數(shù)字信號恢復(fù)模擬信號應(yīng)該具備哪些條件？擬信號應(yīng)該具備哪些條件？ 要清楚這些問題我們先來討論要清楚這些問題我們先來討論采樣的過程采樣的過程。對于等間隔。對于等間隔采樣，設(shè)其采樣周期為采樣，設(shè)其

10、采樣周期為T T，則其采樣頻率為，則其采樣頻率為fs=1/T,對應(yīng)的角對應(yīng)的角頻率為頻率為2 /2ssTf 。采樣可以用圖采樣可以用圖2.5(2.5(a) )所示的電子開關(guān)來實現(xiàn)。所示的電子開關(guān)來實現(xiàn)。( )pxt)(txaT12圖圖2.5(2.5(a) ) 電子開關(guān)示意圖電子開關(guān)示意圖開關(guān)每隔開關(guān)每隔T秒短暫地閉合一次，若秒短暫地閉合一次，若閉合時間為閉合時間為 秒，則采樣器的輸秒，則采樣器的輸出是一串重復(fù)周期為出是一串重復(fù)周期為T，寬度為，寬度為 的脈沖，脈沖的幅度是這段時間的脈沖，脈沖的幅度是這段時間內(nèi)信號的幅度，這種取樣稱為內(nèi)信號的幅度，這種取樣稱為脈脈沖取樣或自然取樣。沖取樣或自然取

11、樣。8這一采樣過程可看作是一個脈沖調(diào)幅過程這一采樣過程可看作是一個脈沖調(diào)幅過程，脈沖載波是一串，脈沖載波是一串周期為周期為T、寬度為、寬度為的矩形脈沖，以的矩形脈沖，以p(t)表示表示, ,見圖見圖2.5(2.5(b););調(diào)制信調(diào)制信號是輸入的連續(xù)信號號是輸入的連續(xù)信號xa(t), ,則采樣輸出為則采樣輸出為 ： ( )( ) ( )aaxtxt p t)(txa ( )ax t)(tp圖圖2.5(c) 2.5(c) 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型T)(tpt圖圖2.5(b) 2.5(b) 調(diào)制脈沖調(diào)制脈沖 一般一般很小很小, 越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸入信號在越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸入信號

12、在離散時間點上的瞬時值（采樣信號圖形如圖離散時間點上的瞬時值（采樣信號圖形如圖2.6(a)所示）。所示）。此過程可用圖此過程可用圖2.5(c)所示的數(shù)學(xué)模型表示。所示的數(shù)學(xué)模型表示。9 ( )( )( )aax tx t M t()( ) ()()aannx nTxnTnTttt 若開關(guān)閉合時間若開關(guān)閉合時間0時，時，p(t)則可認(rèn)為是周期性的沖激函數(shù)則可認(rèn)為是周期性的沖激函數(shù)，我們用，我們用M(t)表示這個周期沖激函數(shù)表示這個周期沖激函數(shù), ,見圖見圖2.5(d)2.5(d)。nnTttM)()(t)(tM0圖圖2.5(d) M(t) 這種采樣這種采樣可看作是對周期沖激函數(shù)的調(diào)幅過程，稱之可

13、看作是對周期沖激函數(shù)的調(diào)幅過程，稱之為為沖激采樣或理想采樣沖激采樣或理想采樣。則采樣后的輸出信號則采樣后的輸出信號為為理想采樣的時間波形圖見圖理想采樣的時間波形圖見圖2.6(b)所示。所示。10t)(txa0t)(txa0t)(tp0t)( txa0t)(tM0t)( txa0(a)脈沖采樣脈沖采樣(b)理想采樣理想采樣0圖圖2.6 采樣信號圖形采樣信號圖形 ( )( ) ( )aaxtxt p t ( )( )( )aax tx t M t11采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜)()()()(jXtxjXtxaaaa對于理想采樣采樣信號與連續(xù)時間信號有如下關(guān)系，對于理想采樣采樣信號與連續(xù)時間信號有

14、如下關(guān)系，)()()(tMtxtxaa對上式兩邊同時進(jìn)行傅里葉變換得：對上式兩邊同時進(jìn)行傅里葉變換得：dtetMtxjXtjaa)()()(其中：其中：M(t)是周期為是周期為Ts的周期脈沖信號，因此，可將其展的周期脈沖信號，因此，可將其展開成傅里葉級數(shù)：開成傅里葉級數(shù)：mmtjmmseanTttM)()(12sssfT22221( )sssTjmtmTsMt edtTa22221(1( )1)ssssssTjmtTnsTjmtTsstnT edtTt eTdtT其中：mtjmsmtjmmsseTeatM1)(dtetMtxjXtjaa)()()( ()()11( )( )asssjmtjmt

15、j taamjMsXmsx teedtx t edtTT 13)(1)(smasamjXTjX 所以，理想采樣信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓所以，理想采樣信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓, ,重復(fù)周期為重復(fù)周期為 s s( (采樣頻率采樣頻率) )，即，即采樣信號的頻譜是以采樣信號的頻譜是以 s為周期為周期的連續(xù)信號。的連續(xù)信號。圖圖2.7 2.7 頻譜周期延拓頻譜周期延拓sm21若若xa(t)是實帶限信是實帶限信號，且：號，且： 則采樣信號的頻譜如則采樣信號的頻譜如圖圖2.7所示。所示。)( jXa0s2s3sm1)(jXa0s2s3sm1/Ts1()()2SaasXjXjT 14sm

16、21若若xa(t)是實帶限信號，但是實帶限信號，但 則采樣信號的頻譜如圖則采樣信號的頻譜如圖2.82.8所示，此時頻譜產(chǎn)生了所示，此時頻譜產(chǎn)生了混疊。混疊。)(jXa0s2s3s圖圖2.8 2.8 頻譜混疊頻譜混疊 通常，將采樣頻率的一半通常，將采樣頻率的一半 稱為稱為折疊頻率折疊頻率，當(dāng)信號，當(dāng)信號的最高頻率的最高頻率(m)低于折疊頻率時低于折疊頻率時，采樣信號的頻譜不發(fā)生混疊采樣信號的頻譜不發(fā)生混疊，因此可將采樣信號通過低通濾波器濾出基帶頻譜，恢復(fù)出原因此可將采樣信號通過低通濾波器濾出基帶頻譜，恢復(fù)出原信號；而當(dāng)信號的最高頻率大于折疊頻率時，信號；而當(dāng)信號的最高頻率大于折疊頻率時，信號就被

17、反折回信號就被反折回來，造成頻譜的混疊，來，造成頻譜的混疊，一般就不可能無失真地濾出基帶頻譜。一般就不可能無失真地濾出基帶頻譜。/2s)( jXa0s2s3sm115 工程上為了防止頻譜的混疊，在采樣之前要加一工程上為了防止頻譜的混疊，在采樣之前要加一抗混疊濾波器抗混疊濾波器使得信號的最高頻率小于采樣頻率的一使得信號的最高頻率小于采樣頻率的一半。教材半。教材p51p51表表2.12.1列出了一些典型信號的上限頻率和列出了一些典型信號的上限頻率和采樣頻率。采樣頻率。 一般將能夠恢復(fù)出原始信號的最低采樣頻率（一般將能夠恢復(fù)出原始信號的最低采樣頻率（ ），稱為，稱為奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)

18、(Nyquist)采樣頻率。采樣頻率。2m 下面我們討論從離散信號中下面我們討論從離散信號中恢復(fù)出連續(xù)時間信恢復(fù)出連續(xù)時間信號號的相關(guān)問題。的相關(guān)問題。16如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號最高頻率譜不超如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號最高頻率譜不超過折疊頻率過折疊頻率: 則理想采樣的頻譜就不會產(chǎn)生混疊，因此有則理想采樣的頻譜就不會產(chǎn)生混疊，因此有 將采樣信號通過一個理想低通濾波器（將采樣信號通過一個理想低通濾波器（特性如圖特性如圖2.9(a)2.9(a)所所示濾波器的示濾波器的帶寬等于帶寬等于 c c),),則可恢復(fù)出原連續(xù)時間信號。則可恢復(fù)出原連續(xù)時間信號。()2()02ssaasT

19、 XjXj 1()()aasmsXjXjjmT 1()()2saasXjXjT 理想低通濾波器理想低通濾波器()aXj()Y j()H j17若低通濾波器的頻率響應(yīng)為若低通濾波器的頻率響應(yīng)為:則采樣信號通過濾波器后所得輸出信號為：則采樣信號通過濾波器后所得輸出信號為：圖圖2.9(a) 低通濾波器的系統(tǒng)特性低通濾波器的系統(tǒng)特性()0cscTH j mcsm 當(dāng)：當(dāng)：)(jXa0s2s3smc1/TSTS0 c H(j )Ts- c()()()aY jXjH j 1()()()()()0aSacsacXjTXjTY jXjH j 18實際上，理想低通濾波器是不可能實現(xiàn)的，但在滿足一定實際上，理想低

20、通濾波器是不可能實現(xiàn)的，但在滿足一定精度的情況下，總可用一個可實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)去逼近。精度的情況下，總可用一個可實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)去逼近。下面下面從時域討論從時域討論采樣信號采樣信號 通過理想低通濾波器通過理想低通濾波器 H(j )的響應(yīng)過程。的響應(yīng)過程。)(txa221( )()22ssj tj tsTh tH jededtTtTttsssin22sin采樣信號經(jīng)理想低通后的輸出采樣信號經(jīng)理想低通后的輸出(如圖如圖2.9(b)所示）為所示）為: h(t)()()()aY jXjH j H(j )(jXa圖圖2.9(b) 2.9(b) 信號信號恢復(fù)的原理圖恢復(fù)的原理圖 ( )ax t( )( ) *( )ay

21、txth t理想低通理想低通H(j )的沖激響應(yīng)為的沖激響應(yīng)為 19( ) ()(ananxnT h tnTxh tnT d ( ) ()( ) ()( )naaaxh tdxnhtTtdx 即： 這里，這里， 如下式所示，稱為如下式所示，稱為內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù),其特點是：在其特點是：在采樣點采樣點nTs上，函數(shù)值為上，函數(shù)值為1，其余采樣點上，值為零（見圖，其余采樣點上，值為零（見圖2.102.10）。）。()h tnT內(nèi)插公式表明：內(nèi)插公式表明：連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 可以由它的采樣值可以由它的采樣值 來來表示，它等于表示，它等于 乘上對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和乘上對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和，如圖，如圖2.1

22、02.10所示。所示。)(txa)(nTxa)(nTxa( )( )( )* ( )aax ty tx th tsin()()()tnTTh tnTtnTT20圖圖2.10 2.10 采樣內(nèi)插恢復(fù)采樣內(nèi)插恢復(fù) 在每一個采樣點上，由于只有該采樣值對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)在每一個采樣點上，由于只有該采樣值對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)為為1 1，其他采樣點處的內(nèi)插函數(shù)值為零，所以保證了各采樣點，其他采樣點處的內(nèi)插函數(shù)值為零，所以保證了各采樣點上信號值不變，而采樣之間的信號則由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的上信號值不變，而采樣之間的信號則由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸迭加而成。波形延伸迭加而成。 內(nèi)插公式的意義內(nèi)插公式的意義: : 證明了

23、證明了只要滿足采樣頻率高于信號最高頻譜的只要滿足采樣頻率高于信號最高頻譜的兩倍兩倍，整，整個連續(xù)信號就可以用它的采樣值完全代表，而不損失任何信個連續(xù)信號就可以用它的采樣值完全代表，而不損失任何信息息奈奎斯特定律。奈奎斯特定律。21( )6cos(60)3sin(300)2cos(340)4cos(500)10sin(660)av tttttt 例例2.12.1 對一個模擬信號對一個模擬信號 進(jìn)行等間隔采樣，采樣頻率進(jìn)行等間隔采樣，采樣頻率為為200Hz200Hz，得到離散時間信號，得到離散時間信號 。 由頻率為由頻率為30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz30Hz,150Hz

24、,170Hz,250Hz,330Hz的的5 5個正弦信號的加權(quán)和構(gòu)成個正弦信號的加權(quán)和構(gòu)成, , 分析采樣后信號的混疊效應(yīng)。分析采樣后信號的混疊效應(yīng)。 ( )av t( )v n( )av t200H ,/,sssfzTf 解：因為所以， 所以采樣后的離散時間信號為( )6cos(0.3)3sin(1.5)2cos(1.7)4cos(2.5) 10sin3.3)6cos(0.3)3sin(20.5 ) 2cos(20.3 ) 4cos(20.5 ) 10sin(40.7 ) 6cos(0.3)3sin(0.5)2cos(0.3)4cos(0.5) 10sin(v nnnnnnnnnnnnnnn

25、0.7)8cos(0.3)5cos(0.50.6435) 10sin(0.7)nnnn22( )8cos(0.3)5cos(0.50.6435) 10sin(0.7)v nnnn( )aw t 由此可見，該采樣信號只包含三個頻率成分，產(chǎn)生了頻由此可見，該采樣信號只包含三個頻率成分，產(chǎn)生了頻譜混疊譜混疊( (由于采樣頻率由于采樣頻率200Hz200Hz小于信號包含的頻率小于信號包含的頻率150Hz,170Hz,250Hz,330Hz150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的兩倍，因此采樣中這些頻率均的兩倍，因此采樣中這些頻率均會產(chǎn)生折疊）；與頻率為會產(chǎn)生折疊）；與頻率為30Hz,50Hz,

26、70Hz30Hz,50Hz,70Hz的三個連續(xù)時間正的三個連續(xù)時間正弦信號的加權(quán)和構(gòu)成模擬信號弦信號的加權(quán)和構(gòu)成模擬信號 按按200Hz200Hz的采樣頻率進(jìn)行的采樣頻率進(jìn)行等間隔采樣產(chǎn)生的離散時間信號具有相同的形式。等間隔采樣產(chǎn)生的離散時間信號具有相同的形式。( )8cos(60)5cos(1000.6435) 10sin(140)aw tttt232.32.3* * 采樣與重建中的模擬低通濾波器指標(biāo)特性采樣與重建中的模擬低通濾波器指標(biāo)特性2.3.1 2.3.1 濾波器的幅頻特性濾波器的幅頻特性 一般說來，一般說來，理想理想濾波器可分為四種，濾波器的幅頻特性是濾波器可分為四種，濾波器的幅頻特

27、性是分段函數(shù)，如圖分段函數(shù)，如圖2.11(a)2.11(a)(d)(d)所示；所示；()LPHj01(a)cc()HPHj01(b)cc()BPHj01(c)1c2c2c1c()BSHj01(d)1c2c1c2c圖圖2.11 四種類型的理想模擬濾波器四種類型的理想模擬濾波器24圖圖 2.12(e) 低通濾波器的幅頻特性低通濾波器的幅頻特性10通帶過渡帶阻帶cr211()H j但實際的濾波器其幅頻特性并不是銳截止的通帶和阻帶但實際的濾波器其幅頻特性并不是銳截止的通帶和阻帶兩個范圍兩個范圍，兩者之間有一個過渡帶，兩者之間有一個過渡帶，如圖如圖2.12(e)2.12(e)所示；在所示；在通帶內(nèi)幅度響

28、應(yīng)以誤差通帶內(nèi)幅度響應(yīng)以誤差 逼近于逼近于1 1，在阻帶內(nèi)幅度響應(yīng)以誤，在阻帶內(nèi)幅度響應(yīng)以誤差差 逼近于逼近于0.0.12121()1()crH jH j 其中其中c、r分別稱為通帶通帶邊界頻率和邊界頻率和阻帶邊界頻率阻帶邊界頻率, ,rcrc 并且為過渡帶。25在具體技術(shù)指標(biāo)中通常用通帶波動通帶波動和最小阻帶衰減最小阻帶衰減t來表示：1max1min2max220lg(1)20()120lg20lg()11120lg20lg)lg(crH jH jHtjA 通帶內(nèi)max()1H j阻帶內(nèi)2max()H j262.3.2 2.3.2 抗混疊濾波器的指標(biāo)特性抗混疊濾波器的指標(biāo)特性 根據(jù)采樣定理，

29、若模擬信號根據(jù)采樣定理，若模擬信號xa(t)是實帶限信號，并且最是實帶限信號，并且最高頻率分量高頻率分量c不超過不超過s/2，用，用s的采樣頻率采樣后的信號的采樣頻率采樣后的信號x(n)可以不失真的重建原有的連續(xù)信號。如果上述條件得不可以不失真的重建原有的連續(xù)信號。如果上述條件得不到滿足，在采樣過程中就會產(chǎn)生混疊，模擬信號到滿足，在采樣過程中就會產(chǎn)生混疊，模擬信號xa(t)就不能就不能被重建。對于這種情況，在實際應(yīng)用中就在采樣之前加一抗被重建。對于這種情況，在實際應(yīng)用中就在采樣之前加一抗混疊濾波器首先對模擬信號進(jìn)行濾波。混疊濾波器首先對模擬信號進(jìn)行濾波。理想模擬抗混疊濾波器應(yīng)當(dāng)滿足：理想模擬抗

30、混疊濾波器應(yīng)當(dāng)滿足：1/2()0/2ssH j 這是一個理想低通濾波器，實際應(yīng)用中是無法實現(xiàn)這是一個理想低通濾波器，實際應(yīng)用中是無法實現(xiàn)的。通常是設(shè)計一低通濾波器逼近這個理想濾波器，在的。通常是設(shè)計一低通濾波器逼近這個理想濾波器，在1/2.13ccs 時逼近 ，而在和之間設(shè)一過渡帶，見圖2(a)。2701()H j/2sc01()H j/2scsc (a)(b)圖圖2.13 2.13 抗混疊濾波器的指標(biāo)分配抗混疊濾波器的指標(biāo)分配(a)(a)過渡帶無混疊過渡帶無混疊(b)(b)過渡帶增加一倍過渡帶增加一倍/2cs由圖可見，越接近，則過渡帶越窄，對抗混疊濾波器的要求越高。/2.13-scsscsc

31、scs 在一些場合只希望頻率范圍內(nèi)的損耗盡量小，而不介意在至之間產(chǎn)生的混疊失真。這時就可以放寬濾波器的指標(biāo)，將過度帶擴大一倍，將阻帶邊界設(shè)在-處，見圖2 (b)。顯然/2到處的頻率分量將混疊進(jìn)入到/2處，產(chǎn)生失真。28 無論是那種模擬抗混疊濾波器方案，其過渡帶寬均無論是那種模擬抗混疊濾波器方案，其過渡帶寬均與采樣頻率直接相關(guān)。采樣頻率越低，與采樣頻率直接相關(guān)。采樣頻率越低，/2,sc越接近則過渡帶越窄，對抗混疊濾波器的要求越高。 為了降低對模擬抗混疊濾波器的指標(biāo)要求，便于設(shè)為了降低對模擬抗混疊濾波器的指標(biāo)要求，便于設(shè)計和實現(xiàn)抗混疊濾波器，可以采取的方法之一是提高采計和實現(xiàn)抗混疊濾波器，可以采取

32、的方法之一是提高采樣頻率。由圖樣頻率。由圖2.142.14可見，采樣頻率提高后抗混疊濾波器可見，采樣頻率提高后抗混疊濾波器的過渡帶加寬。的過渡帶加寬。ccss()aXj0()sHj抗混疊濾波器()aXjccss0()sHj抗混疊濾波器圖圖2.14 不同采樣率情況下的抗混疊濾波器帶寬變化情況不同采樣率情況下的抗混疊濾波器帶寬變化情況29 一個過渡帶比較平穩(wěn)的模擬濾波器用較少的元器件一個過渡帶比較平穩(wěn)的模擬濾波器用較少的元器件即可實現(xiàn)，即可實現(xiàn)，通常設(shè)計時選擇采樣頻率遠(yuǎn)大于信號最高頻通常設(shè)計時選擇采樣頻率遠(yuǎn)大于信號最高頻率的兩倍率的兩倍。當(dāng)然，采樣頻率選得越高，。當(dāng)然，采樣頻率選得越高，A/DA/

33、D轉(zhuǎn)換器的性能轉(zhuǎn)換器的性能要求也越高，采樣數(shù)據(jù)量增加，系統(tǒng)的運算速率也必須要求也越高，采樣數(shù)據(jù)量增加，系統(tǒng)的運算速率也必須提高，本書的第七章將討論解決這一問題的方案提高，本書的第七章將討論解決這一問題的方案-過采過采樣技術(shù)。樣技術(shù)。2.3.3 2.3.3 平滑濾波器的指標(biāo)特性平滑濾波器的指標(biāo)特性 由前面的討論可知，由前面的討論可知，D/AD/A轉(zhuǎn)換器包含一個零階保持器，轉(zhuǎn)換器包含一個零階保持器，等效于圖等效于圖2.15(a)2.15(a)。D/AD/A轉(zhuǎn)換器每得到一個數(shù)字就建立一個轉(zhuǎn)換器每得到一個數(shù)字就建立一個新的電平，并通過零階保持器在新的電平，并通過零階保持器在T T時間段內(nèi)保持此電平直時

34、間段內(nèi)保持此電平直至下一個數(shù)字到達(dá)，如此不斷重復(fù)，形成一個階梯狀的連至下一個數(shù)字到達(dá)，如此不斷重復(fù)，形成一個階梯狀的連續(xù)時間信號。該信號的頻譜是原模擬信號的頻譜的周期延續(xù)時間信號。該信號的頻譜是原模擬信號的頻譜的周期延拓，只有通過平滑濾波器濾除鏡像高頻分量，才能得到平拓，只有通過平滑濾波器濾除鏡像高頻分量，才能得到平滑的模擬信號。如圖滑的模擬信號。如圖2.32.3所示。所示。平滑濾波器的指標(biāo)要求直平滑濾波器的指標(biāo)要求直接和零階接和零階保持其相關(guān)。保持其相關(guān)。30( )y n()zy t( )zh t(a)tT01( )zh t(b)圖2.15 離散時間系統(tǒng)模型(a) 零階保持器模型(b) 零階

35、保持器的沖激響應(yīng) 理想零階保持器的沖激響應(yīng)等效應(yīng)一矩形脈沖，其寬理想零階保持器的沖激響應(yīng)等效應(yīng)一矩形脈沖，其寬度為度為T T，高度為，高度為1 1，見圖，見圖2.15(b)2.15(b)。正如前面所討論的，。正如前面所討論的，D/AD/A輸入的數(shù)字輸入的數(shù)字y(n)的頻譜是以采樣角頻率的頻譜是以采樣角頻率ss為周期的，在一為周期的，在一個周期中是關(guān)于個周期中是關(guān)于s/2s/2對稱的。通過對稱的。通過D/AD/A轉(zhuǎn)換后，我們只希轉(zhuǎn)換后，我們只希望保留望保留-s/2s/2至至s/2s/2間的頻率分量，濾除其他所有頻率分間的頻率分量，濾除其他所有頻率分量。零階保持器能否做到這一點呢？量。零階保持器能

36、否做到這一點呢？31零階保持器的頻率響應(yīng)為零階保持器的頻率響應(yīng)為0sin(/2)()( )/2Tj tj tj tzzTHjh t edtedte ()zHj2/sk Tk 處， 具有按指數(shù)規(guī)律衰減的特性，并且在具有按指數(shù)規(guī)律衰減的特性，并且在()0,2.16zHj 見圖所示。()zHj0ss2s2s圖圖2.16 零階保持器的頻率響應(yīng)零階保持器的頻率響應(yīng)/2s 盡管對于盡管對于 的頻率分量，的頻率分量， 有一定的衰減，有一定的衰減，但衰減遠(yuǎn)不能滿足要求，但衰減遠(yuǎn)不能滿足要求， 以上的頻率分量仍需進(jìn)一步以上的頻率分量仍需進(jìn)一步濾除。濾除。()zHj/2s4dB32()zHj0ss2s2s圖2.1

37、6 零階保持器的頻率響應(yīng)T4dB/2/2sin(/2)()0/2j TsseTH j 在實際應(yīng)用中只需保留在實際應(yīng)用中只需保留 ( )( )以下的頻率分以下的頻率分量，濾除量，濾除 以上的頻率分量可加一模擬低通濾波器；注以上的頻率分量可加一模擬低通濾波器；注意到意到 在在 處有處有4dB4dB的衰減，的衰減，平滑濾波器應(yīng)當(dāng)逼近平滑濾波器應(yīng)當(dāng)逼近c/2cs /2s()zHj/2s33 對于上述模擬濾波器實現(xiàn)起來有以下兩點困難，對于上述模擬濾波器實現(xiàn)起來有以下兩點困難，(1)(1)帶帶內(nèi)為單調(diào)上升的模擬濾波器，內(nèi)為單調(diào)上升的模擬濾波器，(2)(2)相位超前相位超前 的非因果濾波的非因果濾波器。對于

38、這種頻響特性濾波器采用數(shù)字濾波器實現(xiàn)會更加方器。對于這種頻響特性濾波器采用數(shù)字濾波器實現(xiàn)會更加方便，這一實現(xiàn)方法在學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器時再討論。便，這一實現(xiàn)方法在學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器時再討論。T1/2()0/2ccH j s 實際上只要選擇的采樣頻率實際上只要選擇的采樣頻率 遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于2 2 ，平滑濾波器的，平滑濾波器的頻響特性便可寫成頻響特性便可寫成cc/2s 也就是說，也就是說， 遠(yuǎn)小于遠(yuǎn)小于 時，零階保持器的頻率響應(yīng)時，零階保持器的頻率響應(yīng)可近似地看作是平坦的，而相位超前半個采樣周期的非因可近似地看作是平坦的，而相位超前半個采樣周期的非因果的模擬系統(tǒng)是無法實現(xiàn)的。果的模擬系統(tǒng)是無法實現(xiàn)的。342.

39、42.4* * 連續(xù)時間帶通信號的采樣連續(xù)時間帶通信號的采樣 在在2.22.2節(jié)中，給出了用等間隔采樣產(chǎn)生的離散時間信號節(jié)中，給出了用等間隔采樣產(chǎn)生的離散時間信號表示模擬信號的基本條件，其條件是模擬信號的有效頻率分表示模擬信號的基本條件，其條件是模擬信號的有效頻率分量帶限于直流和量帶限于直流和ss之間，采樣頻率之間，采樣頻率 ，這樣的模擬信，這樣的模擬信號通常稱為號通常稱為低通信號低通信號。2sc 12 10 然而，在很多應(yīng)用中，模擬信號的有效頻率分量是帶現(xiàn)然而，在很多應(yīng)用中，模擬信號的有效頻率分量是帶現(xiàn)在一個更高的頻率范圍在一個更高的頻率范圍 ，其中，其中 。這樣的信號被。這樣的信號被稱為稱

40、為帶通信號帶通信號，通常有低通信號調(diào)制而成。為防止混疊，當(dāng)，通常有低通信號調(diào)制而成。為防止混疊，當(dāng)然可以用高于最高頻率的然可以用高于最高頻率的2倍的采樣信號對這樣的帶通模擬信倍的采樣信號對這樣的帶通模擬信號進(jìn)行采樣，即號進(jìn)行采樣，即 。22s 然而，這種情況下，由于模擬信號的頻譜是帶通的，大量然而，這種情況下，由于模擬信號的頻譜是帶通的，大量的頻率分量是零，采樣所獲得的離散時間信號的頻譜同樣在很的頻率分量是零，采樣所獲得的離散時間信號的頻譜同樣在很寬的頻帶上其頻率分量為零。此外，一般情況下的寬的頻帶上其頻率分量為零。此外，一般情況下的 和和 均較高，采樣頻率就更高，甚至無法實現(xiàn)。均較高，采樣頻

41、率就更高，甚至無法實現(xiàn)。1235 對于上述情況若降低采樣頻率，則采樣后的帶通信號對于上述情況若降低采樣頻率，則采樣后的帶通信號的頻譜會混疊，但由于帶通信號的大量頻率分量為零，如的頻譜會混疊，但由于帶通信號的大量頻率分量為零，如果僅僅與零頻率分量的頻帶產(chǎn)生混疊，帶通信號依然可以果僅僅與零頻率分量的頻帶產(chǎn)生混疊，帶通信號依然可以恢復(fù)重建?；謴?fù)重建。212M 2 令為這個帶通信號的帶寬，首先假設(shè)這個信號的最高頻率分量是帶寬的整數(shù)倍，即 222ssM 選擇合適的采樣頻率來滿足這個條件 s2這里的采樣頻率比奈奎斯特采樣頻率2要低，成為欠采樣。3611()( ()( (2)aasammXjXjmXjmTT

42、 2()()21.17( )( )24aaaasXjXjTx tx tMM 顯然，是以為周期進(jìn)行周期延拓，并對頻譜幅度乘以。條件是每個周期的頻譜分量不重疊。圖2給出了原始的模擬信號的頻譜和采樣和的信號的頻譜，采樣頻率由為給出，其中。根據(jù)采樣定理可得欠采樣信號的頻譜為根據(jù)采樣定理可得欠采樣信號的頻譜為圖圖2.17 帶通信號的欠采樣帶通信號的欠采樣 M=41122 2s()aXj1T0(b) 欠采樣信號的頻譜欠采樣信號的頻譜()aXj1122 10(a)帶通信號的頻譜帶通信號的頻譜37 從圖中可以看出，從圖中可以看出， 經(jīng)過一個理想的通帶經(jīng)過一個理想的通帶為為 ，增益為，增益為T T的帶通濾波器，

43、可恢復(fù)出的帶通濾波器，可恢復(fù)出 。 ( )ax t12 ( )ax t 如果這個信號是低通信號調(diào)制而得，可以將如果這個信號是低通信號調(diào)制而得，可以將 經(jīng)經(jīng)過一個通帶為過一個通帶為 的低通濾波器恢復(fù)出調(diào)制信號的低通濾波器恢復(fù)出調(diào)制信號分量。這種方法常用于數(shù)字無線電接收機中。分量。這種方法常用于數(shù)字無線電接收機中。0 ( )ax t 如果如果 不是不是 的整數(shù)倍，可以人為地向左或向右的整數(shù)倍，可以人為地向左或向右擴展帶寬，使得帶通信號的最高頻率是擴展帶寬的整數(shù)倍。擴展帶寬，使得帶通信號的最高頻率是擴展帶寬的整數(shù)倍。例如，把帶寬向左擴展，并假設(shè)帶通信號的最低頻率為例如，把帶寬向左擴展，并假設(shè)帶通信號

44、的最低頻率為 ，選擇選擇 使其滿足使其滿足 是擴展帶寬是擴展帶寬 的整數(shù)倍。圖的整數(shù)倍。圖2.182.18所所示帶寬向左擴展，并取示帶寬向左擴展，并取 。在這種情況下，。在這種情況下， 的的采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜 會在頻段之間存在一定的間隙。同會在頻段之間存在一定的間隙。同樣通過一個適當(dāng)?shù)膸V波器可以重建原模擬信號。樣通過一個適當(dāng)?shù)膸V波器可以重建原模擬信號。221 020 3M ( )ax t()aXj2038(a) 擴展帶寬后帶通信號的頻譜(b) 采樣信號的頻譜()aXj1122 10001122 2s()aXj1T000圖2.18 擴展帶寬后按M=3采樣392.5 2.5 離散

45、信號的采樣與插值離散信號的采樣與插值2.5.1 2.5.1 離散信號的采樣離散信號的采樣整數(shù)整數(shù)M M抽取（抽?。―ecimation)Decimation) 離散時間信號的采樣實際上是一抽取過程，它使得采離散時間信號的采樣實際上是一抽取過程，它使得采樣率降低。這里僅僅考慮樣率降低。這里僅僅考慮x(n) 的的采樣率降低整數(shù)采樣率降低整數(shù)M M倍倍的抽的抽取過程，即取過程，即( )()y nx Mn 保留第保留第M M個樣本點，而去除個樣本點，而去除M M個樣本點中的個樣本點中的M-1M-1個樣本點，個樣本點，見圖見圖2.19.2.19.x(n)01 2 3 415 n120345y(m)n圖2

46、.19 M=3的離散信號抽取40 設(shè)原有的離散信號設(shè)原有的離散信號x(n)的采樣周期為的采樣周期為T,T,經(jīng)過經(jīng)過M M倍抽取后倍抽取后y(n)的采樣周期為的采樣周期為T T，滿足，滿足111sssTMTMTTfffTMTM即：這時新的采樣頻率為 ( )DTFT ()22jssx nX ef T的是周期性的，即以為周期無限地重復(fù)。DTFT,()()jjY eX e那抽取之后的信號的即是什么樣的？與之間有何關(guān)系？( )0, 2( )0( )( )( ),( )x nnMMx ny mx nx nnx n定義信號 其它也就是說，在采樣瞬間但在其他的 上等于零。4112/01( )( )( )( )

47、,)Mjnl MklnkMex nx nMx nx nn 根據(jù)2.2節(jié)采樣信號的表示方法，可以表示為 ( )()()y mx Mmx Mm因此， -112/2/0012/1/0( )Z( )()( )11( )( )1()mmk MmmkMMjkl Mk Mjlk Mmk Mk MkllkMjl MMly mY zy m zx Mm zx k zx kezx k ezMMX ezM 令的 變換為， ）42112/1/( 2)/00( )( )DTFT11 ()( )()()jjjMMjjl MMjlMz ez ellzzeY zy mY eY zX ezX eMM在單位圓上取值，即時，計算，即

48、可得到的2fT式中， 。是對信號x(n)抽取后DTFT的表達(dá)式，( )( )M1()()Mjjy nx nY eX eM 從序列的尺度變換的角度看，是的壓縮（倍），則應(yīng)是的擴展（倍），幅值為原來的。 /()0,11()()(),02.20,2.20 d ,jjjjMjX eX eMY eX eX eMMMM采樣率降低倍后的信號頻譜無混疊，見圖(c)采樣率降低倍數(shù)大于則會引起信號頻譜混疊，見圖如果信號滿足 （則43()aXj0(a)圖2.20 離散時間信號抽取前后的頻譜特征()jX e0221T(b)1sfT341()jY e022(c)412T12sfT2342()jY e022(d)414T

49、6614sfT4344 類似于模擬信號的采樣，為了防止混疊，在采樣之前類似于模擬信號的采樣，為了防止混疊，在采樣之前必須采用抗混疊低通濾波器對信號必須采用抗混疊低通濾波器對信號x(n)進(jìn)行濾波，濾波器進(jìn)行濾波，濾波器的特性應(yīng)當(dāng)逼近的特性應(yīng)當(dāng)逼近1()0jMH eM()jH e 實際低通濾波器的頻響特性表示為實際低通濾波器的頻響特性表示為 ，其單位脈，其單位脈沖響應(yīng)為沖響應(yīng)為h(n),稱為抽取濾波器。對濾波器輸出以整數(shù)稱為抽取濾波器。對濾波器輸出以整數(shù)M M倍倍作抽取得到作抽取得到y(tǒng)(m),這一過程示于圖2.21(a)，圖中“ ” 表示整數(shù)M倍抽取，抽取濾波器的特性見圖2.21(c),則可得圖2

50、.21(d)的輸出結(jié)果。對濾波器輸出再作抽取將不產(chǎn)生混疊，見圖2.21(e)。M45 h(n)Mx(n) w(n)ff抽取濾波器抽取濾波器抽取器抽取器y(m)/ffM(a)2()jX e0(b)2()jH e0M(c)圖圖2.21具有抽取濾波器的離散信號抽取過程及各部分信號的頻譜具有抽取濾波器的離散信號抽取過程及各部分信號的頻譜2()jY e0468(e)2()jW e0M(d)462.5.2 2.5.2 離散信號的插值離散信號的插值整數(shù)整數(shù)L L倍內(nèi)插倍內(nèi)插 對離散時間信號的最簡單的插值方法是插零，首先討論插零后信號頻譜的變化。所謂插零，即對信號即對信號x(n)的兩個采樣點之的兩個采樣點之間插入間插入L-1個零個零。此時采樣頻率提高此時采樣頻率提高L倍倍，得到新的采樣周期 ,即T1TTL ssfLf而新的采樣頻率為0( )L-1()0, 2 ,( )0 x nmxmLLy mL在的每對采樣點之間用個零值插入，得到信號 其它1TTL470-00-( )Z( )( )()( )()mmnLmmnLy mmY zy m zxzx n zLX z 內(nèi)插信號的 變換為 0,()()22jjjLzeY eX effT在單位圓上取值，即則得到 式中，。0( )-L, 4