數(shù)學(xué)分析課件：第六章4節(jié) 定積分的計算：分部積分與換元公式

1、6.4 6.4 定積分的計算：定積分的計算： 分部積分與換元公式分部積分與換元公式定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式一、分部積分公式一、分部積分公式bbbaaauv dxuvu vdx或或定理定理4.14.1 bababavduuvudv分部積分與換元公式分部積分與換元公式二、換元公式二、換元公式定理定理4.24.2( ) ( )( )baf x dxftt dt 分部積分與換元公式分部積分與換元公式證明證明設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，),()(tFt 定定義義)()()()( dtttf)()( FF )()(aFbF dxxfba )(分部積分與換元公式分部積分

2、與換元公式應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1） 由左到右時由左到右時由右到左時由右到左時 ( )( )( )baftt dtf x dx ( ) ( )( )baf x dxftt dt 相當于第二類換元法相當于第二類換元法相當于第一類換元法相當于第一類換元法分部積分與換元公式分部積分與換元公式（2）dtttfdxxfba )()()( ( )( )( )fttt 求求出出的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)后后，( ) tx 不不必必再再把把變變換換成成原原變變量量 的的函函數(shù)數(shù)，()( ). 而而只只求求分部積分與換元公式分部積分與換元公式 定積分的換元公式示意圖定積分的換元公式示意圖 分

3、部積分與換元公式分部積分與換元公式 0a TTafx dxfx dx (3)若若f (x)是是R上的周期為上的周期為T的連續(xù)函數(shù)，則對任的連續(xù)函數(shù)，則對任意實數(shù)意實數(shù)a,成立成立分部積分與換元公式分部積分與換元公式證證00( ),)( )(aaaaf x dxf x df xxxd在在 0)(adxxf中中令令tx ,0( )af x dx 0)(adttf,)(0 adttf()( ),fxf x02( )( );aaaf x dxf x dx00( )()( ),aaaaf x dxfx dxf x dx分部積分與換元公式分部積分與換元公式()( ),fxf x000( )( )( )aa

4、aaf x dxf x dxf x dx 00(3)a Ta TTaaTfx dxfx dxfxfxddxx 0a TTaf x dxf u du 結(jié)論得證結(jié)論得證()uxT分部積分與換元公式分部積分與換元公式11例例1 1 計計算算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 分部積分與換元公式分部積分與換元公式12例例2 2 計計算算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxx

5、x 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 分部積分與換元公式分部積分與換元公式13例例3 3 計計算算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 分部積分與換元公式分部積分與換元公式14例例4 4 計計算算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原

6、式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 分部積分與換元公式分部積分與換元公式奇函數(shù)奇函數(shù)例例5 5 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積分部積分與換元公式分部積分與換元公式證證 （1）設(shè)）設(shè)2xt ，0 x則則；2 t 20)(sind

7、xxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf例例6 62 x, 0 t分部積分與換元公式分部積分與換元公式設(shè)設(shè)xt ，0 x 則, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft002(sin )(sin )xfx dxfx dx （2） 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf分部積分與換元公式分部積分與換元公式 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0

8、)arctan(cos2x.42 )44(2 002(sin )(sin )xfx dxfx dx 分部積分與換元公式分部積分與換元公式( )f x 222200cossincosf abdfabd 2222222200cossincossinabf abdfabdabab 例例7 設(shè)設(shè)在區(qū)間在區(qū)間R上連續(xù)，則上連續(xù)，則證明證明： 22222202220coscos cosfabdfabdfabd 令令， 2220cos,fabd 22cosaab 分部積分與換元公式分部積分與換元公式例例8 8 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,

9、xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則分部積分與換元公式分部積分與換元公式例例9 9 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx4012tanxdx 40tan21 xxxdxtan2140 401lncos82x .42ln8 分部積分與換元公式分部積分與換元公式例例1010 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx101ln(1)2x dx 102)1ln( xx

10、10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 分部積分與換元公式分部積分與換元公式例例1111 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xdxf1201( )2x f x 102)(21xdfx1201( )2x fx dx 22222sinsin( ),xxf xxxx 102sin221dxxx122012sin()x d x 102cos21x ).11(cos21 分部積分與換元公式分部積分與換元公式例例1212 證明定積分公式證明定

11、積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)分部積分與換元公式分部積分與換元公式 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于關(guān)于下標下標的遞推公式的遞推公式nI4223 nnInnI,直到直到下標下標減到減到0或或1為止為止證證 設(shè)設(shè),sin1xun ,sin xdxdv 分部積分與換元公式分部積分與換元公式,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.32