天津大學(xué)微積分幾何應(yīng)用PPT教案

1、天津大學(xué)微積分幾何應(yīng)用天津大學(xué)微積分幾何應(yīng)用第一步第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的微分表達(dá)式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的積分表達(dá)式Uxxfbad)(這種分析方法成為元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)元素的幾何形狀常取為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等近似值精確值第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共51頁第1頁/共51頁四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充補(bǔ)充)三、平行截面面積為已知函數(shù)的三、平行截面面積為已知函數(shù)的 立體體積立體體積(旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積)一、一、 平面圖形的面積

2、平面圖形的面積二、二、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 第3頁/共51頁第2頁/共51頁1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲取x為積分變量,則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd第4頁/共51頁第3頁/共51頁22,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解:

3、 由xy22xy 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共51頁第4頁/共51頁xxy22oy4 xyxy22與直線的面積 . 解解: 由xy224 xy得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有yyyd42A機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共51頁第5頁/共51頁abxoyx12222byax解解: 利用對稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA

4、0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxd第7頁/共51頁第6頁/共51頁oyxababoyx)()(tytx給出時(shí), 按順時(shí)針方向規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積21d)()(tttttA機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(1axt對應(yīng))(1bxt對應(yīng)第8頁/共51頁第7頁/共51頁)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解

5、解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyoa2第9頁/共51頁第8頁/共51頁,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共51頁第9頁/共51頁對應(yīng) 從 0 變解解:)0(aarxa 2o dd)(212a20A22a331

6、022334a點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 到 2 所圍圖形面積 . 第11頁/共51頁第10頁/共51頁ttadcos82042所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對稱性)2t令28a43212223a心形線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共51頁第11頁/共51頁2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a與圓所圍圖形的面積 . 解解: 利用對稱性 ,)0()cos1 (aar2

7、221aA22221aad)2cos21cos223(所求面積)243(2122aa22245aa ar 2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共51頁第12頁/共51頁a2sin2a所圍圖形面積 . 解解: 利用對稱性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0則所求面積為42a思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積 .2Adsin2026ad2cos21462a機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yox44答案答案:第14頁/共51頁第13頁/共51頁定義定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnMAByo

8、x當(dāng)折線段的最大邊長 0 時(shí), 折線的長度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可求長的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)ni 10lims機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則稱第15頁/共51頁第14頁/共51頁sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長xysbad12xxfbad)(12(P168)22)(d)(ddyxs機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、平面曲線的弧長二、平面曲線的弧長第16頁/共51頁第15頁/共51頁)()()(ttytx弧長元素(弧微分)

9、:因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共51頁第16頁/共51頁)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長元素(弧微分) :(自己驗(yàn)證)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共51頁第17頁/共51頁)ch(cxccxccsh1)(chbxbcxcy成懸鏈線 .求這一段弧長 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(ch x2shxx

10、eex )(sh xxshxch機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cxbboy下垂懸鏈線方程為第19頁/共51頁第18頁/共51頁ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共51頁第19頁/共51頁)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8機(jī)動 目錄

11、上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyoa2第21頁/共51頁第20頁/共51頁d222aa相應(yīng)于 02一段的弧長 . 解解:)0(aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as(P349 公式39)212a21ln2102)412ln(24122aa小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共51頁第21頁/共51頁設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xabxxxd)(xA上連續(xù),第23頁/共51頁第22頁/共51頁并與底面交成

12、角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系, 則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 oRxyx第24頁/共51頁第23頁/共51頁oRxy此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共51頁第24頁/共51頁abzxyco垂直 x 軸的截面是橢圓1)1

13、 ()1 (22222222axaxczby1222222czbyax所圍立體(橢球體)解解:它的面積為)1 ()(22axbcxA因此橢球體體積為xbcaxd)1 (22bc20abca34特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積 .)(axaaV02x233axx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的體積.第26頁/共51頁第25頁/共51頁xyoabxyoab)(xfy 2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí), 有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返

14、回 結(jié)束 2、旋轉(zhuǎn)體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積第27頁/共51頁第26頁/共51頁ayxb12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x第28頁/共51頁第27頁/共51頁tbytaxsincos則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積.343a機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第29頁/共51頁第

15、28頁/共51頁xyoa2)cos1 ()sin(tayttax)0(a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對稱利用對稱性性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )2(tu 令第30頁/共51頁第29頁/共51頁xyoa2a)cos1 ()sin(tayttax)0(aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yy

16、xad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注注 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(1yxx 第31頁/共51頁第30頁/共51頁分部積分對稱關(guān)于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)(tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226第32頁/共51頁第31頁/共51頁a2柱殼體積xxxdy也可按柱殼法求出yVyx2柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(

17、tayttax機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02第33頁/共51頁第32頁/共51頁偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函數(shù)336a機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第34頁/共51頁第33頁/共51頁軸所圍圖及表示xtxxfytV)0(, )()()(xfy 在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且 ,0)0(f形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 , 證

18、明:. )(2)(tftV 證證:x)(xfxoytxxd利用柱殼法xxfxtVd)()(2d則xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故第35頁/共51頁第34頁/共51頁ox1 2yBC3A132xy與 x 軸圍成的封閉圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94 考研)解解: 利用對稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(22022

19、15448在第一象限 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxd)4(322122第36頁/共51頁第35頁/共51頁xyoab設(shè)平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求上的圓臺的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyoab)(xfy abx第37頁/共51頁第36頁/共51頁xyo)(xfy abxsySd2d側(cè)面積元素xyd2sdxdxyd2因?yàn)榈木€性主部 .若光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出,

20、 則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積S 的 )(2ttttd)()(22S機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 側(cè)面積為第38頁/共51頁第37頁/共51頁xRyo上繞在,21222RRxxxRyxx 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 S .解解: 對曲線弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR當(dāng)球臺高 h2R 時(shí), 得球的表面積公式24RS機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1x2xozyx第39頁/共51頁第38頁/共51頁一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解: 利用對稱性2022Sta3sin22 ttasinc

21、os32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 星形線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 taytax33sin,cos第40頁/共51頁第39頁/共51頁1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針方向確定直角坐標(biāo)方程注意注意: 求弧長時(shí)積分上下限必須上大下小21d)()(tttttAd)(212A機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第41頁/共51頁第40頁/共51頁baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的

22、體積2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積sySd2d側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式)yxxA2)(繞 y 軸 :(柱殼法)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第42頁/共51頁第41頁/共51頁1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊界長 s .提示提示: 交點(diǎn)為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分

23、, 故以 y 為積分變量. 第43頁/共51頁第42頁/共51頁)()(222bRRbyx繞 x 軸oxyRbR上上半圓為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求體積 :提示提示:方法方法1 利用對稱性機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .第44頁/共51頁第43頁/共51頁RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222說明說明: 上式可變形為2RVb2d2bR 20機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上上半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示)

24、. dd2bRV第45頁/共51頁第44頁/共51頁oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用對稱性RS2b2S機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上式也可寫成d2bR20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx它也反映了環(huán)面微元的另一種取法. 第46頁/共51頁第45頁/共51頁分析曲線特點(diǎn)) 1( xxyoyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy與 x 軸所圍面積1101d) 1(xxxA61,0時(shí)2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由圖形的對稱性 ,211,2143也合于所求. 為何值才能使) 1( xxy.) 1(軸圍成的面積及與于xxxxy與 x 軸圍成的面積等機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故第47頁/共51頁第46