勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)

1、  勾股定理知識(shí)總結(jié) 一基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）要點(diǎn)詮釋?zhuān)汗垂啥ɡ矸从沉酥苯侨切稳呏g的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，則，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線(xiàn)段平方關(guān)系的問(wèn)題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋?zhuān)汗垂啥ɡ淼哪娑ɡ硎桥卸ㄒ粋€(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)

2、用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2a2+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則ABC為銳角三角形）。（定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，滿(mǎn)足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分

3、別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo)1勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行

4、代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理） 5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：方法一：，化簡(jiǎn)可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡(jiǎn)得證6：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)

5、正整數(shù)稱(chēng)為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱(chēng)，為一組勾股數(shù)記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例.在中，已知，求的長(zhǎng)已知，求的長(zhǎng)分析：直接應(yīng)用勾股定理解：題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例題1 如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.已知斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)，求另外一條直角邊的長(zhǎng)度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=1

6、44,所以AC=12.例題2 如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.解析：同例題1一樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2. 由題意可知ACD中,ACD=90°,在RtACD中，只知道CD=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一”的類(lèi)型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：解：如圖2，根據(jù)勾股定理，AC2+CD2=AD2 設(shè)水深A(yù)C= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2解之得x=2.故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用例題3 如

7、圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且那么DEF是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會(huì)意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒(méi)有任何條件，我們也可以開(kāi)創(chuàng)條件，由可以設(shè)AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在RtAFD 、RtBEF和 RtCDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長(zhǎng)，反過(guò)來(lái)再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。 詳細(xì)解題步驟如下：解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a,則BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在RtCDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a

8、2同理EF2=5a2, DF2=25a2在DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2DEF是直角三角形，且DEF=90°.注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四：利用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度例題4 如圖4，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。詳細(xì)解題過(guò)程如下：解：根據(jù)題意得RtADERtAEFAFE=90°, AF=10cm, EF=DE設(shè)CE=xcm，則DE=EF=CDCE=8x在RtABF中由

9、勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，BF=6cmCF=BCBF=106=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x) 2=x2+426416x+x2=2+16x=3(cm),即CE=3 cm注：本題接下來(lái)還可以折痕的長(zhǎng)度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例題5 如圖5，王師傅想要檢測(cè)桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測(cè)得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證AD邊與CD邊是否垂直？解析：由于實(shí)物一般比較大，長(zhǎng)度不容易用直尺來(lái)方便測(cè)量。我們通常截取部分長(zhǎng)度來(lái)驗(yàn)證。如圖4

10、，矩形ABCD表示桌面形狀，在A(yíng)B上截取AM=12cm,在A(yíng)D上截取AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個(gè)長(zhǎng)度？)，連結(jié)MN，測(cè)量MN的長(zhǎng)度。如果MN=15,則AM2+AN2=MN2,所以AD邊與AB邊垂直；如果MN=a15,則92+122=81+144=225, a2225,即92+122 a2，所以A不是直角。利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題例題6 有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門(mén)上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以?xún)?nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門(mén)多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？解析：首先要弄清楚人走過(guò)去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為

11、數(shù)學(xué)模型，如圖6 所示，A點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度，BCMN,BCAN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離A有5米時(shí)，求BC的長(zhǎng)度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計(jì)算BC=4米.即使要走到離門(mén)4米的時(shí)候燈剛好打開(kāi)。題型六：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：例1、如圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與ACP重合，若AP=3，求PP的長(zhǎng)。變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的邊長(zhǎng).分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60°，將三條線(xiàn)段集中到同一個(gè)三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形.變式2、如圖，A

12、BC為等腰直角三角形，BAC=90°，E、F是BC上的點(diǎn)，且EAF=45°，試探究間的關(guān)系，并說(shuō)明理由. 題型七：關(guān)于翻折問(wèn)題例1、 如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).變式：如圖，AD是ABC的中線(xiàn)，ADC=45°，把ADC沿直線(xiàn)AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C的位置，BC=4,求BC的長(zhǎng).題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周?chē)?00米以?xún)?nèi)會(huì)受到噪

13、音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？ 題型九：關(guān)于最短性問(wèn)題例5、如右圖119，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲(chóng)，便決定捕捉這只害蟲(chóng)，為了不引起害蟲(chóng)的注意，它故意不走直線(xiàn)，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線(xiàn)，從背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲(chóng)?（取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）變式：如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9

14、個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？勾股定理練習(xí)一 填空題：1. 在RtABC中，C=90°（1）若a=5，b=12，則c=_；（2）b=8，c=17，則SABC=_。2.若一個(gè)三角形的三邊之比為51213，則這個(gè)三角形是_（按角分類(lèi)）。3. 直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則其周長(zhǎng)為_(kāi)。4傳說(shuō),古埃及人曾用拉繩”的方法畫(huà)直角,現(xiàn)有一根長(zhǎng)24厘米的繩子,請(qǐng)你利用它拉出一個(gè)周長(zhǎng)為24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三邊的長(zhǎng)度分別為_(kāi)厘米,_厘米,_厘米,其中的道理是_.5.命題“對(duì)頂角相等”的逆命題

15、為_(kāi),它是_命題.(填“真”或“假”)6觀(guān)察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律？請(qǐng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出接下來(lái)的式子：_。AB第8題圖7利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個(gè)圖形被稱(chēng)為弦圖(最早由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的)從圖中可以看到：大正方形面積小正方形面積四個(gè)直角三角形面積 因而c2 ,化簡(jiǎn)后即為c2 abc8 一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是3，高是8的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)是_。二 選擇題：9觀(guān)察下列幾組數(shù)據(jù):(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15;

16、(3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的有( )組 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4A1006410三個(gè)正方形的面積如圖，正方形A的面積為（ ）A. 6 B. C. 64 D. 811.已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是5和12，則第三邊為 （）或不能確定12.下列命題如果a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；如果直角三角形的兩邊是5、12，那么斜邊必是13；如果一個(gè)三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；一個(gè)等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（a>b=c），那么a2b2c2=211。其中正確的是（

17、） A、B、C、D、13.三角形的三邊長(zhǎng)為（a+b）2=c2+2ab,則這個(gè)三角形是( ) A. 等邊三角形; B. 鈍角三角形; C. 直角三角形; D. 銳角三角形.14.如圖一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A(yíng)出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A(yíng)出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后，則兩船相距 （） A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里15. 已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為10，一腰上的高為6，則以底邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（） A、40B、80C、40或360D、80或36016某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少需要（）北南A東第14題圖 A、450a元B、225a 元C、150a元 D、300a元150°20m30m第16題圖三解答題：17如圖1，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線(xiàn)段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線(xiàn)段是（ ）（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF圖118.(1)在數(shù)軸上作出表示 的 點(diǎn). (2)在第(1)的基礎(chǔ)上分別作出表示 1- 和 +1的點(diǎn).19有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門(mén)，如果把竹竿豎放就比門(mén)高出1尺，斜放就恰好等于門(mén)的對(duì)角線(xiàn)