曲線與方程三個(gè)課時(shí)30701實(shí)用教案

1、為什么為什么? ?復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(fx)回顧回顧: 我們研究(ynji)了直線和圓的方程.1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,b)和斜率為k的直線L的方程為_(kāi)2.在直角坐標(biāo)系中,平分第一、三象限的直線方程是_3.圓心為C(a,b) ,半徑為r的圓C的方程為_(kāi).x-y=0第1頁(yè)/共40頁(yè)第一頁(yè)，共40頁(yè)。點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等x=y（或x- y=0）第一、三象限角平分線l含有(hn yu)關(guān)系：lx-y=0 xy0（1）l上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在 上l曲線(qxin)條件(tiojin)方程坐標(biāo)系中,平分第一、三象限的直線方程是x-y=0思考思考? ?第2頁(yè)/共40頁(yè)第二

2、頁(yè)，共40頁(yè)。圓心為C(a,b) ,半徑(bnjng)為r的圓C的方程為:思考思考(sko)?第3頁(yè)/共40頁(yè)第三頁(yè)，共40頁(yè)。滿(mǎn)足(mnz)關(guān)系：（1）、如果00(,)M xy00(,)M xy是圓上的點(diǎn)，那么一定是這個(gè)方程的解0 xyM（2）、方程表示如圖的圓圖像上的點(diǎn)M與此方程 有什么關(guān)系？222()()xaybr222()()xaybr 的解，那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在圓上。00(,)M xy（2）、如果是方程222()()xaybr第4頁(yè)/共40頁(yè)第四頁(yè)，共40頁(yè)。(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程(fngchng)的解的解;(2)以這個(gè)方程以這個(gè)方程(fngc

3、hng)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).那么那么,這個(gè)方程這個(gè)方程(fngchng)叫做曲線的方程叫做曲線的方程(fngchng); 這條曲線叫做方程這條曲線叫做方程(fngchng)的曲線的曲線.定義定義(dn(dngy):gy):1.曲線的方程反映(fnyng)的是圖形所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系; 方程的曲線反映(fnyng)的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形.f(x,y)=00 xy 一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:說(shuō)明說(shuō)明: :第5頁(yè)/共40頁(yè)第五頁(yè)，共40頁(yè)。2.“曲線上的

4、點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程 的解” ,闡明曲線上沒(méi)有坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程的點(diǎn)，也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)都符合(fh)這個(gè)條件而毫無(wú)例外.（純粹(chncu)性）.3.“以這個(gè)方程(fngchng)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”,闡明符合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏.（完備性）.由曲線的方程的定義可知:如果曲線C的方程是 f(x,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0 ,y0)在曲線C 上的 充要條件充要條件 是f(x0, y0)=0 第6頁(yè)/共40頁(yè)第六頁(yè)，共40頁(yè)。例1 :判斷下列命題是否(sh fu)正確解解:(1)不正確，不具備完備不正確，不具備完備(wnbi)性，應(yīng)為性，應(yīng)為x=3,(2)不正確不正確,不具備純

5、粹性，應(yīng)為不具備純粹性，應(yīng)為y=1.(3)正確正確.(4)不正確不正確,不具備完備不具備完備(wnbi)性性,應(yīng)為應(yīng)為x=0(-3y0).(1)過(guò)點(diǎn)A（3，0）且垂直于x軸的直線的方程為x=3(2)到x軸距離等于1的點(diǎn)組成(z chn)的直線方程為y=1(3)到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy=1 (4) ABC的頂點(diǎn)A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D為BC中點(diǎn)，則中線AD的方程x=0第7頁(yè)/共40頁(yè)第七頁(yè)，共40頁(yè)。例2.證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k0)的點(diǎn)的軌跡(guj)方程是xy=k.M第8頁(yè)/共40頁(yè)第八頁(yè)，共40頁(yè)。第9頁(yè)/共40頁(yè)第九頁(yè)，共40頁(yè)

6、。 第一步，設(shè)第一步，設(shè) M (x0,y0) M (x0,y0)是曲線是曲線C C上任上任(shng (shng rn)rn)一點(diǎn)，證明一點(diǎn)，證明(x0,y0)(x0,y0)是是f(x,y)=0f(x,y)=0的解；的解；歸納歸納: : 證明已知曲線的方程的方法證明已知曲線的方程的方法(fngf)(fngf)和步驟和步驟 第二步，設(shè)第二步，設(shè)(x0,y0)(x0,y0)是是 f(x,y)=0 f(x,y)=0的解，證明的解，證明(zhngmng)(zhngmng)點(diǎn)點(diǎn) M M (x0,y0)(x0,y0)在曲線在曲線C C上上. .第10頁(yè)/共40頁(yè)第十頁(yè)，共40頁(yè)。練習(xí)(linx)1:下列各

7、題中，下圖各曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？ (1)曲線(qxin)C為過(guò)點(diǎn)A(1，1)，B(-1，1)的折線(如圖(1)其方程為(x-y)(x+y)=0; (2)曲線(qxin)C是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線其方程為x+ =0; (3)曲線C是, 象限內(nèi)到x軸，y軸的距離乘積為1的點(diǎn)集其方程為y= 。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221第11頁(yè)/共40頁(yè)第十一頁(yè)，共40頁(yè)。練習(xí)2:下述方程表示的圖形(txng)分別是下圖中的哪一個(gè)？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD第12頁(yè)/共40頁(yè)第十二頁(yè)，

8、共40頁(yè)。第13頁(yè)/共40頁(yè)第十三頁(yè)，共40頁(yè)。2. 練習(xí)：(1) 設(shè)A(2,0)、B(0,2)， 能否說(shuō)線段(xindun)AB的方程為x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的圖形是_1.復(fù)習(xí)曲線(qxin)的方程和方程的曲線(qxin)的概念3.證明已知曲線的方程的方法和步驟第14頁(yè)/共40頁(yè)第十四頁(yè)，共40頁(yè)。 上一節(jié)，我們已經(jīng)建立了曲線的方程.方程的曲線的概念.利用這兩個(gè)重要概念，就可以借助于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把曲線看成滿(mǎn)足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡(guj)，用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）所滿(mǎn)足的方程f(x,y)=0表示曲線，通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線的性質(zhì).這一節(jié)，

9、我們就來(lái)學(xué)習(xí)這一方法.“數(shù)形結(jié)合” 數(shù)學(xué)思想(sxing)的基礎(chǔ)第15頁(yè)/共40頁(yè)第十五頁(yè)，共40頁(yè)。1解析幾何與坐標(biāo)法：我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法. 在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成了一門(mén)叫解析幾何的學(xué)科(xuk).因此，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科(xuk).2平面解析幾何研究的主要問(wèn)題：（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程； （2）通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì).說(shuō)明：本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般(ybn)步驟.第16頁(yè)/共40頁(yè)第十六頁(yè)，共40頁(yè)。第17頁(yè)/共40頁(yè)第十七頁(yè)，共40頁(yè)。.由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M所適合條件(tiojin

10、)可表示為：將上式兩邊平方，整理得： x+2y7=0 我們證明方程是線段(xindun)AB的垂直平分線的方程.（1）由求方程的過(guò)程可知，垂直平分線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程解；（2）設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)（x1,y1）是方程的解，即: x+2y17=0 x1=72y1解法二:設(shè)M(x,y)是線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)(y din),也就是點(diǎn)M屬于集合問(wèn)題1.設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(3,7)，求線段AB的垂直平分線的方程.第18頁(yè)/共40頁(yè)第十八頁(yè)，共40頁(yè)。即點(diǎn)M1在線段(xindun)AB的垂直平分線上.由(1)、(2)可知方程是線段(xindun)AB的垂直平分線的方程.點(diǎn)M1到A、B

11、的距離(jl)分別是第19頁(yè)/共40頁(yè)第十九頁(yè)，共40頁(yè)。由上面的例子可以看出，求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個(gè)(j )步驟：說(shuō)明(shumng)：一般情況下，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫(xiě)，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說(shuō)明(shumng).另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（2），直接列出曲線方程.(1)建系設(shè)點(diǎn)：建立(jinl)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)寫(xiě)出適合條件p的點(diǎn)M集合P=M|p(M)(3)用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；(5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲

12、線上.第20頁(yè)/共40頁(yè)第二十頁(yè)，共40頁(yè)。例2.已知一條直線l和它上方的一個(gè)點(diǎn)A，點(diǎn)A到l的距離(jl)是2,一條曲線也在l的上方，它上面的每一點(diǎn)到A的距離(jl)減去到l的距離(jl)的差都是2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程.取直線(zhxin)l為x軸,過(guò)點(diǎn)A且垂直于直線(zhxin)l的直線(zhxin)為y軸,建立坐標(biāo)系xOy,解：2)列式3）代換(di hun)4)化簡(jiǎn)5）審查(0,2)AMB1）建系設(shè)點(diǎn)因?yàn)榍€在x軸的上方，所以y0, 所以曲線的方程是 設(shè)點(diǎn)M(x,y)是曲線上任意一點(diǎn)，MBx軸，垂足是B，第21頁(yè)/共40頁(yè)第二十一頁(yè)，共40頁(yè)。 通過(guò)上述兩個(gè)例題了解(li

13、oji)坐標(biāo)法的解題方法，明確建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是求解曲線方程的基礎(chǔ)；同時(shí)，根據(jù)曲線上的點(diǎn)所要適合的條件列出等式，是求曲線方程的重要環(huán)節(jié)，在這里常用到一些基本公式，如兩點(diǎn)間距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，直線的斜率公式，中點(diǎn)公式等，因此先要了解(lioji)上述知識(shí)，必要時(shí)作適當(dāng)復(fù)習(xí).第22頁(yè)/共40頁(yè)第二十二頁(yè)，共40頁(yè)。第23頁(yè)/共40頁(yè)第二十三頁(yè)，共40頁(yè)。xy0CBAM第24頁(yè)/共40頁(yè)第二十四頁(yè)，共40頁(yè)。第25頁(yè)/共40頁(yè)第二十五頁(yè)，共40頁(yè)。求曲線求曲線(qxin)（圖形）的方程（圖形）的方程步驟：步驟：說(shuō)明：一般情況下，化簡(jiǎn)前后方程(fngchng)的解集是相同的，步驟（5）可以省

14、略不寫(xiě)，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說(shuō)明.另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（2），直接列出曲線方程(fngchng).(1)建系設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)(shdng)的坐標(biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)寫(xiě)出適合條件p的點(diǎn)M集合P=M|p(M)(3)用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；(5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.第26頁(yè)/共40頁(yè)第二十六頁(yè)，共40頁(yè)。解:練習(xí)(linx)1.22yx yx 的的2.B第27頁(yè)/共40頁(yè)第二十七頁(yè)，共40頁(yè)。B3.4.到F(2，0)和y軸的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡(guj)方程是

15、_ 解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x，y)，則由題設(shè)得化簡(jiǎn)得:y2=4(x-1)這就是所求的軌跡(guj)(guj)方程. .y2=4(x-1)第28頁(yè)/共40頁(yè)第二十八頁(yè)，共40頁(yè)。5. 在三角形ABC中，若|BC|=4，BC邊上的中線AD的長(zhǎng)為3，求點(diǎn)A的軌跡(guj)方程.設(shè)A(x，y)，又D(0，0)，所以(suy)化簡(jiǎn)得 :x2+y2=9 (y0)這就是所求的軌跡(guj)方程.解:取B、C所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.第29頁(yè)/共40頁(yè)第二十九頁(yè)，共40頁(yè)。1.直接法直接法: 求軌跡方程最基本的方法求軌跡方程最基本的方法, 直接通過(guò)建立直接通過(guò)建立x, y之間的關(guān)系之間的

16、關(guān)系(gun x), 構(gòu)成構(gòu)成 F(x, y)=0 即可即可.直接法 定義(dngy)(dngy)法 代入法 參數(shù)法求軌跡方程求軌跡方程(fngchng)的常見(jiàn)方法的常見(jiàn)方法:2.定義法定義法：（待定系數(shù)法）利用所學(xué)過(guò)的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫(xiě)出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件（下面的課中講）第30頁(yè)/共40頁(yè)第三十頁(yè)，共40頁(yè)。3.代入法:這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法.即利用動(dòng)點(diǎn)P(x,y)是定曲線F(x,y)=0上的動(dòng)點(diǎn),另一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴(lài)于P

17、(x,y)，那么可尋求(xnqi)關(guān)系式x=f(x,y),y=g(x,y)后代入方程F(x,y)=0中，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.第31頁(yè)/共40頁(yè)第三十一頁(yè)，共40頁(yè)。例、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線y=3x2-1上移動(dòng),求ABC的重心(zhngxn)的軌跡方程.第32頁(yè)/共40頁(yè)第三十二頁(yè)，共40頁(yè)。4.參數(shù)法參數(shù)法: 選取適當(dāng)?shù)膮?shù)選取適當(dāng)?shù)膮?shù),分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)分別用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)x,y,得出得出(d ch)軌跡的參數(shù)方程，消去參軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即得其普通方程。數(shù)，即得其普通方程。歸納(gun)：選參數(shù)時(shí)必須首先考慮到制約動(dòng)點(diǎn)的各種因素，然后再選取合適的參數(shù)，常見(jiàn)的參數(shù)有角度、直線的斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長(zhǎng)度等。第33頁(yè)/共40頁(yè)第三十三頁(yè)，共40頁(yè)。xy0ABCMl例、經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓 相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A A、B B，求線段ABAB的中點(diǎn)M M的軌跡方程. .226490 xyxy消參法第34頁(yè)/共40頁(yè)第三十四頁(yè)，共40頁(yè)。1.1.求曲線的方程的一般步驟： 設(shè)（建系設(shè)點(diǎn)） 找（找等量關(guān)系(gun x)(gun x)） 列（列方程） 化（化簡(jiǎn)方程） 驗(yàn)（以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)） -