試驗(yàn)定積分的近似計(jì)算

1、實(shí)驗(yàn)一特殊函數(shù)與圖形一、問(wèn)題背景與實(shí)驗(yàn)?zāi)康闹?Riemann 函數(shù)大家都很熟悉了， 但是關(guān)于它的圖像你是否清楚呢？除了最上面那幾點(diǎn)，其他都很難畫(huà)吧？你想不想看看下面那些“擠在一起” 的點(diǎn)是怎樣分布的呢？還有幾何中的馬鞍面、 單葉雙曲面等是怎樣由直線生成的， 是不是也想目睹一下呢？這些，都離不開(kāi)繪圖實(shí)際上繪圖一直是數(shù)學(xué)中的一種重要手段，借助圖形，往往可以化繁為簡(jiǎn)，使抽象的對(duì)象得到明白直觀的體現(xiàn)比如函數(shù)的基本性質(zhì)， 一個(gè)圖形?？梢允怪荒苛巳唬浅Ｓ行m不能代替嚴(yán)格的分析與證明，但在問(wèn)題的研究過(guò)程中，可以幫助研究人員節(jié)約相當(dāng)一部分精力此外，它還可以使計(jì)算、證明、建模等的結(jié)果得到更明白易懂的表

2、現(xiàn)，有時(shí)，這比科學(xué)論證更有說(shuō)服力同時(shí)，數(shù)學(xué)的教學(xué)與學(xué)習(xí)過(guò)程也離不開(kāi)繪圖借助直觀的圖形，?？梢允钩鯇W(xué)者更容易接受新知識(shí) 如數(shù)學(xué)分析中有不少函數(shù)， 其解析式著實(shí)讓人望而生畏，即使對(duì)其性質(zhì)作了詳盡的分析，還是感到難明就里；但如果能看到它的圖形， 再配合理論分析，則問(wèn)題可以迎刃而解 又如在幾何的學(xué)習(xí)中， 會(huì)遇到大量的曲線與曲面，也離不開(kāi)圖形的配合傳統(tǒng)的手工作圖，往往費(fèi)力耗時(shí)，效果也不盡理想計(jì)算機(jī)恰恰彌補(bǔ)了這個(gè)不足，使你可以方便地指定各種視角、比例、明暗，從各個(gè)角度進(jìn)行觀察本實(shí)驗(yàn)通過(guò)對(duì)函數(shù)的圖形表示和幾個(gè)曲面（線）圖形的介紹，一方面展示它們的特點(diǎn)，另一方面，也將就 Matlab 軟件的作圖功能作一個(gè)簡(jiǎn)單

3、介紹大家將會(huì)看到， Matlab 的作圖功能非常強(qiáng)大二、相關(guān)函數(shù)（命令）及簡(jiǎn)介1平面作圖函數(shù)： plot，其基本調(diào)用形式：plot(x,y,s)以 x 作為橫坐標(biāo)， y 作為縱坐標(biāo) s 是圖形顯示屬性的設(shè)置選項(xiàng)例如：x=-pi:pi/10:pi;y=sin(x);plot(x,y,-rh,linewidth,2,markeredgecolor,b,markerfacecolor,g)圖 1在使用函數(shù) plot 時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意到當(dāng)兩個(gè)輸入量同為向量時(shí)，向量 x 與 y 必須維數(shù)相同，而且必須同是行向量或者同是列向量繪圖時(shí)，可以制定標(biāo)記的顏色和大小， 也可以用圖形屬性制定其他線條特征，這些屬性包括：

4、linewidth指定線條的粗細(xì)markeredgecolor指定標(biāo)記的邊緣色markerfacecolor指定標(biāo)記表面的顏色markersize指定標(biāo)記的大小若在一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)幾個(gè)函數(shù)，則plot 的調(diào)用格式如下：plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2, )2空間曲線作圖函數(shù)： plot3，它與 plot 相比，只是多了一個(gè)維數(shù)而已其調(diào)用格式如下：plot3(x,y,z,s)例如：x=0:pi/30:20*pi;y=sin(x);z=cos(x);plot3(x,y,z)得到三維螺旋線：圖 23空間曲面作圖函數(shù)：（1）mesh 函數(shù)繪制彩色網(wǎng)格面圖形調(diào)用格式：mesh(z)，mesh(

5、x,y,z)和 mesh(x,y,z,c)其中， mesh(x,y,z,c)畫(huà)出顏色由c 指定的三維網(wǎng)格圖若x 、 y 均為向量，則length(x)=n， length(y)=m， m,n=size(z)（2）surf 在矩形區(qū)域內(nèi)顯示三維帶陰影曲面圖調(diào)用格式與mesh類似（3）ezmesh用符號(hào)函數(shù)作三維曲面網(wǎng)格圖調(diào)用格式：ezmesh(x,y,z)其中 x = x(s,t), y = y(s,t),z = z(s,t)畫(huà)圖區(qū)域默認(rèn)為：-2*pi s 2*pi且-2*pi t7)輸出： b =3467三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容數(shù)學(xué)分析中， 特別是積分部分，我們接觸了不少有趣的函數(shù)，由于其中有的不是一一對(duì)

6、應(yīng)的，用上面的方法無(wú)法畫(huà)出它們的圖像，這時(shí)就只能用參數(shù)了此外還有些圖形只能用參數(shù)來(lái)畫(huà)， 比如空間曲線，在計(jì)算機(jī)上不接受“兩個(gè)曲面的交線”這種表示，所以也只能用參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)用參數(shù)方式作圖的關(guān)鍵在于找出合適的參數(shù)表示， 尤其是不能有奇點(diǎn)， 最好也不要用到開(kāi)方所以要找的參數(shù)最好是有幾何意義的 當(dāng)然這也不可一概而論，需要多積累經(jīng)驗(yàn)1利用函數(shù) plot 在一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)以下幾個(gè)函數(shù)圖像， 要求采用不同顏色、不同線形、不同的符號(hào)標(biāo)記 函數(shù)為： x sin(t), y cos(t), z sin(2 t), t (0,2 ) 程序如下：t=0:pi/20:2*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=si

7、n(2*t);plot(t, x, -k*, t, y, -rs, t, z, :bo)圖像如下：圖 32繪制類似田螺線的一條三維螺線(方程自己設(shè)計(jì) )程序如下：t=0:.1:30;x=2*(cos(t)+t.*sin(t);y=2*(sin(t)-t.*cos(t);z=1.5*t;plot3(x,y,-z) %取 z 主要是為了畫(huà)圖看起來(lái)更清楚 axis equal圖像如下：圖 43利用函數(shù) zsin x2y2，繪制一個(gè)墨西哥帽子的圖形x2y2程序如下：a,b=meshgrid(-8:.5:8);%先生成一個(gè)網(wǎng)格c=sqrt(a.2+b.2)+eps;z=sin(c)./c;mesh(a,

8、b,z)axis square圖像如下：圖 5思考：這里的 eps 是什么？其作用是什么？4利用 surf 繪制馬鞍面圖形（函數(shù)為： zx2y2）94程序如下：x,y=meshgrid(-25:1:25,-25:1:25);z=x.2/9-y.2/4;surf(x,y,z)title( 馬鞍面 )grid off圖像如下：圖 65分別用 ezmesh和 ezsurf 各繪制一個(gè)圓環(huán)面， 嘗試將兩個(gè)圓環(huán)面放在一個(gè)圖形界面內(nèi)，觀察它們有什么不同之處提示：圓環(huán)面的方程為： ( x2y 2R) 2z2r 2 , R6, r 2 ， 而圓環(huán)面的參數(shù)方程為：x(Rr cosu) cosvy(Rr cosu

9、) sinvu 0,2 , v 0,2zr sin u,程序參見(jiàn)附錄 1圖像如下：圖 76繪制黎曼函數(shù)圖形，加深對(duì)黎曼函數(shù)的理解說(shuō)明：黎曼函數(shù)的定義為1 , 當(dāng) p、 q為正整數(shù)，p 為既約分?jǐn)?shù),x p (0,1)y qqq0， 當(dāng)x，及無(wú)理點(diǎn)，01x 01程序參見(jiàn)附錄 2圖像如下：圖 8四、自己動(dòng)手1作出下圖所示的三維圖形：圖 9提示：圖形為圓環(huán)面和球面的組合.2作出下圖所示的墨西哥帽子及其剪裁圖形：圖 103畫(huà)出球面、橢球面、雙葉雙曲面、單葉雙曲面4若要求田螺線的一條軸截面的曲邊是一條拋物線：y0 時(shí) x25z 試重新設(shè)計(jì)田螺線的參數(shù)方程，并畫(huà)出該田螺線5作出下圖所示的馬鞍面（顏色為灰色，并有一個(gè)標(biāo)題：“馬鞍面”）：圖 116繪制圖 8 所示的黎曼函數(shù)圖形，要求分母的最大值 n 的數(shù)值由鍵盤(pán)輸入（提示：使用 input 語(yǔ)句）五、附錄附錄 1：（fulu1.m）程序如下：subplot(1,2,1)ezmesh(6+2*cos(u)*cos(v),(6+2*cos(u)*sin(v),2*sin(u),0,2*pi,0,2*pi)axis equalsubplot(1,2,2)ezsurf(6+2*cos(u)*cos(v),(6+2*cos(u)*sin(v),2*sin(u),0,2*pi,0,2*pi)axis equa