大物實(shí)驗(yàn)----誤差理論與數(shù)據(jù)處理.

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理v實(shí)驗(yàn)課三個部分：課前預(yù)習(xí)實(shí)驗(yàn)課三個部分：課前預(yù)習(xí) 、實(shí)驗(yàn)操作、實(shí)驗(yàn)操作 、數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理v1.1.課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí) 預(yù)習(xí)報告:（1）實(shí)驗(yàn)題目；（2）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?；?）實(shí)驗(yàn)儀器；（4）實(shí)驗(yàn)原理：必要的定理、定律、簡單的公式推導(dǎo)、光路圖、電路圖、原理示意圖以及相關(guān)的文字說明；（5）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（不包括實(shí)驗(yàn)步驟）；（6）數(shù)據(jù)表格（范表見78頁）。v2.2.實(shí)驗(yàn)操作實(shí)驗(yàn)操作 實(shí)驗(yàn)完畢后老師簽字v3.3.數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理 實(shí)驗(yàn)不僅僅是為了追求數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，更主要的是培養(yǎng)大家動手能力、發(fā)現(xiàn)問題解決并問題的能力。如果實(shí)驗(yàn)不成功，一定要分析實(shí)驗(yàn)失敗的原因，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。 v本節(jié)課我們將介紹：測量與

2、誤差、有效數(shù)字、測量結(jié)果的誤差評定以及實(shí)驗(yàn)課常用的幾種數(shù)據(jù)處理方法。 第一節(jié) 測量與誤差v一一. .測量測量v1.測量的定義v 測量是指借助一定的實(shí)驗(yàn)器具，通過一定的實(shí)驗(yàn)方法直接或間接的把待測量與選作計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)單位的同類物理量進(jìn)行比較得出其倍數(shù)的過程。測量值包括數(shù)值和單位。v2 測量的分類v（1）按照測量值獲得的方法不同：直接測量、間接測量v直接測量:使用測量儀器能直接測得結(jié)果的測量。v間接測量:先直接測量另一些相關(guān)的物理量，然后通過這些量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系運(yùn)算才能得到結(jié)果。 （2）按照測量條件的不同：等精度測量、非等精度測量 等精度測量:在相同條件下進(jìn)行的測量。 非等精度測量:不同的人使用不同的儀

3、器采用不同的方法進(jìn)行測量，則各測量結(jié)果的可靠程度自然也不相同。 二二 . .誤差誤差 1.誤差的定義 我們把被測物理量在一定客觀條件下的真實(shí)大小，稱為該物理量的真值，記為 ；把每次對應(yīng)的測量值記為 ，那么 與 之差就稱為測得值的誤差,即0 xxxx0 x0 x 2. 誤差的分類 （1）系統(tǒng)誤差:在同一條件下多次測量同一物理量時，誤差大小和符號始終保持不變，或者按照某種確定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。 （2）隨機(jī)誤差:在同一條件下多次測量同一物理量時，測得值總有差異，并在消除系統(tǒng)誤差以后，差異依然存在，即誤差的絕對值和符號是變化不定、不可預(yù)知的，這種誤差稱為隨機(jī)誤差。 （3）過失誤差:由于

4、觀測者的粗心大意或操作不當(dāng)造成的人為差錯。 研究誤差的目的是為了在測量過程中盡量減小誤差，并對殘存誤差給出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)值。v三三. .精度精度v 精度是個籠統(tǒng)的概念，通常用它來反映測得值的可靠程度以評價測量結(jié)果。按誤差的性質(zhì)，精度又可分為下面幾種： v 1正確度 例v 正確度反映的是測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度。如果系統(tǒng)誤差小，則稱測量的正確度高；如果系統(tǒng)誤差大，則稱測量的正確度低。v 2精密度 例v 精密度反映的是測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度。隨機(jī)誤差小，即重復(fù)測量所得的結(jié)果相互接近，則稱測量的精密度高；反之，則稱測量的精密度低。v 3準(zhǔn)確度 例 （對比）v 準(zhǔn)確度反映的是測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和

5、隨機(jī)誤差綜合的影響程度。對于具體的測量，正確度高的測量其精密度不一定高，精密度高的測量其正確度也不一定高。但準(zhǔn)確度高，則表示測量的正確度和精密度都高。第二節(jié) 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差 v一一. .系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差v 系統(tǒng)誤差總是使測量結(jié)果向一個方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。 1.系統(tǒng)誤差的來源 （1）儀器 由于儀器本身的缺陷或沒有按規(guī)定的條件使用儀器而造成的誤差。 （2）理論 由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或者實(shí)驗(yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求，或者由于測量方法所帶來的誤差。 （3）人的因素 由于觀測者本人的生理或心理特點(diǎn)所造成的誤差。 （4）環(huán)境 由于環(huán)境條件如

6、溫度、氣壓、濕度的變化等所引起的誤差。 v2.系統(tǒng)誤差的分類 （1）按掌握程度分為：v 已定系統(tǒng)誤差v 未定系統(tǒng)誤差 （2）按其數(shù)值特征或其表現(xiàn)規(guī)律分為：v 定值系統(tǒng)誤差v 變值系統(tǒng)誤差 3.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn) （1）理論分析法 v 觀測者憑借有關(guān)某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的物理理論、實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)等對實(shí)驗(yàn)理論公式的近似性、所采用的實(shí)驗(yàn)方法的完善性等進(jìn)行研究與分析。 （2）對比法 （3）數(shù)據(jù)分析法4.系統(tǒng)誤差的減小或消除 （1）利用標(biāo)準(zhǔn)器具減消系統(tǒng)誤差； （2）修正已經(jīng)確定的定值系統(tǒng)誤差； （3）采用合理、規(guī)范的測量步驟減消系統(tǒng)誤差； （4）選擇或改進(jìn)測量方法減消系統(tǒng)誤差。二二. .隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 1.隨機(jī)誤

7、差的特點(diǎn)v 在相同的條件下多次測量同一被測量時，如果已經(jīng)精心地排除了產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素（實(shí)際上不可能也不必要絕對排除），發(fā)現(xiàn)每次測量結(jié)果一般都不一樣。測量誤差或大、或小、或正、或負(fù)，初看顯得毫無規(guī)律，但當(dāng)測量次數(shù)足夠多時，可以發(fā)現(xiàn)誤差的大小以及正負(fù)誤差的出現(xiàn)，都是服從某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。 2. 2.隨機(jī)誤差的來源 v 是由實(shí)驗(yàn)中各種因素的微小變動引起的。 （1）實(shí)驗(yàn)裝置的變動性 儀器的穩(wěn)定性差，測量示值變動。 （2）觀測者本人在判斷和估計(jì)讀數(shù)上的變動性 v 觀測者的生理分辨本領(lǐng)、手的靈活程度及操作熟練程度。 （3）實(shí)驗(yàn)條件和環(huán)境因素的微小變動v 如氣流、溫度、濕度等微小的、無規(guī)則的起伏變化，電壓的

8、波動以及雜散磁場的不規(guī)則脈動引起的誤差。v3.3.隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律v 假設(shè)對某一被測量進(jìn)行多次重復(fù)測量 ,測量結(jié)果 x1,x2,x3,xn,被測量的真值為x，則根據(jù)誤差的定義，各次測量的誤差 v 大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)和統(tǒng)計(jì)理論都證明，在絕大多數(shù)物理測量中，隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布（或稱高斯分布）規(guī)律。 xxiiv隨機(jī)誤差具有以下的性質(zhì)：v（1 1）單峰性）單峰性 絕對值小的誤差出現(xiàn)的機(jī)會（概率）大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會（概率）小。v（2 2）對稱性）對稱性 大小相等、v符號相反的誤差出現(xiàn)的概v率相等。v（3 3）有界性）有界性 非常大的正v負(fù)誤差出現(xiàn)的概率趨于零。v（4 4）抵償性）抵償性 當(dāng)

9、測量次數(shù)v非常多時，由于正負(fù)誤差v相互抵消，各誤差的代數(shù)v和趨于零。 隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線v 根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論可得：v v式中是一個取決于具體測量條件的常數(shù)稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差（或稱均方誤差）。v 反映的是一組測量數(shù)據(jù)的離散程度，常稱它為測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差；它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：2221( )2fenaxin2)(lim 可以證明 即由-到之間正態(tài)分布曲線下的面積占總面積的68.3。這就是說，如果測量次數(shù)n很大，則在所測得的數(shù)據(jù)中，將有占總數(shù)68.3數(shù)據(jù)的誤差落在區(qū)間之內(nèi)；也可以這樣講，在所測得的數(shù)據(jù)中，任一個數(shù)據(jù)Xi的誤差落在區(qū)間之內(nèi)的概率為 68.3。區(qū)間稱為置信區(qū)間，其對應(yīng)的概率(

10、p=68.3)稱為置信概率。 %3 .68683. 0)(dfv4.算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差（1）算術(shù)平均值v 根據(jù)隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律，測得值偏大或偏小的機(jī)會是相等的，即絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率是相等的,因此，各次測得值的算術(shù)平均值最為接近被測量的真值。（2）算術(shù)平均值的誤差 算術(shù)平均值本身具有離散性。為了評定算術(shù)平均值的離散性，我們引入算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。 算術(shù)平均值 的標(biāo)準(zhǔn)誤差：123.inxxxxxxnn xxn（）（3）標(biāo)準(zhǔn)偏差 由于算術(shù)平均值最接近真值，因此可以用平均值參與對標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)。我們常用如下的貝塞爾公式去估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差 貝塞爾公式是用殘差去求標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值，稱此估

11、計(jì)值為測量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差 的估計(jì)值為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 ，若測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 ，則： )(xS)(x xS nxSxS)(11)(22nvnxxxSii）（那么我們可以區(qū)分理解那么我們可以區(qū)分理解v標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差v算術(shù)平均值算術(shù)平均值的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)誤準(zhǔn)誤差差v測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差 v算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 nxSxS)()(11)(22nvnxxxSii）（nx）（naxin2)(lim 5.絕對誤差與相對誤差 設(shè)某一測得值 的真值為 則誤差 稱為絕對誤差。絕對誤差。 相對誤差相對誤差是誤差與真值之比；通常用標(biāo)準(zhǔn)偏差和平均值之比作為相對誤差

12、的估計(jì)值。相對誤差常他用符號 來表示，并表示成百分?jǐn)?shù)。三三. .過失誤差過失誤差( (異常值異常值) )的剔除的剔除 1. .拉依達(dá)準(zhǔn)則：適用于測量次數(shù)n較大的測量。 2.肖維涅準(zhǔn)則： （16頁） 3.格拉布斯準(zhǔn)則：x0 x0 xxE)(xScxn)(),(xSgxPn第三節(jié) 有效數(shù)字一一. .有效數(shù)字的概念有效數(shù)字的概念 我們把測量結(jié)果中準(zhǔn)確數(shù)字和存疑數(shù)字的全體統(tǒng)稱為測量結(jié)果的有效數(shù)字。二二. .運(yùn)算后的有效數(shù)字運(yùn)算后的有效數(shù)字 1.一般按以下原則處理： （1 1）準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字相運(yùn)算，其結(jié)果為準(zhǔn)確）準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字相運(yùn)算，其結(jié)果為準(zhǔn)確數(shù)字；數(shù)字； （2 2）準(zhǔn)確數(shù)字與存疑數(shù)字或存疑數(shù)

13、字與存疑數(shù)字）準(zhǔn)確數(shù)字與存疑數(shù)字或存疑數(shù)字與存疑數(shù)字相運(yùn)算，其結(jié)果為存疑數(shù)字；相運(yùn)算，其結(jié)果為存疑數(shù)字； （3 3）存疑數(shù)字一般取一位）存疑數(shù)字一般取一位。 2.計(jì)算誤差時有效數(shù)字的確定 實(shí)驗(yàn)結(jié)果位數(shù)取舍：實(shí)驗(yàn)結(jié)果的末位必須與實(shí)驗(yàn)結(jié)果位數(shù)取舍：實(shí)驗(yàn)結(jié)果的末位必須與誤差所在的位對齊。誤差所在的位對齊。 標(biāo)準(zhǔn)偏差只取一位有效數(shù)字，相對誤差取兩標(biāo)準(zhǔn)偏差只取一位有效數(shù)字，相對誤差取兩位有效數(shù)字，取位時一律進(jìn)位（只進(jìn)不舍）。位有效數(shù)字，取位時一律進(jìn)位（只進(jìn)不舍）。3.不計(jì)算誤差時有效數(shù)字的確定 示例 （1）加減運(yùn)算后結(jié)果的末位和參加運(yùn)算的各數(shù)值加減運(yùn)算后結(jié)果的末位和參加運(yùn)算的各數(shù)值中最先出現(xiàn)的可疑位（小

14、數(shù)位最少）一致中最先出現(xiàn)的可疑位（小數(shù)位最少）一致。 （2）乘除運(yùn)算后所得數(shù)值的有效數(shù)字的位數(shù)和參乘除運(yùn)算后所得數(shù)值的有效數(shù)字的位數(shù)和參加運(yùn)算的各數(shù)值中有效數(shù)字最少的數(shù)值的位數(shù)相加運(yùn)算的各數(shù)值中有效數(shù)字最少的數(shù)值的位數(shù)相同同。 （3 3）函數(shù)運(yùn)算后的有效數(shù)字由誤差來決定。）函數(shù)運(yùn)算后的有效數(shù)字由誤差來決定。三三. .使用有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則時應(yīng)注意的問題使用有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則時應(yīng)注意的問題 1. 在運(yùn)算中，常數(shù)、無理數(shù)、常系數(shù)等他們的位數(shù)可以認(rèn)為是無限制的。計(jì)算中所取的位數(shù)應(yīng)足夠多，以免引入計(jì)算誤差。 2.對數(shù)運(yùn)算時，首數(shù)不算有效數(shù)字。 3.首數(shù)是8或9的m位數(shù)值的有效數(shù)字可多取一位（算作m+1位）

15、 4. 有多個數(shù)值參加運(yùn)算時，在運(yùn)算中途各數(shù)值的位數(shù)應(yīng)比按有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則規(guī)定的位數(shù)多取一位，以防止由于多次取舍引入計(jì)算誤差，但運(yùn)算最后仍應(yīng)舍去。 四四. .數(shù)值的修約規(guī)則數(shù)值的修約規(guī)則: :四舍六入五湊偶四舍六入五湊偶（20頁） 要舍去的第一位數(shù)是1、2、3、4時就直接舍去。是6、7、8、9時，在舍去的同時向上一位進(jìn)1。要舍去的一位是5，而保留的最后一位為奇數(shù)時，則舍5進(jìn)1；如果要保留的最后一位是偶數(shù)，則舍去5不進(jìn)位，但5的下一位不是零時仍然要進(jìn)位。 例如，將下列數(shù)值保留三位有效數(shù)字 3.54253.54（小于五舍去） 3.54503.54 （等于五湊偶） 3.54663.55 （大于五進(jìn)位

16、) 3.545013.55 （大于五進(jìn)位） 3.53503.54 （等于五湊偶） 3.54493.54 （小于五舍去） 第四節(jié) 數(shù)據(jù)處理v 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課中常用的數(shù)據(jù)處理方法有以下幾種：v 直接測量量的數(shù)據(jù)處理；v 間接測量量的數(shù)據(jù)處理；v 列表作圖法；v 逐差法。 一一. .直接測量的數(shù)據(jù)處理步驟直接測量的數(shù)據(jù)處理步驟 示例示例1 1 1.計(jì)算被測量測量列 的算術(shù)平均值 ； 2.用貝塞爾公式計(jì)算測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差 ； 3.用肖維涅準(zhǔn)則審查實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如發(fā)現(xiàn)有異常數(shù)據(jù)應(yīng)予舍棄，舍棄該數(shù)據(jù)后再重復(fù)第1、2、3步； 4.計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 ,將其與儀器誤差限（可估讀儀器為半精度，不可估讀儀器為精

17、度）進(jìn)行比較，取較大值作為此次測量的誤差； 5.如有已知的系統(tǒng)誤差，則將平均值加上修正值作為最后的測量結(jié)果； 6.計(jì)算相對誤差： 7.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表示為： 單位 )(xS%100)(xxSE)(xsxxx)(xSixE 二二. .間接測量的數(shù)據(jù)處理步驟間接測量的數(shù)據(jù)處理步驟 示例2. 設(shè)待測量 ,可測得測量列 1.對已測得的各直接測量列 進(jìn)行數(shù)據(jù)處理得出其結(jié)果表達(dá)式（步驟同前）； 2.將第1步算得的各測量列的平均值代入函數(shù)式計(jì)算間接測量量 的算術(shù)平均值，即 ； 3.將第1步結(jié)果中各量的標(biāo)準(zhǔn)偏差或相對誤差代入誤差傳遞公式（公式表）計(jì)算間接測量量 的標(biāo)準(zhǔn)偏差 或相對誤差 ； 4.寫出間接測量量 的結(jié)果

18、表達(dá)式 單位單位),(zyxfN ),(zyxfN )(NS( )NNS xENNNiiizyx,Eiziiizyx, 三三. . 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表與作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表與作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 1.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列表 在記錄和處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時常常將數(shù)據(jù)列成數(shù)據(jù)列表，數(shù)據(jù)列表可以簡潔而明確地表示出有關(guān)物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，便于及時檢查測量結(jié)果是否合理、及時發(fā)現(xiàn)問題和分析問題，有助于找出有關(guān)物理量之間規(guī)律性的聯(lián)系。 2.作圖步驟（21頁）： （1）選擇合適的直角坐標(biāo)紙。 （2）確定坐標(biāo)軸，選擇合適的坐標(biāo)原點(diǎn)，畫出坐標(biāo)軸線，標(biāo)出箭頭方向并注明坐標(biāo)軸所代表的物理量符號及其單位，注明坐標(biāo)分度值。 （3）根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)可用“”