雙曲線簡幾何性質(zhì)

1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程0 0) )b b0 0( (a a1 1b by ya ax x2 22 22 22 2,F F1 1F F2 20 xya ax x 1.范圍范圍：2.對稱性對稱性：關(guān)于關(guān)于x軸、軸、 對稱對稱;y軸、軸、 原點(diǎn)原點(diǎn)雙曲線的對稱中心叫雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的做雙曲線的中心中心.A A1 1A A2 2B B2 2B B1 1b ba aa,0)、a,0)、( (A A1 1(a,0)、(a,0)、A A2 2(0,-b)、(0,-b)、B B1 1b)b)(0,(0,B B2 23.頂點(diǎn)頂點(diǎn)叫做雙曲線的叫做雙曲線的頂點(diǎn)頂點(diǎn).它的長為_.它的長為_.叫做雙

2、曲線的虛軸,叫做雙曲線的虛軸,B BB B它的長為_;它的長為_;叫做雙曲線的實(shí)軸,叫做雙曲線的實(shí)軸,A A線段A線段A2 21 12 21 1a a, ,b b分別叫做雙曲線的分別叫做雙曲線的實(shí)半軸長實(shí)半軸長和和虛半軸長虛半軸長.2a2a2b2b焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)F F1 1F F2 20 xyA A1 1A A2 2B B2 2B B1 1b ba aN(x,Y)N(x,Y)M(x,y)M(x,y)Q Qa)a)(x(xa ax xa ab by y2 22 2x xa ab bY Y x xa ab by y 2 22 2a ax xa ab by

3、 y2 2x xa a1 1x xa ab bx xa ab bY Y4.漸近線漸近線:y yY YMNMNF F1 1F F2 20 xyA A1 1A A2 2B B2 2B B1 1b ba aN(x,Y)N(x,Y)M(x,y)M(x,y)Q Qx xa ab by y ) )a ax x(x(xa ab b2 22 2) )a ax x(x(x) )a ax x)(x)(xa ax x(x(xa ab b2 22 22 22 22 22 2) )a ax x(x(xabab2 22 2MNMNMQMQ . .x x叫叫做做雙雙曲曲線線的的漸漸近近線線a ab b兩兩條條直直線線y y

4、YXF1F2A1A2B1B212222byax焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線草圖畫法軸上的雙曲線草圖畫法5.離心率離心率:叫做雙曲線的離心率.叫做雙曲線的離心率., ,a ac c的比e的比e雙曲線的焦距與實(shí)軸長雙曲線的焦距與實(shí)軸長_._.e e) )(1,(1,F F1 1F F2 20 xyb ba ax xa ab by y a ab b它的開口就越大.它的開口就越大.雙曲線的離心率越大,雙曲線的離心率越大,. . 1 1e e2 2a aa ac c2 22 21 1a ac c2 22 24.4.y y(2)x(2)x1; 1;9 9y y4 4x x(1)(1): :的草圖的草圖例1.

5、作出下列雙曲線例1.作出下列雙曲線2 22 22 22 2注注:實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線等軸雙曲線.0)0)b b0,0,1(a1(ab bx xa ay y標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為2 22 22 22 2實(shí)軸為實(shí)軸為虛軸為虛軸為實(shí)軸長實(shí)軸長虛軸長虛軸長焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)范圍范圍對稱性對稱性漸近線漸近線2 21 1A AA A2 21 1B BB B2a2a2b2bc) c)(0,(0,(0,-c),(0,-c),a)a)(0,(0,(0,-a),(0,-a),a ay y 稱稱關(guān)于x、y軸、原點(diǎn)對關(guān)于x、y軸、原點(diǎn)對0 xyy ya ab bx

6、 xF F1 1F F2 2A A1 1A A2 2B B2 2B B1 1b ba a把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得,1342222xy可得可得:實(shí)半軸長實(shí)半軸長:53422c虛半軸長虛半軸長:半焦距半焦距:焦點(diǎn)坐標(biāo)是焦點(diǎn)坐標(biāo)是: (0,-5),(0,5)離心率離心率:45ace漸近線方程漸近線方程:xy34解解:a=4b=3例題例題2:2:求雙曲線求雙曲線14416922xy的實(shí)半軸長的實(shí)半軸長, ,虛半軸長虛半軸長, ,焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo), ,離心率離心率, ,漸近線方程。漸近線方程。例題例題2:2:求雙曲線求雙曲線14416922xy的實(shí)半軸長的實(shí)半軸長, ,虛半軸長虛半軸長,

7、 ,焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo), ,離心率離心率, ,漸近線方程。漸近線方程。漸近線方程有兩種形式漸近線方程有兩種形式, ,xy34:故所求漸近線方程為說明說明: :;,) 1 (xabyx軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在.,)2(xbayy軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在求漸近線方程最簡捷的辦法求漸近線方程最簡捷的辦法是令常數(shù)項(xiàng)為零再分解因式是令常數(shù)項(xiàng)為零再分解因式解解:0)43)(43(016922xyxyyx得令練習(xí)練習(xí)1：雙曲線：雙曲線116222byx的實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)的實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)A1，虛軸的一個(gè)，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為端點(diǎn)為B1，且，且|A1B1|=5，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。練習(xí)練習(xí)2：求以橢圓：求以橢圓 的焦

8、點(diǎn)為頂點(diǎn)、頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)、頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程雙曲線方程.15822yx標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 2a2b范圍范圍頂點(diǎn)頂點(diǎn)焦點(diǎn)焦點(diǎn)離心率離心率漸近線漸近線32822 yx81922yx-422yx1254922yx284| 4 2x 0 , 240 ,6423exy42618|x|3(3,0)0 ,10310ey=3x44|y|2(0,2)22, 02exy1014|y|5(0,5)74, 0 574exy75思考題思考題:以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸,實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫原實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線雙曲線的共軛雙曲線,求證求證: (1)(1)雙曲線和它的

9、共軛雙曲線有共同的漸近線雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線; ; (2) (2)雙曲線和它的共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上雙曲線和它的共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上. .YXA1A2B1B2F1F2oF2F1證明:(1)設(shè)已知雙曲線的方程是:12222byax則它的共軛雙曲線方程是:12222axby漸近線為：0byax漸近線為:0axby可化為：0byax故雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線(2)設(shè)已知雙曲線的焦點(diǎn)為F(c,0),F(-c,0)它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)為F1(0,c), F2(0,-c),22bac22bacc=c所以四個(gè)焦點(diǎn)F1, F2, F3, F4在同一個(gè)圓.222

10、2上bayx問問:有相同漸近線的雙曲線方程一定是共軛雙曲線嗎？有相同漸近線的雙曲線方程一定是共軛雙曲線嗎？ 雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形,是雙曲線的一部是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面,它的最小半徑為它的最小半徑為12m,上口半徑為上口半徑為13m,下口半徑為下口半徑為25m,高高55m,選擇適當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的坐標(biāo)系,求出雙曲線方程求出雙曲線方程.C/B/A/OABCyx131225解解: 建立如圖直角坐標(biāo)系建立如圖直角坐標(biāo)系,使小圓直徑使小圓直徑AA在在x 軸上軸上,圓心與原點(diǎn)重合圓心與原點(diǎn)重合,這時(shí)上、下這時(shí)上、下口的直徑口的直徑CC，

11、BB平行于平行于x軸。軸。).(225| |),(213| |mBBmCC且).,13(), 0( 1122222yCbbyx點(diǎn)設(shè)雙曲線方程為),55,25(yB則點(diǎn). 1)55(12251121322222222byby或)(125,負(fù)值舍去聯(lián)立方程組解得by 0181502751911222222bbbyx得代入雙曲線方程為12512),(252222yxmb雙曲線方程為用計(jì)算器得例例3方程方程圖形圖形范圍范圍對稱性對稱性頂點(diǎn)頂點(diǎn)離心率離心率12222byax12222bxayaaxx,關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對稱 關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對稱) 1( eace) 1( eaceoYXA1A2B1

12、B2F2F2YXA1A2B1B2F2F1oaayy,)0 ,(),0 ,(21aAaA 12(0,),(0, )Ba Baxaby:漸近線方程xbay例例5 點(diǎn)點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)）與定點(diǎn)F（5,0）的距離）的距離和它到定直線：和它到定直線： 的距離的比是常的距離的比是常數(shù)數(shù) , 求點(diǎn)求點(diǎn)M的軌跡的軌跡.l165x 54y0d,45516:dMFMPMxlMd的軌跡就是集合點(diǎn)的距離，根據(jù)題意，到直線是點(diǎn)解：設(shè).45516)5(2xyx由此得,14416922yx 簡，得將上式兩邊平方，并化191622yx即所以，點(diǎn)所以，點(diǎn)M的軌跡是實(shí)軸、虛軸長分別為的軌跡是實(shí)軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線。的

13、雙曲線。MxyOHFd例5點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(5,0)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù),求點(diǎn)M的軌跡.16:5l x 54 22222222222210000210nxyyxmmnxymnxyxyabxyab 共漸近線的雙曲線系：漸近線方程為：即的雙曲線方程可設(shè)為：時(shí)表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線；時(shí)表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線；與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程可設(shè)為：3 “共焦點(diǎn)共焦點(diǎn)”的雙曲線的雙曲線（1）與橢圓）與橢圓 有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程表有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程表 示為示為22221(0)xyabab2222221().xybaab（2）與雙曲線）與雙曲線 有共同焦點(diǎn)的雙曲線方有共同焦點(diǎn)

14、的雙曲線方程表示為程表示為22221(0,0)xyabab2222221()xybaab 222213 2 391629213213 2 2164xyyxxy 求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）與雙曲線有相同漸近線，且過點(diǎn)，；漸近線方程為：且過點(diǎn)，（3）與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且過典點(diǎn)例題，型； 2210916xy 解： 設(shè)所求雙曲線方程為912916則，2219164xy故所求雙曲線方程為 220332xyyx 漸近線方程可化為22094xy 設(shè)所求雙曲線方程為8114294則，解得22222194188xyxy故所求雙曲線方程為即22191644xy即14解得 222213 2 391629213

15、213 2 2164xyyxxy 求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）與雙曲線有相同漸近線，且過點(diǎn)，；漸近線方典程為：且過點(diǎn)，（3）與雙曲線有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)例題，型； 32 5 0解： 焦點(diǎn)為， ，221 02020 xymmm設(shè)所求雙曲線方程為184120mm則810m 解得或（舍）221128xy故所求雙曲線方程為221492454xye例 求與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率的雙曲線方程。. 191622yx可得, 91625, 42ba求得455a由05），焦點(diǎn)為（5c得2524492c解：由. 1916, 91625, 4455, 1505. 5,252449222222222yxbaaayax

16、cc可得求得然后由設(shè)共焦點(diǎn)的雙曲線為），焦點(diǎn)為（得解：由另解另解22185xy例例: :求求以以橢橢圓圓的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)，而而以以橢橢圓圓的的頂頂點(diǎn)點(diǎn)為為焦焦點(diǎn)點(diǎn)的的雙雙曲曲線線的的方方程程。2222222222213 08522 00510,022 3,242.3,22,835135xyxxyabaabcacbcaxy解解：依依據(jù)據(jù)題題意意有有的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)為為， 。橢橢圓圓的的頂頂點(diǎn)點(diǎn)為為， 和和，由由題題意意可可知知該該雙雙曲曲線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在 軸軸上上，所所以以設(shè)設(shè)雙雙曲曲線線的的方方程程為為則則所所以以所所以以所所求求雙雙曲曲線線方方程程為為例例 ：如圖所示，過雙曲線：如圖所示，過雙曲線 的右焦點(diǎn)的右焦點(diǎn)F2,傾斜角為傾斜角為 30的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法一法一: :設(shè)直線設(shè)直線ABAB的方程為的方程為3(3)3yx 與雙曲線方程聯(lián)立得與雙曲線方程聯(lián)立得A、B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為92 3( 3, 2 3),( ,)55 由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|=1635例例 ：如圖所示，過雙曲線：如圖所示，過雙曲線