第九章 氣體動(dòng)理論

1、第三篇第九章本章內(nèi)容Contentschapter 9物質(zhì)的微觀模型理想氣體狀態(tài)方程理想氣體壓強(qiáng)公式 溫度公式能量均分定理 理想氣體內(nèi)能麥克斯韋速率分布律分子的平均碰撞次數(shù)和平均自由程第一節(jié)物質(zhì)與分子熱運(yùn)動(dòng)500 m/s碰碰 1010 次次 / s 個(gè)個(gè)物態(tài)與分子力斥斥引引合合力力有效半徑有效半徑 10 10 m 10 9 m宏、微觀量氣體的宏觀量是大量分子行為的統(tǒng)計(jì)平均表現(xiàn)描述單個(gè)分子特征的量（大小、質(zhì)量和速度等）。描述單個(gè)分子特征的量（大小、質(zhì)量和速度等）。氣體的微觀量單個(gè)氣體分子的運(yùn)動(dòng)具有偶然性和隨機(jī)性。單個(gè)氣體分子的運(yùn)動(dòng)具有偶然性和隨機(jī)性。氣體的宏觀量表征大量分子宏觀特征的量（體積、壓

2、強(qiáng)和溫度等）。表征大量分子宏觀特征的量（體積、壓強(qiáng)和溫度等）。大量分子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。大量分子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。體積、壓強(qiáng)是指盛裝氣體容器的體積是指盛裝氣體容器的體積(SI)制單位：制單位： 立方米立方米其它單位：其它單位： 升升是垂直于器壁單位面積的作用是垂直于器壁單位面積的作用力，是大量氣體分子碰撞器壁的宏觀效果。力，是大量氣體分子碰撞器壁的宏觀效果。(SI)制單位：制單位：帕斯卡帕斯卡其它單位：其它單位： 毫米汞柱毫米汞柱大氣壓大氣壓溫度氣體的熱力學(xué)溫度氣體的熱力學(xué)溫度單位：單位： 開爾文開爾文熱力學(xué)溫標(biāo)熱力學(xué)溫標(biāo)( K )攝氏溫標(biāo)攝氏溫標(biāo)( C )273.15

3、熱力學(xué)系統(tǒng)孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng): :與外界既無能量交換又無質(zhì)量交換的系統(tǒng)與外界既無能量交換又無質(zhì)量交換的系統(tǒng). .封閉系統(tǒng)封閉系統(tǒng): :與外界有能量交換但沒有質(zhì)量交換的系統(tǒng)與外界有能量交換但沒有質(zhì)量交換的系統(tǒng). .開放系統(tǒng)開放系統(tǒng): :與外界既有能量交換又有質(zhì)量交換的系統(tǒng)與外界既有能量交換又有質(zhì)量交換的系統(tǒng). .平衡態(tài)第二節(jié)三/理想氣體狀態(tài)方程理想氣體微觀模型微觀模型 這是由氣體的共性抽象出來的一個(gè)理想模型。在壓這是由氣體的共性抽象出來的一個(gè)理想模型。在壓力不太大、溫度不太低時(shí)，與實(shí)際情況附合得很好。力不太大、溫度不太低時(shí)，與實(shí)際情況附合得很好。氣體分子的大小氣體分子的大小與分子間的平均距離相比與

4、分子間的平均距離相比可以忽略可以忽略。分子除碰撞瞬間外，可分子除碰撞瞬間外，可忽略相互作用力忽略相互作用力。碰撞視為完全彈性碰撞。碰撞視為完全彈性碰撞。狀態(tài)方程1.3810J K1236.0210231mol例1.0010 - -1 kg1.01310 6 Pa47 C1.01310 6 Pa27 C漏氣后：漏氣后：85的的容器的容器的漏掉的漏掉的的摩爾質(zhì)量的摩爾質(zhì)量3210 - -3 kg / mol2738.31 J /molK8.2010 - -3 m36.6710 - -2 kg3.3310 - -2 kg負(fù)號表示減少，即漏掉。負(fù)號表示減少，即漏掉。例2.010 - -3 kg/mol

5、32.010 - -3 kg/mol氣體摩爾質(zhì)量氣體摩爾質(zhì)量兩氣體的兩氣體的密度之比密度之比分子數(shù)密度之比分子數(shù)密度之比故故得得2.010 - -332.010 - -316即即得得已知已知已知已知例氣體氣體的摩爾質(zhì)量相同的摩爾質(zhì)量相同 ,與與2.4510 25 m- - 31.01331051.3810- - 23 ( 27 + 273 )32.010 - -3 kg /mol1.3008.313001.01331051.300 kg / m31.013310 5 Pa27 C例保持保持 27 C氣氣 體體p1 = = 1.013 10 5 Pa（即即1 標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）在在 1 m

6、3 中有多少分子中有多少分子 ？若將其抽成接近真空若將其抽成接近真空p2 = = 10 - -10 p1其分子數(shù)密度是原來的多少倍其分子數(shù)密度是原來的多少倍 ？1.3810 - -23 (273+27)1.013 10 51.4510 25m3不變不變10 - -10第三節(jié)壓強(qiáng)概念壓強(qiáng)公式溫度公式壓強(qiáng)公式壓強(qiáng)公式理想氣體理想氣體狀態(tài)方程狀態(tài)方程理想氣體理想氣體溫度微觀解釋應(yīng)記住公式均與均與 T 成正比成正比應(yīng)記的兩個(gè)公式應(yīng)記的兩個(gè)公式例4 動(dòng)量定理10 22 個(gè)個(gè)/ /秒秒 碰壁碰壁10 3 m / s3.810 - -26 kg器壁10 - - 4 m2對器壁的壓強(qiáng)大小對器壁的壓強(qiáng)大小此束此

7、束102223.810-261030.8710-46.6103 Pa例 1 1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（1atm)=1.013 10 Pa1atm)=1.013 10 Pa一容器內(nèi)儲氧氣一容器內(nèi)儲氧氣 1.00kg，1.00 atm溫度溫度27 C視為理想氣體，平衡態(tài)視為理想氣體，平衡態(tài)；分子數(shù)密度分子數(shù)密度氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能1.3810233227+273由32J 6.21 1021；氧氣的總平動(dòng)動(dòng)能氧氣的總平動(dòng)動(dòng)能由2.4510個(gè)1.38 1023300.151.013 105例 1 1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（1atm)=1.013 10 Pa1atm)=1.013 10

8、Pa一容器內(nèi)儲氧氣一容器內(nèi)儲氧氣 1.00kg，1.00 atm溫度溫度27 C視為理想氣體，平衡態(tài)視為理想氣體，平衡態(tài)；分子數(shù)密度分子數(shù)密度氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能由；氧氣的總平動(dòng)動(dòng)能氧氣的總平動(dòng)動(dòng)能mM106.21-21103321.0010236.023J 1.17510例M1= 2. 010 3 kg mol - -1M2= 32. 0010 3 kg mol - -1方均根速率方均根速率例例E兩種理想氣體兩種理想氣體這兩種氣體的這兩種氣體的單位體積內(nèi)單位體積內(nèi)氣體分子的氣體分子的總平動(dòng)動(dòng)能總平動(dòng)動(dòng)能之比之比理想氣體的壓強(qiáng)公式理想氣體的壓強(qiáng)公式單位體積中單位體積中的分子

9、數(shù)目的分子數(shù)目總分子數(shù)總分子數(shù)氣體體積氣體體積每個(gè)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能每個(gè)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能單位體積內(nèi)單位體積內(nèi)氣體分子的氣體分子的總平動(dòng)動(dòng)能總平動(dòng)動(dòng)能第四節(jié)考察分子的平均總動(dòng)能考察分子的平均總動(dòng)能 如果將原子看成質(zhì)點(diǎn)，將分子看成是原如果將原子看成質(zhì)點(diǎn)，將分子看成是原子的剛性連接體（子的剛性連接體（剛性分子剛性分子），則分子的動(dòng)），則分子的動(dòng)能除了能除了平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能外，對于多原子分子，還有外，對于多原子分子，還有轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。（如果考慮到非剛性連接，還有。（如果考慮到非剛性連接，還有振動(dòng)動(dòng)能振動(dòng)動(dòng)能）。那么分子的）。那么分子的平均總動(dòng)能平均總動(dòng)能等于多等于多少？少？涉及運(yùn)動(dòng)的涉及運(yùn)動(dòng)的自

10、由度自由度概念。概念。氣體分子的平均氣體分子的平均平動(dòng)平動(dòng)動(dòng)能動(dòng)能自由度單原子分子單原子分子雙原子分子雙原子分子三及多原子分子三及多原子分子能量均分定理（能量按自由度均分定理）（能量按自由度均分定理）理想氣體，平衡態(tài)，分子平均平動(dòng)動(dòng)能理想氣體，平衡態(tài)，分子平均平動(dòng)動(dòng)能每個(gè)平動(dòng)自由度的平均平動(dòng)動(dòng)能均為每個(gè)平動(dòng)自由度的平均平動(dòng)動(dòng)能均為因故 將等概率假設(shè)推廣到轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的將等概率假設(shè)推廣到轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)能量相等，而且亦均等于轉(zhuǎn)動(dòng)能量相等，而且亦均等于平均動(dòng)能例內(nèi)能mol 例例Hmol 例M1= = 2. 010 3 kg mol - -1M2= = 4. 0010 3

11、kg mol - -1例例例Imol 理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能一剛性氣體分子剛性氣體分子的的平均動(dòng)能平均動(dòng)能mol 理想氣體的內(nèi)能理想氣體的內(nèi)能mol 雙原子分子雙原子分子例2 1. 60210 193 1. 3810 237 7 3 0 K一般條件下難以實(shí)現(xiàn)一般條件下難以實(shí)現(xiàn)太陽表面溫度太陽表面溫度5763 K某氣體中的分子平均平動(dòng)動(dòng)能某氣體中的分子平均平動(dòng)動(dòng)能1. 60210 19 J1 ev標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下（0 C0 C，1atm1atm）理想氣體的）理想氣體的分子平均平動(dòng)動(dòng)能分子平均平動(dòng)動(dòng)能分子數(shù)密度分子數(shù)密度2.922.92 10102525m3 3個(gè)個(gè)3.533.53 10

12、102 2ev第五節(jié)麥?zhǔn)纤俾史植冀y(tǒng)計(jì)概念試驗(yàn)?zāi)M演示動(dòng)畫動(dòng)作12345函數(shù)式數(shù)學(xué)表達(dá)式統(tǒng)計(jì)意義三種速率可可以以證證明明例例歸納一個(gè)不能少一個(gè)不能少證1或或得得因因故故令令即即則則證明：證明：證2平均速率平均速率（算術(shù)平均速率）（算術(shù)平均速率） 根據(jù)某連續(xù)變量根據(jù)某連續(xù)變量 x 的平均值等于的平均值等于該該量與概率密度函數(shù)乘積的積分的定義。量與概率密度函數(shù)乘積的積分的定義。 在討論氣體分子平均自由程問題時(shí)涉及到分子的算術(shù)平均在討論氣體分子平均自由程問題時(shí)涉及到分子的算術(shù)平均速率概念；在討論平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)涉及到方均根速率概念。速率概念；在討論平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)涉及到方均根速率概念。麥克斯韋速率分布函數(shù)

13、就是計(jì)算此類速率的概率密度函數(shù)。麥克斯韋速率分布函數(shù)就是計(jì)算此類速率的概率密度函數(shù)。或或也有也有類似類似注意到注意到平均速率推證平均速率推證證3方均根速率方均根速率即即 作為參與統(tǒng)計(jì)平均的連續(xù)變量作為參與統(tǒng)計(jì)平均的連續(xù)變量或或也有也有類似類似則得得回憶 聯(lián)系注意到注意到推證推證例例 假設(shè)有大量的某種粒子，總數(shù)目為假設(shè)有大量的某種粒子，總數(shù)目為N N，其速率分布函數(shù)為，其速率分布函數(shù)為均為正常數(shù)，且均為正常數(shù)，且 為已知為已知畫出該速率分布函數(shù)曲線畫出該速率分布函數(shù)曲線根據(jù)概率分布函數(shù)應(yīng)滿足的基本條件，確定系數(shù)根據(jù)概率分布函數(shù)應(yīng)滿足的基本條件，確定系數(shù)求速率在求速率在 區(qū)間的粒子數(shù)區(qū)間的粒子數(shù)+

14、拋物線方程拋物線方程得得Max續(xù)概率分布函數(shù)應(yīng)滿足概率分布函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件歸一化條件本題本題要求要求得得速率在速率在區(qū)間的粒子數(shù)區(qū)間的粒子數(shù)得得 假設(shè)有大量的某種粒子，總數(shù)目為假設(shè)有大量的某種粒子，總數(shù)目為N N，其速率分布函數(shù)為，其速率分布函數(shù)為均為正常數(shù)，且均為正常數(shù)，且 為已知為已知畫出該速率分布函數(shù)曲線畫出該速率分布函數(shù)曲線根據(jù)概率分布函數(shù)應(yīng)滿足的基本條件，確定系數(shù)根據(jù)概率分布函數(shù)應(yīng)滿足的基本條件，確定系數(shù)求速率在求速率在 區(qū)間的粒子數(shù)區(qū)間的粒子數(shù)+拋物線方程拋物線方程得得Max歸納一個(gè)不能少一個(gè)不能少完備用資料例如何將施測結(jié)果修正為實(shí)地氣壓如何將施測結(jié)果修正為實(shí)地氣壓?80 +

15、( 748 743 )768 74820 mmHg80 mm以長度示體積以長度示體積85 mm溫度不變溫度不變20 808518.8 mmHg743 + 18.8 762 mmHg實(shí)地氣壓實(shí)地氣壓768 mm748 mm真真空空AB80 mm標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)混混進(jìn)進(jìn)小小氣氣泡泡校校 驗(yàn)驗(yàn)743 mmB同溫異同溫異地施測地施測p11V2pV2統(tǒng)計(jì)概念概率概率在所有可能發(fā)生的事件中，某種事件發(fā)生可能在所有可能發(fā)生的事件中，某種事件發(fā)生可能性（或相對機(jī)會）的大小。性（或相對機(jī)會）的大小。某事件某事件X出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率事件事件X X出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)試驗(yàn)總次數(shù)試驗(yàn)總次數(shù)在很多次的試驗(yàn)中在很多次的試驗(yàn)中概

16、率定義式概率定義式若可能事件有若可能事件有 種種則則 種可能事件發(fā)生的總次數(shù)種可能事件發(fā)生的總次數(shù)試驗(yàn)總次數(shù)試驗(yàn)總次數(shù)各種可能事件的概率之和等于各種可能事件的概率之和等于1 1。稱為稱為概率的歸一化條件概率的歸一化條件。歸一化條件歸一化條件概率密度等概率假設(shè)等概率假設(shè) 在氣體動(dòng)理論中經(jīng)常用到一些等概率假設(shè)，如假設(shè)處于平衡態(tài)的氣在氣體動(dòng)理論中經(jīng)常用到一些等概率假設(shè)，如假設(shè)處于平衡態(tài)的氣體，每個(gè)分子出現(xiàn)在容器內(nèi)任何一點(diǎn)處的概率相等；每個(gè)分子朝各個(gè)體，每個(gè)分子出現(xiàn)在容器內(nèi)任何一點(diǎn)處的概率相等；每個(gè)分子朝各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的概率相等（如在直角坐標(biāo)中，分子速度的三個(gè)分量的方向運(yùn)動(dòng)的概率相等（如在直角坐標(biāo)中，分

17、子速度的三個(gè)分量的各種各種統(tǒng)計(jì)平均值相等統(tǒng)計(jì)平均值相等）等。）等。事件出現(xiàn)在事件出現(xiàn)在 內(nèi)的概率內(nèi)的概率與與 的位置和的位置和 的大小有關(guān)的大小有關(guān)在在 附近單位間附近單位間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率隔內(nèi)出現(xiàn)的概率稱稱概率密度概率密度或或概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)若表示事若表示事X X的量的量 可連續(xù)變化（例如在某些隨機(jī)因素影響下，多可連續(xù)變化（例如在某些隨機(jī)因素影響下，多次測量某電機(jī)的轉(zhuǎn)速可能在某一范圍內(nèi)變化次測量某電機(jī)的轉(zhuǎn)速可能在某一范圍內(nèi)變化）。）。概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)若函數(shù)若函數(shù)的形式已知的形式已知?jiǎng)t則統(tǒng)計(jì)平均統(tǒng)計(jì)平均值統(tǒng)計(jì)平均值對某量對某量 進(jìn)行進(jìn)行 次測量，次測量，測量值測量值出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次

18、數(shù)測量值乘測量值乘以出現(xiàn)次數(shù)以出現(xiàn)次數(shù) 的的統(tǒng)計(jì)平均值統(tǒng)計(jì)平均值若若 值可連續(xù)變化值可連續(xù)變化 則則連續(xù)變量的平均值等于該量與概率密度函數(shù)乘積的積分。連續(xù)變量的平均值等于該量與概率密度函數(shù)乘積的積分。微觀模型壓強(qiáng)統(tǒng)計(jì)分析理想氣體的微觀模型理想氣體的微觀模型 這是由氣體的共性抽象出來的一個(gè)理想模型。在壓力不太大、這是由氣體的共性抽象出來的一個(gè)理想模型。在壓力不太大、溫度不太低時(shí)，與實(shí)際情況附合得很好。溫度不太低時(shí)，與實(shí)際情況附合得很好。氣體分子的大小與分子間的平均距離相比可以忽略。氣體分子的大小與分子間的平均距離相比可以忽略。分子除碰撞瞬間外，無其它相互作用。分子除碰撞瞬間外，無其它相互作用。碰

19、撞視為完全彈性碰撞。碰撞視為完全彈性碰撞。宏觀：器壁單位面積所受的壓力。宏觀：器壁單位面積所受的壓力。微觀：大量氣體分子對器壁單位面積的平均沖力。微觀：大量氣體分子對器壁單位面積的平均沖力。理想氣體的壓強(qiáng)理想氣體的壓強(qiáng)主要理論依據(jù)：動(dòng)量定理、統(tǒng)計(jì)平均主要理論依據(jù)：動(dòng)量定理、統(tǒng)計(jì)平均壓強(qiáng)推導(dǎo)方案一主要理論依據(jù)：動(dòng)量定理、統(tǒng)計(jì)平均主要理論依據(jù)：動(dòng)量定理、統(tǒng)計(jì)平均宏觀：器壁單位面積所受的壓力宏觀：器壁單位面積所受的壓力微觀：大量氣體分子頻繁碰撞器壁對器壁單位面積的平均沖力微觀：大量氣體分子頻繁碰撞器壁對器壁單位面積的平均沖力要考慮分子速度要考慮分子速度（大小及方向）（大小及方向）不同的因素不同的因素

20、對各種不同速對各種不同速度間隔的分子度間隔的分子碰壁沖量求和碰壁沖量求和運(yùn)用統(tǒng)計(jì)平均運(yùn)用統(tǒng)計(jì)平均值及平衡態(tài)概值及平衡態(tài)概念得到壓強(qiáng)與念得到壓強(qiáng)與微觀量的關(guān)系微觀量的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氣體的分子數(shù)密度氣體的分子數(shù)密度其數(shù)量之多已其數(shù)量之多已能很好滿足微能很好滿足微觀統(tǒng)計(jì)的要求觀統(tǒng)計(jì)的要求個(gè)個(gè)cm3續(xù)某分子動(dòng)量增量某分子動(dòng)量增量（不與器壁法（不與器壁法向平行的速度向平行的速度分量，其相應(yīng)分量，其相應(yīng)的動(dòng)量無變化）的動(dòng)量無變化）光光滑滑器器壁壁續(xù)在在 時(shí)間內(nèi)，入射分子束斜園時(shí)間內(nèi)，入射分子束斜園柱體的體積柱體的體積 中速度基本為中速度基本為 的分子，都能碰撞器壁一次。的分子，都能碰撞器壁一次。

21、其若氣體中速度基本為若氣體中速度基本為 的的分子數(shù)密度為分子數(shù)密度為則該組分子與則該組分子與 碰撞而發(fā)生的動(dòng)量碰撞而發(fā)生的動(dòng)量變化為變化為續(xù)因平衡態(tài)中兩者各占一半，故因平衡態(tài)中兩者各占一半，故的分子才能與的分子才能與 相碰。相碰。（負(fù)射向分量）負(fù)射向分量）此式包含此式包含和和的分子。只有的分子。只有能與能與 碰撞的所有分子的總動(dòng)量變化為碰撞的所有分子的總動(dòng)量變化為將上式對平衡態(tài)氣體中從各個(gè)將上式對平衡態(tài)氣體中從各個(gè)不不同方向同方向、以、以不同速度不同速度射向射向 的的各束分子各束分子求和求和，其總動(dòng)量變化為，其總動(dòng)量變化為續(xù) 容器中氣容器中氣體總體的分體總體的分子數(shù)密度子數(shù)密度的的統(tǒng)計(jì)平均值統(tǒng)

22、計(jì)平均值上述上述 能與能與 碰撞的所有分子的總動(dòng)量變化碰撞的所有分子的總動(dòng)量變化得得壁對氣壁對氣器壁器壁 受氣體分子受氣體分子作用的平均沖力作用的平均沖力壁對氣壁對氣氣對壁氣對壁應(yīng)用動(dòng)量定理，應(yīng)用動(dòng)量定理， 分子受器壁分子受器壁作用的平均沖力為作用的平均沖力為續(xù)上述上述 器壁器壁 受氣體分子作用的平均沖力受氣體分子作用的平均沖力壁對氣壁對氣氣對壁氣對壁 由于分子向由于分子向 X、Y、Z方向運(yùn)動(dòng)概率相等方向運(yùn)動(dòng)概率相等 又因又因則則可推知可推知得得氣對壁氣對壁由此推得：由此推得：定義定義氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為大量為大量氣對壁氣對壁 理想氣體的壓強(qiáng)公式理想氣體的壓強(qiáng)公式方案二續(xù)速率曲線特點(diǎn)快減快減快增快增兩者相乘兩者相乘曲線曲線曲線曲線曲線曲線有單峰，不對稱有單峰，不對稱速率分布曲線速率分布曲線速率速率 恒取正恒取正若若 、 給定，給定，歸一化若將速率區(qū)間擴(kuò)展至 到 即具有一切可能速率的分子數(shù)與總分子數(shù)之比應(yīng)為速率在 到 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù) 占總分子數(shù) 的概率 對分子質(zhì)量為m 、熱力學(xué)溫度為T