第一章質(zhì)點運動學(xué)

1、1第一章第一章 質(zhì)點運動學(xué)質(zhì)點運動學(xué)21.物理學(xué)物理學(xué)是研究物質(zhì)的是研究物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)、物質(zhì)間的物質(zhì)間的基本相互作基本相互作用用和物質(zhì)和物質(zhì)運動運動所遵循的所遵循的普遍規(guī)律普遍規(guī)律的科學(xué)；的科學(xué)；2.物理學(xué)物理學(xué)所研究的物質(zhì)的運動包括所研究的物質(zhì)的運動包括機械運動、分子運動、機械運動、分子運動、電磁運動、原子和原子核內(nèi)的運動電磁運動、原子和原子核內(nèi)的運動；3第一章第一章 質(zhì)點運動學(xué)質(zhì)點運動學(xué) 運動學(xué)運動學(xué)是從是從幾何觀點幾何觀點來研究和描述物體來研究和描述物體機械運動機械運動的的規(guī)律。規(guī)律。(1)機械運動機械運動 物體間、物體各部分之間相對位置的變動，稱為物體間、物體各部分之間相對位置

2、的變動，稱為機械運動。機械運動。(2)位矢位矢(位置矢量位置矢量)、速度、速度 描述物體所處的位置和運動狀態(tài)。描述物體所處的位置和運動狀態(tài)。(3)加速度加速度 描述物體運動狀態(tài)的改變。描述物體運動狀態(tài)的改變。(4)運動方程運動方程 質(zhì)點相對坐標(biāo)系的位置隨時間變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。質(zhì)點相對坐標(biāo)系的位置隨時間變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 4 經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)始人經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)始人Isaac Newton 16421727力學(xué)力學(xué)是研究機械運動的規(guī)律及其應(yīng)是研究機械運動的規(guī)律及其應(yīng)用的學(xué)科。主要指以用的學(xué)科。主要指以牛頓三定律牛頓三定律為為基礎(chǔ)的經(jīng)典力學(xué)。基礎(chǔ)的經(jīng)典力學(xué)。力學(xué)為力學(xué)為自然科學(xué)自然科學(xué)提供了最科學(xué)的工提供

3、了最科學(xué)的工作方法：作方法：(1)深入觀察自然現(xiàn)象，從深入觀察自然現(xiàn)象，從現(xiàn)象的復(fù)雜因素中選擇單個因素進現(xiàn)象的復(fù)雜因素中選擇單個因素進行實驗；行實驗；(2)對觀察與實驗的結(jié)果進對觀察與實驗的結(jié)果進行分析、綜合，作出必要的假設(shè)，行分析、綜合，作出必要的假設(shè)，建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ停唤⑶‘?dāng)?shù)哪Ｐ停?3)利用數(shù)學(xué)工具利用數(shù)學(xué)工具得出理論；得出理論；(4)理論結(jié)果又受到實踐理論結(jié)果又受到實踐的檢驗和校正。的檢驗和校正。51-1 質(zhì)點運動的描述質(zhì)點運動的描述一、質(zhì)點一、質(zhì)點1.質(zhì)點質(zhì)點 一個只具有一個只具有質(zhì)量質(zhì)量而沒有大小和形狀的而沒有大小和形狀的理想物體理想物體，稱為稱為質(zhì)點質(zhì)點。質(zhì)點是一個。質(zhì)點是一個理

4、想模型理想模型。2.理想模型理想模型(1)理想模型理想模型 由真實物體中抽象出來，在一定程度上是客觀實由真實物體中抽象出來，在一定程度上是客觀實際地反映，并且要接受實踐的檢驗，證明是正確的模際地反映，并且要接受實踐的檢驗，證明是正確的模型。是突出主要因素，忽略次要因素，使問題簡化但型。是突出主要因素，忽略次要因素，使問題簡化但又不失客觀真實性的一抽象思維方法。又不失客觀真實性的一抽象思維方法。6(2)其它主要的理想模型其它主要的理想模型 剛體剛體、線性彈簧振子線性彈簧振子、理想氣體理想氣體、點電荷點電荷等。物理等。物理學(xué)中保留下來的理想模型都經(jīng)受了實踐的檢驗，全部物學(xué)中保留下來的理想模型都經(jīng)受

5、了實踐的檢驗，全部物理學(xué)的原理、定律都是對一定的理想模型行為的刻畫。理學(xué)的原理、定律都是對一定的理想模型行為的刻畫。3.質(zhì)點的選取質(zhì)點的選取 如果所研究的問題不涉及物體如果所研究的問題不涉及物體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動或物體各部分之或物體各部分之間的間的相對相對運動運動，可將運動物體視為質(zhì)點。能否將物體看，可將運動物體視為質(zhì)點。能否將物體看成質(zhì)點，必須根據(jù)問題的性質(zhì)而定，而不是依據(jù)物體的成質(zhì)點，必須根據(jù)問題的性質(zhì)而定，而不是依據(jù)物體的大小大小(絕對尺寸絕對尺寸)而定。而定。74.質(zhì)點模型的物理意義質(zhì)點模型的物理意義(1)它是力學(xué)中最基本、最簡單的理想模型。它是力學(xué)中最基本、最簡單的理想模型。(2)研究質(zhì)點的運

6、動規(guī)律是研究物體運動的基礎(chǔ)。研究質(zhì)點的運動規(guī)律是研究物體運動的基礎(chǔ)。5.思考題思考題: 地球可否看作質(zhì)點？為什么地球可否看作質(zhì)點？為什么?(1)當(dāng)研究地球的公轉(zhuǎn)時當(dāng)研究地球的公轉(zhuǎn)時，地球的平均半徑約為，地球的平均半徑約為6400km，地球到太陽的距離約為地球到太陽的距離約為1.5108km。(2)當(dāng)研究地球上不同處的的自轉(zhuǎn)速率時，當(dāng)研究地球上不同處的的自轉(zhuǎn)速率時，北京：北京：39057，356m/s；上海：；上海：31012，398m/s;廣州：廣州：23000，428m/s。81.運動的絕對性運動的絕對性 運動和物質(zhì)密不可分，運動是物質(zhì)存在的形式，是運動和物質(zhì)密不可分，運動是物質(zhì)存在的形式，

7、是物質(zhì)固有的屬性，物質(zhì)的運動存在于人的意識之外。物質(zhì)固有的屬性，物質(zhì)的運動存在于人的意識之外。一一切物質(zhì)都處于永恒的運動之中切物質(zhì)都處于永恒的運動之中。2.運動的相對性運動的相對性 雖然運動本身具有絕對性，但是一定物體的具體的雖然運動本身具有絕對性，但是一定物體的具體的運動情況卻具有相對性。因為同一個物體相對于不同的運動情況卻具有相對性。因為同一個物體相對于不同的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(或者說參考標(biāo)準(zhǔn)或者說參考標(biāo)準(zhǔn)) 具有不同的運動情況，這種現(xiàn)象具有不同的運動情況，這種現(xiàn)象稱為運動的稱為運動的相對性相對性。二、參考系和坐標(biāo)系二、參考系和坐標(biāo)系9 3.參考系參考系(1)參考系參考系 描述物體運動時被選作參考的

8、其它物體或體系，稱描述物體運動時被選作參考的其它物體或體系，稱為為“參考系參考系”或或“參照系參照系” 。(2)如何選擇參考系如何選擇參考系 在研究物體的運動時在研究物體的運動時,如何選擇參考系應(yīng)根據(jù)不同問如何選擇參考系應(yīng)根據(jù)不同問題的具體情況題的具體情況,本著本著有利于分析問題、解決問題來選取。有利于分析問題、解決問題來選取。 運動的相對性運動的相對性是由于選取的參考系不同，導(dǎo)致對運是由于選取的參考系不同，導(dǎo)致對運動的描述的不同。動的描述的不同。 要描述一個物體的運動，必須首先選定一個參考系。要描述一個物體的運動，必須首先選定一個參考系。104.坐標(biāo)系坐標(biāo)系 為了方便描述和研究物體相對于參考

9、系的運動，為了方便描述和研究物體相對于參考系的運動，必須在參考系上固定某一種類的坐標(biāo)系。必須在參考系上固定某一種類的坐標(biāo)系。 可以選擇可以選擇直直角坐標(biāo)角坐標(biāo)、極坐標(biāo)極坐標(biāo)、或、或自然坐標(biāo)自然坐標(biāo)等。等。 例如：可以例如：可以建立直角坐標(biāo)系建立直角坐標(biāo)系Oxyz，用坐標(biāo)值，用坐標(biāo)值 (x,y,z)來表示空間一質(zhì)點來表示空間一質(zhì)點 P 的位置。由的位置。由O點向質(zhì)點點向質(zhì)點 P引一矢量引一矢量(稱為位置矢量，簡稱稱為位置矢量，簡稱位矢位矢), 其大小和方向完全確定了其大小和方向完全確定了質(zhì)點相對于參考系的位置。質(zhì)點相對于參考系的位置。11xyzOOPr P(x,y,z)r125.空間和時間空間和

10、時間 空間反映了物體的空間反映了物體的廣延性廣延性；時間則反映了物理事件；時間則反映了物理事件的的順序性順序性和和持續(xù)性持續(xù)性。(1)牛頓時空觀牛頓時空觀 空間和時間是不依賴于物質(zhì)的獨立的客觀存在。空間和時間是不依賴于物質(zhì)的獨立的客觀存在。(2)萊布尼茲時空觀萊布尼茲時空觀 空間和時間完全由物質(zhì)決定?？臻g和時間完全由物質(zhì)決定。(3)愛因斯坦時空觀愛因斯坦時空觀相對論時空觀。相對論時空觀。 時間和空間在時間和空間在低速條件下低速條件下和物體的運動速度和物體的運動速度無關(guān)；無關(guān)；而而高速時高速時則和物體的速度則和物體的速度有關(guān)有關(guān)。13cmmllv ,1,1,1202020m0 、l0、0為物體在

11、相對靜止時的慣性系中測出的質(zhì)為物體在相對靜止時的慣性系中測出的質(zhì)量、長度和時間，稱為量、長度和時間，稱為靜止質(zhì)量靜止質(zhì)量、原長原長和和原時原時。m、l、是物體對觀察者有相對速度是物體對觀察者有相對速度 v 時的質(zhì)量時的質(zhì)量(運動運動質(zhì)量質(zhì)量)、長度、長度(動長動長)和時間和時間(動時動時)。14三、位矢三、位矢1.位矢位矢 描述質(zhì)點位置的矢量，稱描述質(zhì)點位置的矢量，稱為位置矢量，簡稱為為位置矢量，簡稱為位矢位矢。又。又稱為稱為矢徑矢徑。 OPr 是由參考點是由參考點 O 指向質(zhì)點指向質(zhì)點所在位置所在位置 P 的矢量，它完全的矢量，它完全確定了質(zhì)點在空間的位置。確定了質(zhì)點在空間的位置。xyzP(

12、x,y,z)rOr用用 表示。表示。15kzj yixr x、y、z 稱為質(zhì)點的位置坐標(biāo)。稱為質(zhì)點的位置坐標(biāo)。2.笛卡爾坐標(biāo)系中的位矢笛卡爾坐標(biāo)系中的位矢位矢的大小可以表示為：位矢的大小可以表示為：222zyxr 位矢的方向余弦：位矢的方向余弦：rzryrx cos,cos,cos分別為位矢與分別為位矢與x軸、軸、y軸、軸、z軸的夾角。軸的夾角。 ,位矢方向上的單位矢量：位矢方向上的單位矢量：rr rxikzj yi xrirrirrirr 1 cos,cos顯然有：顯然有：1coscoscos222 16OzxyArBrr s trttrrrrAB 四、位移四、位移1.位移位移 位矢在位矢在

13、 t 時間間隔內(nèi)的時間間隔內(nèi)的增量增量，稱為稱為位移矢量位移矢量。2.路程路程 s 在一定的時間內(nèi)，質(zhì)點在其軌在一定的時間內(nèi)，質(zhì)點在其軌跡上所經(jīng)過的路徑的總的長度稱為路程。跡上所經(jīng)過的路徑的總的長度稱為路程。路程是標(biāo)量路程是標(biāo)量。3.位移的物理意義位移的物理意義(1)位移是矢量位移是矢量。其。其大小及方向只和質(zhì)點運動的始末位置大小及方向只和質(zhì)點運動的始末位置有關(guān)有關(guān)，與坐標(biāo)系及其原點的選取無關(guān)。，與坐標(biāo)系及其原點的選取無關(guān)。(2)位移的方向為路徑曲線的割線方向。位移的方向為路徑曲線的割線方向。AB17(3)對于無限小的時間間隔，即當(dāng)時間對于無限小的時間間隔，即當(dāng)時間 t 趨于零時，質(zhì)點趨于零時

14、，質(zhì)點發(fā)生的位移也是無限小，稱為發(fā)生的位移也是無限小，稱為位移元位移元，srdd 4.位移和路程的區(qū)別位移和路程的區(qū)別(1)位移表示質(zhì)點位置的改變，它不一定是質(zhì)點所經(jīng)歷的位移表示質(zhì)點位置的改變，它不一定是質(zhì)點所經(jīng)歷的路程。路程。r sr (2)位移矢量的大小位移矢量的大小 和路程和路程 s 的大小一般情況下不相的大小一般情況下不相等，且有等，且有 。(4)rr trttrrtrttrr ,rd用用 表示表示.18ABrrr 5.直角坐標(biāo)系中位移的表達(dá)式直角坐標(biāo)系中位移的表達(dá)式位移大?。何灰拼笮。?222zyxr kzzjyyixxkzjyixkzjyixABABABAAABBB kzj yi

15、xr kzjyixr ,kzjyixrBBBBAAAA 19五、運動學(xué)方程五、運動學(xué)方程1.質(zhì)點的運動學(xué)方程質(zhì)點的運動學(xué)方程 質(zhì)點相對坐標(biāo)系的位置隨時質(zhì)點相對坐標(biāo)系的位置隨時間變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。間變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。2.運動學(xué)方程的表示形式運動學(xué)方程的表示形式, )(, )(, )(tzztyytxx 分量式表示法：分量式表示法：x z y z(t) y(t)x(t)P(t)0r, )(trr 位矢法：位矢法：3.運動方程的物理意義運動方程的物理意義 根據(jù)質(zhì)點的運動方程，可以確定任一時刻質(zhì)點的根據(jù)質(zhì)點的運動方程，可以確定任一時刻質(zhì)點的位位置、速度和加速度置、速度和加速度。4.軌道方程軌道方程又稱

16、為軌跡方程。又稱為軌跡方程。 從運動方程中消去時間從運動方程中消去時間 t 即可得到質(zhì)點的軌跡方程。即可得到質(zhì)點的軌跡方程。20六、速度六、速度1.平均速度平均速度 當(dāng)質(zhì)點在當(dāng)質(zhì)點在 t 時間內(nèi)完成了一時間內(nèi)完成了一定的位移，位移與時間的比值稱定的位移，位移與時間的比值稱為質(zhì)點在這段時間內(nèi)的平均速度。為質(zhì)點在這段時間內(nèi)的平均速度。單位：單位：m/s。tr vx y z 0 P1 tr S P2 ttr 平均速度是矢量平均速度是矢量，方向與位移方向相同。，方向與位移方向相同。2.平均速率平均速率 路程路程 s 與時間與時間 t 的比值稱為質(zhì)點的比值稱為質(zhì)點在在 t時間內(nèi)的平均速率。它是標(biāo)量。時間

17、內(nèi)的平均速率。它是標(biāo)量。 ts vr 213.瞬時速率瞬時速率 定義為：定義為：tststtddlimlim00 vv4.瞬時速度瞬時速度 定義為：定義為：trtrttrttrttddlim)()(lim00 v 瞬時速度是矢量，方向是當(dāng)瞬時速度是矢量，方向是當(dāng) t趨于零時，位移的趨于零時，位移的極限方向極限方向(切線方向切線方向)，并指向質(zhì)點前進的方向。，并指向質(zhì)點前進的方向。x y z 0 P1 tr S P2 ttr r 225.速度在直角坐標(biāo)系中的表示式速度在直角坐標(biāo)系中的表示式222222dddddd tztytxzyxvvvvtrdd vkzj yixr tz ty txzyxdd

18、;dd;dd vvvzyxzyxkjivvvvvvv k j izzyyxxvvvvvv ; ktzjtyitxkzj yixtdddddddd 236.瞬時速度和瞬時速率的關(guān)系瞬時速度和瞬時速率的關(guān)系 速度的大小等于速率的大小。當(dāng)速度的大小等于速率的大小。當(dāng) t 趨于零時，趨于零時，sr 就就趨趨近近于于trdd v等于質(zhì)點在等于質(zhì)點在t 時刻速率時刻速率tsddvv tststrtrttddlimlimdd00srdd 即即：24例例1 設(shè)質(zhì)點的運動方程為設(shè)質(zhì)點的運動方程為 ( )( )( ) ,r tx t iy t j其中其中:，0 . 225. 0)(2 tty ttx，0 . 20

19、 . 1)( 式中式中x，y的單位為的單位為m(米米)，t 的單位為的單位為s(秒秒)。(1)求求t=3s時的速度時的速度; (2)作出質(zhì)點的運動軌跡圖作出質(zhì)點的運動軌跡圖。解解: (1) 由題意可得由題意可得:ttyy5 . 0dd vt=3s時的速度時的速度:ji5 . 10 . 1 v0 . 1dd txxvo3 .560 . 15 . 1arctan 為：為：軸的夾角軸的夾角與與速度速度 xvxy1.01.5vO jiyxvvv 速度速度:j ti5 . 00 . 1 25消去時間消去時間t，可的軌跡方程為，可的軌跡方程為:(2)作出質(zhì)點的運動軌跡圖作出質(zhì)點的運動軌跡圖，0 . 225

20、. 0)(2 tty ttx，0 . 20 . 1)( 由運動方程由運動方程0 .325.02 xxy軌軌跡跡圖圖/mx/my0246- 6 - 4 - 22460 ts2 ts2 ts4 ts4 t26例例2如圖如圖A、B 兩物體由一長為兩物體由一長為 l 的剛性細(xì)桿相連，的剛性細(xì)桿相連，A、B 兩物體可在光滑軌道上滑行。如物體兩物體可在光滑軌道上滑行。如物體 A以恒定的速率以恒定的速率v 向左滑行向左滑行, 當(dāng)當(dāng) =600時時, 物物體體B的的速率速率為多少？為多少？解解: 根據(jù)速度的定義可得：根據(jù)速度的定義可得：iitxixAvvv ddjtyjyBdd vv222lyx xyoABlv

21、Bv兩邊求導(dǎo)得：兩邊求導(dǎo)得：0dd2dd2 tyytxx27即即txyxtydddd jtxyxBdd v時時：當(dāng)當(dāng)o60 jB tanvv v tx dd0dd2dd2 tyytxxjtyBdd vyx tanvv1.73 B軸軸正正方方向向。沿沿yBvxyoABlvBv28七、加速度七、加速度1.平均加速度平均加速度速度增量：速度增量：)()(12t-ttPPvvvvv ta v定義：定義：為質(zhì)點的為質(zhì)點的平均加速度平均加速度。x y z O P1 tr tv P2 ttr tt v tv tt vv 2.瞬時加速度瞬時加速度定義質(zhì)點的瞬定義質(zhì)點的瞬時加速度為：時加速度為：2200dddd

22、limlimtrttaatt vv 加速度是矢量，方向為加速度是矢量，方向為 t 趨于零時速度增量極限趨于零時速度增量極限方向。一般不同于速度的方向。方向。一般不同于速度的方向。293.加速度方向和速度方向的關(guān)系加速度方向和速度方向的關(guān)系(1)直線運動：直線運動：速率增加時和速度方向相同，速率減少時速率增加時和速度方向相同，速率減少時和速度方向相反；和速度方向相反；(2)曲線運動：曲線運動：速率增加時和速度方向成銳角，速率減少速率增加時和速度方向成銳角，速率減少時和速度方向成鈍角；速率不變時和速度方向成直角。時和速度方向成鈍角；速率不變時和速度方向成直角。加速度總是指向軌跡曲線凹的一側(cè)。加速度

23、總是指向軌跡曲線凹的一側(cè)。4. 加速度的表達(dá)式加速度的表達(dá)式(1)加速度矢量式加速度矢量式ktjtittazyxddddddddvvvv ktzjtyitxtra22222222dddddddd 30(2)加速度分量式加速度分量式222222ddddddddddddtztatytatxtazzyyxx vvv，atztytxaaaazyx 222222222222dddddd5.加速度的大小加速度的大小6.速度和加速度的方向速度和加速度的方向v zyx0vvvvvvzyx cos,cos,cosaaaaaazyx cos,cos,cos31例例3有一個球體在某液體中豎直下落有一個球體在某液體中

24、豎直下落, 其初速度為：其初速度為：。j100 v。jav0 . 1 問：問：(1)經(jīng)過多少時間后可以認(rèn)為小球已停止運動；經(jīng)過多少時間后可以認(rèn)為小球已停止運動； (2)此球體在停止運動前經(jīng)歷的路程有多長？此球體在停止運動前經(jīng)歷的路程有多長？它在液體中的加速度為：它在液體中的加速度為：0vyoa解：解：小球停止運動，即小球的速度衰減為小球停止運動，即小球的速度衰減為零?？筛鶕?jù)加速度的定義求出速度和路程。零。可根據(jù)加速度的定義求出速度和路程。 tt0dd0vvvvte 0vvvtv0 . 1dd atety 0ddvvteyttydd000 v）（tey 11032O/my/st10-1/m s

25、v0vO/stte0 . 10 vv）（tey0 . 1110 v0/10v0/100v0001/0v00010/0vmystm10, 0s2 . 9 y ,tv33例例4 如圖一拋體在地球表如圖一拋體在地球表面附近面附近, 從原點從原點O以初速以初速0v沿與水平面上沿與水平面上Ox軸的正向軸的正向成成 角拋出。如略去拋體角拋出。如略去拋體在運動過程中空氣的阻力在運動過程中空氣的阻力作用，求拋體運動的軌跡作用，求拋體運動的軌跡方程和最大射程。方程和最大射程。xy221t grt0v PO解：解：jggaay 0 xa2021t gtr v cos0vv ox sin0vv oy按已知條按已知條

26、件，件，t=0時，時，有：有：gaayx 0運動方程：運動方程：代入運代入運動方程：動方程：34jgttjit gtr2002021)sincos(21 vvvtx cos0v2021singtty v2220cos2tanxgxy v 軌跡方程為：軌跡方程為：xvyvvxvyvv0dxyo0voxvoyv350cos2tan2220 xgxy v01 xggx cossin2cos2tan202202vv xvyvvxvyvv0dxyo0voxvoyv當(dāng)拋射角為當(dāng)拋射角為 時時,最大射程為：最大射程為：gxd cossin22020v 3602cos2dd200 gdv由于空氣阻力，實際由于

27、空氣阻力，實際射程小于最大射程。射程小于最大射程。最大射程最大射程d0max:gd20max0v 時時：當(dāng)當(dāng)4 ggd 2sincossin220200v v4 得：得：真空中路徑真空中路徑實際路徑實際路徑dxyo0d37結(jié)果分析結(jié)果分析物體的速率低于物體的速率低于200m/s，阻力與速率的，阻力與速率的平方成正比平方成正比；速率達(dá)到速率達(dá)到 400600m/s，阻力與速率的，阻力與速率的三次方成正比三次方成正比;在速率很大的情況下，阻力與速率的更高次方成正比在速率很大的情況下，阻力與速率的更高次方成正比 總之，物體的速率越小，空氣阻力的影響越小，拋總之，物體的速率越小，空氣阻力的影響越小，拋

28、體運動越接近理想的情況。體運動越接近理想的情況。例如：某低速迫擊炮彈的理想射程可達(dá)例如：某低速迫擊炮彈的理想射程可達(dá) 360m, 實際上可實際上可以達(dá)到以達(dá)到 350m， 空氣阻力影響不大。空氣阻力影響不大。 加農(nóng)炮的速度大，理想射程可達(dá)加農(nóng)炮的速度大，理想射程可達(dá)46km，實際上只能，實際上只能達(dá)到達(dá)到13km，空氣阻力不能忽略。，空氣阻力不能忽略。38八、質(zhì)點運動學(xué)中的微積分問題八、質(zhì)點運動學(xué)中的微積分問題1.微分問題微分問題主要是根據(jù)已知的運動學(xué)方程通過逐次求主要是根據(jù)已知的運動學(xué)方程通過逐次求導(dǎo)得到質(zhì)點的速度和加速度。導(dǎo)得到質(zhì)點的速度和加速度。ktzjtyitxtra22222222d

29、ddddddd ktzjtyitxtrdddddddd v運動學(xué)方程：運動學(xué)方程：, )(trr )(, )(, )(tzztyytxx 或或2.積分問題積分問題根據(jù)已知的加速度和時間的關(guān)系，通過積根據(jù)已知的加速度和時間的關(guān)系，通過積分，求得質(zhì)點的速度和位矢。下面簡單介紹利用定積分分，求得質(zhì)點的速度和位矢。下面簡單介紹利用定積分的求解方法。的求解方法。39 0000dddddttttttttattttttvvvv 其中其中 0tv 即為速度的初始值，即為速度的初始值， 通常記為通常記為0v ttttat0d0vv可得：可得：(1)求速度：求速度： tttaddv 從從t0t 積分積分根據(jù)公式根

30、據(jù)公式(2)求位矢：求位矢：根據(jù)速度定義公式根據(jù)速度定義公式 ttrtdd v積分：積分： 0000dddddtrtrtrtttrtttttttt v其中其中)(0tr 即為位矢的初始值，通常記為即為位矢的初始值，通常記為0r ttttrtr0d0v可得：可得：40 t at 0vv 2021t atrtr v(3)勻變速運動勻變速運動 加速度為加速度為常矢量常矢量的運動稱為的運動稱為勻變速運動勻變速運動。加速度。加速度和時間無關(guān)。因此，速度、位矢可進一步表示為：和時間無關(guān)。因此，速度、位矢可進一步表示為： 上式對于做勻變速運動的任何質(zhì)點都適用，并且上式對于做勻變速運動的任何質(zhì)點都適用，并且與

31、坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。4112 圓周運動圓周運動一、切向加速度和法向加速度一、切向加速度和法向加速度1.自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系 質(zhì)點繞圓心質(zhì)點繞圓心O作變速運動。作變速運動。在軌跡上建立如下坐標(biāo)系：在軌跡上建立如下坐標(biāo)系： 另一坐標(biāo)軸沿該點軌跡的法線方向并指向曲線凹側(cè)。另一坐標(biāo)軸沿該點軌跡的法線方向并指向曲線凹側(cè)。tevOPne 一坐標(biāo)軸沿軌跡在該一坐標(biāo)軸沿軌跡在該點點 P 的切線方向。的切線方向。te該方向上的單位矢量用該方向上的單位矢量用 表示。表示。ne該方向上的單位矢量用該方向上的單位矢量用 表示。表示。 te R d422.切向與法向加速度切向與法向加速度 設(shè)一質(zhì)點作二

32、維曲線運動，質(zhì)點的加速度一般不為設(shè)一質(zhì)點作二維曲線運動，質(zhì)點的加速度一般不為零，在軌跡上任一點處總可以將總加速度分解為沿切向零，在軌跡上任一點處總可以將總加速度分解為沿切向及法向兩個分量。及法向兩個分量。 vv,sin,cosaaaaaantta切向加速度；切向加速度；na法向加速度。法向加速度。tatenenaa431.加速度的一般表達(dá)式加速度的一般表達(dá)式(1)速度表達(dá)式速度表達(dá)式 由于速度的方向是沿著軌由于速度的方向是沿著軌跡的切線方向的，所以在自然跡的切線方向的，所以在自然坐標(biāo)系中速度可以表示為坐標(biāo)系中速度可以表示為: tevv(2)加速度一般表達(dá)式加速度一般表達(dá)式 根據(jù)加速度的定義，可

33、以求出加速度根據(jù)加速度的定義，可以求出加速度: : tetavdd 二、切向與法向加速度在自然坐標(biāo)系中的表示二、切向與法向加速度在自然坐標(biāo)系中的表示teetttddddvv tevOPnete R d44ds 為質(zhì)點在為質(zhì)點在 dt 時間內(nèi)經(jīng)過的弧長。時間內(nèi)經(jīng)過的弧長。 nnnnteRetsRetRRettev dd1dddddd te te dtedttteee dttee d2.圓周運動的切向與法向加速度的表達(dá)式圓周運動的切向與法向加速度的表達(dá)式方方向向一一致致。和和nteedntteeedd ddd tteentee dd 45 圓周運動的加速度可以分解為相互正交的切向分量圓周運動的加速

34、度可以分解為相互正交的切向分量和法向分量和法向分量, ,即：即：222222dd,dd RtaaaeRaetantnnttvvvvntntaaeReta 2ddvvteetattddddvv nteRtev ddtatenenaa463.切向與法向加速度的物理意義切向與法向加速度的物理意義(1)切向加速度的大小切向加速度的大小 dv/dt 表示質(zhì)點速率變化的快慢；表示質(zhì)點速率變化的快慢；(2)法向加速度的大小法向加速度的大小v2/R表示質(zhì)點方向變化的快慢；表示質(zhì)點方向變化的快慢；ntaaarctg ne(3)方向可以用與方向可以用與 之間的夾角表示。之間的夾角表示。4.結(jié)果分析結(jié)果分析(1)如

35、果如果dv/dt=0, 質(zhì)點作質(zhì)點作勻速圓周運動勻速圓周運動。只有法向加速度，。只有法向加速度，并始終指向軌跡的圓心。并始終指向軌跡的圓心。 (2)結(jié)果可以適用于一般的曲線運動，但是，要用曲率半結(jié)果可以適用于一般的曲線運動，但是，要用曲率半徑徑 代替恒定半徑代替恒定半徑R。法向加速度處處指向曲率中心。法向加速度處處指向曲率中心。tatenenaa 475.一般曲線運動的切向加速度與法向加速度表達(dá)式一般曲線運動的切向加速度與法向加速度表達(dá)式 對于一般曲線運動，加速度的表達(dá)式依然適用，不對于一般曲線運動，加速度的表達(dá)式依然適用，不過要把圓的半徑過要把圓的半徑 R 換成曲率半徑換成曲率半徑 。nnt

36、tnteaeaeeta 2ddvv222222dd,dd vvvvtaaaea etantnntt486.曲線運動的特例分析曲線運動的特例分析(1)an0，at 0，一般曲線運動。，一般曲線運動。(2)an0，at =0，勻速率曲線運動，速度只改變方向，勻速率曲線運動，速度只改變方向，不改變大小。不改變大小。(3)an=0，at 0， 趨于無窮大，變速直線運動，速度趨于無窮大，變速直線運動，速度不改變方向，只改變大小。不改變方向，只改變大小。(4)an=0, at =0。勻速直線運動勻速直線運動。49的的運運動動是是什什么么運運動動？0dd.1 tv課堂討論課堂討論的的運運動動是是什什么么運運

37、動動？0dd.2 tv50 ta,dd. 1v 質(zhì)點的加速度質(zhì)點的加速度加速度是矢量，既有大小又有方向，它不僅反應(yīng)速度加速度是矢量，既有大小又有方向，它不僅反應(yīng)速度大小的變化快慢，而且還反映了速度方向變化的快慢。大小的變化快慢，而且還反映了速度方向變化的快慢。即：即：0dd tv表示加速度的大小和方向均不改變。表示加速度的大小和方向均不改變。所以質(zhì)點作勻速直線運動。所以質(zhì)點作勻速直線運動。22ntaaa nnttnteaeaeeta 2ddvv510dd0dd. 2 t tvv即即因為速度的大小即速率。因為速度的大小即速率。 質(zhì)點運動時的速度的大小質(zhì)點運動時的速度的大小(速率速率)保持常數(shù)，但

38、是方保持常數(shù)，但是方向可以改變。向可以改變。 所以質(zhì)點是做勻速率運動，方向可以改變。所以質(zhì)點是做勻速率運動，方向可以改變。 通過上面的分析，可以得到：通過上面的分析，可以得到：速度導(dǎo)數(shù)的模和速度導(dǎo)數(shù)的模和速速度模的導(dǎo)數(shù)度模的導(dǎo)數(shù)在物理意義上是不同的。在物理意義上是不同的。523.判斷對錯判斷對錯(舉例說明舉例說明)：A.一物體具有恒定速率，但仍有變化的速度。一物體具有恒定速率，但仍有變化的速度。B.一物體具有恒定的速度但仍有變化的速率。一物體具有恒定的速度但仍有變化的速率。C.一物體具有加速度而其速度可以為零。一物體具有加速度而其速度可以為零。D.一物體可以具有向東的加速度同時又具有向西的速度

39、一物體可以具有向東的加速度同時又具有向西的速度速度恒定，包括速度的大小和方向都保持不變。即切向速度恒定，包括速度的大小和方向都保持不變。即切向加速度為零，法向加速度也為零。速度的變化包括大小加速度為零，法向加速度也為零。速度的變化包括大小變化和方向變化。速度可以大小和速度同時變化，也可變化和方向變化。速度可以大小和速度同時變化，也可以單獨變化。以單獨變化。53A.一物體具有恒定速率，但仍有變化的速度。一物體具有恒定速率，但仍有變化的速度。正確。正確。例如勻速率圓周運動，速率恒定例如勻速率圓周運動，速率恒定(速度大小不變速度大小不變)，但是速，但是速度的方向卻時刻在改變。度的方向卻時刻在改變。B

40、.一物體具有恒定的速度但仍有變化的速率。一物體具有恒定的速度但仍有變化的速率。錯誤。錯誤。速度恒定即意味著其大小和方向均不改變，所以其速率不速度恒定即意味著其大小和方向均不改變，所以其速率不會發(fā)生變化。會發(fā)生變化。C.一物體具有加速度而其速度可以為零。一物體具有加速度而其速度可以為零。正確。正確。加速度是描述速度的變的物理量。它與速度的大小沒有直加速度是描述速度的變的物理量。它與速度的大小沒有直接的關(guān)系。例如豎直上拋物體到達(dá)最高點時，速度為零，但它卻接的關(guān)系。例如豎直上拋物體到達(dá)最高點時，速度為零，但它卻有重力加速度。有重力加速度。D.一物體可以具有向東的加速度同時又具有向西的速度一物體可以具

41、有向東的加速度同時又具有向西的速度正確。正確。向向西運行的火車剎車時，其加速度和運動的方向相反，即指向東。西運行的火車剎車時，其加速度和運動的方向相反，即指向東。54三、圓周運動的角速度三、圓周運動的角速度1.角速度角速度 質(zhì)點作圓周運動時質(zhì)點作圓周運動時, 可以用角位移可以用角位移 、角速度、角速度 、角加速度角加速度 等角量描述。等角量描述。 逆時針轉(zhuǎn)向為正，逆時針轉(zhuǎn)向為正，順時針轉(zhuǎn)向為負(fù)。順時針轉(zhuǎn)向為負(fù)。x , R Soy v 稱為稱為角坐標(biāo)角坐標(biāo)。 = (t+ t) - (t)稱為稱為角位移角位移。55tttddlim0 角速度角速度 的方向的方向:按按 “右旋規(guī)則右旋規(guī)則”定。定。(

42、1)平均角速度平均角速度(2)瞬時角速度瞬時角速度簡稱為角速度簡稱為角速度t 單位：單位：rad/s220ddddlimtttt 2.角加速度角加速度(1)平均角加速度平均角加速度t (2)瞬時角加速度瞬時角加速度角加速度角加速度單位：單位：rad/s2單位：單位：rad/s2563.角量描述的運動方程角量描述的運動方程(1)勻速圓周運動的運動方程：勻速圓周運動的運動方程：(2)勻變速圓周運動的運動方程：勻變速圓周運動的運動方程：t 0t 0 0202202,21 tt4.線量和角量之間的關(guān)系線量和角量之間的關(guān)系(1)線速度與角速度的關(guān)系線速度與角速度的關(guān)系(2)切向加速度和切向加速度和角加速

43、度角加速度的關(guān)系的關(guān)系 RtRtstst ddddlim0v RtRtat ddddv(3)法向加速度和法向加速度和角速度角速度的關(guān)系的關(guān)系22 RRan v57例例 一殲擊機在高空點一殲擊機在高空點A時的水平速率為時的水平速率為1 940 kmh-1,沿沿近似圓弧曲線俯沖到點近似圓弧曲線俯沖到點B，其速率為，其速率為2192 kmh-1 , 經(jīng)歷經(jīng)歷時間為時間為3 s , 設(shè)設(shè) 的半徑約為的半徑約為 3.5 km ,飛機從飛機從A到到B過程過程視為視為勻變速率勻變速率圓周運動，不計重力加速度的影響，圓周運動，不計重力加速度的影響，求：求：(1)飛機在點飛機在點B的加速度；的加速度； (2)飛

44、機由點飛機由點A到點到點B所經(jīng)歷的路程。所經(jīng)歷的路程。ABoABAvBvratana解：解：(1)1hkm9401 Av1hkm1922 Bvm105 . 3s，33 rt ttta0ddBAvvv58tatABvv ran2Bv 而而B點點22sm106sm3 .23 ntaa，oABAvBvratana ttta0ddBAvvv222sm109 ntaaaontaa4 .12arctan 59(2)矢徑矢徑 所轉(zhuǎn)過的角度所轉(zhuǎn)過的角度 r221ttA 221tatrstA v oABAvBvratanara rtAA ;vm7221 s601.判斷對錯判斷對錯(舉例說明舉例說明)：A.在圓周

45、運動中，加速度的方向一定指向圓心；在圓周運動中，加速度的方向一定指向圓心；B.勻速率圓周運動的速度和加速度都恒定不變；勻速率圓周運動的速度和加速度都恒定不變；C.物體作曲線運動時，必定有加速度，加速度的法向分物體作曲線運動時，必定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。量一定不等于零。課堂討論課堂討論61A.在圓周運動中，加速度的方向一定在圓周運動中，加速度的方向一定指向圓心；指向圓心；錯誤。錯誤。質(zhì)點只有作勻速圓周運動時加質(zhì)點只有作勻速圓周運動時加速度的方向指向圓心。如果作變速圓速度的方向指向圓心。如果作變速圓周運動，加速度的方向如圖所示。周運動，加速度的方向如圖所示。nataaoB.勻速率

46、圓周運動的速度和加速度都恒定不變；勻速率圓周運動的速度和加速度都恒定不變；錯誤。錯誤。質(zhì)點作勻速圓周運動時，速度和加速度的大小不質(zhì)點作勻速圓周運動時，速度和加速度的大小不變，但方向改變。變，但方向改變。C.物體作曲線運動時，必定有加速度，加速度的法向分物體作曲線運動時，必定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。量一定不等于零。正確。正確。運動方向改變，必定有法向加速度。運動方向改變，必定有法向加速度。62xyO0v2.如下圖所示，一質(zhì)點作拋體運動。忽略空氣阻力，請如下圖所示，一質(zhì)點作拋體運動。忽略空氣阻力，請回答下列問題：回答下列問題：(1)dv/dt 是否變化？是否變化？(2)法向加速度是

47、否變化？法向加速度是否變化？化化？變變否否是是 tdd)3(v63(1) 若把若把 dv/dt 理解成切向加速度理解成切向加速度at,則在質(zhì)點的運動過程則在質(zhì)點的運動過程中切向加速度是一直在變化的。中切向加速度是一直在變化的。xyOtanag cosgat 所以切向加速度是一變量。所以切向加速度是一變量。(2)同理，法向加速度也是變化的。同理，法向加速度也是變化的。 singan 不變。不變。 gat,dd v(3)質(zhì)點作拋體運動時，重力加質(zhì)點作拋體運動時，重力加速度為恒矢量。速度為恒矢量。6413 相對運動相對運動一、時間與空間一、時間與空間1.時間間隔時間間隔 如果有兩個事件先后發(fā)生，在兩個慣性系中觀察者如果有兩個事件先后發(fā)生，在兩個慣性系中觀察者測得的時間間隔為：測得的時間間隔為：t S tS :;系系系：系：tt 時間間隔和慣性系的選擇沒有關(guān)系。時間間隔和慣性系的選擇沒有關(guān)系。2.空間間隔空間間隔 如果空間有任意兩點，在兩個慣性系中的坐標(biāo)分別為如果空間有任意兩點，在兩個慣性系中的坐標(biāo)分別為 2221