第5章-導數(shù)和微積分-5-5 微分

1、一、微分的概念 若在有限增量公式 中刪去高階無窮小量項,則得 關于 的一個線性近似式,這就是“微分”;其中的線性因子 即為導數(shù).所以,微分和導數(shù)是一對相輔相成的概念.5 微分數(shù)學分析 第五章導數(shù)和微分二、微分的運算法則三、高階微分0()()yfxxox y x 0()fx 四、微分在近似計算中 的應用*點擊以上標題可直接前往對應內(nèi)容數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用微分從本質(zhì)上講是函數(shù)增量中關于自變量增量的微分從本質(zhì)上講是函數(shù)增量中關于自變量增量的如果給邊長如果給邊長 x 一個增量一個增量 , 正方形面積的增量正方形面積

2、的增量x 的線性部分的線性部分 和和 的高階部分的高階部分( )( )2.x2 x xxx此時此時, 當邊長當邊長 x 增加一個微小量增加一個微小量 時時, 可用可用xx S微分的概念222()2()Sxxxxxx 由兩部分組成由兩部分組成 : 設一邊長為設一邊長為 x 的正方形的正方形, 它的面積它的面積 S = x 2 是是 x 的函的函線性部分線性部分, 請先看一個具體例子請先看一個具體例子.數(shù)數(shù).后退 前進 目錄 退出微分的概念因因 的線性部分來近似的線性部分來近似. . 數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用x2(

3、 ) ,x即以即以 為邊長的小正方形為邊長的小正方形( (如圖如圖).). x2xx xx x2x由此產(chǎn)生的誤差是一個關于由此產(chǎn)生的誤差是一個關于微分的概念的高階無窮小量的高階無窮小量 數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用定義500( )()yf xxf x可以表示成可以表示成( ),(1)yAxox設函數(shù)設函數(shù) 0( ),().yf xxU x并稱并稱 為為 f 在點在點 處的微分處的微分, 記作記作A x0 x其中其中 A 是與是與 無關的常數(shù)無關的常數(shù), 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f 在點在點0 xx由定義由定義, 函數(shù)在點

4、函數(shù)在點 處的微分與增量只相差一個處的微分與增量只相差一個0 x關于關于 的高階無窮小量的高階無窮小量, ,而而 是是 的線性函數(shù)的線性函數(shù). .xdyx,d0 xAyxx (2) .d0 xAxfxx 或或更通俗地說更通俗地說, 是是 的線性近似的線性近似.ydy微分的概念如果增量如果增量可微可微, 數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用定理5.10(1).yAox于是于是00d ( )().xxf xfxx 導導, 且且證證 (必要性必要性) 如果如果 在點在點 可微可微, 據(jù)據(jù) (1) 式有式有f0 x00()limx

5、yfxx 即即 在點在點 可導可導, 且且f0 x0().fxA 微分的概念函數(shù)函數(shù) 在點在點 可微的充要條件是可微的充要條件是 在點在點 可可ff0 x0 x0lim (1),xAoA數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用( (充分性充分性) ) 設設 在點在點 處可導處可導, ,f0 x0()( ),yfxxox 00d() .xxyfxx 且且f則由則由 的有限增量的有限增量公式公式說明函數(shù)增量說明函數(shù)增量 可可y表示為表示為 的線性部分的線性部分 , ,與關于與關于 的的高高x 0()fxx x所以所以 在點在點 可

6、微可微, ,f0 x階無窮小量部分階無窮小量部分 之和之和. .( )ox微分的概念定理5.1000d ( )().xxf xfxx 導導, 且且函數(shù)函數(shù) 在點在點 可微的充要條件是可微的充要條件是 在點在點 可可ff0 x0 x數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用0 xx xyO( )yf x ydy0 xPRQQ ,yRQ 它是點它是點 P 處切線相處切線相 在點在點 的增量為的增量為 f0 xd,yRQ 而微分是而微分是應于應于 的增量的增量.x當當 很小時很小時, ,兩者之差兩者之差 相比于相比于|d |yyQ Q

7、 |x|x將是更小的量將是更小的量( (高階無窮小高階無窮小).).微分概念的幾何解釋微分概念的幾何解釋: :微分的概念更由于更由于000dlimlim()0,xxyyQ QfxxRQ 數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用故若故若0()0,fx 0lim0.xQ QRQ 這說明當這說明當d( ) ,(3)yfxxxI 的高階無窮小量的高階無窮小量.QQ RQ 還是還是0,x 時時若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上每一點都可微上每一點都可微, ,則稱則稱 是是 上上fIfI它既依賴于它既依賴于 , 也與也與 有關有關.xx( )

8、f xI在上的微分記為在上的微分記為的的可微函數(shù)可微函數(shù). .則得到則得到微分的概念0 xx xyO( )yf x ydy0 xPRQQ 數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用d( )d ,.(4)yfxxxI (4) 式的寫法會帶來不少好處式的寫法會帶來不少好處, 首先可以把導數(shù)看首先可以把導數(shù)看 所以導數(shù)也稱為所以導數(shù)也稱為微商微商. 習慣上喜歡把習慣上喜歡把 寫成寫成 , ,于是于是 (3) 式可改寫成式可改寫成xdxdd .yxx這相當于這相當于 的情形的情形, , 此時顯然有此時顯然有 yx d( ),dyfxx

9、(5) 積分學部分中積分學部分中. 成成函數(shù)的微分與自變量的微分之商函數(shù)的微分與自變量的微分之商, , 即即微分的概念更多的好處將體現(xiàn)在后面更多的好處將體現(xiàn)在后面數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用d(sin )cosd ;xx x d()lnd .xxaaax 1d()d;xxx 例例1微分的概念數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用2( )( )d ( )( )d ( )3. d;( )( )u xv xu xu xv xv xvx 4. d( )(

10、 )( )d,( ) .fg xfu g xxug x 其中其中由導數(shù)與微分的關系由導數(shù)與微分的關系,可方便得出微分運算法則可方便得出微分運算法則:1. d( ( )( )d ( )d ( );u xv xu xv x2. d( ( ) ( )( )d ( )( )d ( );u x v xv xu xu xv xd( )d,ug xx 由于由于故運算法則故運算法則 4 又可以寫成又可以寫成微分的運算法則 微分的運算法則d( )d.yfuu 數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用解解2222lnd()d(ln )sind()

11、xxxxxx2(2ln12sin)d .xxxx 它在形式上與它在形式上與( (4) )式完全一樣式完全一樣, 不管不管 是自變量還是自變量還u例例2 求求 的微分的微分.22lncosyxxx這個性質(zhì)稱為這個性質(zhì)稱為“一階微分形式不變性一階微分形式不變性”.是中間變量是中間變量 ( 另一個變量的可微函數(shù)另一個變量的可微函數(shù) ) 上式都成上式都成立立. 22dd(lncos)yxxx22d(ln )d(cos)xxx 微分的運算法則2222d(cos)sind()2sindxxxxxx 這里在這里在的計算中的計算中, 用了一階微分形式不變性用了一階微分形式不變性.數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)

12、高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用例例3 求求 的微分的微分.123e xxy解解3213ded(21)xxyxx3221(32)ed .xxxx 微分的運算法則數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用高階微分或?qū)懽骰驅(qū)懽?2d( )d,yfxx 稱為稱為 f 的的二階微分二階微分.d(d )d( )yfxx ( )( )d( )fxxxfxx則當則當 f 二階可導時二階可導時, dy 關于關于 x 的微分為的微分為若將一階微分若將一階微分 d( )yfxx 僅看成是僅看成是 的函數(shù)

13、的函數(shù), , x注注 由于由于 與與 x 無關無關, 因此因此 x 的二階微分的二階微分 xd( )x 三者各不相同三者各不相同, 不可混淆不可混淆.2( )()fxx 2( )(d ) .fxx d(d )xx2d , 0 22d(d ) ,xx 它它與與2d()2 dxx x 高階微分數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用22d( )d;(6)yfxx 當當 x 是中間變量是中間變量 ( ),( )yf xxt 時時, 二階微分二階微分依次下去依次下去, 可由可由 階微分求階微分求 n 階微分階微分:1n 對對 的的 n

14、 階微分均稱為階微分均稱為高階微分高階微分. 2n 當當 x 是自變量時是自變量時, 的二的二( )yf x 階微分是階微分是為為高階微分不高階微分不具有形式不變性具有形式不變性.)d(dd1yynn (1)1d( )d)nnfxx ( )( )d.nnfxx 高階微分22( )d( )d.(7)fxxfxx 2dd( )dyfxx ( )d d( )d(d )fxx xfxx數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用例例422( )sin,( ),d.yf xxxtty 設求設求解法一解法一2 ( ) ( ), sin,xty

15、f xyt 先將代入得先將代入得. 0d2x而當而當 x 為自變量時為自變量時,它比它比 (6) 式多了一項式多了一項2( )d,fxx ( )xt 當當時時,由由 (6) 得得22d( )dxtt 不一定為不一定為 0,22 cos,ytt 于于是是.sin4cos2222ttty 22222d( 2cos4sin)d.ytttt高階微分數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用解法二解法二 依依 (7) 式得式得222d( )d( )dyfxxfxx22sindcos dx xxx 2222.sin(2 d )cos2dtt

16、ttt 2222(2cos4sin)d.tttt2( )dfxx 如果將如果將漏掉就會產(chǎn)生錯誤漏掉就會產(chǎn)生錯誤.高階微分22d( )dxtt 數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用微分在近似計算中的應用1. 函數(shù)值的近似計算函數(shù)值的近似計算000( )()() .(8)f xxf xfxx 000( )()()().(9)f xf xfxxx (9) 式的幾何意義是當式的幾何意義是當 x 與與 x0充分接近時充分接近時, 可用點可用點0()( ),yfxxox 由于由于 由此得由此得d .yy 記記 , 即當即當 時，時，0

17、 xxx0 xx 故當故當 很小時很小時, 有有x(8) 式可改寫為式可改寫為微分在近似計算中的應用數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用公式公式 (9) 分別用于分別用于sin x, tan x, ln(1+x), ex ( x0= 0 ), ,sinxx ,tanxx ,1lnxx .1exx 例例5 試求試求 sin 33o 的近似值的近似值 ( 保留三位有效數(shù)字保留三位有效數(shù)字 ).解解 ,60 x 由公式由公式 (9) 得到得到 處的切線近似代替曲線處的切線近似代替曲線, 這種線性近這種線性近00(,()P xf

18、x可得近似計算公式可得近似計算公式 ( 試與等價無窮小相比較試與等價無窮小相比較 ): 似的方法可以簡化一些復雜的計算問題似的方法可以簡化一些復雜的計算問題.,606sin33sin 0( )sin ,6f xx x 取取微分在近似計算中的應用sin33sincos66600.545 數(shù)學分析 第一章 實數(shù)集與函數(shù)高等教育出版社5 微分微分的概念 微分的運算法則高階微分微分在近似計算中的應用2. 誤差的估計誤差的估計0|,xxxx 設數(shù)設數(shù) x 是由測量得到的是由測量得到的, y 是由函數(shù)是由函數(shù) 經(jīng)過經(jīng)過( )yf x 如如果已知測量值果已知測量值 x0 的誤差限為的誤差限為 , , 即即x 算得到的算得到的 y0= f (x0) 也是也是 y = f (x) 的一個近似值的一個近似值. 差差, 實際測得