振動(dòng)學(xué)課件1-caoliying2014

1、機(jī)械動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論機(jī)械動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論授課教師：曹麗英授課教師：曹麗英 副教授副教授內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院內(nèi)蒙古科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2014-2015（1）1.2 涉及面廣涉及面廣 涉及到的研究對(duì)象很多，是解決現(xiàn)場(chǎng)問(wèn)題的基礎(chǔ)。涉及到的研究對(duì)象很多，是解決現(xiàn)場(chǎng)問(wèn)題的基礎(chǔ)。 與其說(shuō)是振動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)，不如說(shuō)是數(shù)學(xué)、力學(xué)。與其說(shuō)是振動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)，不如說(shuō)是數(shù)學(xué)、力學(xué)。 涵蓋的內(nèi)容較多涵蓋的內(nèi)容較多 振動(dòng)學(xué)方面的研究資料很多：期刊、專注、研究論文振動(dòng)學(xué)方面的研究資料很多：期刊、專注、研究論文等。而我們只能把握重點(diǎn)，突出介紹一些基本方法、等。而我們只能把握重點(diǎn)，突出介紹一些基本方法、基本問(wèn)題，內(nèi)容以機(jī)械振動(dòng)為主。

2、基本問(wèn)題，內(nèi)容以機(jī)械振動(dòng)為主。 選修課，32學(xué)時(shí)，2學(xué)分1.1 理論性強(qiáng)理論性強(qiáng) 屬于力學(xué)范疇，涉及到數(shù)學(xué)、物理、理論力學(xué)、材料力學(xué)屬于力學(xué)范疇，涉及到數(shù)學(xué)、物理、理論力學(xué)、材料力學(xué)等學(xué)科；等學(xué)科； 例如：設(shè)計(jì)機(jī)器例如：設(shè)計(jì)機(jī)器須知工作臨界轉(zhuǎn)速，某些零件固有頻須知工作臨界轉(zhuǎn)速，某些零件固有頻率等。率等。1 本課程的特點(diǎn)第一章第一章 緒緒 論論 振動(dòng)概念（vibration）物體經(jīng)過(guò)它的靜平衡位置所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。或者說(shuō)某一物理量在其平衡位置或平衡值附近來(lái)回的變動(dòng)。 振動(dòng)首先是一種運(yùn)動(dòng)。比如：地殼的運(yùn)動(dòng)、交流電、電磁波、潮水的漲落等。2 機(jī)械振動(dòng)的研究對(duì)象和分類2.1 2.1 研究對(duì)象研究對(duì)象“振

3、動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng)”第一章第一章 緒緒 論論 系統(tǒng)的定義：系統(tǒng)的定義： 由若干個(gè)元素構(gòu)成的有機(jī)組合，個(gè)元素間存在著相互作用、互相影響的關(guān)系。 機(jī)械系統(tǒng)的定義：機(jī)械系統(tǒng)的定義： 由若干個(gè)機(jī)械元件組成的系統(tǒng)。具體的講，是由運(yùn)動(dòng)副連接的一些構(gòu)件所組成的能完成一定運(yùn)動(dòng)的機(jī)械裝置。第一章第一章 緒緒 論論2.2 2.2 機(jī)械系統(tǒng)研究?jī)?nèi)容機(jī)械系統(tǒng)研究?jī)?nèi)容 系統(tǒng)（系統(tǒng)（S） 輸入（X） 輸出（Y）激勵(lì)響應(yīng)響應(yīng)第一章第一章 緒緒 論論系統(tǒng)的研究?jī)?nèi)容包括三個(gè)方面：系統(tǒng)的研究?jī)?nèi)容包括三個(gè)方面：已知系統(tǒng)的輸入（X）和系統(tǒng)（S）,求輸出(Y)系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)分析，或叫動(dòng)態(tài)分析。已知系統(tǒng)的輸入（X）和輸出(Y)，求系統(tǒng)（S）

4、系統(tǒng)設(shè)計(jì)；系統(tǒng)識(shí)別或系統(tǒng)辨識(shí)。已知系統(tǒng)的系統(tǒng)（S）和輸出(Y)，求輸入（X）環(huán)境預(yù)測(cè)。 自由振動(dòng)：給圖中質(zhì)量塊一個(gè)激勵(lì)，給一個(gè)初始位移后，質(zhì)量塊就開(kāi)始振下去。 強(qiáng)迫振動(dòng)：用一個(gè)電機(jī)作元件，給系統(tǒng)一個(gè)持續(xù)激勵(lì)，系統(tǒng)會(huì)在電機(jī)的強(qiáng)制激勵(lì)下振動(dòng)。 自激振動(dòng)：揚(yáng)聲器的鳴叫聲。3 3 機(jī)械振動(dòng)的分類機(jī)械振動(dòng)的分類3.1 3.1 按輸入分按輸入分mk第一章第一章 緒緒 論論 簡(jiǎn)諧振動(dòng)：符合正弦（預(yù)選）規(guī)律的振動(dòng)。 周期振動(dòng)：x（t）x（t+kT）， 瞬態(tài)振動(dòng)：風(fēng)鈴隨風(fēng)而動(dòng)；地震 隨機(jī)振動(dòng)：不能用當(dāng)前的現(xiàn)象預(yù)測(cè)未來(lái)，但是符合統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，可以用統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)研究。如，煙的運(yùn)動(dòng)；紅旗的飄動(dòng)。3.2 3.2 按輸出分

5、按輸出分第一章第一章 緒緒 論論 自由度：用來(lái)描述一個(gè)物體確定運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立坐標(biāo)。 單自由度系統(tǒng)： 多自由度系統(tǒng)： 可以是兩個(gè)、三個(gè)甚至是n個(gè)自由度系統(tǒng)，n個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，n維空間。 連續(xù)系統(tǒng)：用偏微分方程描述3.3 3.3 按自由度劃分按自由度劃分 ),.,(vdxtHH可用微分方程描述第一章第一章 緒緒 論論 線性振動(dòng) 非線性振動(dòng):二階常系數(shù)線性齊次）(0kxxm 3.4 3.4 按微分方程分按微分方程分單擺振動(dòng)方程）(0sinxkxm 第一章第一章 緒緒 論論4 4 主要參考文獻(xiàn)主要參考文獻(xiàn) 書(shū)書(shū)+期刊期刊書(shū)：張策、張維平、邵韌平、聞邦春、書(shū)：張策、張維平、邵韌平、聞邦春、 李有堂、張義民等李有

6、堂、張義民等期刊：期刊：噪聲與振動(dòng)噪聲與振動(dòng) （sound and vibration）第一章第一章 緒緒 論論2.1 一些基本概念、無(wú)阻尼單自由度振動(dòng)系統(tǒng)一些基本概念、無(wú)阻尼單自由度振動(dòng)系統(tǒng) 2.3 有線性阻尼有線性阻尼自由振動(dòng)自由振動(dòng)2.4 簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 2.8 隔振原理隔振原理2.5 周期激勵(lì)下的響應(yīng)周期激勵(lì)下的響應(yīng)2.6 任意激勵(lì)下的響應(yīng)任意激勵(lì)下的響應(yīng)2.7 簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼2.2 固有頻率的計(jì)算固有頻率的計(jì)算 當(dāng)物體沿當(dāng)物體沿x x軸作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，慣性的大小可用質(zhì)量來(lái)表軸作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，慣性的大小可用質(zhì)量來(lái)表示。根據(jù)牛頓

7、第二定律，作用在物體上的外力示。根據(jù)牛頓第二定律，作用在物體上的外力F F，物體由此，物體由此產(chǎn)生的加速度和物體質(zhì)量產(chǎn)生的加速度和物體質(zhì)量m m之間有下述關(guān)系：之間有下述關(guān)系：) 1-(122dtxdmF 構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。慣性就是能使物體當(dāng)前運(yùn)動(dòng)持續(xù)下去的性質(zhì)?；謴?fù)性就是能慣性就是能使物體當(dāng)前運(yùn)動(dòng)持續(xù)下去的性質(zhì)?；謴?fù)性就是能使物體位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性質(zhì)。阻尼就是阻礙物體運(yùn)動(dòng)使物體位置恢復(fù)到平衡狀態(tài)的性質(zhì)。阻尼就是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。從能量的角度看，慣性是保持動(dòng)能的元素，恢復(fù)性的性質(zhì)。從能量的角度看，慣性是保持動(dòng)能

8、的元素，恢復(fù)性是貯存勢(shì)能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。是貯存勢(shì)能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素質(zhì)量的單位為質(zhì)量的單位為kgkg。阻尼力阻尼力Fd反映阻尼的強(qiáng)弱，通常是速度反映阻尼的強(qiáng)弱，通常是速度x的函數(shù)，阻尼力的函數(shù)，阻尼力可表示為可表示為 這種阻尼稱為粘性阻尼。比例常數(shù)這種阻尼稱為粘性阻尼。比例常數(shù)c稱為粘性阻尼系稱為粘性阻尼系數(shù)，單位數(shù)，單位N.s/m。 )31 ( xcFd 典型恢復(fù)性元件是彈簧，彈簧產(chǎn)生的恢復(fù)力是該元件位典型恢復(fù)性元件是彈簧，彈簧產(chǎn)生的恢復(fù)力是該元件位移的函數(shù)，即移的函數(shù)，即Fs=Fs（x）。當(dāng)。當(dāng)Fs（x）是線

9、性函數(shù)時(shí)，有：是線性函數(shù)時(shí)，有： Fs=kx (1-2) k稱為彈簧常數(shù)或彈簧的剛度系數(shù)。單位為稱為彈簧常數(shù)或彈簧的剛度系數(shù)。單位為N/m。質(zhì)量、彈簧和阻尼器質(zhì)量、彈簧和阻尼器是構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)是構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)物理模型物理模型的的三個(gè)基本元件。三個(gè)基本元件。 自由度與廣義坐標(biāo)自由度與廣義坐標(biāo) 自由度數(shù)自由度數(shù): 完全確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目稱為自由度數(shù)。完全確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目稱為自由度數(shù)。 剛體在空間有剛體在空間有6個(gè)自由度：三個(gè)方向的移動(dòng)和繞三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，個(gè)自由度：三個(gè)方向的移動(dòng)和繞三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，如飛機(jī)、輪船；如飛機(jī)、輪船； 質(zhì)點(diǎn)在空間有質(zhì)點(diǎn)在空間有3個(gè)自由度：三個(gè)方

10、向的移動(dòng)，如高爾夫球；個(gè)自由度：三個(gè)方向的移動(dòng)，如高爾夫球； 質(zhì)點(diǎn)在平面有質(zhì)點(diǎn)在平面有2個(gè)自由度：兩個(gè)方向的移動(dòng)，加上約束則成為單個(gè)自由度：兩個(gè)方向的移動(dòng)，加上約束則成為單自由度。自由度。質(zhì)量元件質(zhì)量元件 無(wú)彈性、不耗能的剛體，儲(chǔ)存動(dòng)能的元件無(wú)彈性、不耗能的剛體，儲(chǔ)存動(dòng)能的元件 xmFm 平動(dòng)：平動(dòng)：力、質(zhì)量和加速度的單位分別力、質(zhì)量和加速度的單位分別為為N、kg和和m / s 2。 JTm轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度的力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度的單位分別為單位分別為Nm、kg m 2和和rad / s 2 2.1 離散系統(tǒng)的組成離散系統(tǒng)的組成2.1 離散系統(tǒng)的組成離散系統(tǒng)的組成彈性元件

11、彈性元件 無(wú)質(zhì)量、不耗能，儲(chǔ)存勢(shì)能的元件無(wú)質(zhì)量、不耗能，儲(chǔ)存勢(shì)能的元件 xkFs平動(dòng)：平動(dòng)：力、剛度和位移的單位分別為力、剛度和位移的單位分別為N、N / m和和m 。tskT 轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單位分別為位分別為Nm、 Nm / rad和和rad 阻尼元件阻尼元件 無(wú)質(zhì)量、無(wú)彈性、線性耗能元件無(wú)質(zhì)量、無(wú)彈性、線性耗能元件 xcFd平動(dòng)：平動(dòng)：力、阻尼系數(shù)和速度的單位分力、阻尼系數(shù)和速度的單位分別為別為N、N s/ m和和m/s。tdcT 轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：力矩、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和角速度力矩、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和角速度的單位分別為的單位分別為Nm、 Nms / ra

12、d和和rad/s 2.1 離散系統(tǒng)的組成離散系統(tǒng)的組成等效彈簧剛度等效彈簧剛度 斜向布置的彈簧斜向布置的彈簧 2ecos/kxFkxx串聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧 并聯(lián)彈簧并聯(lián)彈簧 niikk1eniikk1e11niicc1eniicc1e11并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)等效阻尼系數(shù)等效阻尼系數(shù) 傳動(dòng)系統(tǒng)的等效剛度傳動(dòng)系統(tǒng)的等效剛度 21 te1 t/ikk傳動(dòng)系統(tǒng)的等效阻尼傳動(dòng)系統(tǒng)的等效阻尼 ct1e= ct1 / i 221e1/iJJ等效質(zhì)量等效質(zhì)量 傳動(dòng)系統(tǒng)的等效慣量傳動(dòng)系統(tǒng)的等效慣量 單自由度系統(tǒng)的類型tQkxxrxmtQkxxmkxxrxmkxxmsinsin0000 單自由度無(wú)阻尼自由

13、振動(dòng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)單自由度有粘性阻尼的自由振動(dòng)單自由度有粘性阻尼的自由振動(dòng)單自由度無(wú)阻尼受迫振動(dòng)單自由度無(wú)阻尼受迫振動(dòng)單自由度有粘性阻尼的受迫振動(dòng)單自由度有粘性阻尼的受迫振動(dòng)機(jī)機(jī) 械械 振振 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué)例：如右圖，舍振動(dòng)體的例：如右圖，舍振動(dòng)體的質(zhì)量為質(zhì)量為m m，它所受的重，它所受的重力為力為W W，彈簧剛度為，彈簧剛度為k,k,彈簧掛上質(zhì)量塊的靜伸彈簧掛上質(zhì)量塊的靜伸成量為成量為j j，此時(shí)系統(tǒng)，此時(shí)系統(tǒng)處于靜平衡狀態(tài)，平衡處于靜平衡狀態(tài)，平衡位置為位置為0-00-0，求給系統(tǒng)，求給系統(tǒng)一個(gè)初始擾動(dòng)后系統(tǒng)的一個(gè)初始擾動(dòng)后系統(tǒng)的振動(dòng)方程。振動(dòng)方程。模型的建立模型的建立機(jī)機(jī) 械械 振振

14、 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)：無(wú)阻尼自由振動(dòng)： 振動(dòng)系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，不再受到振動(dòng)系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，不再受到外力作用，也不受阻尼的影響所作的振動(dòng)。外力作用，也不受阻尼的影響所作的振動(dòng)。靜平衡振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生彈性恢復(fù)力彈力重力靜平衡破壞初始擾動(dòng)機(jī)機(jī) 械械 振振 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)解：解：取靜平衡位置為坐取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以標(biāo)原點(diǎn)，以X軸為系統(tǒng)軸為系統(tǒng)的坐標(biāo)軸，向下為正的坐標(biāo)軸，向下為正方向建立坐標(biāo)系。方向建立坐標(biāo)系。 以以x x表示質(zhì)量塊的受擾表示質(zhì)量塊的受擾后的位移，當(dāng)質(zhì)量塊后的位移，當(dāng)質(zhì)量塊離

15、開(kāi)平衡位置時(shí)，在離開(kāi)平衡位置時(shí)，在質(zhì)量塊上作用的力有質(zhì)量塊上作用的力有：XTWmgkxkTjW重力彈性恢復(fù)力x 由于受力不平衡，質(zhì)量塊產(chǎn)生加速度由于受力不平衡，質(zhì)量塊產(chǎn)生加速度機(jī)機(jī) 械械 振振 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)根據(jù)牛頓第二定律建立振動(dòng)微分方程：xmxkwj )(0,022xxmkkxxmnn ：則上式可寫成令即叫做系統(tǒng)的固有頻率2n二階齊次常系數(shù)微分方程，stex 機(jī)機(jī) 械械 振振 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題例1-2： 右圖所示，垂直軸的下端右圖所示，垂直軸的下端固定一個(gè)水平圓盤。已知固定

16、一個(gè)水平圓盤。已知軸長(zhǎng)為軸長(zhǎng)為l ,l ,直徑為直徑為d,d,剪切剪切彈性模量為彈性模量為G,G,圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為慣量為I I，在盤上施加初，在盤上施加初始擾動(dòng)后（如力偶），系始擾動(dòng)后（如力偶），系統(tǒng)做自由扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。若不統(tǒng)做自由扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。若不計(jì)阻尼影響，振動(dòng)將永遠(yuǎn)計(jì)阻尼影響，振動(dòng)將永遠(yuǎn)持續(xù)下去。求系統(tǒng)的振動(dòng)持續(xù)下去。求系統(tǒng)的振動(dòng)方程。方程。機(jī)機(jī) 械械 振振 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)由材料力學(xué)知：扭轉(zhuǎn)剛度為：324Gdk)/(J0JIsradkkkn系統(tǒng)固有角頻率令即扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程為：建立如圖所示坐標(biāo)系， 0)1(212nnsHzIkf 代入微分

17、方程得到：將系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率：機(jī)機(jī) 械械 振振 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)典型的單自由度自由振動(dòng)單擺例1-3：如左圖所示，求t時(shí)刻剛體的角度是多少？機(jī)機(jī) 械械 振振 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)解：以靜平衡位置為原點(diǎn)，以以靜平衡位置為原點(diǎn)，以角增角增加的方向?yàn)檎较蚪⒆鴺?biāo)系。加的方向?yàn)檎较蚪⒆鴺?biāo)系。隔離物體，進(jìn)行受力分析。隔離物體，進(jìn)行受力分析。 使用牛頓定律建立振動(dòng)模型：使用牛頓定律建立振動(dòng)模型：力矩形式：力矩形式：0sin0sinsinmglJmglJJmgl 作為擺動(dòng)時(shí)，即力形式：力形式：？機(jī)機(jī) 械械 振振 動(dòng)

18、動(dòng) 學(xué)學(xué)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)txtxtxxbxbbbxbbxtnnnnnnnnnncossin)(0sin0cos0cos0sin0000201210210時(shí)有：代入初始條件：1-2 無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)規(guī)律為：高等數(shù)學(xué)知方程的通解度和初位移均為零。此初始條件亦即：初速預(yù)先給定初始條件：考慮00002,0 xxxxxxttn )sin(cossin)(21tAtbtbtxnnn.;A2112221為頻率三要素：nbbtgbb機(jī)機(jī) 械械 振振 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)結(jié)結(jié) 論論單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的方程是一樣的單

19、自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的方程是一樣的,規(guī)律是相同的，具有以下特點(diǎn)：規(guī)律是相同的，具有以下特點(diǎn)： 1.1.單自由度無(wú)阻尼振動(dòng)是簡(jiǎn)諧的。單自由度無(wú)阻尼振動(dòng)是簡(jiǎn)諧的。 2.2.振幅決定于初始條件：振幅決定于初始條件： )(;222120220bbAxxAn圖中系統(tǒng)，用手把圖中系統(tǒng)，用手把m m移到移到X X0 0位置，初始位移的大小決位置，初始位移的大小決定于定于m m的振幅，如果放手的同時(shí)，給的振幅，如果放手的同時(shí)，給m m一個(gè)右向的初一個(gè)右向的初速度，可以通過(guò)上式計(jì)算出其最大振幅。速度，可以通過(guò)上式計(jì)算出其最大振幅。機(jī)機(jī) 械械 振振 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系

20、統(tǒng)固有頻率與初始條件無(wú)關(guān)。系統(tǒng)一定，固有固有頻率與初始條件無(wú)關(guān)。系統(tǒng)一定，固有頻率一定。頻率一定。 fTfmknn1;2;的特點(diǎn)，座鐘。應(yīng)用：利用“等時(shí)性”思考：鐘表的鐘擺的擺角大是準(zhǔn)確還是小準(zhǔn)確？思考：鐘表的鐘擺的擺角大是準(zhǔn)確還是小準(zhǔn)確？結(jié)結(jié) 論論機(jī)機(jī) 械械 振振 動(dòng)動(dòng) 學(xué)學(xué)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng) 在振動(dòng)研究中，計(jì)算振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率有很重要的意義 ，除用定義法（牛頓法）外，通常還有以下幾種常用的方法，即靜變形法、能量法和瑞利法，現(xiàn)分別加以介紹。2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法1、靜變形法（、靜變形法（Static Deformati

21、on Method） Wkj 當(dāng)單振子處于靜平衡狀態(tài)時(shí)，彈簧的彈性力與振動(dòng)質(zhì)量的重力互相平衡，即存在關(guān)系式： 由上式可得：jjmgWk故系統(tǒng)的固有頻率為：) 1 (2121jngmkf由此可見(jiàn)，只要知道質(zhì)量塊處的彈性靜變形，就可以計(jì)算出系統(tǒng)的固有頻率。在有些實(shí)際問(wèn)題中，不能直接給出系統(tǒng)的彈簧剛度時(shí)，利用此法計(jì)算固有頻率比較方便。例例1 1 設(shè)一懸臂梁長(zhǎng)度為，抗彎剛度為，自由端有一集中質(zhì)量。設(shè)一懸臂梁長(zhǎng)度為，抗彎剛度為，自由端有一集中質(zhì)量。梁本身重量忽略不計(jì)。試求這一系統(tǒng)的固有頻率（見(jiàn)下圖）。梁本身重量忽略不計(jì)。試求這一系統(tǒng)的固有頻率（見(jiàn)下圖）。自由端有集中質(zhì)量的懸臂梁 解：懸臂梁在自由端由集中

22、力mg所引起的靜撓度為： EJmglj33) 1 (3213mlEJfn當(dāng)不易用計(jì)算方法求出靜撓度時(shí)，也可用實(shí)測(cè)方法得到靜撓度，然后按（1）式計(jì)算系統(tǒng)固有頻率。2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法2 2、能量法（、能量法（Energy MethodEnergy Method）在無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)中，由于沒(méi)有能量的損失，所以振幅在無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)中，由于沒(méi)有能量的損失，所以振幅始終保持為一常數(shù)，即在振動(dòng)過(guò)程中振幅始終不衰減。我們始終保持為一常數(shù)，即在振動(dòng)過(guò)程中振幅始終不衰減。我們將這樣的系統(tǒng)稱為將這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)。在保守系統(tǒng)中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，在整個(gè)振

23、動(dòng)過(guò)程的在保守系統(tǒng)中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程的任一瞬時(shí)機(jī)械能應(yīng)保持不變。任一瞬時(shí)機(jī)械能應(yīng)保持不變。式中：式中：T T系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)質(zhì)量所具有的動(dòng)能；系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)質(zhì)量所具有的動(dòng)能；U U系統(tǒng)由于彈性變形而儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能，或由于重力作功系統(tǒng)由于彈性變形而儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能，或由于重力作功 而產(chǎn)生的重力勢(shì)能。而產(chǎn)生的重力勢(shì)能。0UTdtd即： T+U=常數(shù) 或2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法xkxmgxkxdxmgx0221222121kxkxmgxmgxU221xmT 對(duì)于單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的動(dòng)能為：1. 重力勢(shì)能：當(dāng)質(zhì)量塊m低于靜平衡位置時(shí)，重力勢(shì)

24、能為-mgx。2. 彈性勢(shì)能：當(dāng)質(zhì)量塊m運(yùn)動(dòng)至離靜平衡位置距離+x時(shí)，彈簧的彈性力對(duì)質(zhì)量塊所作的功即為系統(tǒng)此時(shí)的彈性勢(shì)能。如下圖所示，系統(tǒng)的彈性勢(shì)能為：故系統(tǒng)的勢(shì)能為故系統(tǒng)的勢(shì)能為：)2()(212122常數(shù)Ekxxm 所以：所以：系統(tǒng)的勢(shì)能則由以下兩部分組成： 22xmmgx單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的彈性勢(shì)能這就是單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的能量方程。這就是單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的能量方程。這一方程說(shuō)明，這一方程說(shuō)明，無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系是振動(dòng)質(zhì)體的能量與彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化過(guò)程是振動(dòng)質(zhì)體的能量與彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化過(guò)程，而無(wú)能量的消耗。而無(wú)能量的消耗。但在振動(dòng)系

25、統(tǒng)中存在阻尼時(shí)，但在振動(dòng)系統(tǒng)中存在阻尼時(shí)，則在振動(dòng)質(zhì)體的動(dòng)能與彈性勢(shì)能的互相轉(zhuǎn)化過(guò)程則在振動(dòng)質(zhì)體的動(dòng)能與彈性勢(shì)能的互相轉(zhuǎn)化過(guò)程中，有一部分能量將為克服阻力而不斷地轉(zhuǎn)化為中，有一部分能量將為克服阻力而不斷地轉(zhuǎn)化為熱能，故系統(tǒng)的振幅將逐漸減小，直至完全消失。熱能，故系統(tǒng)的振幅將逐漸減小，直至完全消失。 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法tAxnsinEtkAtAmnnn22222sin21cos21EAmTn22max210T25232，時(shí)，、或、當(dāng)nnntttEkAU2max21maxmaxUT)3(2121222kAAmnmkn若將無(wú)阻尼自由振動(dòng)的時(shí)間歷程若將無(wú)阻尼自

26、由振動(dòng)的時(shí)間歷程 代入系統(tǒng)的能量方程（代入系統(tǒng)的能量方程（2）式可得：）式可得： 這說(shuō)明系統(tǒng)的最大動(dòng)能或最大勢(shì)能均等于系統(tǒng)的總能量，且動(dòng)能與勢(shì)能的這說(shuō)明系統(tǒng)的最大動(dòng)能或最大勢(shì)能均等于系統(tǒng)的總能量，且動(dòng)能與勢(shì)能的最大值相等，即：最大值相等，即：0U20時(shí)，、或、當(dāng)nnttt根據(jù)上式即可算出系統(tǒng)的固有頻率：根據(jù)上式即可算出系統(tǒng)的固有頻率：對(duì)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)（單振子）對(duì)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)（單振子）用上述能量法意義不大。但用上述能量法意義不大。但是復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)用能是復(fù)雜的單自由度系統(tǒng)用能量法計(jì)算固有頻率比較方便。量法計(jì)算固有頻率比較方便。 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法例1：

27、一根矩形截面梁，上面承受質(zhì)量為m 的物體（如圖所示）。若忽略梁的質(zhì)量，試用能量法求該系統(tǒng)的固有頻率。承受質(zhì)量的矩形截面梁解：梁的剛度可用靜變形法求出：解：梁的剛度可用靜變形法求出：jmgk而梁的靜擾度可根據(jù)材料力學(xué)公而梁的靜擾度可根據(jù)材料力學(xué)公式計(jì)算：式計(jì)算：EJlbmgaj322223baEJlk 故代入（代入（3 3）式即可求出該系統(tǒng)的固有圓頻率：）式即可求出該系統(tǒng)的固有圓頻率：223bmaEJln2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法例例2:2:下圖所示為測(cè)量低頻振幅用的傳感器的一個(gè)元件下圖所示為測(cè)量低頻振幅用的傳感器的一個(gè)元件無(wú)定無(wú)定向擺。已知向擺。已知a=3.5

28、4cma=3.54cm，mg=0.856Nmg=0.856N，k=0.3N/cmk=0.3N/cm。且整個(gè)系統(tǒng)對(duì)。且整個(gè)系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸o o的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。試求系統(tǒng)的固有頻率。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。試求系統(tǒng)的固有頻率。無(wú)定向擺 解：解：取搖桿偏離平衡位置的角位移取搖桿偏離平衡位置的角位移 為廣為廣義坐標(biāo)，并設(shè)義坐標(biāo)，并設(shè)則則 對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)來(lái)說(shuō)，搖桿正經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)的速度對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)來(lái)說(shuō)，搖桿正經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)的速度最大，故此時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能最大，而勢(shì)能為零。即：最大，故此時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能最大，而勢(shì)能為零。即：tAnsin)cos(tAnnnAAmaxmax2202max0max2121nAIIT 當(dāng)搖桿擺到最大角位移處時(shí)

29、，速度為零，故此時(shí)系當(dāng)搖桿擺到最大角位移處時(shí)，速度為零，故此時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能為零，而勢(shì)能最大，它包括以下兩個(gè)部分：統(tǒng)動(dòng)能為零，而勢(shì)能最大，它包括以下兩個(gè)部分： 1 1）彈簧變形后儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能：）彈簧變形后儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能： 2) 2) 質(zhì)量塊質(zhì)量塊m m的重心下降的重心下降 后的重力勢(shì)能：后的重力勢(shì)能：AkakaU22max2max121222maxmaxmax22121cos1mglAmglmglmgU2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法解：取搖桿偏離平衡位置的角位移 為廣義坐標(biāo)，并設(shè)則 故 對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)來(lái)說(shuō)，搖桿正經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)的速度最大，故此時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能最大，而勢(shì)能為零。即

30、： 當(dāng)搖桿擺到最大角位移處時(shí)，速度為零，故此時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能為零，而勢(shì)能最大，它包括以下兩個(gè)部分： 1）彈簧變形后儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能：2) 質(zhì)量塊m的重心下降 后的重力勢(shì)能：tAnsin)cos(tAnnAmaxnAmax2202max0max2121nAIITAkakaU22max2max121222maxmaxmax22121cos1mglAmglmglmgU2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法022ImglkanHzImglkafn77. 0106 .174856. 054. 33 . 02212212202maxmaxUT因?yàn)?2222202121mglAAkaAIn故得

31、2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法前面介紹的幾種計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法，都是將系統(tǒng)中彈簧的質(zhì)量忽略不計(jì)。但是在有些系統(tǒng)中，彈簧本身的質(zhì)量在系統(tǒng)總質(zhì)量中占有一定的比例，此時(shí)若再忽略彈簧的質(zhì)量，就將會(huì)使得計(jì)算出來(lái)的系統(tǒng)固有頻率偏高。瑞利法則將彈簧質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率的影響考慮了進(jìn)去，從而能得到相當(dāng)準(zhǔn)確的固有頻率值。3.瑞利法（瑞利法（Rayleigh Method）應(yīng)用瑞利法時(shí)，必須先假定一個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)形式。而且所假定的振動(dòng)形式越接近實(shí)際的振動(dòng)形式，則計(jì)算出來(lái)的固有頻率的近似值就越接近準(zhǔn)確值。實(shí)踐證明，以系統(tǒng)的靜態(tài)變形曲線作為假定的振動(dòng)形式，則所求得的固有頻率的近似值與準(zhǔn)確

32、值相比較，一般來(lái)說(shuō)誤差是很小的。現(xiàn)以最簡(jiǎn)單的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為例來(lái)說(shuō)明瑞利法的應(yīng)用。在下圖的系統(tǒng)中，若彈簧的質(zhì)量與質(zhì)量塊的質(zhì)量相比是很小的，則系統(tǒng)的振動(dòng)形式就不會(huì)顯著地受到彈簧質(zhì)量的影響。在這種情況下，假設(shè)彈簧在振動(dòng)過(guò)程中的變形（各截面的瞬時(shí)位移）與彈簧在受軸向靜載荷作用下的變形相同是足夠精確的。 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)lxx解:假設(shè)彈簧上距固定端距離為 處的位移為：x式中：l處于平衡位置時(shí)彈簧的長(zhǎng)度； x 彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊一端的位移。 令令表示彈簧單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，則表示彈簧單位長(zhǎng)度的質(zhì)

33、量，則彈簧微段彈簧微段dd的質(zhì)量為的質(zhì)量為d.d.其最其最大動(dòng)能則為大動(dòng)能則為: : dlx2max21lx x 彈簧在彈簧在處的微段處的微段dd的速度應(yīng)為的速度應(yīng)為: :當(dāng)質(zhì)量塊在某一瞬時(shí)的速度為當(dāng)質(zhì)量塊在某一瞬時(shí)的速度為 時(shí)，時(shí)，所以彈簧的全部動(dòng)能為：所以彈簧的全部動(dòng)能為：32212max20maxlxdlxTls32212max20maxlxdlxTls) 1 (3232212max2max2maxmaxlmxlxxmT)2(22maxmaxkxU2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法顯然，系統(tǒng)的全部動(dòng)能應(yīng)該是質(zhì)量塊顯然，系統(tǒng)的全部動(dòng)能應(yīng)該是質(zhì)量塊m m的最大動(dòng)能與

34、彈簧的最大的最大動(dòng)能與彈簧的最大動(dòng)能之和，即動(dòng)能之和，即系統(tǒng)的最大勢(shì)能仍與無(wú)質(zhì)量彈簧的情況相同，即：系統(tǒng)的最大勢(shì)能仍與無(wú)質(zhì)量彈簧的情況相同，即：所以彈簧的全部動(dòng)能為：所以彈簧的全部動(dòng)能為：由動(dòng)能和勢(shì)能相等原理得：由動(dòng)能和勢(shì)能相等原理得：2322max2maxkxlmx對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)來(lái)說(shuō)，上式即成為：對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)來(lái)說(shuō)，上式即成為：232222kAlmAn由此可以得出系統(tǒng)固有頻率的計(jì)算公式為：由此可以得出系統(tǒng)固有頻率的計(jì)算公式為：3lmkn結(jié)論：結(jié)論：為了考慮彈簧質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響，只需要將為了考慮彈簧質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響，只需要將1/3的彈簧質(zhì)量當(dāng)作一個(gè)集中質(zhì)量加到質(zhì)量塊上去即可。的彈簧質(zhì)量

35、當(dāng)作一個(gè)集中質(zhì)量加到質(zhì)量塊上去即可。 一般將上式中的 稱為“彈簧的等效質(zhì)量”“effective mass of spring”,以ms表示。但是不同的振動(dòng)系統(tǒng)，其彈簧的等效質(zhì)量不同，需具體加以計(jì)算。 因?yàn)?所以 因此只要先算出系統(tǒng)彈性元件的動(dòng)能，即可根據(jù)上式計(jì)算出系統(tǒng)彈性元件的等效質(zhì)量。根據(jù)系統(tǒng)中的彈簧質(zhì)量與質(zhì)量塊質(zhì)量相比很小，從而在振動(dòng)過(guò)程中彈簧各截面的瞬時(shí)位移按線性變化這一假設(shè)而得出的。但是，即使彈簧的質(zhì)量較大，用原式計(jì)算系統(tǒng)固有頻率也具有足夠的精確度。例如,當(dāng) 時(shí)，固有頻率的計(jì)算誤差約為0.5；當(dāng) 時(shí)，計(jì)算誤差約為0.8；當(dāng) 時(shí)，計(jì)算誤差約為3。3l221xmTss22xTmssml5

36、 . 0ml ml22.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法例如圖所示的等截面簡(jiǎn)支梁上有一集中質(zhì)量m，若將梁本身的重量W考慮在內(nèi)，計(jì)算此系統(tǒng)的固有頻率。圖承受集中質(zhì)量的等截面梁 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法解：假設(shè)梁在振動(dòng)時(shí)撓度曲線與梁在圖示載荷作用下的靜撓度曲線一致。梁上物體左側(cè)距A點(diǎn)為處的靜撓度為：梁上物體右側(cè)距B點(diǎn)為處的靜撓度為：在物體m處梁的靜撓度為：設(shè)物體m在振動(dòng)狀態(tài)下的最大速度為 ，則在物體左右兩側(cè)梁的所有點(diǎn)的最大速度 、 與振動(dòng)位移y1、y2之間存在以下關(guān)系： 216blaEJlmgby226albEJlmgayEJlbmgay

37、m322my 1y 2y nmmyyyy11nmmyyyy22計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法所以梁的左右兩部分的最大速度為：因而梁的左右兩部分的最大動(dòng)能為：式中：w梁的單位長(zhǎng)度的質(zhì)量；22112blabayyyyymmm22222albabyyyyymmmdblabagywTams20224221422222221581052332balbablgwaymgwaym22 bmsdalbbagywT02242222422222221028122aalbabaalgwbymgwbym22 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法22222158105233

38、balbabl22222102812aalbabaal梁的全部動(dòng)能為：根據(jù)上式可算出梁的等效質(zhì)量為：所以系統(tǒng)的固有圓頻率為：式中： ，為梁的剛度。 2212msssygwbwaTTTgwbwamssnmmk223babwawmggEJl 223baEJlk 2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法4632. 02wlEJgn4637. 02wlEJln2.2 計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的其它方法從上式可以看出當(dāng)忽略梁的質(zhì)量時(shí)所計(jì)算出的系統(tǒng)固有頻率比從上式可以看出當(dāng)忽略梁的質(zhì)量時(shí)所計(jì)算出的系統(tǒng)固有頻率比用瑞利法計(jì)算出的數(shù)值要小，因而誤差較大。應(yīng)用瑞利法也可用瑞

39、利法計(jì)算出的數(shù)值要小，因而誤差較大。應(yīng)用瑞利法也可求得無(wú)載荷的固有頻率的相當(dāng)準(zhǔn)確的數(shù)值。由于無(wú)載荷的變形求得無(wú)載荷的固有頻率的相當(dāng)準(zhǔn)確的數(shù)值。由于無(wú)載荷的變形曲線是對(duì)稱的，所以首先需將載荷移到梁的中間，然后再令載曲線是對(duì)稱的，所以首先需將載荷移到梁的中間，然后再令載荷為零（荷為零（m m0 0），即可求出無(wú)載荷梁的固有圓頻率為：），即可求出無(wú)載荷梁的固有圓頻率為：而這一固有圓頻率的精確值為：而這一固有圓頻率的精確值為：可見(jiàn)，近似值與理論精確值之差小于可見(jiàn)，近似值與理論精確值之差小于1 1。內(nèi)容參考2.3。2.3 等效質(zhì)量和等效剛度等效質(zhì)量和等效剛度振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分

40、方程 )(tFkxxcxm 方程的解方程的解 )()()(21txtxtx其其中中， tx1為為相相應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的解解 瞬瞬態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng) tx2為方程的特解為方程的特解 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)或或零零初始條件初始條件的的解解 單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)自由振動(dòng) 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程設(shè)設(shè) 0 xkxcxm tsAtxe)(02kscsm特征方程特征方程 222, 1nnns有有臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù) kmc2c阻尼比或阻尼因子阻尼比或阻尼因子 kmccc2c定義定義12nn2, 1smkmcnnnn2;2;令阻尼比或阻尼因子令阻尼比或阻尼因子 單自

41、由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)討論討論 (1)系統(tǒng)無(wú)阻尼即,0,0n方程的解方程的解 12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)）（tRtxncos)(2n020)/(xxR0tanarc0tanarc0n000n00 xxxxxx11100，特征值取決于單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)討論討論 (2)12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)方程的解方程的解 個(gè)不等的虛數(shù)根。為2,102, 1Snn)(cose)(rntRtxt2d0n0202221xxxRDDR0tanarc0tanarc

42、00d0n000d0n0 xxxxxxxx則令,22rnn)sincos(sincosr2r1rrr2, 1rtDtDextiteinsnti221122nrnrrT單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)討論討論 (3)方程的解方程的解 12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)nssnn21,1nttCCtxe )(21)(e)(000txnxxtxtn00 xx）（00 xx）（初始條件：初始條件：?jiǎn)巫杂啥染€性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)討論討論 (4)12nn2, 1s特征值特征值系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)tst

43、sxsxsxxsstx21e)(e)(1)(01020021tstsCCtx21ee)(2100 xx）（00 xx）（1方程的解方程的解 單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特性振動(dòng)特性 無(wú)阻尼無(wú)阻尼 0 0： 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)弱阻尼弱阻尼 0 1： 衰減運(yùn)動(dòng)衰減運(yùn)動(dòng)單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)小阻尼小阻尼振動(dòng)對(duì)數(shù)衰減率振動(dòng)對(duì)數(shù)衰減率 2112lnnnxx2224單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)單自由度線性阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 M M 2. 5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)

44、諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 求解過(guò)程求解過(guò)程 運(yùn)動(dòng)方程的解可以用它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解運(yùn)動(dòng)方程的解可以用它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解 和方程（和方程（2）的特解）的特解 來(lái)表示來(lái)表示 )2(sin2,2) 1 (sinsin20n00 tfxnxmFfmkmcntmFmkxmcxtFxkxcxmn則，令可化為2x)()(21txtxx1x)sin()(1tAetxrnt 在小阻尼情況下，在小阻尼情況下， 是個(gè)衰減振動(dòng)，只在開(kāi)始振動(dòng)是個(gè)衰減振動(dòng)，只在開(kāi)始振動(dòng)后的某一段時(shí)間內(nèi)有意義。研究受迫振動(dòng)中持續(xù)等幅振動(dòng)時(shí)可忽略之。后的某一段時(shí)間內(nèi)有意義。研究受迫振動(dòng)中持續(xù)等幅振動(dòng)時(shí)可忽略之。 表示系統(tǒng)的受迫振動(dòng)，稱

45、為系統(tǒng)的表示系統(tǒng)的受迫振動(dòng)，稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解，設(shè)，設(shè)2x)sin()(2tBtx將將 代入到方程（代入到方程（2）中可解出）中可解出B與與2x22222222arctan;4)(nnnnfB2222012arctan;)2()1 (1kFBnn;n令2. 5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 求解過(guò)程求解過(guò)程 進(jìn)一步討論：進(jìn)一步討論： kFBs0sBB令：令： 則：則： 222)2()1 (1sBB2222012arctan;)2()1 (1kFB2. 5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 解的討論解的討論二、討論二、討論: 圖給出了以圖給出了以為

46、橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，在不同阻尼比為縱坐標(biāo)，在不同阻尼比下的一組曲線簇。不難理解，在簡(jiǎn)諧激振力作用下，線性下的一組曲線簇。不難理解，在簡(jiǎn)諧激振力作用下，線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的頻率等于激勵(lì)力的系統(tǒng)的受迫振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的頻率等于激勵(lì)力的頻率，受迫振動(dòng)的振幅取決于系統(tǒng)本身的物理特性、激勵(lì)頻率，受迫振動(dòng)的振幅取決于系統(tǒng)本身的物理特性、激勵(lì)力的大小及頻率值，但與初始條件無(wú)關(guān)。力的大小及頻率值，但與初始條件無(wú)關(guān)。 受迫振動(dòng)的振幅與頻率比及阻尼比有關(guān)受迫振動(dòng)的振幅與頻率比及阻尼比有關(guān) (1) 當(dāng)頻率比當(dāng)頻率比0.2時(shí)，即激振頻率時(shí)，即激振頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻

47、率率n時(shí)，無(wú)論阻尼的大小如何，時(shí)，無(wú)論阻尼的大小如何，1，稱為準(zhǔn)靜態(tài)區(qū)。即，稱為準(zhǔn)靜態(tài)區(qū)。即振幅近似等于激勵(lì)力幅作用下的靜變形。故在低頻區(qū)振幅振幅近似等于激勵(lì)力幅作用下的靜變形。故在低頻區(qū)振幅主要由彈簧剛度控制。主要由彈簧剛度控制。2. 5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 解的討論解的討論（2）頻率比很大頻率比很大(5) , 0，激振頻率，激振頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的固有遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的固有頻率頻率n ，因激勵(lì)力方向改變太快，振動(dòng)物體由于慣性來(lái)不，因激勵(lì)力方向改變太快，振動(dòng)物體由于慣性來(lái)不及跟隨，幾乎停著不動(dòng)。故在及跟隨，幾乎停著不動(dòng)。故在高頻區(qū)受迫振動(dòng)的振幅主要取高頻區(qū)受迫振動(dòng)的振

48、幅主要取決于系統(tǒng)的慣性，決于系統(tǒng)的慣性，稱為慣性區(qū)，這一特性正是隔振和慣性傳稱為慣性區(qū)，這一特性正是隔振和慣性傳感器的理論依據(jù)。感器的理論依據(jù)。（3）當(dāng)頻率比當(dāng)頻率比 =1，激振頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，這時(shí)阻尼值越小，激振頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，這時(shí)阻尼值越小， 則越大。當(dāng)阻尼為零時(shí)，振動(dòng)為無(wú)限大。習(xí)慣上把幅值則越大。當(dāng)阻尼為零時(shí)，振動(dòng)為無(wú)限大。習(xí)慣上把幅值 的頻率的頻率區(qū)間稱為共振區(qū)。區(qū)間稱為共振區(qū)。 將（將（6）對(duì)求導(dǎo)，并令）對(duì)求導(dǎo)，并令d/d=0 ，可解得，可解得 處有最大幅值，處有最大幅值，把把 稱為共振頻率。稱為共振頻率。 2221221n2. 5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)

49、力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 解的討論解的討論 相位相位 與頻率比的關(guān)系曲線表明與頻率比的關(guān)系曲線表明 =1時(shí)，振動(dòng)位時(shí)，振動(dòng)位移總是滯后激振力移總是滯后激振力/2 ，頻率比，頻率比 1；當(dāng)；當(dāng) =-/2 -，共振點(diǎn)前后相位差，共振點(diǎn)前后相位差恰好為恰好為。 2. 5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)全響應(yīng)全響應(yīng)(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin0 222012arctansin)2()1 (1)cos(Re)(tkFttxrtn2. 5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)全響應(yīng)全響應(yīng)(無(wú)無(wú)阻尼阻尼)：)1 (sin0tF

50、xkxm 設(shè)其特解為：設(shè)其特解為：tBtxsin)(22nfB代入到上式得：代入到上式得：)2(sinsincos2221tftCtCxnnn方程方程（1）的通解解為：的通解解為： 0000 xxxx設(shè)初始條件為：設(shè)初始條件為：220201/nnfxCxC代入到方程（代入到方程（2）中得：）中得：)3()sin(sinsincos2200ttftxtxxnnnnnn則：則：)4()sin(sin)sin(220ttftAxnnnn即：即：初始條件產(chǎn)生的自由振動(dòng)初始條件產(chǎn)生的自由振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力產(chǎn)生的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力產(chǎn)生的受迫振動(dòng)伴隨受迫振動(dòng)產(chǎn)生的自由振動(dòng)伴隨受迫振動(dòng)產(chǎn)生的自由振動(dòng)2. 5 簡(jiǎn)諧

51、激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) ttkFtxnn20sinsin1)(n 000 xx若初始條件為：若初始條件為：則：則： 2. 5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 2. 5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)全響應(yīng)全響應(yīng)(無(wú)無(wú)阻尼阻尼)tFxkxmsin0 000 xxttkFtxnn20sinsin1)(nnn2.6 簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼簡(jiǎn)諧力的功簡(jiǎn)諧力的功簡(jiǎn)諧力簡(jiǎn)諧力tFtFsin)(0dtxtFFdxdWsin0Q=)sin()(tBtx振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為則激振力在微小位移

52、則激振力在微小位移dxdx上所作的微元功應(yīng)為：上所作的微元功應(yīng)為：在一個(gè)周期內(nèi)（在一個(gè)周期內(nèi)（t=0t=02/w2/w）所作的功，也就是）所作的功，也就是F(t)F(t)輸入輸入系統(tǒng)的能量，即為系統(tǒng)的能量，即為dtxtFW20)(dtttBF)cos(sin200tdttBF)cos(sin200sin0BF可見(jiàn)，簡(jiǎn)諧激振力在一個(gè)周期內(nèi)所作功的大小，不僅可見(jiàn)，簡(jiǎn)諧激振力在一個(gè)周期內(nèi)所作功的大小，不僅決定于激振力幅決定于激振力幅F F0 0 及振幅及振幅 B B 的大小，還決定于兩者的大小，還決定于兩者之間的相位角之間的相位角 。 當(dāng)當(dāng)00即外力超前位移時(shí)，作正功；即外力超前位移時(shí)，作正功；當(dāng)當(dāng)

53、00即外力落后于位移時(shí)，作負(fù)功；即外力落后于位移時(shí)，作負(fù)功；而當(dāng)而當(dāng) =0=0或或 =時(shí)，即外力在一個(gè)周期內(nèi)作功之和時(shí)，即外力在一個(gè)周期內(nèi)作功之和等于零。等于零。激振力在一個(gè)周期內(nèi)所作的功激振力在一個(gè)周期內(nèi)所作的功W W ，可以看成是激振，可以看成是激振力的兩個(gè)分量作功的和，即與位移同相的分量力的兩個(gè)分量作功的和，即與位移同相的分量F = F F = F coscos和與速度同相的分量和與速度同相的分量F = F sinF = F sin所作功之和。所作功之和。sin0BFW 2.6 簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼0)cos()sin(cos)cos()sin(cos)sin(200

54、200201tdttBFdttBtFdtxtFWF)sin(cos0tF與位移相同的力：與位移相同的力：在一個(gè)周期內(nèi)所作的功為：在一個(gè)周期內(nèi)所作的功為：2.6 簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼簡(jiǎn)諧力簡(jiǎn)諧力tFtFsin)(0激振力在一個(gè)周期內(nèi)所作的功為分量作功之和，即為激振力在一個(gè)周期內(nèi)所作的功為分量作功之和，即為 W =W +W = F Bsin因此，激振力在一個(gè)周期內(nèi)所作的功，就是其超前位移因此，激振力在一個(gè)周期內(nèi)所作的功，就是其超前位移 /2 的分量所作的功。的分量所作的功。sin)(cossin)cos(02200202 BFtdtBFdtxtFWF與速度同向的力與速度同向的力

55、F sincos（t-）在一個(gè)周期內(nèi)所作的功為：在一個(gè)周期內(nèi)所作的功為：2.6 簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼簡(jiǎn)諧力簡(jiǎn)諧力tFtFsin)(02.6 簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼時(shí)，粘性阻尼力時(shí)，粘性阻尼力 在一個(gè)振動(dòng)周期中所做的功：在一個(gè)振動(dòng)周期中所做的功：xcFc2202220)(sinXcdttcXdtxFDTcc在單自由度受迫振動(dòng)方程中，阻尼力被設(shè)為在單自由度受迫振動(dòng)方程中，阻尼力被設(shè)為 。 實(shí)際物理模實(shí)際物理模型與振動(dòng)位移一階導(dǎo)數(shù)成正比的是純液體摩擦阻尼，稱為型與振動(dòng)位移一階導(dǎo)數(shù)成正比的是純液體摩擦阻尼，稱為粘性粘性阻尼阻尼。這種阻尼是。這種阻尼是線性線性的，數(shù)

56、學(xué)上易于處理，故常把非線性阻的，數(shù)學(xué)上易于處理，故常把非線性阻尼用等效粘性阻尼來(lái)代替。尼用等效粘性阻尼來(lái)代替。等效原則：一個(gè)振動(dòng)周期中，兩種阻尼耗散的能量相等。等效原則：一個(gè)振動(dòng)周期中，兩種阻尼耗散的能量相等。xc等效阻尼力等效阻尼力 在一個(gè)振動(dòng)周期中所作的功：在一個(gè)振動(dòng)周期中所作的功： 所以有：所以有： xce2XcDDec) 1 (2XDce)cos(tXx當(dāng)受迫振動(dòng)的位移響應(yīng)為：當(dāng)受迫振動(dòng)的位移響應(yīng)為： 干摩擦阻尼：干摩擦阻尼：干摩擦阻尼力干摩擦阻尼力F可視為一個(gè)常力，在整個(gè)受迫可視為一個(gè)常力，在整個(gè)受迫振動(dòng)中力的幅值不變，方向始終與運(yùn)動(dòng)方向相反。振動(dòng)中力的幅值不變，方向始終與運(yùn)動(dòng)方向相

57、反。當(dāng)質(zhì)量從平衡位置移動(dòng)到最大偏離位置當(dāng)質(zhì)量從平衡位置移動(dòng)到最大偏離位置X，即在周期內(nèi)，摩，即在周期內(nèi)，摩擦力做功為擦力做功為 FX，故一個(gè)整周期內(nèi)做功，故一個(gè)整周期內(nèi)做功 代入代入（1）式，得到式，得到干摩擦的等效阻尼干摩擦的等效阻尼:XFXFXce4422.6 簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼結(jié)構(gòu)阻尼：結(jié)構(gòu)阻尼：由材料形變過(guò)程中的內(nèi)摩擦產(chǎn)生。由材料形變過(guò)程中的內(nèi)摩擦產(chǎn)生。材料在加載材料在加載- -卸載過(guò)程中，會(huì)形成應(yīng)力卸載過(guò)程中，會(huì)形成應(yīng)力- -應(yīng)變遲滯曲線，它應(yīng)變遲滯曲線，它包容的面積就是內(nèi)摩擦所消耗的能量，它近似地與振幅平包容的面積就是內(nèi)摩擦所消耗的能量，它近似地與振幅平方成正

58、比。即：方成正比。即：其中其中 是與頻率無(wú)關(guān)的比例系數(shù)，隨材料不同而變。因是與頻率無(wú)關(guān)的比例系數(shù)，隨材料不同而變。因此，結(jié)構(gòu)等效阻尼：此，結(jié)構(gòu)等效阻尼：2XaDrrreaXXaXDc222ra2.6 簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼簡(jiǎn)諧力的功和等效阻尼周期激勵(lì)周期激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(粘性阻尼粘性阻尼) 122211021sincos2nnnnnnnktnbtnakatx212arctannnnn1mknkmc221 1110sincos2nnntnbtnaatFtF tFxkxcxm 2. 7 非簡(jiǎn)諧周期激勵(lì)力的響應(yīng)分析非簡(jiǎn)諧周期激勵(lì)力的響應(yīng)分析 例：例：質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到周期方波激勵(lì)質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到周期

59、方波激勵(lì) 求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 TtTFTtFtF2,20,)(00)(tF0F0F0T2/Tt610 1 . 00 2. 7 非簡(jiǎn)諧周期激勵(lì)力的響應(yīng)分析非簡(jiǎn)諧周期激勵(lì)力的響應(yīng)分析 解：解：0彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率 610激勵(lì)力的基頻激勵(lì)力的基頻 ：T26011110)sincos(2)(nnntnbtnaatFTnTnTtdtntFTbtdtntFTadttFTa110sin)(2cos)(2)(2因因 a0 一周期內(nèi)總面積為一周期內(nèi)總面積為0 =0T, 02Ttn1cos2T區(qū)間區(qū)間 內(nèi)，內(nèi)， 關(guān)于關(guān)于 為反為反對(duì)稱，對(duì)稱， 而而 關(guān)于關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱)(tF=

60、0 11sinnntnb)(tF0F0F0T2/Tt2. 7 非簡(jiǎn)諧周期激勵(lì)力的響應(yīng)分析非簡(jiǎn)諧周期激勵(lì)力的響應(yīng)分析 11sin)(nntnbtF TntdtntFTb1sin)(22, 0T區(qū)間區(qū)間 內(nèi)內(nèi))(tF4T關(guān)于關(guān)于為對(duì)稱為對(duì)稱 tn1sin4T而而n取偶數(shù)時(shí)，取偶數(shù)時(shí)，關(guān)于關(guān)于反對(duì)稱反對(duì)稱 ,2TT區(qū)間區(qū)間 內(nèi)內(nèi))(tF43T關(guān)于關(guān)于為對(duì)稱為對(duì)稱 tn1sin43T而而n取偶數(shù)時(shí)，取偶數(shù)時(shí)，關(guān)于關(guān)于反對(duì)稱反對(duì)稱 0nb6 , 4 , 2n因此因此)(tF0F0F0T2/Tt12T2. 7 非簡(jiǎn)諧周期激勵(lì)力的響應(yīng)分析非簡(jiǎn)諧周期激勵(lì)力的響應(yīng)分析 11sin)(nntnbtF Tntdtn