微分方程與差分方程穩(wěn)定性課件

1、微分方程微分方程與差分方程穩(wěn)定性理論與差分方程穩(wěn)定性理論 在研究實際問題時在研究實際問題時, , 我們常常不能直接得出變量我們常常不能直接得出變量之間的關(guān)系之間的關(guān)系, ,但卻能容易得出包含變量導數(shù)在內(nèi)的關(guān)系但卻能容易得出包含變量導數(shù)在內(nèi)的關(guān)系式式, ,這就是微分方程這就是微分方程. . 在現(xiàn)實社會中在現(xiàn)實社會中, ,又有許多變量是離散變化的又有許多變量是離散變化的, ,如人如人口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價格等口數(shù)、生產(chǎn)周期與商品價格等, , 而且離散的運算具有而且離散的運算具有可操作性可操作性, , 差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁差分正是聯(lián)系連續(xù)與離散變量的一座橋梁. . 不管是微分方程還是

2、差分方程模型，有時無法得不管是微分方程還是差分方程模型，有時無法得到其解析解到其解析解( (必要時必要時, ,可以利用計算機求其數(shù)值解可以利用計算機求其數(shù)值解),),既既使得到其解析解使得到其解析解, ,尚有未知參數(shù)需要估計尚有未知參數(shù)需要估計( (這里可利用這里可利用參數(shù)估計方法參數(shù)估計方法). ). 而在實際問題中而在實際問題中, ,討論問題的解的變化趨勢很重要，討論問題的解的變化趨勢很重要，因此，以下只對其平衡點的穩(wěn)定性加以討論因此，以下只對其平衡點的穩(wěn)定性加以討論. .7.7 微分方程穩(wěn)定性理論簡介微分方程穩(wěn)定性理論簡介 一階方程的平衡點及穩(wěn)定性一階方程的平衡點及穩(wěn)定性 設(shè)有微分方程

3、(1)右端不含字變量t，稱為自治方程. 代數(shù)方程f(x) = 0 (2)的實根x = x0稱為方程(1)的平衡點(或奇點). 它也是(1)的解(奇解).),()(xftx 如果存在某個鄰域，使方程(1)的解x(t)從這個鄰域內(nèi)的某個x(0)出發(fā)，滿足 (3)則稱平衡點x0是穩(wěn)定的(穩(wěn)定性理論中稱漸進穩(wěn)定); 否則，稱x0是不穩(wěn)定的(不漸進穩(wěn)定). 判斷平衡點x0是否穩(wěn)定通常有兩種方法. 利用定義即(3)式稱間接法. 不求方程(1)的解x(t)，因而不利用(3)式的方法稱直接法. 下面介紹直接法.,)(lim0 xtxt 將f(x)在x0點作Taylor展開，只取一次項，方程(1)近似為 (4)

4、(4)稱為(1)的近似線性方程，x0也是方程(4)的平衡點. 關(guān)于x0點穩(wěn)定性有如下結(jié)論： 若f (x0) 0，則x0對于方程(4)和(1)都是不穩(wěn)定的. ),)()(00 xxxftx 注: x0點對方程(4)穩(wěn)定性很容易由定義(3)證明：記f (x0) = a，則(4)的一般解為x(t) = ceat + x0 (5)其中常數(shù)c由初始條件確定，顯然，a 0, q 0，則平衡點穩(wěn)定，則平衡點穩(wěn)定; （12） 若若 p 0, 或或q 0，則平衡點不穩(wěn)定，則平衡點不穩(wěn)定. （13） 微分方程穩(wěn)定性理論將平衡點分為結(jié)點、焦點、微分方程穩(wěn)定性理論將平衡點分為結(jié)點、焦點、鞍點、中心等類型，完全由特征根

5、或相應(yīng)的取值決定，鞍點、中心等類型，完全由特征根或相應(yīng)的取值決定，下表簡明地給出了這些結(jié)果，表中最后一列指按照定義下表簡明地給出了這些結(jié)果，表中最后一列指按照定義（8）式得下）式得下面面關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論。關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論。表表1 1 由特征方程決定的平衡點的類型和穩(wěn)定性由特征方程決定的平衡點的類型和穩(wěn)定性12, 對一般的非線性方程對一般的非線性方程(6)，仍可在平衡點作，仍可在平衡點作一次一次Taylor展開，得常系數(shù)的近似線性展開，得常系數(shù)的近似線性方程來討論方程來討論. 非線性方程非線性方程1212000000112111222000000212111222( )(,)()(,)()( )

6、(,)()(,)()xxxxdx tfxxxxfxxxxdtdx tgxxxxgxxxxdt系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣120001212(,)xxPxxxxffAgg特征方程系數(shù)特征方程系數(shù)0012012(,)()xxPxxpfg detqA（17）（18）（19）結(jié)論結(jié)論：若方程（若方程（17）的特征根不為零或?qū)嵅坎粸榱悖┑奶卣鞲粸榱慊驅(qū)嵅坎粸榱?，則點對于方程（則點對于方程（6）的穩(wěn)定性與對于近似方程（）的穩(wěn)定性與對于近似方程（17）的穩(wěn)定性相同。對于方程（的穩(wěn)定性相同。對于方程（6）的穩(wěn)定性也由準則）的穩(wěn)定性也由準則（12）、（）、（13）決定。）決定。 差分方程模型差分方程模型 對于對于k階差

7、分方程階差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (20)若有若有xn = x (n), 滿足滿足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,則稱則稱xn = x (n)是差分方程是差分方程(20的的解解, 包含包含k k個任意常個任意常數(shù)的解稱為數(shù)的解稱為（20）的的通解通解, x0, x1, , xk-1為已知時為已知時稱為稱為（20）的的初始條件初始條件,通解中的任意常數(shù)都由初通解中的任意常數(shù)都由初始條件確定后的解稱為始條件確定后的解稱為(20)的的特解特解.k 若若x0, x1, , 已知已知, 則形如則形如xn+k = g(n;

8、 xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可以在計算機上實現(xiàn)的差分方程的解可以在計算機上實現(xiàn).1kx 若有常數(shù)若有常數(shù)a是差分方程是差分方程(20)的解的解, 即即F (n; a, a, , a ) = 0,則稱則稱 a是差分方程是差分方程(20)的的平衡點平衡點. 又對差分方程又對差分方程(20)的任意由初始條件確定的的任意由初始條件確定的解解 xn= x(n)都有都有xna (n), 則稱這個平衡點則稱這個平衡點a是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的. 一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)線性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b為常數(shù)為常數(shù), 且且a 0)的通解為的通解為xn=

9、C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡點是其平衡點, 由上式知由上式知, 當且僅當當且僅當|a|1時時, b/(a +1)是穩(wěn)定的平衡點是穩(wěn)定的平衡點. 對于一階非線性差分方程對于一階非線性差分方程xn+1 = f (xn )其平衡點其平衡點x*由代數(shù)方程由代數(shù)方程x = f (x)解給出解給出. 為分析平衡點為分析平衡點x*的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性, 將上述差分方程近將上述差分方程近似為一階常系數(shù)線性差分方程似為一階常系數(shù)線性差分方程*),(*)*)(1xfxxxfxnn1|*)(| xf時時, ,上述近似線性差分方程與上述近似線性差分方程與原原非線性差分方程的

10、非線性差分方程的穩(wěn)定性相同穩(wěn)定性相同. . 因此因此當當時時, , x*是穩(wěn)定的；是穩(wěn)定的；當當1|*)(| xf時時, , x*是不穩(wěn)定的是不穩(wěn)定的. .當當1|*)(| xf 二階常系數(shù)線性差分方程二階常系數(shù)線性差分方程xn+2 + axn+1 + bxn = r,其中其中a, b, r為常數(shù)為常數(shù). 當當r = 0時時, 它有一特解它有一特解x* = 0； 當當r 0, 且且a + b + 1 0時時, 它有一特解它有一特解x*=r/( a + b +1). 不管是哪種情形不管是哪種情形, x*是其平衡點是其平衡點. 設(shè)其特征方設(shè)其特征方程程 2 + a + b = 0的兩個根分別為的兩個根分別為 = 1, = 2. 當當 1, 2是兩個不同實根時是兩個不同實根時,二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性差分性差分方程的通解為方程的通解為xn= x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 當當 1, 2= 是兩個相同實根時是兩個相同實根時,二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性差分性差分方程的通解為方程的通解為xn= x* + (C1 + C2 n) n;