工程電磁場 倪光正第2章靜態(tài)電磁場Ⅰ：靜電場

1、 第第2章章 靜態(tài)電磁場靜態(tài)電磁場：靜電場：靜電場 2.1 基本方程與場的特性基本方程與場的特性2.2 自由空間中的自由空間中的電場電場2.3 導(dǎo)體和導(dǎo)體和電介質(zhì)電介質(zhì)2.4 電介質(zhì)中的電場電介質(zhì)中的電場2.5 邊值問題邊值問題2.6 鏡像法鏡像法2.7 數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法有限差分法有限差分法2.8 電容電容 部分電容部分電容2.9 靜電場能量靜電場能量2.10 電場力電場力 當(dāng)電磁場中的當(dāng)電磁場中的源量源量（電荷或電流電荷或電流）不隨時間變化不隨時間變化時，場中的時，場中的場量場量也將也將不隨時間變化不隨時間變化而僅是空間坐標(biāo)的而僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)。因此，麥克斯韋方程組可簡化為：函數(shù)。

2、因此，麥克斯韋方程組可簡化為：積分形式：積分形式：dsJdlHlscldlE0sdSB0svdVdSD(2-1a)(2-1b)(2-1d)(2-1c)2.1 基本方程與場的特性基本方程與場的特性 微分形式：微分形式：JHc0E0BD(2-1e)(2-1f)(2-1g)(2-1h) 場源場源（靜電荷（靜電荷q）相對于觀察者靜止，且電量相對于觀察者靜止，且電量不隨時間而變化。不隨時間而變化。 2.1.1 基本方程基本方程( ) 0E rD 描述描述靜電場基本規(guī)律靜電場基本規(guī)律的的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型，應(yīng)歸結(jié)為：，應(yīng)歸結(jié)為：積分形式：積分形式：微分形式：微分形式：svdVdSDldlE0媒質(zhì)構(gòu)成方程：媒

3、質(zhì)構(gòu)成方程：ED對于理想化的真空對于理想化的真空( (自由空間自由空間) )，上式中的介電常數(shù)，上式中的介電常數(shù)0無旋無旋靜電場基本特征：靜電場基本特征：有散（有源）、無旋場有散（有源）、無旋場 2.1.2 真空中的高斯定理真空中的高斯定理 靜電場的有散性靜電場的有散性真空中真空中靜電場的靜電場的電場強度電場強度E與與源量源量q之間的關(guān)系為：之間的關(guān)系為：svdVdSDED0svdVdSE000qdVdSEsv上式稱為上式稱為真空中的高斯定理積分形式真空中的高斯定理積分形式定理表明，在真空中，通過任一閉合曲面定理表明，在真空中，通過任一閉合曲面S的電場強度的電場強度通量通量(電通量電通量)，等

4、于，等于該曲面所包圍的該曲面所包圍的電量除以電量除以真空中的真空中的介電常數(shù)介電常數(shù)。0( )E r 上式為上式為真空中高斯定理的微分形式，真空中高斯定理的微分形式，該式表明，真空中該式表明，真空中電場強度在任一場點上的散度等于該點的電荷體密度除電場強度在任一場點上的散度等于該點的電荷體密度除以真空的介電常數(shù)以真空的介電常數(shù)0 0 (0)E0 (0)E0 (0)E0E0E0Ea） 分析場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。分析場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)牡拈]合面閉合面作為作為高斯面高斯面，使，使 中中的的 D 可作為常數(shù)提出積分號外。可作為常數(shù)提出積分號外。

5、SSD d高斯定律適用于任何情況，但僅具有一定高斯定律適用于任何情況，但僅具有一定對稱性場對稱性場才有才有解析解。解析解。高斯定律的應(yīng)用高斯定律的應(yīng)用下下 頁頁上上 頁頁返返 回回計算技巧計算技巧 例例1 試求電荷線密度為試求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。的無限長均勻帶電體的電場。解解: : 分析場分布分析場分布, ,取取圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系,dqSSD由由eD2eDE0201ddSSSDSDLLLD 2得得下下 頁頁上上 頁頁返返 回回圖圖 無限長均勻帶電體無限長均勻帶電體球殼內(nèi)的電場球殼內(nèi)的電場qrDS24dSDrrqeD24球殼外的電場球殼外的電場qrDS24dSDrrqeD24

6、例例2 哪些區(qū)域的電場能用高斯定律直接求解？哪些區(qū)域的電場能用高斯定律直接求解？下下 頁頁上上 頁頁返返 回回圖圖q q分別在金屬球內(nèi)外分別在金屬球內(nèi)外圖圖 q q在金屬球殼內(nèi)在金屬球殼內(nèi)2.1.3 靜電場的無旋性靜電場的無旋性0Ed0lElE 0數(shù)學(xué)意義數(shù)學(xué)意義： 的線積分與積分路徑無關(guān)的線積分與積分路徑無關(guān) E靜電場可引入標(biāo)量電位函數(shù)靜電場可引入標(biāo)量電位函數(shù)積分形式：積分形式：微分形式：微分形式：物理意義：物理意義：t1dd0llElFlqtFEq 沿任一沿任一閉合路徑閉合路徑 l，移動，移動單位正電荷單位正電荷一周，電場一周，電場力所作的功為零。換句話說，沿任一閉合路徑，靜電力所作的功為

7、零。換句話說，沿任一閉合路徑，靜電場對電荷作功，系統(tǒng)的功或能量始終是守恒的場對電荷作功，系統(tǒng)的功或能量始終是守恒的靜靜電場守恒場（保守力場電場守恒場（保守力場作功與路徑無關(guān)的力場）。作功與路徑無關(guān)的力場）。 2.2 自由空間中的電場自由空間中的電場 工程電磁場分析的首要任務(wù)工程電磁場分析的首要任務(wù)正問題：正問題：已知源量、已知源量、媒質(zhì)及其特性參數(shù)，求場量分布（場分布問題）。媒質(zhì)及其特性參數(shù)，求場量分布（場分布問題）。 場量：場量： ( )E r基本場量基本場量 ( ) r輔助場量（位函數(shù)）輔助場量（位函數(shù)） 基于亥姆霍茲定理，可知基于亥姆霍茲定理，可知 ( )( )( )E rrA r 源量

8、：電荷源量：電荷2.2.1 自由空間中的自由空間中的 和和( )E r( )r 1d4VE rrVrr 1d4VrVrr 1d04VE rA rVrr ( )( )E rr ( )( )rE r0E0()E r ( )( )( )E rrA r z y V P(x, y, z) dV (x, y, z) x o Rrr( )rRerr求任意場點求任意場點 P 處的處的 示意圖示意圖( )E r( )( )E rr dQPPrEl0 dPPrEl 規(guī)定電位的參考點規(guī)定電位的參考點 Q 后，任一場點后，任一場點 P 處的電位為處的電位為 0大地工程上，以大地表面為電位參考面工程上，以大地表面為電位

9、參考面 2.2.2 場分布：基于場量場分布：基于場量E的分析的分析2.2.3 場分布：基于位函數(shù)場分布：基于位函數(shù)的分析的分析例例2.2 求電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)求電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)( r d )電場。電場。 1rzqqor2r( , , )P r dpqd電偶極矩電偶極矩( (簡稱電矩簡稱電矩) ) 電偶極子電偶極子一對等量異號的點電荷，一對等量異號的點電荷，間隔距離間隔距離 d 很小，很小，組成的場源系統(tǒng)。組成的場源系統(tǒng)。 解解 (1)()Prd0122101 21144Pqrrrrqrr21cosrrd 21 2rrr20cos4qdr2014rp er(2) E3012cossin4rrrrEee

10、rrE eE epeer 電偶極子遠(yuǎn)區(qū)的特征是：電偶極子遠(yuǎn)區(qū)的特征是： 21r31Er ( , )r( , )E r2.2.4 電場線和等位面電場線和等位面(線線)1. 1. 線線E0ldE2.2.等位面等位面( (線線) )場中電位相等的各點的軌跡場中電位相等的各點的軌跡( (等位面等位面) ) ddddddddd0 xxyyzzxyzyzxzxyxyzE eE eE exeyezeEzEy eExEz eEyEx edddxyzxyzEEE( , , )constx y z( , , )constCx y zE線方程線方程電場線與等位面電場線與等位面( (線線) )的的性質(zhì)：性質(zhì)： 等等

11、面不能相交；面不能相交； 線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷; ;E 線不能相交；線不能相交；EE 等位面等位面( (線線) )。 線愈密處，場強愈大線愈密處，場強愈大; ;E因為電場中某一點因為電場中某一點電場的方向就是此電場的方向就是此處電場線的切線方處電場線的切線方向，如果電場線相向，如果電場線相交，那么交點處電交，那么交點處電場就有兩個方向，場就有兩個方向，這是與概念相背的這是與概念相背的沿等勢面移動電荷，沿等勢面移動電荷，電場力不做功。電場力不做功。（因為（因為W=W=qUqU，任意，任意兩點的電勢差兩點的電勢差U=0U=0）電場力不做功，就電場力不做功，就說明

12、說明“電場力的方電場力的方向向”與與“移動的方移動的方向向”垂直垂直。 例例2.3 描繪電偶極子遠(yuǎn)區(qū)的等電位線和電場線（場圖）描繪電偶極子遠(yuǎn)區(qū)的等電位線和電場線（場圖） 。20cos, ,C4Pqdrr r2 = k1cos k1常數(shù)常數(shù) 解解 (1) 等電位線：等電位線： 0 0 =0 r 最大最大 =/2 r =0/2 上述曲線的靜像上述曲線的靜像 0 (n=1, 2, ) 1212( )eech shnnm xm xnnnnnnXxaaAm xAm xjj1212()eecos sinnnm ym ynnnnnnYybbBm yBm y( ,)( )()nUxyXx Yy 當(dāng)當(dāng) = -

13、-mn2 0 (n=1, 2, ) 12( )cos sinnnnnXxAm xAm x12()ch shnnnnYyBm yBm y(,)()()nUxyXx Yy011,nnnnU x yU x yU x yU x yd. 根據(jù)方程線性，由其根據(jù)方程線性，由其特解特解的的線性組合線性組合構(gòu)成偏微分方構(gòu)成偏微分方程的程的通解通解，然后，通過給定的定解條件，逐一確定，然后，通過給定的定解條件，逐一確定本征值和積分常數(shù)，最終得定解問題的確定解。本征值和積分常數(shù)，最終得定解問題的確定解。 121211212110201020,chshcossin cossinchsh nnnnnnnnnnnnnn

14、nnnnx yAm xAm xBm yBm yAm xAm xBm yBm yAA xBB y例例2-13 一長直接地金屬槽的橫截面如圖所示，其側(cè)壁一長直接地金屬槽的橫截面如圖所示，其側(cè)壁與底面電位均為零，而頂蓋電位與底面電位均為零，而頂蓋電位 0 。求槽內(nèi)的電位。求槽內(nèi)的電位分布。分布。 0 0 0 0 0 0Oaaxy 0長直接地金屬槽的橫截面圖長直接地金屬槽的橫截面圖 解解 槽內(nèi)電位槽內(nèi)電位 (x,y) 滿足拉普拉斯方程：滿足拉普拉斯方程：222220( , )0(0,0)(1)0(0,0)(2)0(0,0)(3)0(,0)(4)(0,)(5)x yxayaxyxyaxa yxayaxa

15、 ya121211212110201020,chshcossin cossinchsh nnnnnnnnnnnnnnnnnnx yAm xAm xBm yBm yAm xAm xBm yBm yAA xBB y 由由(2)得得 A1n= A1n= A10= 0 由由(3)得得 B1n= B1n= B10= 0202011,shsinsinshnnnnnnnnx yCm xm yDm x m yA B xy 由由(4)得得 C2n = 0 A20B20 = 0 sin0(1,2,3, )nnnmamna1,sinshnnnnx yDxyaa011sinshsinnnnnnnDxnExaa 由由(

16、5)得得-l,l 1( )sinnnnf xbxl02( )sindlnn xbf xxll-a,a 0000000022sindsind422cos1 cos0aanan xan xn xExaaa naann xnnnann 為奇數(shù)為偶數(shù)傅里葉正傅里葉正弦系數(shù)弦系數(shù)shnnDnE 041sh0nnDnnn為奇數(shù)為偶數(shù)01,3,5,41,sinshshnnnx yxynnaa接地金屬槽內(nèi)的等位線分布接地金屬槽內(nèi)的等位線分布2.圓柱坐標(biāo)系中的平行平面場問題圓柱坐標(biāo)系中的平行平面場問題yx( ,)P 2( ,)0 LDoyx( ,)P 2( ,)0 LD DonBnBAABBAAUnnnnnnn

17、sincos ln,2112120102010 yx( , )P 1Dx2Do120Ea例例2.14 一橫截面半徑為一橫截面半徑為a，介電常數(shù)為，介電常數(shù)為 1的長直介質(zhì)圓柱體的長直介質(zhì)圓柱體放置在均勻的外電場放置在均勻的外電場 中（場強值為中（場強值為E0，方向與介質(zhì)圓柱，方向與介質(zhì)圓柱體的軸線相垂直），均勻場中介質(zhì)的介電常數(shù)為體的軸線相垂直），均勻場中介質(zhì)的介電常數(shù)為 2 ，如圖，如圖所示。試分析因介質(zhì)圓柱體產(chǎn)生的極化電場對原均勻外電所示。試分析因介質(zhì)圓柱體產(chǎn)生的極化電場對原均勻外電場的畸變作用，即求其合成電場的電位和電場強度分布場的畸變作用，即求其合成電場的電位和電場強度分布 。0E 解

18、解 本問題理想化為平行平面場問題。根據(jù)邊界面的形狀，本問題理想化為平行平面場問題。根據(jù)邊界面的形狀，采用圓柱坐標(biāo)系，如圖所示。采用圓柱坐標(biāo)系，如圖所示。邊值問題列寫如下：邊值問題列寫如下：1.1. 泛定方程：泛定方程： 2211211122, ,110,zD 2222222211,0,D 2.2. 定解條件（邊界條件）定解條件（邊界條件） 無限遠(yuǎn)處的無限遠(yuǎn)處的BC： 銜接條件：銜接條件： 電位參考點電位參考點 1002000cosE xE 12aa1212aa3.3. 求解：求解： a. 位函數(shù)單值性的要求，必有位函數(shù)單值性的要求，必有 ,( ) ( ),2RQk 周期函數(shù)周期函數(shù) 12cos

19、sinnnQBnBnb. 場分布對場分布對 x 軸對稱，即軸對稱，即 , 1cosnQBnc. 場的對稱，決定了場的對稱，決定了 y 軸軸 ( x = 0 ) 為等位線，即為等位線，即 2,0 122cos01,3,5,nQBnn奇數(shù)滿足滿足Q ( ) = 0 的一般解，應(yīng)是的一般解，應(yīng)是 22nn 11cosQB1112111,( ) ( )cosRQAAB 1 = (C1 +d1-1)cos2 =(C2 +d2-1)cos 210122E x 121110122xxxxEeE eE ex 若若 1E2，故如本例為油中細(xì)長的空氣泡問題，故如本例為油中細(xì)長的空氣泡問題，則氣泡中場強將大于則氣泡

20、中場強將大于E0( (極限情況下，極限情況下，E1 2E0) )，有可能，有可能導(dǎo)致內(nèi)部放電擊穿，破壞正常運行狀態(tài)。導(dǎo)致內(nèi)部放電擊穿，破壞正常運行狀態(tài)。 1E 圓柱體內(nèi)圓柱體內(nèi) 均勻，即其中介質(zhì)被均勻極化；均勻，即其中介質(zhì)被均勻極化；唯一性定理唯一性定理 ： 在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的微分方程的的。的。下 頁上 頁返 回2.5.4 靜電場解的唯一性靜電場解的唯一性鏡像法：鏡像法：用位于場域用位于場域的較簡單的的較簡單的分布來分布來該該未知的未知的，從而將原含該邊界的，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大變換成無限大單一均

21、勻媒質(zhì)的空間單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。鏡像法應(yīng)用的鏡像法應(yīng)用的理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)靜電場解的唯一性定理靜電場解的唯一性定理 鏡像法應(yīng)用的鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點關(guān)鍵點： a. 鏡像電荷的確定（位置、個數(shù)、電量大?。?；鏡像電荷的確定（位置、個數(shù)、電量大小）； b. 等效求解的等效求解的“” 。2.6 鏡像法鏡像法 2.6.1 點電荷與無限大接地導(dǎo)電平面系統(tǒng)的電點電荷與無限大接地導(dǎo)電平面系統(tǒng)的電場場點電荷點電荷無限大的接地導(dǎo)板系統(tǒng)無限大的接地導(dǎo)板系統(tǒng)點電荷點電荷鏡像法圖示鏡像法圖示(1) 場中電位分布：場中電位分布：0121

22、1,4Pqzrr22022044qzhqzhn0nDE000zzEz32222qhh dSd dS 32220 022d d()qhh qq qfqE2042zqqeh22016zqeh 等效鏡像電荷放在當(dāng)前求解的場域外。等效鏡像電荷放在當(dāng)前求解的場域外。等效鏡像電荷表征界面上全部感應(yīng)電荷的效應(yīng)等效鏡像電荷表征界面上全部感應(yīng)電荷的效應(yīng)等效求解的等效求解的“”2.6.2 電軸與無限大接地導(dǎo)電平面系統(tǒng)的電場電軸與無限大接地導(dǎo)電平面系統(tǒng)的電場電軸電軸截面忽略不計的長直導(dǎo)電圓柱導(dǎo)線。截面忽略不計的長直導(dǎo)電圓柱導(dǎo)線。1.1.電位電位 分布分布： 任取任取 Q 點為電位參考點點為電位參考點 1012PEe

23、 2022PEe 111100dln22QQP 222200dln22QQP 201ln2PPPCP73P73例例2-92-9結(jié)論結(jié)論設(shè)設(shè) 1= 2處（中垂面）處（中垂面） = 0為電位參考點，則為電位參考點，則C = 0 201ln2P2.6.3 電軸法電軸法1.1.同半徑的兩線輸電線電場同半徑的兩線輸電線電場 oybhbdxh12( , )P x ya確定電軸確定電軸 的位置的位置 2dh22222dbhaa201ln2P2.2.不不同半徑的兩線輸電線電場同半徑的兩線輸電線電場 d1a2o1o2a222112222212bhabhadhh22212122221222daahddaahd22

24、221122bhaha201ln2P3.3.偏心電纜的電場偏心電纜的電場 d = h2-h1 22212122221222daahddaahd 例例2.11 一橫截面一半徑為一橫截面一半徑為 a 的傳輸線平行于地面，架設(shè)高的傳輸線平行于地面，架設(shè)高度為度為h，對地電位為，對地電位為U0，如圖所示。試求：，如圖所示。試求： (1) 大地上方傳輸線的電場；大地上方傳輸線的電場； (2) 系統(tǒng)中最大場強的位置及其數(shù)值。系統(tǒng)中最大場強的位置及其數(shù)值。 A a U0 + h 0 解解 (1) 任一點處的電位任一點處的電位 22ahb201ln2P0U導(dǎo)線00ln2bhaUahbbhaahbUln200(

25、2) Emax 021lnlnPUbhaahbmax00 x h aAAx h ayAyEEx 0222lnbUbhahabahb0002lnCbhaUahb(3) 地面上的感應(yīng)電荷分布地面上的感應(yīng)電荷分布 (4) 傳輸線對地電容傳輸線對地電容 n0n00022()xxDEExbyb 2.6.4 點電荷與無限大介質(zhì)平面系統(tǒng)的電場點電荷與無限大介質(zhì)平面系統(tǒng)的電場 cos4cos4cos4222121rqrqrq t2t1EEn2n1DD根據(jù)唯一性定理根據(jù)唯一性定理cos4 cos4cos4222121rqrqrqqq2121qq2122 和解得sin4 sin4sin4222rqrqrq 反映了

26、計算反映了計算 時，分界面上束縛電荷的時，分界面上束縛電荷的效應(yīng)。取決于效應(yīng)。取決于 1 2或或 1 2，q 可正可負(fù)?？烧韶?fù)。 令令= q+q ，則，則q 應(yīng)反映在應(yīng)反映在時，分時，分界面上束縛電荷的效應(yīng)。界面上束縛電荷的效應(yīng)。 以上結(jié)果，可推廣至線電荷以上結(jié)果，可推廣至線電荷 無限大介質(zhì)平面無限大介質(zhì)平面系統(tǒng)的電場。系統(tǒng)的電場。2.6.5 點電荷與導(dǎo)體球系統(tǒng)的電場點電荷與導(dǎo)體球系統(tǒng)的電場 q a o d 00Sq2(a2+b2)-q2(a2+d2)+2a(q2d- q2b)cos = 0 2222222200qabqadq dq baqqd 2abdbqqd 2abd0001444Pqq

27、qarrrdr222222222cos2cosqradadqrabab余弦定理+邊界條件邊界條件為為 12 SSC23d0SDSqq 場中電位分布場中電位分布3120 10 20 3444Pqqqrrr1012314qaardrdr 導(dǎo)球電位導(dǎo)球電位121100 44SSSCaqqdad鏡像法小結(jié)鏡像法小結(jié) 鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意要注意。用虛設(shè)的鏡像電荷替代未知電荷的分布，使計算場用虛設(shè)的鏡像電荷替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻媒質(zhì)；域為無限大均勻媒質(zhì)；靜電場唯一性定理靜電場唯一性定理確定鏡像電荷的個數(shù)、大小及位

28、置；確定鏡像電荷的個數(shù)、大小及位置；下 頁上 頁返 回例例2.16 一半徑為一半徑為 a =10 cm，對地電位差為，對地電位差為U0，的高壓球形，的高壓球形電極如圖設(shè)置，離地面高度為電極如圖設(shè)置，離地面高度為h =50 cm。求該高壓電極在。求該高壓電極在大地上方形成的電場。大地上方形成的電場。 121010109 1040ssqUqa (1) 場分布場分布 由由q1，q2，q3，和和q ，q ， q ，合成電場得解。合成電場得解。 (2) 球形電極上的電荷量球形電極上的電荷量12311111110999809701Qqqqq111111.111099Qqq 以上以上應(yīng)用表明鏡像法是在唯一性

29、定理的基礎(chǔ)上，將平應(yīng)用表明鏡像法是在唯一性定理的基礎(chǔ)上，將平面、圓柱面或球面上的感應(yīng)（或束縛）電荷分別用若面、圓柱面或球面上的感應(yīng)（或束縛）電荷分別用若干個鏡像電荷（點、線電荷）予以等值替代，使原問干個鏡像電荷（點、線電荷）予以等值替代，使原問題求解得以簡化。題求解得以簡化。 廣義鏡像法廣義鏡像法模擬電荷法，進(jìn)一步延拓了本方法的模擬電荷法，進(jìn)一步延拓了本方法的應(yīng)用范圍。應(yīng)用范圍。 2.7 數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法有限差分法有限差分法 2.7.1 引言引言 應(yīng)用應(yīng)用FDM的步驟：的步驟： 采用一定的網(wǎng)格剖分方式離散化場域；采用一定的網(wǎng)格剖分方式離散化場域； 基于差分原理的應(yīng)用，對場域內(nèi)偏微分方程

30、及其定解基于差分原理的應(yīng)用，對場域內(nèi)偏微分方程及其定解條件進(jìn)行差分離散化處理條件進(jìn)行差分離散化處理(即構(gòu)造差分格式即構(gòu)造差分格式) ； 由所建立的差分方程組由所建立的差分方程組(即離散型數(shù)學(xué)模型即離散型數(shù)學(xué)模型代數(shù)方代數(shù)方程組程組)，選用合適的代數(shù)方程組解法，編制計算程序，選用合適的代數(shù)方程組解法，編制計算程序，算出待求的離散解算出待求的離散解(數(shù)值解數(shù)值解)。2.7.2 差分與差商差分與差商 函數(shù)函數(shù) f(x) 的一階差分的一階差分( )()( )f xf xhf x0h dff 0d( )( )limdxff xfxxx 差商：基于差分應(yīng)用的數(shù)值微分表達(dá)式差商：基于差分應(yīng)用的數(shù)值微分表達(dá)式

31、 一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)d()( )dfff xhf xxxhd( )()dfff xf xhxxhd()()d2fff xhf xhxxh一階向前差商一階向前差商一階向后差商一階向后差商一階中心差商一階中心差商 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)222d1ddddd1()( )( )()()2 ( )()xxxfffxxxxf xhf xf xf xhhhhf xhf xf xhh 一階偏導(dǎo)數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)(, , )( , , )duu xh y zf x y zxh 二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)222d(, , )2 ( , , )(, , )duf xh y zf x y zf xh y zxh2.7.3 有限差分法有限

32、差分法( (FDM) ) 泛定方程的差分格式泛定方程的差分格式22222( , )( , )( , )( , )( )bLx yF x yx yDxyx yf r0( , )i j1(1, )ij2( ,1)i j3(1, )ij4( ,1)i j22(1, )2 ( , )(1, )( ,1)2 ( , )( ,1)iji jiji ji ji jFhh 泊松方程的差分方程：泊松方程的差分方程：2(1, )( ,1)(1, )( ,1)4 ( , )iji jiji ji jh F五點差分格式五點差分格式21( , )(1, )( ,1)(1, )( ,1)4i jiji jiji jh F

33、 拉普拉斯方程的差分方程：拉普拉斯方程的差分方程：0F (1, )( ,1)(1, )( ,1)4 ( , )0iji jiji ji j1( , )(1, )( ,1)(1, )( ,1)4i jiji jiji j 定解條件的差分格式定解條件的差分格式 第一類邊界條件第一類邊界條件1 ( , )( )bLi jf r 第二類邊界條件第二類邊界條件2b( )( )Lrfrn( , )(1, )i jijh2b( , )(1, )( )i jijhfr對稱邊界條件對稱邊界條件( (齊次齊次第二類邊界條件第二類邊界條件) )21( , )( ,1)(1, )42 ( ,1)i ji jiji j

34、h F 不同媒質(zhì)分界面銜接條件不同媒質(zhì)分界面銜接條件12( , )(1, )( ,1)4 12(1, )( ,1)1i jiji jKKiji jK 12K其中其中 差分方程組的求解方法差分方程組的求解方法 高斯高斯賽德爾迭代法賽德爾迭代法(1)( )( )(1)(1)2( , )(1, )( ,1)(1, )( ,1)14nnnnni jiji jiji jFh式中：式中：,1, 2,0, 1, 2,i jn，( )(1)( )( , )( , )( , )nnni ji ji jR余數(shù)余數(shù)(1)( )( )( , )( , )( , )nnni ji ji jR迭代終止條件：迭代終止條件：

35、)(,) 1(,kjikji 超松弛迭代法超松弛迭代法(1)( )( )( , )( , )( , )nnni ji ji jR( )( )( )(1)(1)2( , )(1, )( ,1)(1, )( ,1)4nnnnni jiji jiji jFh式中：式中： 加速收斂因子（加速收斂因子（1 1000 269 174 143 122 133 171 發(fā)散發(fā)散(2) 最佳收斂因子最佳收斂因子 0 隨問題而異：隨問題而異：正方形場域、正方形網(wǎng)格正方形場域、正方形網(wǎng)格矩形場域、正方形網(wǎng)格矩形場域、正方形網(wǎng)格 021 sinp( (每邊的節(jié)點數(shù)為每邊的節(jié)點數(shù)為p+1) )022112 2pq( (

36、兩條邊上的節(jié)點數(shù)分別為兩條邊上的節(jié)點數(shù)分別為p+1，q+1) )(3) 收斂速度與電位初始值及網(wǎng)格剖分粗細(xì)有關(guān)；收斂速度與電位初始值及網(wǎng)格剖分粗細(xì)有關(guān)；(4) 迭代次數(shù)與工程精度迭代次數(shù)與工程精度 有關(guān)。有關(guān)。NY計算流程框圖計算流程框圖(1)( )( , )( , )nni ji j給定邊值給定邊值賦節(jié)點電位初始值賦節(jié)點電位初始值輸出計算結(jié)果輸出計算結(jié)果 ( , )Ni j,累計迭代次數(shù)累計迭代次數(shù) N=0N=N+1按超松弛迭代法進(jìn)行一次迭代，求按超松弛迭代法進(jìn)行一次迭代，求 (1)( , )ni j2.8 電容電容 部分電容部分電容2.8.1 兩導(dǎo)體系統(tǒng)的電容兩導(dǎo)體系統(tǒng)的電容 FqCU，法

37、法拉拉 或或qEU從場的角度：從場的角度：UEq 例例2.13 絞線電容絞線電容 02darhlqClUU00lnbhrbhr125010F/m50pF/m002lnrhb hhr例例2.14 孤立導(dǎo)體球的電容孤立導(dǎo)體球的電容 04qaU球04qCaU 2.8.2 多導(dǎo)體系統(tǒng)的電荷與電位多導(dǎo)體系統(tǒng)的電荷與電位 部分部分電容電容 1200qqqq 1q2qd11P22P00hh1q2qDd , h a 1210011 11222lnln22qqhDlaldqq122002112222lnln22qqDhldlaqq(1) q1.1. q 關(guān)系關(guān)系 自有電位系數(shù)自有電位系數(shù) 0iiiiiqnqq其

38、余( -1)個導(dǎo)體(除0號導(dǎo)體) 均為零 互有電位系數(shù)互有電位系數(shù) 0000jiijiijjijqqjiqqqq， 其 余 導(dǎo) 體， 其 余 導(dǎo) 體2.q 關(guān)系關(guān)系 112222111122122q221122 111122 2211222q (2) 1qjiijA1j ijijiAM 自有靜電感應(yīng)系數(shù)自有靜電感應(yīng)系數(shù)0iiiiiq其余導(dǎo)體接地 互有靜電感應(yīng)系數(shù)互有靜電感應(yīng)系數(shù) 00ijjiijjiijqq其余導(dǎo)體接地其余導(dǎo)體接地3.部分電容部分電容(兩兩導(dǎo)體之間的電容兩兩導(dǎo)體之間的電容) 110101212qC UC U21212202021212020qC UC UC UC U (3) 1

39、1112101212q 22121212220q (2) 1011121212202122;CCC 0,iijCC自有部分電容自有部分電容 互有部分電容互有部分電容 012iiiinCijijC 指出：指出： ii， ij 0，且，且 ii ij 10q 20q 110浮電位1010U21111100(0)qqq其余號導(dǎo)體除外121221100(0)qqq其余號導(dǎo)體除外 11， 120，且，且 11 12 11111000iiq其余導(dǎo)體接地，1212211000ijq其余導(dǎo)體接地， 0 0，它們分別與導(dǎo)體的幾何形狀，相對位置，它們分別與導(dǎo)體的幾何形狀，相對位置及所處介質(zhì)相關(guān)，而與各導(dǎo)體帶電狀況

40、無關(guān)。及所處介質(zhì)相關(guān)，而與各導(dǎo)體帶電狀況無關(guān)。 任一部分電容值是和整個系統(tǒng)中所有導(dǎo)體的幾何尺任一部分電容值是和整個系統(tǒng)中所有導(dǎo)體的幾何尺寸，相對位置相關(guān)聯(lián)的。寸，相對位置相關(guān)聯(lián)的。 12131110100nUUUqCU (n+1)個個導(dǎo)體系統(tǒng)中，共有部分電容的個數(shù)為導(dǎo)體系統(tǒng)中，共有部分電容的個數(shù)為 21(1)2nn nC102012121020C CCCUCC 等值電容：等值電容：( (工作電容工作電容) ) 2.8.3 靜電屏蔽靜電屏蔽 例例2.15 四導(dǎo)體系統(tǒng)如圖示，導(dǎo)體四導(dǎo)體系統(tǒng)如圖示，導(dǎo)體1為導(dǎo)體為導(dǎo)體2所包圍。試求所包圍。試求C13=? 01231101012123131qC UUC

41、C U1012113130UUqCU10q 01323UU2.9 靜電場能量靜電場能量22e111222qWCUqUC對于電容器這類兩導(dǎo)體系統(tǒng)對于電容器這類兩導(dǎo)體系統(tǒng)1. 1. 用場源表示靜電能量用場源表示靜電能量120122224RqqqW)(423231103333RqRqqqWq3 從 移到 c點，所需能量q2 從 移到 b 點，需克服 q1 的電場力做功，q1 從 移到 a 點不受力，所需能量 W1=0，下 頁上 頁返 回總能量)(413113233212210321RqqRqqRqqWWWW)()()(41212323113233121213312210RqRqqRqRqqRqRqq

42、iiiqqqq3133221121)(21iniiqW121單位：J（焦耳）推廣推廣 2 ： 若是連續(xù)分布的電荷，若是連續(xù)分布的電荷， lSVqd ,d ,ddVVW, d21, d21SSWllWd21下 頁上 頁返 回例例2.16 用場的觀點計算平行板電容器中的用場的觀點計算平行板電容器中的We 。 1qqU122qq 1yU20y 解解 2e112kkkWq1 1221122qq1212q12qU2.9.2 靜電場能量的分布及其分布密度靜電場能量的分布及其分布密度 DDD)()（矢量恒等式矢量恒等式VVVVWd d) (21DDVSVd21d21EDSDJ d21單位： VWVED能量密

43、度3J/m 21EDw能量能量VVd21DVVWd21下 頁上 頁返 回22ee11222WDwDEEV 指出：指出：ew We系以系以 方式分布在整個電場空間方式分布在整個電場空間 對于各向異性媒質(zhì)對于各向異性媒質(zhì) e12wDE e1d(2)2VWDE V We的計算：的計算： 對于帶電系統(tǒng)，靜電場中對于帶電系統(tǒng)，靜電場中 e112nkkkWqe1d2VWD E V在時變場中（此時，交變磁場產(chǎn)生電場），或運動電在時變場中（此時，交變磁場產(chǎn)生電場），或運動電荷的電場中，只能依賴于荷的電場中，只能依賴于 求得。求得。 ew 2.10 電場力電場力電場力電場力靜電場對帶電體有力的作用，顯然，這靜電

44、場對帶電體有力的作用，顯然，這是電場具有能量的一種體現(xiàn)。是電場具有能量的一種體現(xiàn)。 條件：點電荷（兩）；無限大均勻介質(zhì)條件：點電荷（兩）；無限大均勻介質(zhì) 內(nèi)內(nèi) 。 24rqqFer2. 電場強度電場強度： FqE計算方法計算方法3 虛位移法虛位移法WFS廣義坐標(biāo)：用來確定帶電導(dǎo)體形狀、廣義坐標(biāo)：用來確定帶電導(dǎo)體形狀、尺寸、相對位置的一組尺寸、相對位置的一組獨立幾何量（距離、面獨立幾何量（距離、面積、體積、角度等）。積、體積、角度等）。 廣義力：企圖廣義力：企圖，即稱為對應(yīng)于該廣義，即稱為對應(yīng)于該廣義坐標(biāo)的廣義力，其方向系以相應(yīng)廣義坐標(biāo)增加的方坐標(biāo)的廣義力，其方向系以相應(yīng)廣義坐標(biāo)增加的方向為假定正方向（向為假定正方向（( (機械機械) )力、張力、壓強、力矩）。力、張力、壓強、力矩）。 kqdg（1）常電荷系統(tǒng)（）常電荷系統(tǒng)（ K斷開斷開 ）gfWdd0eeddWgf表示取消外源后，電場力作功必須靠減少電場中靜電表示取消外源后，電場力作功必須靠減少電場中靜電能量來實現(xiàn)。能量來實現(xiàn)。.constekqgWf在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體p發(fā)生位移發(fā)生位移dg后后, ,其功能關(guān)系為其功能關(guān)系為外源提供能量外源提供能量 = = 靜電能量增量靜電能量增量 + 電場力所作功電場力所作功gfWWddde即即gfqqkkkkdd21