大學(xué)物理第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)(3課時(shí))

1、4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 一一 理解理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度角速度和和角加速度角加速度的物理意義，并掌握角量與線量的物理意義，并掌握角量與線量的關(guān)系的關(guān)系 二二 理解理解力矩力矩和和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，掌握概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理 三三 理解理解角動(dòng)量角動(dòng)量概念，掌握概念，掌握角動(dòng)量定角動(dòng)量定律律，并能處理一般質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)以及，并能處理一般質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒問題問題. .4- -0 教學(xué)基本要求教學(xué)基

2、本要求第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 能運(yùn)用以上規(guī)律分析和解決包括質(zhì)點(diǎn)能運(yùn)用以上規(guī)律分析和解決包括質(zhì)點(diǎn)和剛體的簡單系統(tǒng)的力學(xué)問題和剛體的簡單系統(tǒng)的力學(xué)問題 四四 理解理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能概概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問題中正確念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的問題中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律4- -0 教學(xué)基本要求教學(xué)基本要求第四章第四章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版第一節(jié)4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體：剛體：在外力作用下，形狀和大小都不在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體發(fā)生變化的物體( (

3、任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組) )剛體的運(yùn)動(dòng)形式：剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體是理想模型剛體是理想模型 剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的說明：說明：4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平 動(dòng) 剛體任意兩點(diǎn)的連線保持方向不變。各點(diǎn)的 相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理.定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體每點(diǎn)繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運(yùn)動(dòng) 剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動(dòng)，但始終垂直于該平面且通過質(zhì)心定點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 剛體上各質(zhì)點(diǎn)都以某一定點(diǎn)為球心的各個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng) 復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)與平動(dòng)的混合。4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)

4、動(dòng)剛體轉(zhuǎn)軸1. 角坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)(t+t)參考方向剛體中任一點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程2. 角位移3. 角速度常量靜止勻角速變角速沿沿逆時(shí)針逆時(shí)針方方向轉(zhuǎn)動(dòng)向轉(zhuǎn)動(dòng)沿沿順時(shí)針順時(shí)針方方向轉(zhuǎn)動(dòng)向轉(zhuǎn)動(dòng)q 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向一一 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度tttddlim0qq)()(tttqqq4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)4. 角加速度角加速度tdd 剛體剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)( (一維轉(zhuǎn)動(dòng)一維轉(zhuǎn)動(dòng)) )的的轉(zhuǎn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用可以用角速度的正、負(fù)角速度的正、負(fù)來表示來表示. .(i) 0 表示剛體作表示剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)加速

5、轉(zhuǎn)動(dòng); 即轉(zhuǎn)動(dòng)越來越快即轉(zhuǎn)動(dòng)越來越快. (ii) z0 0;(ii) 當(dāng)角速度方向與當(dāng)角速度方向與Z軸正方向相反時(shí)軸正方向相反時(shí), 0時(shí)時(shí), 有有4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)( (1) ) 每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng) 平面；平面； ( (2) ) 任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 均相同，但均相同，但 不同；不同；q,a, v定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)特點(diǎn) ( (3) ) 運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)二二 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速

6、直線運(yùn)動(dòng)at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(20202qq22100ttqq 當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的=常量時(shí)，剛體常量時(shí)，剛體做做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三三 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系tervte2ntraran2tereratddqtt22ddddqavrtanaP4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 例例1在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動(dòng)機(jī)里，有在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動(dòng)機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)開始起動(dòng)時(shí)，角速度為零開始起動(dòng)時(shí)，角速度為零起起

7、動(dòng)后其轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化關(guān)系為：動(dòng)后其轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化關(guān)系為： 式中式中 求求：( (1) )t= =6 s時(shí)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速時(shí)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速( (2) )起動(dòng)后，起動(dòng)后，電動(dòng)電動(dòng)機(jī)在機(jī)在 t= =6 s時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)( (3) )角加速度角加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律隨時(shí)間變化的規(guī)律)e1 (/tm，s0 . 2sr5401m4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)( (2) ) 電動(dòng)機(jī)在電動(dòng)機(jī)在6 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為解解 ( (1) ) 將 t=6 s 代入代入1sr513950m.)e1 (/tm( (3) ) 電動(dòng)機(jī)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為22/srade540

8、eddttmtr1021. 23ttNtmd)e1 (21d2160/604- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)例例2在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)開始時(shí)，它的其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)開始時(shí)，它的角速度角速度 ，經(jīng)，經(jīng)300 s 后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18 000 rmin-1 轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比問在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？比問在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？00解解 令令 ，即，即 ，積分，積分 ctcttddtttc00dd得得221ct4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)當(dāng) t =300 s

9、時(shí)時(shí)11srad600minr00018322srad7530060022tc2215021tct221ct4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)由由2150ddttq得得tttd150d020qq在在 300 s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)43103)300(45022qNrad4503tq4- -1剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)第一節(jié)4- -2力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量PzOFrqdFdFrMqsin為力臂為力臂qsinrd FrM 對(duì)轉(zhuǎn)軸對(duì)轉(zhuǎn)軸 z 的力矩的力矩 F 一力矩一力矩 用來描述力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)作用用來描述力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)作用0, 0iiiiMFFF0, 0ii

10、iiMFFF*合力為零時(shí)合力為零時(shí), , 其合力矩其合力矩不一定不一定為零為零M右手法則判斷方向4- -2力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zOkFr討論討論FFFzFrkMzqsin rFMzzFF （1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量 Fq 其中其中 對(duì)轉(zhuǎn)軸的對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故力矩為零，故 對(duì)轉(zhuǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩軸的力矩zFF4- -2力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方向 外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)M = r F111力矩切向1F FrM叉乘右螺旋1M2MM = r F

11、222M = r F sin j j222大小2r2=2F d2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22F r11F r1=1F M = r F sin j j111大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22F P2j j2d2切向（2）外力矩與合外力矩4- -2力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量合力矩合力矩等于等于各分力矩的矢量和各分力矩的矢量和321MMMM（3）剛體內(nèi)剛體內(nèi)作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩互相的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM0,jiijMM內(nèi)zO0MF(4) 當(dāng)作用力通過轉(zhuǎn)軸時(shí)當(dāng)作用力通過轉(zhuǎn)

12、軸時(shí), , 其力矩其力矩為零為零. . 如右圖如右圖. .4- -2力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例例1 有一大型水壩高有一大型水壩高110 m、長、長1 000 m ,水深水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示水面與大壩表面垂直，如圖所示. 求作用在大壩上的力，以及這個(gè)力對(duì)通過大壩求作用在大壩上的力，以及這個(gè)力對(duì)通過大壩基點(diǎn)基點(diǎn) Q 且與且與 x 軸平行的力矩軸平行的力矩 .QyOxyOhxL4- -2力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解解 設(shè)水深設(shè)水深h，壩長，壩長L，在壩面上取面積，在壩面上取面積元元 ，作用在此面積元上的力，作用在此面積元上的力yLAdd y

13、pLApFdddyOhxyAdydQyOxL4- -2力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)(0yhgpp令大氣壓為令大氣壓為 ，則，則 0pyLyhgpAPFd)(dd0hyLyhgpF00d)(代入數(shù)據(jù)，得代入數(shù)據(jù)，得N1091. 510FyOhxyAdyd2021gLhLhpL4- -2力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量QyOyydFdhFyMdd 對(duì)通過點(diǎn)對(duì)通過點(diǎn)Q的軸的力矩的軸的力矩FdyLyhgpFd)(d0hyLyhgpyM00d)(3206121LhgLhp代入數(shù)據(jù)，得：代入數(shù)據(jù)，得：mN1014212 .M4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)

14、物理學(xué)第五版第五版Ormz二二 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律FqtFnFrFMsinmrmaFttM （1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)單個(gè)質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)軸剛性連接與轉(zhuǎn)軸剛性連接m2mrM 2tmrrFM4- -2力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量某質(zhì)元fi受內(nèi)力受外力FiFi+ f =aii 其切向投影式為ij jFisin+if cosq qi =air=i Ori瞬時(shí)角速度角加速度瞬時(shí)等式兩邊乘以 ri 并對(duì)所有質(zhì)元及其所受力矩求和其法向 n分量均通過轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。內(nèi)力矩成對(duì)抵消= 0合外力矩 M=+riifcosq qiiFij jsinri ri得M ri=（2）剛體剛體Fifi nij jq qi4-

15、-2力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量M ri=與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用 表示稱為 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J（2）剛體剛體 nFiOrifiij jq qi瞬時(shí)角速度角加速度瞬時(shí)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律即剛體所獲得的角加速度 的大小與剛體受到的 合外力矩 的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 成反比。4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版mrJrmJjjjd,22三三 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 物理物理意義意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度. 質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量離散分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2222112rmrmrmJjjj轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)算方法轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的計(jì)

16、算方法 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrrmJjjjd22：質(zhì)量元：質(zhì)量元md4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2 對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：質(zhì)量線密度：質(zhì)量線密度lmdd2 對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：質(zhì)量面密度：質(zhì)量面密度Smdd2 對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：質(zhì)量體密度：質(zhì)量體密度Vmdd：質(zhì)量元：質(zhì)量元md 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mrrmJjjjd224- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)

17、：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)：（3）與轉(zhuǎn)軸的位置與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)有關(guān)（1）與剛體的體密度與剛體的體密度 有關(guān)有關(guān)（2）與剛體的幾何形狀及體密度與剛體的幾何形狀及體密度 的分的分布有關(guān)布有關(guān)說說 明明2022-5-2832分立質(zhì)點(diǎn)的算例 若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則例1、可視為分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸0.754- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版lO O 解解 設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 ，取一距離轉(zhuǎn)軸，取一距離轉(zhuǎn)軸 OO 為為 處的質(zhì)量元處的質(zhì)量元 rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlrrrm

18、rJddd22 例例2 一一 質(zhì)量為質(zhì)量為 、長為、長為 的均勻細(xì)長棒，求的均勻細(xì)長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.mlrd2l2lO O2121ml如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版4032d2RrrJR 例例3 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、半徑為、半徑為 的均勻圓盤，求通的均勻圓盤，求通過盤中心過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.mR 解解 設(shè)圓盤面密度為設(shè)圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為在盤上取半徑為 ，寬為，寬為 的圓環(huán)的圓環(huán)rrd2 Rm而

19、而rrmd2d圓環(huán)質(zhì)量圓環(huán)質(zhì)量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2022-5-2835常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22I =m R123I =m L1轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直2022-5-2836其它典型勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板面J = (a + b ) 22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面J = m R 2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2J =2m R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸J = (R1 + R2 ) 22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心垂直于幾何軸mJ = R + 22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過球心2J =

20、2m R34- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2mdJJCO四四 平行軸定理平行軸定理 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛體的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為慣量為 ，則對(duì)任一與則對(duì)任一與該軸平行該軸平行，相距為相距為 的的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CJmddCOm4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版質(zhì)量為質(zhì)量為m，長為，長為L的細(xì)棒繞其一端的的細(xì)棒繞其一端的JP2221mRmRJP圓盤對(duì)圓盤對(duì)P 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RmO2231)2(mLLmJJc2mdJJc2121mLJcO1d=L/2O1O2O222

21、1mRJC4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版( (2) ) 為瞬時(shí)關(guān)系為瞬時(shí)關(guān)系 ( (3) ) 轉(zhuǎn)動(dòng)中轉(zhuǎn)動(dòng)中 與平動(dòng)中與平動(dòng)中 地位相同地位相同maF JM ( (1) ) , 與與 方向相同方向相同 JM M說明說明 轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用JM 4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為mA的物體的物體A 靜止在光滑水平靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過一半徑為一半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪C，并系，并系在另一質(zhì)

22、量為在另一質(zhì)量為mB 的物體的物體B上，上，B 豎直懸豎直懸掛掛滑輪與繩索間無滑動(dòng)，滑輪與繩索間無滑動(dòng)， 且滑輪與軸承間且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)的摩擦力可略去不計(jì)( (1) )兩物體的線加速度兩物體的線加速度為多少？為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？少？( (2) ) 物體物體 B 從靜止落下距離從靜止落下距離 y 時(shí)，其速率時(shí)，其速率是多少是多少？ABCAmBmCm4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版解解 ( (1) ) 用用隔離法分隔離法分別對(duì)各物體作受力分析，別對(duì)各物體作受力分析，取如圖所示坐標(biāo)系取如圖

23、所示坐標(biāo)系A(chǔ)BCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF（2） B由靜止出發(fā)

24、作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率2/22CBABmmmgymaytv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF由由ast2202和和00得得ayt224- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成 角時(shí)角時(shí)的角加速度和角速度的角加速度和角速度q例例3一長為一長為 l 、質(zhì)量質(zhì)量為為 m 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置

25、，勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定鉸鏈O相相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)由于由于此豎直放置的細(xì)桿處于非此豎直放置的細(xì)桿處于非m,lOmg4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力 作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得NFqJmglsin21式中式中231mlJ 得得qsin23lgNFm,lOmg4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版ttdddddd由角加速度的定義由角加速度的定義lgdsin23d代入初始條件積分得代入初始條件積分得)c

26、os1 (3lgddNFm,lOmg4- -2力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 作作 業(yè)業(yè)第第144頁頁4 - 64 - 74 - 94 - 134- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版第一節(jié)4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 力力的時(shí)間累積效應(yīng)：的時(shí)間累積效應(yīng)： 沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理 力矩力矩的時(shí)間累積效應(yīng)：的時(shí)間累積效應(yīng)： 沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版一一 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

27、定理和角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 22kvvmEmp，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)描述運(yùn)動(dòng)描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)能用動(dòng)量進(jìn)行描述嗎剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)能用動(dòng)量進(jìn)行描述嗎 ?ipjp0, 0p0, 0p均勻圓盤上以轉(zhuǎn)動(dòng)軸為對(duì)均勻圓盤上以轉(zhuǎn)動(dòng)軸為對(duì)稱軸的任意兩質(zhì)元稱軸的任意兩質(zhì)元, 其速其速度的大小相等度的大小相等, 但方向相但方向相反反, 因此動(dòng)量也是大小相因此動(dòng)量也是大小相等方向相反等方向相反. 總動(dòng)量為零總動(dòng)量為零. 可見可見動(dòng)量動(dòng)量在描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)在描述剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不是不是一個(gè)一個(gè)好好的物理的物理量量.4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版qv1質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角

28、動(dòng)量vmrprLvrLqLrxyzom 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)以的質(zhì)點(diǎn)以速度速度 在空間運(yùn)動(dòng)，某在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)對(duì)時(shí)對(duì) O 的位矢為的位矢為 ，質(zhì)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)O的角動(dòng)量的角動(dòng)量mrvqsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法則的方向符合右手法則L角動(dòng)量單位：角動(dòng)量單位：kgm2s-14- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版Lrpmo 質(zhì)點(diǎn)以質(zhì)點(diǎn)以 作半徑為作半徑為 的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心r2 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理？，tLFtpddddprL090sinrmvvmrLJmrrrm2)(4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定

29、律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版由則兩平行矢量的叉乘積為零得角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn) 對(duì)參考點(diǎn) 的位置矢量所受的合外力等于叉乘2 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理 的微分形式 作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力對(duì)參考點(diǎn)作用于質(zhì)點(diǎn)的合外力對(duì)參考點(diǎn) O 的力矩，等于的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn) O 的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率.稱為 沖量矩角動(dòng)量的增量這就是質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理 的積分形式 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：對(duì)同一參考點(diǎn)對(duì)同一參考點(diǎn)O，質(zhì)點(diǎn)所受，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量的沖量矩等于質(zhì)

30、點(diǎn)角動(dòng)量的增量.4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的 角動(dòng)量定理 若則即常矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn) 所受的合外力對(duì)某參考點(diǎn) 的力矩 為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率 為零，即質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量 守恒。稱為 若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力的方向始終通過參考點(diǎn)，其角動(dòng)量守恒。如行星繞太陽運(yùn)動(dòng)，以及微觀粒子中與此類似的運(yùn)動(dòng)模型，服從角動(dòng)量守恒定律。3 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 例例1 一半徑為一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)面內(nèi). 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的小

31、的小球穿在圓環(huán)上球穿在圓環(huán)上, 并可在并可在圓環(huán)上滑動(dòng)圓環(huán)上滑動(dòng). 小球開始小球開始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn) A (該點(diǎn)在通過環(huán)心該點(diǎn)在通過環(huán)心 O 的的水平面上水平面上)，然后從，然后從 A點(diǎn)開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略點(diǎn)開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略去不計(jì)求小球滑到點(diǎn)去不計(jì)求小球滑到點(diǎn) B 時(shí)對(duì)環(huán)心時(shí)對(duì)環(huán)心 O 的角的角動(dòng)量和角速度動(dòng)量和角速度4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 解解 小球受力小球受力 、 作用作用, 的力矩為的力矩為零，重力矩垂直紙面向里零，重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理qcosmgRM t

32、LmgRddcosqtmgRLdcosdqNFPNF4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版考慮到考慮到q2,ddmRRmLtvgRmLLdcosd32得得由題設(shè)條件積分上式由題設(shè)條件積分上式qqq0320dcosdgRmLLL2123)sin2(qgmRL 21)sin2(qRg2mRL 4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 例例2一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的登月飛船，在離月的登月飛船，在離月球表面高度球表面高度 h 處繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)飛船采處繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)飛船采用如下登月方式：當(dāng)飛船位于點(diǎn)用如下登月方式：當(dāng)飛船位于點(diǎn) A

33、 時(shí)，它向時(shí)，它向外側(cè)短時(shí)間噴射出粒子流，使飛船與月球相外側(cè)短時(shí)間噴射出粒子流，使飛船與月球相切地到達(dá)點(diǎn)切地到達(dá)點(diǎn) B , 且且OA 與與 OB 垂直飛船所垂直飛船所噴氣體相對(duì)飛船的速度為噴氣體相對(duì)飛船的速度為 試問：登月飛船在登月過程中所需消耗燃料試問：登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質(zhì)量的質(zhì)量 是多少是多少? ?14sm1000. 1um4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版kg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm7001R2sm62. 1guv0vAvBBvhORA已知已知登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質(zhì)量登月飛船在登月過程

34、中所需消耗燃料的質(zhì)量 d dmm是多少是多少? ?4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 解解 設(shè)飛船在點(diǎn)設(shè)飛船在點(diǎn) A 的速度的速度 , 月球質(zhì)月球質(zhì)量量 mM ,由萬有引力和由萬有引力和牛頓定律牛頓定律0v12120sm6121)(hRgRv0vAvBBvuvhORAhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版21)(220vvvAu0vAvBBvuvhORA 飛船在飛船在A點(diǎn)以相對(duì)點(diǎn)以相對(duì)速度速度 向外噴氣的短向外噴氣的短時(shí)間里時(shí)間里 , 飛船的質(zhì)量飛船的質(zhì)量減少了減少了 而為而

35、為 , 并并獲得速度的增量獲得速度的增量 , 使飛船的速度變?yōu)槭癸w船的速度變?yōu)?, 其值為其值為vAvmm4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版RmhRmBvv)(01sm7091)(RhR0Bvv 質(zhì)量質(zhì)量 在在 A 點(diǎn)和點(diǎn)和 B 點(diǎn)只受有心力作用點(diǎn)只受有心力作用 , 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒m 飛船在飛船在 A點(diǎn)噴出氣體后，在到達(dá)月球的點(diǎn)噴出氣體后，在到達(dá)月球的過程中，機(jī)械能守恒過程中，機(jī)械能守恒RmmGhRmmGMM21212B2Avmvm4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版RmmGhRmmGMM21212B2Avmv

36、mRmGhRmGMM222B2Avv即即1sm6151Av于是于是121sm100)(202Avvv而而vmum)(kg120ummv66定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是無數(shù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的疊加 所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸距離為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量其角動(dòng)量大小全部質(zhì)元的總角動(dòng)量全部質(zhì)元的總角動(dòng)量對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體二二 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律1 1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 ，exiMM

37、質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)mi受合力矩受合力矩Mi)(ddd)(ddd2iiiirmttJtLM 0iniMtJrmtiid)(d)(dd2合外力矩合外力矩合外力矩合外力矩角動(dòng)量的時(shí)間變化率角動(dòng)量的時(shí)間變化率（微分形式）(包括Miex、 Miin )2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版非剛體非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理112221dJJtMtt 對(duì)定軸轉(zhuǎn)的剛體，受合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)的剛體，受合外力矩M，從，從 到到 內(nèi)，角速度從內(nèi)，角速度從 變?yōu)樽優(yōu)?，積分可得：，積分可得：212t1t2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角

38、動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理（積分形式）沖量矩沖量矩角動(dòng)量的增量角動(dòng)量的增量4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版由剛體所受合外力矩若即則 當(dāng)剛體所受的合外力矩 等于零時(shí)， 剛體的角動(dòng)量 保持不變。3 3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律. 內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量. 守恒條件守恒條件0M若若 不變，不變， 不變；不變；若若 變，變， 也變，但也變，但 不變不變

39、.JJLJ討論討論exinMM 在在沖擊沖擊等問題中等問題中 L常量常量2022-5-2871角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的現(xiàn)象分析變小則變大，乘積保持不變，變大則變小收臂大小 用外力矩用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小2022-5-2872花 樣 滑 冰張臂大小先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來收臂大小角動(dòng)量守恒的另一現(xiàn)象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版自然界中存在多種守恒定律自然界中存在多種守恒定律2 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律2電荷守恒定律電荷守恒定

40、律2質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律2宇稱守恒定律等宇稱守恒定律等4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版 例例3 質(zhì)量很小長度為質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿，可的均勻細(xì)桿，可繞過其中心繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只小蟲以速率小蟲以速率 垂直落在距點(diǎn)垂直落在距點(diǎn)O為 l/4 處，并背處，并背離點(diǎn)離點(diǎn)O 向細(xì)桿的端點(diǎn)向細(xì)桿的端點(diǎn)A 爬行設(shè)小蟲與細(xì)桿爬行設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m問：欲使細(xì)桿以恒定的角速問：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端

41、點(diǎn)爬行度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?0vl/4OA4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版220)4(1214lmmllmvl0712 v解解:蟲與桿的碰撞蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角動(dòng)量守前后，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒恒1122JJ4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版l0712 v由角動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理tJtJtLMddd)(ddd)121(dd22mrmlt考慮到考慮到tq)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlgtrmrdd2qcosmgr4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第

42、五版第五版 例例4一雜技演員一雜技演員M由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為h 處自由下落到蹺板的一端處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一，并把蹺板另一端的演員端的演員N彈了起來問演員彈了起來問演員N可彈起多高可彈起多高? ?ll/2CABMNh4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為l，質(zhì)量為質(zhì)量為 ，蹺板可繞中部支撐點(diǎn)蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m假定演員假定演員M落在蹺板上，落在蹺板上，與蹺板的碰撞是與蹺板的碰撞是完全非彈性完全非彈性碰撞碰撞m解解碰撞前碰

43、撞前M落在落在 A點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬間，碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu 4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，和蹺板組成的系統(tǒng)，角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒22M21121222mllmlmuJlmvll/2CABMNh4- -3角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定律物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版lmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員N以以u(píng)起跳，達(dá)到的高度：起跳，達(dá)到的高度：hmmmglguh2222)63(8222M21121222mllmlmuJlm

44、v4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理第一節(jié)4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理力的空間累積力的空間累積效應(yīng)：效應(yīng)： 力的功、動(dòng)能、動(dòng)能定理力的功、動(dòng)能、動(dòng)能定理力矩的空間累積力矩的空間累積效應(yīng)：效應(yīng)： 力矩的功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、動(dòng)能定理力矩的功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、動(dòng)能定理4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理力力 的元功的元功力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功用力矩的功來計(jì)算力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所作的功用力矩的功來計(jì)算若在某變力矩 的作用下，剛體由 轉(zhuǎn)到 ，作的總功為作的總功為二、力矩的功率二、力矩的功率

45、一力矩作功一力矩作功 4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體中任一質(zhì)元 的速率該質(zhì)元的動(dòng)能對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 JJ得得4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理由由 力矩的元功力矩的元功轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律則則合外力矩的功合外力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量稱為四、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理四、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理86含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問題機(jī)械外力非保守內(nèi)力力矩力矩動(dòng)勢(shì)動(dòng)勢(shì)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守內(nèi)力矩力平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)可求或

46、此外勢(shì)4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 例例1 留聲機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤面的留聲機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率軸以角速率 作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)放上唱片后，唱片將作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)唱片的半徑在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)唱片的半徑為為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為 ，求：，求：( (1) )唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩；唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩； ( (2) )唱片達(dá)到角速唱片達(dá)到角速度度 時(shí)需要多長時(shí)間；時(shí)需要多長時(shí)間；( (3) )在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的驅(qū)動(dòng)

47、力矩做了多少功？驅(qū)動(dòng)力矩做了多少功？4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理RlrRmgfddd2o 解解 ( (1) ) 如圖取面如圖取面積元積元ds = drdl，該面元，該面元所受的摩擦力為所受的摩擦力為此力對(duì)點(diǎn)此力對(duì)點(diǎn)o的力矩為的力矩為lrrRmgfrddd2rdrdlfd4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 于是，在寬為于是，在寬為dr的的圓環(huán)上，唱片所受的摩圓環(huán)上，唱片所受的摩擦力矩為擦力矩為)2(dd2rrrRmgMRmgrrRmgM32d2R022rrRmgd222Rrdrdlfdo4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 ( (3) ) 由由 可得在可得在 0 到到 t 的時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)過的角度為的時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)過的角度為 ( (2) ) 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律求由轉(zhuǎn)動(dòng)定律求 ，( (唱片唱片J=mR2/2)RgJM34gRt43gRq832（作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)）（作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)）q2202驅(qū)動(dòng)力矩做的功為驅(qū)動(dòng)力矩做的功為2241qmRMW由由 可求得可求得t04- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 例例2 一