計(jì)算天體的質(zhì)量----教師版

1、計(jì)算天體的質(zhì)量【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容計(jì)算天體的質(zhì)量及發(fā)現(xiàn)未知天體二. 具體過程：知識(shí)點(diǎn)1 計(jì)算天體的質(zhì)量衛(wèi)星在天文研究中的地位（1）運(yùn)動(dòng)模型：行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)近似為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，太陽對(duì)行星的萬有引力提供向心力行星的軌道半徑為r，運(yùn)行周期為T.（2）基本方程：（3）太陽質(zhì)量：（4）方法推廣：通過觀測(cè)天體衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)而測(cè)量該天體質(zhì)量，是測(cè)量天體質(zhì)量的重要方法之一例1 若已知某行星的一顆衛(wèi)星繞其運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道半徑為R，周期為T，萬有引力常量為G，則可求得（ ）A、該衛(wèi)星的質(zhì)量B、行星的質(zhì)量C、該衛(wèi)星的平均密度D、行星的平均密度解析：由，得，其中M表示行星的質(zhì)量答案：B誤區(qū)點(diǎn)撥：衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的向心力由行星

2、對(duì)它的萬有引力提供，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期可以用天文的方法觀測(cè)到. 用此種方法可以計(jì)算中心天體的質(zhì)量，不能計(jì)算衛(wèi)星的質(zhì)量.知識(shí)點(diǎn)2 發(fā)現(xiàn)未知天體萬有引力定律地位的確立（1）發(fā)現(xiàn)過程：由最外側(cè)天體軌道的“古怪”現(xiàn)象提出猜想；根據(jù)軌道的“古怪”情況和萬有引力定律計(jì)算“新”天體的可能軌道；根據(jù)計(jì)算出的軌道預(yù)測(cè)可能出現(xiàn)的時(shí)刻和位置；進(jìn)行實(shí)地觀察驗(yàn)證（2）海王星與冥王星發(fā)現(xiàn)的重要意義并不僅僅在于發(fā)現(xiàn)了新天體，更重要的是確立了萬有引力定律的地位三、重點(diǎn)分析1、萬有引力定律應(yīng)用圖表項(xiàng)目?jī)?nèi)容說明或提示研究天體運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用公式研究天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，太陽系中的八大行星及其衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)都可以看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們做勻速圓周

3、運(yùn)動(dòng)的向心力就是它們受到的萬有引力測(cè)天體質(zhì)量M或天體密度天體質(zhì)量天體密度若衛(wèi)星在天體表面運(yùn)行，則r=R，而有：把衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)通過測(cè)出天體的衛(wèi)星的環(huán)繞周期、軌道半徑，則可推算出天體的質(zhì)量及天體的密度特別是衛(wèi)星在天體表面環(huán)繞時(shí)，只要測(cè)出其環(huán)繞周期，就可以測(cè)出天體的密度研究天體表面物體重力的應(yīng)用公式例如對(duì)月球表面物體的“重力”：mg月=，這里忽略了地球?qū)υ虑虮砻嫖矬w的萬有引力其余天體上的物體的重力照此類推已知r月軌=60R地，可求出：已知可求出：可見，地球在月球軌道處產(chǎn)生的重力加速度遠(yuǎn)小于月球?qū)ζ浔砻嫖矬w產(chǎn)生的重力加速度所以在月球上，地球?qū)ξ矬w的萬有引力可以忽略，而只考慮月球?qū)ξ矬w萬有

4、引力的作用2、衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的各物理量隨軌道半徑的變化而變化的規(guī)律主體方程的等號(hào)左邊是萬有引力的計(jì)算式，主體方程的等號(hào)右邊是向心力的計(jì)算式（1）向心力和向心加速度：向心力是由萬有引力充當(dāng)?shù)?，有F=GMm/r2再據(jù)F=ma，必然有：a=GM/r2所以有：隨著衛(wèi)星軌道半徑的增加，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的向心力和向心加速度皆減?。?）線速度v：依據(jù)主體方程有：GMm/r2=mv2/r，所以所以有：隨著軌道半徑的增加，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的線速度減小即v.（3）角速度：依據(jù)主體方程有：GMm/r2=mr2，所以.所以有：隨著軌道半徑的增加，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的角速度減小即（4）周期T：依據(jù)主體方程

5、有：，所以所以有：隨著軌道半徑的增加，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期增大即T由以上分析可知：在進(jìn)行本類題目的計(jì)算和判斷時(shí)，應(yīng)特別注意：主體方程的等號(hào)左邊一定要寫成GMm/r2，等號(hào)右邊一定注意討論哪個(gè)物理量，討論哪個(gè)物理量就要用哪個(gè)物理量所表達(dá)的向心力公式，例如討論線速度就寫成mv2/r另外也可以看出，衛(wèi)星的線速度v、角速度、周期T、加速度a等皆與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，只由r和M決定四、重點(diǎn)小結(jié)1、解決天體運(yùn)動(dòng)問題的兩條思路（1）萬有引力提供向心力（2）重力等于其所受萬有引力（m在M的表面上）（1）萬有引力提供天體運(yùn)動(dòng)的向心力以及重力等于萬有引力是我們研究天體運(yùn)動(dòng)的兩大依據(jù)（2）式中的r是軌道半徑，R是

6、天體半徑2、關(guān)于天體的估算（1）行星質(zhì)量的估算：如果行星的質(zhì)量為M，行星的半徑為R，近地衛(wèi)星的質(zhì)量為m，因萬有引力充當(dāng)向心力，由向心力公式得：已知近地衛(wèi)星的線速度v時(shí)，有已知近地衛(wèi)星的角速度時(shí)，有已知近地衛(wèi)星的周期T時(shí)，有已知近地衛(wèi)星的線速度v、角速度時(shí)，依據(jù)中的結(jié)論和由以上分析可知：如果我們知道近地衛(wèi)星的軌道半徑R，線速度v，角速度（或半徑R、周期T、線速度v，或半徑R，頻率f，線速度v）中的任意兩個(gè)物理量就可以對(duì)行星的質(zhì)量進(jìn)行估算了（2）行星密度的估算：題設(shè)與（1）中的相同，如果再設(shè)行星的密度為據(jù)，必有，則：已知近地衛(wèi)星的線速度v時(shí)，有.已知近地衛(wèi)星的角速度時(shí)，有已知近地衛(wèi)星的周期T時(shí)，有

7、： 以上分析可知：如果知道行星近地衛(wèi)星的周期或角速度就能對(duì)此行星的密度進(jìn)行估算；知道行星的近地衛(wèi)星的軌道半徑和線速度也能對(duì)此行星的密度進(jìn)行估算【典型例題】例1 兩個(gè)行星質(zhì)量分別為m1和m2，繞太陽運(yùn)行的軌道半徑分別是r1和r2，求：（1）它們與太陽間的萬有引力之比（2）它們的公轉(zhuǎn)周期之比解析：（1）設(shè)太陽質(zhì)量為M，由萬有引力定律得兩行星與太陽間的萬有引力之比為（2）將兩行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由萬有引力提供，則有所以，行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期為，則兩行星的公轉(zhuǎn)周期之比為答案：（1） （2）點(diǎn)撥：解決天體問題，應(yīng)理解萬有引力定律公式中各量的物理意義。例2 試用萬有引力定律證明：（1）

8、對(duì)某行星的所有衛(wèi)星來說，R3/T2是一個(gè)常量R為軌道半徑，T為衛(wèi)星的周期（2）若行星的密度為，靠近行星表面的衛(wèi)星的周期為T，則是一個(gè)常量證明：根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得（1），與衛(wèi)星無關(guān)（2），聯(lián)立解得可見與行星、衛(wèi)星均無關(guān)，是一個(gè)常量方法點(diǎn)撥：（1）衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力由行星對(duì)它的萬有引力來提供，向心加速度用周期和半徑來表示（2）注意近地衛(wèi)星的軌道半徑近似等于行星半徑，結(jié)合球體的體積公式和密度的定義式即可解決問題點(diǎn)撥：（1）在本章中，求天體質(zhì)量有兩種方法：一種是根據(jù)重力加速度求天體的質(zhì)量，即，另一種方法是根據(jù)天體的運(yùn)動(dòng)，即天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，列方程，用第二種方

9、法只能求圓心處天體的質(zhì)量.（2）在這類估算問題中，地面處的重力加速度、公轉(zhuǎn)周期等物理量常作為常識(shí)，而不再給出，再就是忽略星球的自轉(zhuǎn)帶來的影響.例3 據(jù)美聯(lián)社2002年10月7日?qǐng)?bào)道，天文學(xué)家在太陽系的八大行星之外，又發(fā)現(xiàn)了一顆比地球小得多的新行星，而且還測(cè)得它繞太陽公轉(zhuǎn)的周期約為288年若把它和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道都看做圓，問它與太陽間距離約是地球與太陽間距離的多少倍？（最后結(jié)果可用根式表示）解析：新行星和地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力設(shè)太陽質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為m0，地球繞太陽運(yùn)行的公轉(zhuǎn)周期為T0，與太陽的距離為R0，由萬有引力提供向心力得 對(duì)新行星（、），同理可得 由兩式得由于年，

10、則得答案：44或點(diǎn)撥：本題為典型的萬有引力與圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的綜合題，關(guān)鍵是由牛頓第二定律列出關(guān)系式。借題發(fā)揮3：宇宙中兩個(gè)相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不致因萬有引力的作用吸引到一起（1）試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量之反比（2）設(shè)二者的質(zhì)量分別為m1和m2，二者相距L，試寫出它們角速度的表達(dá)式答案：（1）略 （2）例4 （物理與科技）一物體在地球表面重16N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的視重為9N，則此火箭離地球表面的距離為地球半徑的（g取10m/s2）（ ）A、2倍B、3倍C、4倍D、一半思維分析：萬有引力定律在發(fā)

11、射火箭和人造地球衛(wèi)星中，也可通過計(jì)算來研究一些問題本題是利用火箭中物體的視重來計(jì)算火箭升空的高度，注意牛頓第二定律的應(yīng)用解析：設(shè)此時(shí)火箭上升高度為h，火箭上物體的視重大小等于物體受到的支持力FN，物體受到的重力為，是h高處的重力加速度由牛頓第二定律得：其中m=G/g，代入式得：在距地面為h處，物體的重力為1N，物體的重力等于萬有引力在地球表面在距地面h高處式與式相除可得：,所以：R地+h= 所以h=3R地，故選B、答案：B五、知識(shí)拓展黑洞黑洞概念的提出已經(jīng)有200多年了1783年，英國(guó)人約翰·米歇爾（Job Michel）第一個(gè)提出存在質(zhì)量足夠大并足夠緊密的恒星它的引力是如此強(qiáng)大，以

12、致連光線都不能逃逸幾年后，法國(guó)科學(xué)家皮埃爾西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）也在他的世界系統(tǒng)一書中提出了和米歇爾類似的觀點(diǎn)，但非常有趣的是，此書的第三版和以后的版本中再也不提此事了，或許他覺得這個(gè)想法過于荒誕了在一個(gè)多世紀(jì)以后，德國(guó)的天文學(xué)家卡爾·施瓦西（Karl Schwarzs-child）于1916年求解出了愛因斯坦廣義相對(duì)論方程的第一個(gè)嚴(yán)格解這個(gè)解預(yù)示可能存在一類巨大天體，這就是60年代后人們所稱的“黑洞”第一次“看到”黑洞是在1971年，那時(shí)通過1970年12月12日美國(guó)發(fā)射的小型天文衛(wèi)星“自由號(hào)”（Uhuru），發(fā)現(xiàn)了一個(gè)來自天鵝座區(qū)域的

13、很強(qiáng)的X射線脈沖源，它被命名為天鵝座Xl，這是第一個(gè)被具體確認(rèn)的黑洞從那以后，黑洞變成了天體物理學(xué)的熱門課題今天，我們對(duì)黑洞的形成過程已有了很多的了解，簡(jiǎn)單地說，黑洞是質(zhì)量巨大的恒星在超新星爆發(fā)后坍縮（即自身極強(qiáng)烈的收縮）而成的我們可以把黑洞想象成一個(gè)巨大的“磨碎機(jī)”，它把吸進(jìn)的物質(zhì)磨碎它的中心被稱為“磨碎點(diǎn)”，也就是所謂的“奇點(diǎn)”在此“奇點(diǎn)”，科學(xué)定律和我們預(yù)測(cè)未來的能力都失效了黑洞的邊界被稱為“視界”，這是一個(gè)有去無回的界面，只要跨過這一界面就落入了黑洞的內(nèi)部不過假設(shè)有人不幸掉進(jìn)去的話，他首先看到的是被黑洞捕獲的光線，而且這些光線呈螺旋狀進(jìn)入引力旋渦一顆恒星在經(jīng)歷了平穩(wěn)的青年、中年時(shí)期后，

14、就將進(jìn)入老年，最終走向死亡這顆質(zhì)量至少比太陽大10倍的恒星，在老年期會(huì)發(fā)生膨脹，變成一顆紅巨星，而后發(fā)生爆炸超新星爆發(fā)其外層物質(zhì)拋向太空，中心核則在引力的作用下發(fā)生猛烈而突然的坍縮，形成黑洞【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）1、一艘宇宙飛船繞一個(gè)不知名的行星表面飛行，要測(cè)定該行星的密度，僅僅需要（ ）A、測(cè)定飛船的運(yùn)行周期B、測(cè)定飛船的環(huán)繞半徑C、測(cè)定行星的體積D、測(cè)定飛船的運(yùn)動(dòng)速度2、設(shè)行星繞恒星的運(yùn)動(dòng)軌道是圓，則其運(yùn)行周期T的平方與其運(yùn)動(dòng)軌道半徑R的三次方之比為常量，即，那么k的大?。?）A、只與行星質(zhì)量有關(guān)B、只與恒星質(zhì)量有關(guān)C、與行星及恒星的質(zhì)量都有關(guān)D、與恒星質(zhì)量及行星的速度都有關(guān)3

15、、宇宙飛船進(jìn)入一個(gè)圍繞太陽的近乎圓形的軌道運(yùn)動(dòng)，如果軌道半徑是地球軌道半徑的9倍，那么宇宙飛船繞太陽運(yùn)行的周期是（ ）A、3年 B、9年 C、27年 D、81年4、太陽由于輻射，質(zhì)量在不斷減少地球由于接受太陽輻射和吸收宇宙中的塵埃，其質(zhì)量在不斷增加假定地球增加的質(zhì)量等于太陽減少的質(zhì)量，且地球的軌道半徑不變，則（ ）A、太陽對(duì)地球的引力增大B、太陽對(duì)地球的引力變小C、地球運(yùn)行的周期變長(zhǎng)D、地球運(yùn)行的周期變短5、有兩個(gè)行星A、B，在這兩個(gè)行星表面附近各有一顆衛(wèi)星，如果這兩顆衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期相等，則下列說法正確的是（ ）A、A、B兩行星表面的重力加速度之比等于它們的半徑之比B、兩衛(wèi)星的線速度一定相等C

16、、行星A、B的質(zhì)量和半徑一定相等D、行星A、B的密度一定相等6、我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)由天文觀察測(cè)得其運(yùn)動(dòng)周期為T，S1到C點(diǎn)的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G.由此可求出S2的質(zhì)量為（ ）A、B、C、D、7、已知某行星半徑為R，表面的重力加速度為g0，它的表面附近一顆衛(wèi)星環(huán)繞它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，（認(rèn)為其軌道半徑為R）則它的環(huán)繞速度及運(yùn)行周期分別為，試推導(dǎo)這兩個(gè)結(jié)論8、某次實(shí)驗(yàn)中測(cè)得從地面射向月球的激光束，經(jīng)放置在月球上的反射器反射后返回地面接收站，往返共需時(shí)

17、間t=2.56s，由天文觀察可知，月球繞地球一周的平均時(shí)間T=27.3d，試估算地球的質(zhì)量9、宇航員站在一星球表面上的某高處沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t后小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)若拋出時(shí)的初速度增大為原來的2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常量G，求該星球的質(zhì)量M10、土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運(yùn)動(dòng)可視為圓周運(yùn)動(dòng)其中有兩個(gè)巖石顆粒A和B與土星中心距離分別為rA=8.0×104km和rB=1.2×105km忽略所有巖石顆粒間的相互作用（結(jié)果可用根式表示）（1）求巖石顆粒A和B的線速度之比（2）求巖石顆粒A和B的周期之比（3）土星探測(cè)器上有一物體，在地球上重為l0N，推算出它在距土星中心3.2×105km處受到土星的引力為0.38N。已知地球半徑為6.4×103km，請(qǐng)估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？（g取10m/s2）11、（物理與科技）“9.11”恐怖事件發(fā)生后，美國(guó)為了找到本·拉登的藏身地點(diǎn)，使用了先進(jìn)的偵察衛(wèi)星據(jù)報(bào)道：美國(guó)將多顆最先進(jìn)的KH11、KH12“鎖眼”系列照相偵察衛(wèi)星調(diào)集到中亞地區(qū)上空，“鎖眼”系列照相偵察衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，近地點(diǎn)265km（指衛(wèi)星與地面的最近距離）