解線性方程組的解法

1、關于解線性方程組的解法第一頁，共28頁幻燈片2 線性方程組是線性代數(shù)中最重要最基本的內(nèi)容之一，是解決很多實際問題的的有力工具，在科學技術和經(jīng)濟管理的許多領域（如物理、化學、網(wǎng)絡理論、最優(yōu)化方法和投入產(chǎn)出模型等）中都有廣泛應用. 第一章介紹的克萊姆法則只適用于求解方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同，且系數(shù)行列式非零的線性方程組. 本章研究一般線性方程組，主要討論線性方程組解的判定、解法及解的結(jié)構(gòu)等問題，還要討論與此密切相關的向量線性相關性等. 其主要知識結(jié)構(gòu)如下：第二頁，共28頁幻燈片3線性方程組 通解基礎解系解的結(jié)構(gòu)極大線性無關組線性相關、線性無關線性表示、線性組合向量解的關系階梯陣，得同解方程組求解方

2、法：消元法，有非零解，只有零解，無解，有無窮多解，有唯一解解的判定)()()()()()()()()(AAAOAxAAAAAAAxnrnrrrnrrnrr第三頁，共28頁幻燈片43.1 消元法第一章討論了含n個方程的n元線性方程組的求解問題.下面我們討論一般的n元線性方程組(system of linear equations)mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（3.1） 寫成矩陣形式為Ax 其中mnamamaaaaaaann212222111211Amnbbbxxx2121, x第四頁，共28頁幻燈片5分別稱為方程組（3.1

3、）的系數(shù)矩陣(coefficient matrix)、未知量矩陣和常數(shù)項矩陣. 當 時，稱 為n元齊次線性方程組；當 時，稱 為n元非齊次線性方程組. 并稱T)0 , 0 , 0( OOAx O Ax mnnbbbmnamamaaaaaaa21212222111211),(AA為方程組（3.1）的增廣矩陣(augmented matrix). 因為一個線性方程組由它的系數(shù)和常數(shù)項完全確定，所以線性方程組與它的增廣矩陣是一一對應的.如果 可以使（3.1）中的每個等式都成立，則稱 為線性方程組（3.1）的一個解(solution). 線性方程組（3.1）的解的全體稱為它的解nncxcxcx,221

4、1Tnccc),(21x第五頁，共28頁幻燈片6集(solution set). 若兩個線性方程組的解集相等，則稱它們同解(same solution). 若線性方程組（3.1）的解存在，則稱它有解或相容的. 否則稱它無解或矛盾的. 解線性方程組實際上先要判斷它是否有解，在有解時求出它的全部解. 消元法是求解線性方程組的一種基本方法，其基本思想是通過消元變形把方程組化成容易求解的同解方程組. 在中學代數(shù)里我們學過用消元法求解二元或三元線性方程組，現(xiàn)在把這種方法理論化、規(guī)范化、并與矩陣的初等變換結(jié)合起來，使它適用于求解含更多未知量或方程的線性方程組. 為此，先看一個例子.第六頁，共28頁幻燈片7

5、例1 解線性方程組452462213232131321xxxxxxxx) 3() 2() 1 (解 原方程組 2451323232321)1 (2)3()1 ()2(xxxxxxx) 5 () 4() 1 (183562233231)4(4)5()4()1(xxxxx)7()4()6(65333231)7(31)6(21xxxxx619321)9()4()9()8(xxx)9()4()8(顯然原方程組與最后的方程組（叫階梯形方程組）同解，所以原方程組有唯一解 6, 1, 9321xxx第七頁，共28頁幻燈片8 由此不難發(fā)現(xiàn)，在求解線性方程組的過程中，可以對方程組反復施行以下三種變換： 1. 交

6、換兩個方程的位置； 2. 用一個非零數(shù)乘某個方程的兩邊； 3. 把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上.稱它們?yōu)榫€性方程組的初等變換. 顯然：線性方程組的初等變換不改變線性方程組的同解性. 在例1的求解過程中，我們只對方程組的系數(shù)和常數(shù)項進行了運算，對線性方程組施行一次初等變換，就相當于對它的增廣矩陣施行一次相應的初等行變換，用方程組的初等變換化簡線性方程組就相當于用矩陣的初等行變換化簡它的增廣矩陣. 下面我們將例1的求解過程寫成矩陣形式：第八頁，共28頁幻燈片9 21405110131245246202131213122rrrrA 610051103101183005110620231232131

7、214rrrrrr 6100101090013231rrrr所以原方程組有唯一解 6, 1, 9321xxxT)6, 1, 9(x即第九頁，共28頁幻燈片10一般地，不妨設線性方程組（3.1）的增廣矩陣可通過適當?shù)某醯刃凶儞Q化為階梯形矩陣000000000000000001000100011122121111rrrnrrnrnrddccdccdccA因而由初等行變換不改變矩陣的秩可知：線性方程組（3.1）的系數(shù)矩陣 與增廣矩陣 的秩分別為AA第十頁，共28頁幻燈片11rr)(A.0, 10,)(11時當時，當rrdrdrr A與 由線性方程組的初等變換不改變線性方程組的同解性可知：線性方程組（

8、3.1）與階梯形方程組1112211221111110rrnrnrrrrnnrrnnrrddxcxcxdxcxcxdxcxcx（3.2） 同解，且其解有三種情形：情形1，當 ，即 時，方程組（3.1）無解.情形2，當 ，即 時，方程組（3.1）有唯一解01rd)()(AArrnrdr, 01nrrr)()(AATnddd),(21x第十一頁，共28頁幻燈片12情形3，當 ，即 時，方程組（3.2）可變成nrdr, 01nrrr)()(AAnrnrrrrrnnrrnnrrxcxcdxxcxcdxxcxcdx11211222111111其中 在相應數(shù)域上可任意取值，稱為自由未知量，以下我們在實數(shù)域

9、R上討論，任意給定自由未知量一組值： 代人可求得 的相應值，把這兩組數(shù)合并起來就得到方程組（3.1）的一個解，因此方程組（3.1）有無窮多個解，其一般解為 nrrxxx,21rnnrrkxkxkx,2211rxxx,21第十二頁，共28頁幻燈片13nrnrrrrrnnrrnnrrxcxcdxxcxcdxxcxcdx11211222111111（ 為自由未知量） nrrxxx,21或rnnrrnnrrrrrnnrkxkxkckcdxkckcdx1111111!111),(1Rrnkk 綜上所述，我們可得以下重要定理.第十三頁，共28頁幻燈片14定理3.1（線性方程組有解判別定理） 線性方程組 有

10、解的充要條件是它的系數(shù)矩陣 與增廣矩陣 等秩，即 Ax A),(AA ),()()(AAArrr推論3.1（解的個數(shù)定理） （1）n元線性方程組 有唯一解的充要條件是 .Ax nrr),()(AA（2）n元線性方程組 有無窮多解的充要條件是 . 此時它的一般解中含 個自由未知量.Ax nrrr),()(AArn（3）n元線性方程組 無解的充要條件是 .Ax ),()(AArr 由于上述討論并未涉及常數(shù)項 的取值，因此對 時的n元齊次線性方程組mbbb,21021mbbb第十四頁，共28頁幻燈片15000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(

11、3.3) 即 ，顯然有 ，由定理3.1可得下述定理.OAx )()(AArr定理3.2 （1）n 元齊次線性方程組 只有零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣 的秩 .（2）n元齊次線性方程組 有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣 的秩 .OAx OAx nr)(Anr)(AAA推論3.2 （1）n 個方程的n元齊次線性方程組只有零解的充要條件是它的系數(shù)行列式 .（2）n個方程的n元齊次線性方程組 有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式 .OAx 0AOAx 0A第十五頁，共28頁幻燈片16（3） 若n元齊次線性方程組中方程個數(shù)m小于未知量個數(shù)n，則它必有非零解.書例 解線性方程組215928232342532

12、432143214214321xxxxxxxxxxxxxxx解 對方程組的增廣矩陣 作初等行變換，有 A215921823213104251321A 2661200133600133600513211413122rrrrrr第十六頁，共28頁幻燈片170000000000613211002321021231232461212rrrrrrr所以同解方程組為613212321243421xxxxx一般解為434212161321223xxxxx（ 為自由未知量） 42,xx123150063130063130012626第十七頁，共28頁幻燈片18或1122132423122213162xkkxk

13、xkxk),(21Rkk注 自由未知量的選取不唯一，如例2中， 可化為A00000000003131200320121A所以一般解為343212313232xxxxx（ 為自由未知量） 32,xx第十八頁，共28頁幻燈片19例3解線性方程組.2875342622321321321 xxxxxxxxx解 2817534216122),(bA 3 4 21 0 9 6 0 31 91 17 0 3 4 21 0 32 0 31 8 10 3 4 21 31 8 10 62 13 0 0 解得唯一解.23 x,32 x,11 x第十九頁，共28頁幻燈片20例4解線性方程組解 322122351311

14、321),(bA . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx 1 13 21 20000104501132110 45 0 1 0 45 0 最后一個為矛盾方程組,20 故方程組無解.第二十頁，共28頁幻燈片21例5t 為何值時線性方程組 解 324622432132131txxxtxxxtxx有解? 并求解. 324162214101tttA,100023210101 ttt 3421023210101ttt當當1 t時時，2)()( ArAr, , 方程組有無窮多解。第二十一頁，共28頁幻燈片22例6解線性方程組 解.0334506220323054

15、32154325432154321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx這是一個齊次線性方程組，且方程個數(shù)小于未知個數(shù)，故必有非零解。只需對系數(shù)矩陣施以初等行變換。 13345622103112311111A 143253rrrr 62210622106221011111第二十二頁，共28頁幻燈片23 62210622106221011111,00000000006221011111 2332rrrr24rr 123.ccc其中 、 、 任意取值求得全部解為 35cx 3212622cccx 24cx 13cx 32115cccx 第二十三頁，共28頁幻燈片24例7下面的線性方程組當a、b為

16、何值時有解？在有解解的情況下，求出全部解。 bxxxxaxxxxxxxxxxxx4321432143214321574227212 baA511742272111111112 1426601439903133021111ba第二十四頁，共28頁幻燈片25 1426601439903133021111ba,800005000013111021111 ba當當8, 5 ba時時，有有解解。 此時一般解為 241321221311321cxcxccxcx.21任意任意、，其中，其中cc第二十五頁，共28頁幻燈片26例8當a、b為何值時，線性方程組解 4234321321321xbxxxbxxxxax無解?有唯一解?有無窮多解?有無窮多解時求出全部解。 1211111bbaA , )1( ab12010111bba 當當1