高中數(shù)學(xué)經(jīng)典題匯編[1]

1、1高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類(lèi)匯編高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類(lèi)匯編“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”一直以來(lái)成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個(gè)問(wèn)題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見(jiàn)的 66 個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問(wèn)題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問(wèn)題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過(guò)作針對(duì)性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自已的理想報(bào)負(fù)?！疽族e(cuò)點(diǎn) 1】忽視空集是任何非空集合的子集

2、導(dǎo)致思維不全面。例 1、 設(shè)，若，求實(shí)數(shù) a2|8150Ax xx|10Bx ax ABB組成的集合的子集有多少個(gè)？【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件易知，由于空集是任何非空集合的ABBBA子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿(mǎn)足條件的 a 值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。解析：集合 A 化簡(jiǎn)得，由知故（）當(dāng)時(shí)，即 3,5A ABBBAB方程無(wú)解，此時(shí) a=0 符合已知條件（）當(dāng)時(shí)，即方程10ax B的解為 3 或 5，代入得或。綜上滿(mǎn)足條件的 a 組成的集合為10ax 13a 15，故其子集共有個(gè)。1 10,3 5328【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】 （1）在應(yīng)用條件 ABAB時(shí)，要樹(shù)立起分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，將集合是空

3、集 的情況優(yōu)先進(jìn)行討論（2）在解答集合問(wèn)題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無(wú)序性、互異性”特別是互異性對(duì)集合元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿(mǎn)足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過(guò)程中要注意集合語(yǔ)言（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）和自然語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化如：，其中22,|4Ax yxy 222,|34Bx yxyr2,若求 r 的取值范圍。將集合所表達(dá)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言向自然語(yǔ)言進(jìn)行0r AB轉(zhuǎn)化就是：集合 A 表示以原點(diǎn)為圓心以 2 的半徑的圓，集合 B 表示以（3，4）為圓心，以 r 為半徑的圓，當(dāng)兩圓無(wú)公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑 r 的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來(lái)解答。此外如不等式的解集等也要注

4、意集合語(yǔ)言的應(yīng)用?！揪?1】已知集合、，若2|40Ax xx22|2110Bx xaxa ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 。答案：或。BA1a 1a 【易錯(cuò)點(diǎn) 2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。例 2、已知,求的取值范圍22214yx 22xy【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的函數(shù)最值求解，但極易忽略 x、y 滿(mǎn)足這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約22214yx 束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。解析：由于得(x+2)2=1-1，-3x-1 從而 x2+y2=-3x2-22214yx 42y16x-12=+因此當(dāng) x=-1 時(shí) x2+y2有最小值 1, 當(dāng) x

5、=-時(shí)，x2+y2有最大值。故32838328x2+y2的取值范圍是1, 328【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來(lái)理解條件對(duì) x、y 的限制，顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則22214yx 易知-3x-1，。此外本題還可通過(guò)三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解。22y 【練 2】 （05 高考重慶卷）若動(dòng)點(diǎn)（x,y）在曲線上變化，則22214xyb0b 的最大值為（）22xy3（A）（B）（C）（D）24 04424bbb b24 02422bbb b244b2b答案：A【易錯(cuò)點(diǎn) 3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。例 3、是 R 上的奇函數(shù)， （1）求

6、 a 的值（2）求的反函數(shù) 2112xxaf x 1fx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。解析：（1）利用（或）求得 a=1. 0f xfx 00f（2）由即，設(shè),則由于故1a 2121xxf x yf x211xyy 1y ，而所以121xyy112logyyx 2121xxf x211,121x 1112log11xxfxx 【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】 （1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過(guò)確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)?R 可省略）。（2）應(yīng)用可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解1( )( )fba

7、f ab但應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值要互換。【練 3】（2004 全國(guó)理）函數(shù)的反函數(shù)是（） 1 11f xxx A、 B、2221yxxx2221yxxxC、 D、 221yxx x221yxx x答案：B【易錯(cuò)點(diǎn) 4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位例 4、已知函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖象關(guān) 121xf xx yg x11yfx于直線對(duì)稱(chēng)，則的解析式為（）yx yg x4A、 B、 C、 D、 32xg xx 21xg xx 12xg xx 32g xx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)易由與互為反函數(shù)，而認(rèn)為 yg x11yfx的反函數(shù)是則=11yfx1yf x yg x1f x 而錯(cuò)選 A。1213211xxxx

8、解析：由得從而 121xf xx 112xfxx再求的反函數(shù)得。 11121211xxyfxx 11yfx 21xg xx正確答案：B【知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)點(diǎn)拔】函數(shù)與函數(shù)并不互為反函數(shù)，他11yfx1yf x只是表示中 x 用 x-1 替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過(guò)程來(lái) 1fx看：設(shè)則，1yf x 11fyx再將 x、y 互換即得的反函數(shù)為，故 11xfy1yf x 11yfx的反函數(shù)不是，因此在今后求解此題問(wèn)題時(shí)一定要謹(jǐn)1yf x11yfx慎?！揪?4】 （2004 高考福建卷）已知函數(shù) y=log2x 的反函數(shù)是 y=f-1(x)，則函數(shù) y= f-1(1-x)的圖象是（）答案：B【易錯(cuò)

9、點(diǎn) 5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。5例 5、 判斷函數(shù)的奇偶性。2lg 1( )22xf xx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函數(shù)為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。 2lg 1()22xfxf xx f x解析：由函數(shù)的解析式知 x 滿(mǎn)足即函數(shù)的定義域?yàn)槎?1022xx 1,00,1義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在定義域下易證即函數(shù)為 2lg 1xf xx fxf x 奇函數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】 （1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。（2）函數(shù)具有奇偶性，則是

10、對(duì)定義域內(nèi) f x f xfx或 f xfx x 的恒等式。常常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值?！揪?5】判斷下列函數(shù)的奇偶性： 2244f xxx 111xf xxx 1sincos1sincosxxf xxx答案：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn) 6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過(guò)程繁鎖。例 6、 函數(shù)的反函數(shù)為，證明是 2221211log22xxf xxx 或 1fx 1fx奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)。【思維分析】可求的表達(dá)式，再證明。若注意到與具有相同 1fx 1fx f x的單調(diào)性和奇偶性，只需研究原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可。 f

11、x解析：，故為奇函數(shù)從而212121212121222logloglogxxxxxxfx f x f x為奇函數(shù)。又令在和上均為增函數(shù) 1fx21212121xtxx 1,2 1,26且為增函數(shù)，故在和上分別為增函數(shù)。故2logty f x1,2 1,2分別在和上分別為增函數(shù)。 1fx0,0【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。 （2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。 （3）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)。 （4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即 。1( )( )fbaf

12、ab【練 6】 （1） （99 全國(guó)高考題）已知 ，則如下結(jié)論正確的是（）( )2xxeef xA、 是奇函數(shù)且為增函數(shù) B、 是奇函數(shù)且為減函 f x f x數(shù)C、 是偶函數(shù)且為增函數(shù) D、 是偶函數(shù)且為減函 f x f x數(shù)答案：A（2） （2005 天津卷）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使 1fx 112xxf xaaa成立的 的取值范圍為（）A、 B、 11fxx21(,)2aa21(,)2aaC、 D、21(, )2aaa( ,)a 答案：A （時(shí)，單調(diào)增函數(shù)，所以1a f x.） 21111112afxffxfxfa 【易錯(cuò)點(diǎn) 7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹(shù)立定

13、義域優(yōu)先的原則。例 7、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明。 0,0bf xaxabx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義中的的任意性。12,xD xD 1212f xf xf xf x12,x x以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹(shù)立定義域優(yōu)先的意識(shí)。7解析：由于即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在 fxf x f x f x上的單調(diào)性即可。設(shè) ， 由于0,120 xx 12121212ax xbf xf xxxx x 故當(dāng) 時(shí)，此時(shí)函數(shù)在120 xx12,bx xa 120f xf x f x上增函數(shù)，同理可證函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù),ba

14、 f x0,ba為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)。綜上所述：,0ba,ba 函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在和 f x,ba ,ba0,ba上分別為減函數(shù).,0ba【知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔】 （1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問(wèn)題中，應(yīng)引起足夠重視。（2）單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：在上是增函數(shù) f x, a b，在上是減函數(shù)，這表明 12120f xf xxx f x, a b 12120f xf xxx增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)連線 1122,xf xxf x的斜率都大于（小于）零。（3）是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng) 0,0bf xa

15、xabx用。但注意本題中不能說(shuō)在上為增函數(shù)，在 f x,ba ,ba上為減函數(shù),在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間0,ba,0ba之間添加符號(hào)“”和“或”，【練 7】 （1） （濰坊市統(tǒng)考題）（1）用單調(diào)性的定義 10 xf xaxaax8判斷函數(shù)在上的單調(diào)性。 （2）設(shè)在的最小值為， f x0, f x01x g a求的解析式。 yg a答案：（1）函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。 （2）1,a10,a 12101aayg aaa（2） （2001 天津）設(shè)且為 R 上的偶函數(shù)。 （1）求 a 的值0a xxeaf xae（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并給出證明。0,答案：（1）（2）函數(shù)在上

16、為增函數(shù)（證明略）1a 0,【易錯(cuò)點(diǎn) 8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。例 8、 （2004 全國(guó)高考卷）已知函數(shù)上是減函數(shù)，求 a 的 3231f xaxxx取值范圍。【易錯(cuò)點(diǎn)分析】是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條 0,fxxa b f x, a b件，在解題過(guò)程中易誤作是充要條件，如在 R 上遞減，但 3f xx 。 230fxx 解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)， 2361fxaxx 0fx f x則故解得。 （2）當(dāng)時(shí)， 23610fxaxxxR 00a 3a 3a 易知此時(shí)函數(shù)也在 R 上是減函數(shù)。 （3） 332183313

17、39f xxxxx 當(dāng)時(shí)，在 R 上存在一個(gè)區(qū)間在其上有，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)3a 0fx3a 不是減函數(shù)，綜上，所求 a 的取值范圍是。 f x, 3 【知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔】若函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù) f x9為例來(lái)說(shuō)明：與為增函數(shù)的關(guān)系:能推出為增函0)( xf)(xf0)( xf)(xf數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，3)(xxf),(0)( xf是為增函數(shù)的充分不必要條件。時(shí)，與0)( xf)(xf0)( xf0)( xf為增函數(shù)的關(guān)系:若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即)(xf0)( xf0)( xf摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時(shí)，)(xf0)( xf0

18、)( xf是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系:0)( xf)(xf0)( xf)(xf為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即?(xf0)( xf0)( xf或。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函0)( xf0)( xf0)( xf)(xf數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)0)( xf)(xf性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題，都一律用開(kāi)區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問(wèn)題，也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，要謹(jǐn)慎處理。因此本題在第一步后再

19、對(duì)和進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題3a 3a 中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中注意思維的嚴(yán)密性?！揪?8】 （1） （2003 新課程）函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充2yxbxc0,x要條件是（）A、 B、 C、 D、0b 0b 0b 0b 答案：A（2）是否存在這樣的 K 值，使函數(shù)在上 243221232f xk xxkxx1,2遞減，在上遞增？2,答案：。 （提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，但是函數(shù)12k 20f 20f 在上遞減，在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由1,22,10求出 K 值后要檢驗(yàn)。 ） 20f

20、【易錯(cuò)點(diǎn) 9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號(hào)時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。例 9、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。a1b1錯(cuò)解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)a1b121a21bab2abab1a12+(b+)2的最小值是 8b1【易錯(cuò)點(diǎn)分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式 a2+b22ab，第一次等號(hào)成立的條件是 a=b=,第二次等號(hào)成立的條件 ab=，顯然，這兩個(gè)條件21ab1是不能同時(shí)成立的。因此，8 不是最小值。解析：原式= a2+b2+4=( a2+b

21、2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)21a21b21a21ba1b12-+4=(1-2ab)(1+)+4 由 ab()2= 得：1-2ab1-=ab2221ba2ba 4121,且16，1+17原式17+4= (當(dāng)且僅當(dāng) a=b=時(shí)，21221ba221ba2122521等號(hào)成立)(a+)2+(b+)2的最小值是。a1b1225【知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等” ，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)?！揪?9】 （97 全國(guó)卷文 22 理 22）甲、乙兩地相距 s km , 汽

22、車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò) c km/h ,已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為 b;固定部分為 a 元。（1） 把全程運(yùn)輸成本 y（元）表示為速度 v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2） 為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？答案為:（1）（2）使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)c20sybvavcvba11時(shí)，行駛速度 v=；當(dāng)c 時(shí)，行駛速度 v=c。baba【易錯(cuò)點(diǎn) 10】在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。例 10、是否

23、存在實(shí)數(shù) a 使函數(shù)在上是增函數(shù)？若存在求出 2logaxxaf x2,4a 的值，若不存在，說(shuō)明理由?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過(guò)程中易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致 a 的范圍擴(kuò)大。解析：函數(shù)是由和復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的 f x 2xaxx logxay單調(diào)性的判斷方法（1）當(dāng) a1 時(shí)，若使在上是增函數(shù)，則 2logaxxaf x2,4在上是增函數(shù)且大于零。故有解得 2xaxx2,4 1222420aaa1。 （2）當(dāng) a1 使得函數(shù)在上是增函數(shù) 2logaxxaf x2,4【知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如

24、：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱(chēng)軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于 1 還是小于1） ，特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制） ?！揪?10】 （1） （黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)，且試求函數(shù)0a 1a 的的單調(diào)區(qū)間。2log 43ayxx答案：當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)01a31,23,421a 12在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。31,23,42（2） （2005 高考天津）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單 3log0,1af xxaxaa1(,0)2調(diào)遞增，則

25、的取值范圍是（）A、 B、 C、a1 ,1)43 ,1)4 D、9( ,)49(1, )4答案：B.（記，則當(dāng)時(shí)，要使得是增函數(shù)， 3g xxax 23gxxa1a f x則需有恒成立，所以.矛盾.排除 C、D 當(dāng)時(shí)，要使 0gx 213324a01a是函數(shù)，則需有恒成立，所以.排除 A） f x 0gx 213324a【易錯(cuò)點(diǎn) 11】 用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性例 11、已知求的最大值1sinsin3xy2sincosyx【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過(guò)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于1sinsin3xy的函數(shù)，進(jìn)而利用換元的思想令將問(wèn)題變?yōu)殛P(guān)于 t 的二次函數(shù)最sin xsintx值求解。但

26、極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成錯(cuò)解，解析：由已知條件有且（結(jié)合1sinsin3yx1sinsin1,13yx ）得，而=sin1,1x 2sin13x2sincosyx1sin3x2cos x令則原式=根據(jù)二次22sinsin3xx2sin13txt222133ttt 函數(shù)配方得：當(dāng)即時(shí)，原式取得最大值。23t 2sin3x 49【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)

27、鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱(chēng)輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散13的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化?！揪?11】 （1） （高考變式題）設(shè) a0，000 求 f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a 的最大值和最小值。2答案：f(x)的最小值為2a 2a，最大值為22121202222 212222()()aaaa（2）不等式ax的解集是(4,b)，則 a_，b_

28、。x32答案：（提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于 t 的一元二次不等式1,368abxt的解集為）2, b【易錯(cuò)點(diǎn) 12】已知求時(shí), 易忽略 n的情況nSna例 12、 （2005 高考北京卷）數(shù)列前 n 項(xiàng)和且。 （1）求 nans1111,3nnaas的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式。234,a a a na【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用與的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為對(duì)于任意 n 值都nsna1nnnass成立，忽略了對(duì) n=1 的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。 na解析：易求得。由得故2341416,3927aaa1111,3nnaas1123nnasn得又，故該數(shù)111112333nnnnnaassan142

29、3nnaan11a 213a 列從第二項(xiàng)開(kāi)始為等比數(shù)列故。2111 423 3nnnan 【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】對(duì)于數(shù)列與之間有如下關(guān)系：利nans1112nnnsnassn用兩者之間的關(guān)系可以已知求。但注意只有在當(dāng)適合nsna1a時(shí)兩者才可以合并否則要寫(xiě)分段函數(shù)的形式。12nnnassn14【練 12】 （2004 全國(guó)理）已知數(shù)列滿(mǎn)足 na則數(shù)列的通項(xiàng)為 112311,2312nnaaaaanan na。答案：（將條件右端視為數(shù)列的前 n-1 項(xiàng)和利用公式法解答即可）nna11!22nnann【易錯(cuò)點(diǎn) 13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前 n 項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集

30、（從 1 開(kāi)始）例 13、等差數(shù)列的首項(xiàng)，前 n 項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，。問(wèn) n 為 na10a nslmmlss何值時(shí)最大?ns【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于 n 的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。解析：由題意知=此函數(shù)是以 n 為變ns 2111222n nddf nnadnan量的二次函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，故即此二次函數(shù)開(kāi)口向下，10a lmmlss0d 故由得當(dāng)時(shí)取得最大值，但由于，故若 f lf m2lmx f xnN為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，最大。lm2lmnns當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)最大。lm12lmnns【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】

31、數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從 1 開(kāi)始）上的函數(shù)，因此在解題過(guò)程中要樹(shù)立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題。特別的等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式是關(guān)于 n 的二次函數(shù)且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，反之滿(mǎn)足形如所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的2nsanbn前 n 項(xiàng)和。此時(shí)由知數(shù)列中的點(diǎn)是同一直線上，這也是一個(gè)nsanbn,nsnn15很重要的結(jié)論。此外形如前 n 項(xiàng)和所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的nnscac前 n 項(xiàng)和。【練 13】 （2001 全國(guó)高考題）設(shè)是等差數(shù)列，是前 n 項(xiàng)和，且， nans56ss，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、B、C、 D、和678sss0d 70a

32、 95ss6s均為的最大值。7sns答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和關(guān)于 n 的二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸再結(jié)合單調(diào)性解答）【易錯(cuò)點(diǎn) 14】解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)沒(méi)有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過(guò)程繁瑣。例 14、已知關(guān)于的方程和的四個(gè)根組成首項(xiàng)為230 xxa230 xxb的等差數(shù)列，求的值。34ab【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。解析：不妨設(shè)是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等34230 xxa差數(shù)列的性質(zhì)知方程的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程230 xxa的兩根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，根

33、據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)230 xxb列為：故從而=。3 5 7 9,4 4, 4 42735,1616abab318【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對(duì)于等差數(shù)列，若，則；對(duì)于等比數(shù)列，若 naqpmnqpmnaaaa na，則；若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前 n 項(xiàng)的和，vumnvumnaaaa nanS，那么，成等比數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，*Nk kSkkSS2kkSS23 na是其前 n 項(xiàng)的和，那么，成等差數(shù)列等性質(zhì)nS*Nk kSkkSS2kkSS23要熟練和靈活應(yīng)用。16【練 14】 （2003

34、全國(guó)理天津理）已知方程和的四220 xxm220 xxn個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則=（） A、1 B、 C、 14mn3412D、38答案：C【易錯(cuò)點(diǎn) 15】用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比的情況例 15、數(shù)列中，數(shù)列是公比為（）的等na11a22a1nnaaq0q比數(shù)列。（I）求使成立的的取值范圍；（II）求數(shù)列的32211nnnnnnaaaaaaqna前項(xiàng)的和n2nS2【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和易忽略公比 q=1 的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒(méi)有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列是公比為1nnaa（）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列而找不到解題突破q0q口。使

35、思維受阻。解：（I）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，1nnaaqqaaaannnn121，由得2132qaaaannnn32211nnnnnnaaaaaa，即（） ，解得221111qqqaaqaaaannnnnn012 qq0q2510 q（II）由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，這1nnaaqqaaqaaaannnnnn2121表明數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是na，又，當(dāng)時(shí)，q11a22a1qnS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaa，當(dāng)時(shí)，qqqqaqqannn1)1 (31)1 (1)1 (211qnS217nnaaaaaa212

36、4321)()(2642321nnaaaaaaaan3)2222() 1111 (【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中是解qaann2題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對(duì)等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為 1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤?！揪?15】 （2005 高考全國(guó)卷一第一問(wèn)）設(shè)等比數(shù)列的公比為 q，前 n 項(xiàng)和 na（1）求 q 的取值范圍。0ns 答案： 1,00,【易錯(cuò)點(diǎn) 16】在數(shù)列求

37、和中對(duì)求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n 項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位。例 16、 （2003 北京理）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且 na11232,12aaaa（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令求數(shù)列前項(xiàng)和的公式。 nannnba xxR nb【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式再由數(shù)列的通項(xiàng)公式 na nb分析可知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列” ，可用錯(cuò) nb項(xiàng)相減的方法求和。解析：（1）易求得2nan（2）由（1）得令（）則2nnbnxns 232462nxxxnx（）用（）減去（） （注意錯(cuò)過(guò)一23124212nnnxsxxnxnx位再相減）得當(dāng)23

38、1122222nnnx sxxxxnx1x 18當(dāng)時(shí)11211nnnxxsnxxx1x 24621nsnn n綜上可得：當(dāng)當(dāng)時(shí)1x 11211nnnxxsnxxx1x 24621nsnn n【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】一般情況下對(duì)于數(shù)列有其中數(shù)列和 ncnnnca b na分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前 n 項(xiàng)和可通過(guò)在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基 nb礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過(guò)一項(xiàng)相減的方法來(lái)求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。【練 16】 （2005 全國(guó)卷一理）已知1221nnnnnnuaabababb當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和,0,0nNabab nans答案：時(shí)當(dāng)時(shí).1a 21

39、221221nnnnanaaasa1a 32nn ns【易錯(cuò)點(diǎn) 17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。例 17、求nS321121111n3211【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過(guò)程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得，n2) 1(321nnn，取 ， ，就分別得到)111(2) 1(23211nnnnnn123，3211,211,11nS)111(2)4131(2)3121(2)211 (2nn12)111

40、(2nnn【知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔】 “裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)（也可三個(gè)或更多）相乘，且這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一19般情況下剩余項(xiàng)是前后對(duì)稱(chēng)的。常見(jiàn)的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項(xiàng)，即nn216314212112222，問(wèn)題會(huì)很容易解決。另外還有一些類(lèi)似“裂)211(21)2(1212nnnnnn項(xiàng)法”的題目，如：，求其前項(xiàng)和，可通過(guò)分母有理化的方11nnann法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等?！揪?17】 （2005 濟(jì)南統(tǒng)

41、考）求和121222nS1414221616221)2(1)2(22nn答案：715115131131111nS1211211nn122nnn【易錯(cuò)點(diǎn) 18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例 18、 （2004 年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20）設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.()若首項(xiàng)，公差，求滿(mǎn)足的正整數(shù) k；1a321 d2)(2kkSS ()求所有的無(wú)窮等差數(shù)列an，使得對(duì)于一切正整數(shù) k 都有成立.2)(2kkSS 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.學(xué)生在解第()時(shí)極易根據(jù)條件“對(duì)于一切

42、正整數(shù) k 都有成立”這句話將 k 取兩個(gè)特殊值確定出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，2)(2kkSS 但沒(méi)有認(rèn)識(shí)到求解出的等差數(shù)列僅是對(duì)已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。解：（I）當(dāng)時(shí)1,231dannnnndnnnaSn21212) 1(232) 1(由，即 又22242)21(21,)(2kkkkSSkk得0) 141(3kk.4, 0kk所以（II）設(shè)數(shù)列an的公差為 d，則在中分別取 k=1,2,得2)(2nnSS20211211224211)2122(2344,)()(dadaaaSSSS即由（1）得 當(dāng). 1011aa或, 60)2(,01dda或

43、得代入時(shí)若成立,21)(, 0, 0, 0, 0kknnSSSada從而則若故所知由則216,324)( ,18),1(6, 6, 02331nnSSSnada,)(239Ss 得數(shù)列不符合題意.當(dāng)20,)2(64)2(,121dddda或解得得代入時(shí)若;)(, 1, 0, 1212成立從而則kknnSSnSada若.成立從而則221)(,) 12(31, 12, 2, 1nnnSSnnSnada綜上，共有 3 個(gè)滿(mǎn)足條件的無(wú)窮等差數(shù)列：an : an=0，即 0，0，0，；an : an=1，即 1，1，1，；an : an=2n1，即 1，3，5，【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】事實(shí)上， “條件中使得對(duì)

44、于一切正整數(shù) k 都有成2)(2kkSS 立.”就等價(jià)于關(guān)于 k 的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于 k 的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)為零，于是本題也可采用這程等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯(cuò)誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系?！揪?18】 （1） （2000 全國(guó)）已知數(shù)列,其中,且數(shù)列為 nc23nnnc 1nncpc等比數(shù)列.求常數(shù) p答案：p=2 或 p=3（提示可令 n=1,2,3 根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于 p 的方程，再說(shuō)明 p 值對(duì)任意自然數(shù) n 都成立）【易錯(cuò)點(diǎn) 19】用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否

45、為尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.例 19、已知雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的224xy1yk x個(gè)數(shù)（1）（2）21【易錯(cuò)點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 或 y 的方程后，易忽視對(duì)方程的種類(lèi)進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。解析：聯(lián)立方程組消去 y 得到（1）當(dāng)2214yk xxy22221240kxk xk時(shí)，即，方程為關(guān)于 x 的一次方程，此時(shí)方程組只有解，即210k1k 直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。 （2）當(dāng)時(shí)即，方程22104 430kk 2 3

46、3k 組只有一解，故直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)（3）當(dāng)時(shí)，方程22104 430kk 組有兩個(gè)交點(diǎn)此時(shí)且。 （4）當(dāng)時(shí)即2 32 333k1k 22104 430kk 或時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。2 33k 2 33k 綜上知當(dāng)或時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)1k 2 33k 且。時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或2 32 333k1k 2 33k 時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。2 33k 【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下上

47、題中的第一種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線相交但只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過(guò)這一點(diǎn)也說(shuō)明直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過(guò)本題可以加深體會(huì)這種數(shù)與形的統(tǒng)一。22【練 19】 （1） （2005 重慶卷）已知橢圓的方程為，雙曲線的左右1c2214xy2c焦點(diǎn)分別為的左右頂點(diǎn)，而的左右頂點(diǎn)分別是的左右焦點(diǎn)。 （1）求雙曲1c2c1c線的方程（2）若直線與橢圓及雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，:2lykx1c2c且與的兩個(gè)交點(diǎn) A 和 B 滿(mǎn)足，其中 O 為原點(diǎn)，求 k 的取值范2c6lOA OB 圍。答案：（1）（2）

48、2213xy133113131,115322315 （2）已知雙曲線C： ，過(guò)點(diǎn)P（1，1）作直線l, 使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿(mǎn)足上述條件的直線l共有_條。答案：4條（可知kl存在時(shí)，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-1422yx(1-k2)-4=0, 當(dāng)4-k2=0即k=2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k2時(shí)，由=0有，有一個(gè)切點(diǎn)另：當(dāng)kl不存在時(shí)，x=1也和曲線C有一個(gè)切點(diǎn)綜上，共有25k4條滿(mǎn)足條件的直線）【易錯(cuò)點(diǎn) 20】易遺忘關(guān)于和齊次式的處理方法。sincos例 20、已知，求（1）；（2）2tansincossincos的值.22cos2co

49、s.sinsin【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用可將（2）式分子分母221sincos除去即可。sin解：（1）；2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos (2) 222222cossincos2cossinsincos2cossinsin .324122221cossin2cossincossin222223【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過(guò)構(gòu)造的辦法得到） ，進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。2222(1sincossectantancot這些統(tǒng)稱(chēng)為 1 的代換) 常數(shù) “1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用【練 20】 （200

50、4 年湖北卷理科）已知的值.)32sin(,2, 0cos2cossinsin622求答案：（原式可化為，65 3132602tantan62）223tan1tan2sin 231tan【易錯(cuò)點(diǎn) 21】解答數(shù)列應(yīng)用題，審題不嚴(yán)易將有關(guān)數(shù)列的第 n 項(xiàng)與數(shù)列的前 n項(xiàng)和混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤解答。例 21、如果能將一張厚度為 0.05mm 的報(bào)紙對(duì)拆,再對(duì)拆.對(duì)拆 50 次后,報(bào)紙的厚度是多少?你相信這時(shí)報(bào)紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(已知地球與月球的距離約為米)84 10【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)拆 50 次后,報(bào)紙的厚度應(yīng)理解一等比數(shù)列的第 n 項(xiàng),易誤理解為是比等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和。解析：對(duì)拆一

51、次厚度增加為原來(lái)的一倍，設(shè)每次對(duì)拆厚度構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列na是以米為首項(xiàng)，公比為 2 的等比數(shù)列。從而對(duì)拆 50 次后紙的厚na31a =0.05 10度是此等比數(shù)列的第 51 項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得 a51=0.0510-3250=5.631010,而地球和月球間的距離為 41080，所以nnxabcx*nN10abcx1abxc1x.猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變.ababcbax1 （）若 b 的值使得0，由 知 ,nx*nN13nnnxxbx03nxb 特別地，有. 即，而(0, 2)，所以*nN103xb103bx1x，由此猜測(cè) b 的最大允許值是 1. 下證

52、 當(dāng)(0, 2) ，b=1 時(shí)，都 1 , 0(b1x有(0, 2), 。 當(dāng) n=1 時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)結(jié)論nx*nN成立，即(0, 2),則當(dāng) n=k+1 時(shí)，.又因?yàn)閗x120kkkxxx.所以(0, 2)，故當(dāng) n=k+1 時(shí)結(jié)2121112kkkkxxxx 1kx論也成立.由、可知，對(duì)于任意的，都有(0,2).綜上所述，*nNnx為保證對(duì)任意(0, 2), 都有0， ，則捕撈強(qiáng)度 b 的最大允許1xnx*nN值是 1.【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類(lèi)事物中的部分對(duì)象具有

53、的共同性質(zhì)，推斷該類(lèi)事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類(lèi)事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來(lái)。數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在 n1(或 n )時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假042設(shè)在 nk 時(shí)命題成立，再證明 nk1 時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或 nn 且 nN）結(jié)

54、論都正確” 。由這兩步可以看0出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是 nk1 時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問(wèn)題：與自然數(shù) n 有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等?！揪?34】 （2005 年全國(guó)卷統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）（）設(shè)函數(shù)，求的最小值；) 10( )1 (log)1 (log)(22xxxxxxf)(xf（）設(shè)正數(shù)滿(mǎn)足，證明npppp2321,12321nppppnpp

55、ppppppnn222323222121loglogloglog答案：（）（）用數(shù)學(xué)歸納法證明。112f （2） （2005 高考遼寧）已知函數(shù)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足).1(13)(xxxxfna，數(shù)列滿(mǎn)足)(, 111nnafaanb).(|,3|*21NnbbbSabnnnn （）用數(shù)學(xué)歸納法證明； （）證明12) 13(nnnb.332nS【易錯(cuò)點(diǎn) 35】涉及向量的有關(guān)概念、運(yùn)算律的理解與應(yīng)用。易產(chǎn)生概念性錯(cuò)誤。例 35、下列命題： |=|若422|)()(aaabcacba)()(ababa則，則存在唯一實(shí)數(shù) ，使若，bb ,cacababcbca且 ，則設(shè)是平面內(nèi)兩向量，則對(duì)于平面內(nèi)任何一向量，

56、都coba 21,eea43存在唯一一組實(shí)數(shù)x、y，使成立。若|+|=|21eyexaabab則=0。=0，則=或=真命題個(gè)數(shù)為（ ）ababa0b0A1B2C3D3 個(gè)以上【易錯(cuò)點(diǎn)分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運(yùn)算法則等是向量一章中正確應(yīng)用向量知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的前提，在這里學(xué)生極易將向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算等同起來(lái)，如認(rèn)為向量的數(shù)量積的運(yùn)算和實(shí)數(shù)一樣滿(mǎn)足交換律產(chǎn)生一些錯(cuò)誤的結(jié)論。解析：正確。根據(jù)向量模的計(jì)算判斷。錯(cuò)誤，向量的數(shù)量積的運(yùn)2aaa算不滿(mǎn)足交換律,這是因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義表示和向量共線()a cb b的向量，同理表示和向量 共線的向量，顯然向量和向量 不

57、一定是()a bc cbc共線向量，故不一定成立。錯(cuò)誤。應(yīng)為錯(cuò)誤。()()a bca cb aba b 注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。錯(cuò)誤。應(yīng)加條件“非零向量”錯(cuò)誤。向量不滿(mǎn)足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義，a只需向量和向量在向量 方向的投影相等即可，作圖易知滿(mǎn)足條件的向量有bbc無(wú)數(shù)多個(gè)。錯(cuò)誤。注意平面向量的基本定理的前提有向量是不共線的向21,ee量即一組基底。正確。條件表示以?xún)上蛄繛猷忂叺钠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線相等，即四邊形為矩形。故=0。錯(cuò)誤。只需兩向量垂直即可。ab答案：B【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí)，一定要明確概念或定理成立的前提條件

58、和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答，要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處。一般地已知， 和實(shí)數(shù) ，則向量的數(shù)量積滿(mǎn)足下列運(yùn)算律： (交換律)（）（）（） (數(shù)乘結(jié)合律)() (分配律)說(shuō)明：（1）一般地，()（） （2），0（3）有如下常用性質(zhì)：， （） （）44，()【練 35】 （1） （2002 上海春，13）若 a、b、c 為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）c=ac+bc C.m（a+b）=ma+mb D.（ab）c=a（bc）（2）(2000 江西、山西、天津理，4)設(shè) a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（ab

59、）c（ca）b=0 |a|b|0 的的取值范圍.答案：，(fxxfxx)4,2()43,2(x)kZ【易錯(cuò)點(diǎn) 42】向量與解析幾何的交匯例 42、 （03 年新課程高考）已知常數(shù) a0，向量 c=（0，a） ，i=（1，0） ，經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O 以 c+i 為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn) A（0，a）以 i2c 為方向向量的直線相交于點(diǎn) P，其中 R.試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn) E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出 E、F 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題綜合程度較高，一方面學(xué)生對(duì)題意的理解如對(duì)方向向量的51概念的理解有誤，另一面在向量的問(wèn)題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來(lái)

60、解答，使思維陷入僵局。解析：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn) P 坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn) P 到兩定點(diǎn)距離的和為定值.i=（1，0） ，c=（0，a） ， c+i=（，a） ，i2c=（1，2a）因此，直線 OP 和 AP 的方程分別為 和 .消去參數(shù) ，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程axy axay2),(yxP.整理得 因?yàn)樗缘茫海╥）當(dāng)222)(xaayy. 1)2()2(81222aayx, 0a時(shí)，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn) E 和 F；（ii）當(dāng)22a時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意220 a)2,2121(2aaE)2,2121(2aaF的兩個(gè)定點(diǎn)；（iii）